This is about Coulomb interaction in k-space.

1. Bài tập về nhà 6
Môn Cấu trúc vùng bán dẫn
NCS: Lê Đại Nam (15 311 02)
1 Thế Coulomb
1.1 Phép biến đổi Fourier của thế Coulomb trần
Trong không gian thực, thế Coulomb trần giữa electron-electron có dạng
 
2
0
1
4
e
V r
r
 . (1)
Khi chuyển qua không gian mạng đảo bằng phép biến đổi Fourier, tương tác Coulomb
trần electron-electron được viết dưới dạng
    ,ıq r
q
V r q e 
  (2)
trong đó, ảnh Fourier của tương tác Coulomb trần trong mạng đảo được xác định bởi tích
phân Fourier sau
   
     
22
3 cos 2
3 3
0 0 0 0
12 2 2 2
3 2cos
13 3 2 0
0 00 1 0
1 1 1
sin
4
1 1 1 3
cos ;
2 2 4
ıq r ırq
ırq
e
q V r e d r e r drd d
L L r
e e q r
r e d dr qr F d qr
L L q
 


  



  

  


 
   
      
  
   
  
(3)
Tích phân của hàm siêu bội 0F1 cho ta kết quả
     
2 2
2
10
0
; 1 ,
2
1 .
4
3
D D q r
qr F d Dqr D

  
    
 
  . (4)

2. Nếu lấy giới hạn 3D  của (4) rồi thay vào (3) thì ta được
   
2 2
3 2 3 2
0 0
1 1 1
2
e e
q
L q L q
   . (5)
1.2 Phép biến đổi Fourier của thế Coulomb bị chắn
Trong không gian thực, thế Coulomb bị chẵn giữa electron-electron có dạng
 
2
04
r
e e
V r
r



 . (6)
Khi chuyển qua không gian mạng đảo bằng phép biến đổi Fourier, tương tác Coulomb bị
chắn giữa electron-electron được viết dưới dạng
    ,ıq r
q
V r q e 
  (7)
trong đó, ảnh Fourier của tương tác Coulomb bị chắn trong mạng đảo được xác định bởi
tích phân Fourier sau
   
 
 
   
22
3 cos 2
3 3
0 0 0 0
12 2
cos
3 3 2
0 00 1 0
2
3 2 2
0
1 1
sin
4
1 1 1
cos sin
2
1
.
r
ıq r ırq
qr
r ırq q
e e
q V r e d r e r drd d
L L r
e e
e r e d dr e qr d qr
L L q
e
L q
  


 
  



 
  

   
 

 
 
  
 


   
   (8)
Nếu lấy giới hạn tham số chắn 0  , ta được ảnh Fourier của thế Coulomb trần.
Ta thấy rằng tích phân Fourier của thế Coulomb trần nếu tích phân trực tiếp sẽ không xác
định (tích phân hàm sin ở khoảng từ 0 đến vô cùng) nên có 2 phương pháp xử lý:
 phương pháp đưa số chiều từ 3 thành một số chiều D nào đó bé hơn 3 rồi sau đó
lấy giới hạn, đây là một kiểu tái chuẩn hóa mà tôi sử dụng ở câu 1.1;

3.  phương pháp thứ hai là một cách tái chuẩn hóa khác, ta đưa thêm một thừa số chắn
như trong câu 1.2 rồi lấy ảnh Fourier, sau đó, mới lấy giới hạn tham số chắn về 0.