These are solutions for 3.2 and 3.3 in Peskin's book.

1. Bài tập QFT tuần 3
Lê Đại Nam1, a)
PhD Student, VNU-HCM University of Science
(Dated: Ngày 23 tháng 5 năm 2017)
Bài tập 3.3 và 3.4 tương ứng với bài 3.2: đồng nhất thức Gordon và bài 3.3: tích
Spinor trong Peskin and Schroeder.
I. BÀI 3.3 (3.2 TRONG PESKIN AND SCHROEDER): ĐỒNG NHẤT THỨC GORDON
A. Đề bài
Chứng minh đồng nhất thức Gordon
u (p ) γµ
u (p) = u (p )
p µ
+ pµ
2m
+
ıσµν
qν
2m
u (p) , (1)
với q = p − p.
B. Chứng minh
Từ phương trình Dirac và phương trình liên hiệp phức của nó, ta có:
(γ · p − m) u (p) = 0 → u (p) =
γ · p
m
u (p) (2)
u (p ) (γ · p − m) = 0 → u (p ) = u (p )
γ · p
m
. (3)
Lần lượt khéo léo thay (2) và (3) vào vế trái của (1) thì ta được:
u (p ) γµ
u (p)=
1
2
u (p ) γµ
u (p) +
1
2
u (p ) γµ
u (p)
= u (p )
γ · p
2m
(γµ
u (p)) + (u (p ) γµ
)
γ · p
2m
u (p)
= u (p )
γ · p γµ
2m
+
γµ
γ · p
2m
u (p)
= u (p )
γν
γµ
pν
2m
+
γµ
γν
pν
2m
u (p) . (4)
a)
Electronic mail: ldn28593@gmail.com

2. 2
Nếu q = p − p thì p và p trong (4) có thể viết lại dưới dạng:
p =
p + p
2
−
q
2
và p =
p + p
2
+
q
2
. (5)
Ngoài ra, các ma trận γν
γµ
và γµ
γν
có thể biểu diễn qua giao hoán và phản giao hoán tử
giữa chúng:
γµ
γν
=
1
2
{γµ
, γν
}+
1
2
[γµ
, γν
] = ηµν
−ıσµν
và γν
γµ
=
1
2
{γµ
, γν
}−
1
2
[γµ
, γν
] = ηµν
+ıσµν
.
(6)
Trong (6) đã có dùng các hệ thức của ma trận Dirac: {γµ
, γν
} = 2ηµν
và σµν
=
ı
2
[γµ
, γν
].
Thay (5) và (6) vào ma trận kẹp giữa u (p ) và u(p) trong vế phải của (4) thì ta được:
γν
γµ
pν
2m
+
γµ
γν
pν
2m
=
1
2m
(ηµν
+ ıσµν
)
pν + pν
2
+
qν
2
+ (ηµν
− ıσµν
)
pν + pν
2
−
qν
2
=
ηµν
(p + p )ν
2m
+
ıσµν
qν
2m
=
pµ
+ p µ
2m
+
ıσµν
qν
2m
, (7)
chính là ma trận trong vế phải của đồng nhất thức Gordon cần chứng minh (1). Do đó, thay
(7) vào (4), ta được (1):
u (p ) γµ
u (p) = u (p )
p µ
+ pµ
2m
+
ıσµν
qν
2m
u (p) . đpcm
II. BÀI 3.4 (3.3 TRONG PESKIN AND SCHROEDER): TÍCH SPINOR
A. Đề bài
Cho kµ
0 và kµ
1 thỏa k2
0 = 0, k2
1 = −1 và k0 · k1 = 0. Định nghĩa các trường spinor cho
fermion có động lượng k0 là uL0 và uR0 thỏa uR0 = /k1uL0. Khi đó, với mọi vector p loại ánh
sáng p2
= 0 ta định nghĩa:
uL(p) =
1
√
2p · k0
/puR0 và uR(p) =
1
√
2p · k0
/puL0. (8)
1. Chứng minh /k0uR0 = 0 và với mọi vector p loại ánh sáng thì /puL(p) = /puR(p) = 0.
2. Với k0 = (E, 0, 0, −E) và k1 = (0, 1, 0, 0) hãy xây dựng dạng tường minh của
uL0, uR0, uL và uR.

3. 3
3. Định nghĩa các tích spinor s(p1, p2) = uR(p1)uL(p2) và t(p1, p2) = uL(p1)uR(p2) cho
mọi p1 và p2 loại ánh sáng. Sử dụng dạng tường minh của các spinor u ở câu trước,
hãy tính tường minh các tích spin s và t. Chứng minh rằng tích s và t thỏa:
t(p1, p2) = (s(p2, p1))∗
(9)
s(p1, p2) = −s(p2, p1) (10)
|s(p1, p2)|2
= 2p1 · p2. (11)
B. Bài làm
Chứng minh /k0uR0 = 0 Ta có:
/k0uR0= /k0/k1uL0 = γµ
k0,µγν
k1,νuL0
= γµ
γν
k0,µk1,νuL0 =
1
2
{γµ
, γν
} +
1
2
[γµ
, γν
] k0,µk1,νuL0
= ηµν
k0,µk1,νuL0 − ıσµν
k0,µk1,νuL0
= kν
0 k1,νuL0 − ıσµν
k0,µk1,νuL0
= k0 · k1uL0 − ıσµν
k0,µk1,νuL0
= −ıσµν
k0,µk1,νuL0 = −ıσνµ
k0,νk1,µuL0
= ıσµν
k0,νk1,µuL0. (12)
Nhưng ta lại có tương tự (12)
/k1/k0uL0 = k1 · k0uL0 − ıσµν
k1,µk0,νuL0 = −ıσµν
k1,µk0,νuL0, (13)
nên so sánh với (12) thì
/k0uR0 = −/k1/k0uL0 = −/k1m0uL0 = 0. (14)
Chứng minh với mọi vector p loại ánh sáng thì /puL(p) = /puR(p) = 0. Ta có:
/puL(p) =
1
√
2p · k0
/p/puR0(p) (15)
/puR(p) =
1
√
2p · k0
/p/puL0(p) (16)

4. 4
nên rõ ràng ta cần tính:
/p/p= γµ
γν
pµpν
= ηµν
pµpν − ıσµν
pµpν
= pµ
pµ −
1
2
ıσµν
pµpν −
1
2
ıσµν
pµpν
= p2
−
1
2
ıσµν
pµpν −
1
2
ıσνµ
pνpµ = p2
−
ı
2
(σµν
+ σνµ
)pµpν
= p2
= 0. (17)
Thay (17) vào (15) và (16) ta ra được điều cần chứng minh /puL(p) = /puR(p) = 0.
Xây dựng uλ với k0 = (E, 0, 0, −E) và k1 = (0, 1, 0, 0). Do k0 là xung lượng của một
hạt chuyển động trên chiều âm của trục z nên left-handed spinor có χ =


1
0

. Do đó uL0
có dạng:
uL0 =
√
E


χ
−σ3
χ

 =
√
E


χ
−χ

 =
√
E







1
0
−1
0







. (18)
Với k1 = (0, 1, 0, 0) thì /k1 = γ1
nên ta tính được uR0:
uR0 = /k1uL0 = γ1
uL0 =
√
E


0 σ1
−σ1
0




χ
−χ

 =
√
E


−σ1
χ
−σ1
χ

 = −
√
E







0
1
0
1







. (19)
Để xác định uL(p) và uR(p) ta cần sử dụng p · k0 = (p0
− p3
)E:
uL(p)= −
1
2(p0 − p3)
/p







0
1
0
1







=
1
2(p0 − p3)







−(p1
− ıp2
)
−(p0
− p3
)
p1
− ıp2
p0
− p3







, (20)
uR(p)=
1
2(p0 − p3)
/p







1
0
−1
0







=
1
2(p0 − p3)







p0
− p3
−p1
− ıp2
p0
− p3
−p1
− ıp2







. (21)

5. 5
Từ đây, ta cũng tính được dạng tường minh của các u:
uL(p)= u†
L(p)γ0
=
1
2(p0 − p3)
−(p1
− ıp2
) −(p0
− p3
) −(p1
+ ıp2
) −(p0
+ p3
) , (22)
uR(p)= u†
R(p)γ0
=
1
2(p0 − p3)
(p0
− p3
) −(p1
− ıp2
) −(p0
− p3
) (p1
− ıp2
) . (23)
Xây dựng dạng tường minh của các tích spinor s(p1, p2) = uR(p1)uL(p2) và t(p1, p2) =
uL(p1)uR(p2) Ta có:
s(p1, p2)= uR(p1)uL(p2)
=
1
p0
1 − p3
1 p0
2 − p3
2
(p1
1 − ıp2
1)(p0
2 − p3
2) − (p0
1 − p3
1)(p1
2 − ıp2
2)
=
{[p1
1(p0
2 − p3
2) − (p0
1 − p3
1)p1
2] − ı [p2
1(p0
2 − p3
2) − (p0
1 − p3
1)p2
2]}
p0
1 − p3
1 p0
2 − p3
2
. (24)
Đối với t(p1, p2) = uL(p1)uR(p2) thì ta có:
t(p1, p2)= uL(p1)uR(p2) = u†
L(p1)γ0
uR(p2) = uT
R(p2)γ0
u∗
L(p1)
T
= uT
R(p2)γ0
u∗
L(p1) = u†
R(p2)γ0
uL(p1)
∗
= (s(p2, p1))∗
, (25)
nên chỉ cần hoán vị p1 và p2 và lấy liên hợp phức trong tích s là ra tích t.
Từ dạng tường minh của tích s, ta dễ dàng chứng minh tích s phản xứng:
s(p2, p1)=
[p1
2(p0
1 − p3
1) − (p0
2 − p3
2)p1
1] − ı [p2
2(p0
1 − p3
1) − (p0
2 − p3
2)p2
1]
(p0
1 − p3
1)(p0
2 − p3
2)
= −
[p1
1(p0
2 − p3
2) − (p0
1 − p3
1)p1
2] − ı [p2
1(p0
2 − p3
2) − (p0
1 − p3
1)p2
2]
(p0
1 − p3
1)(p0
2 − p3
2)
= −s(p1, p2). (26)
Không những thế, từ dạng tường minh của tích s, ta tính được module của nó:
|s(p1, p2)|2
=
[p1
1(p0
2 − p3
2) − (p0
1 − p3
1)p1
2]
2
+ [p2
1(p0
2 − p3
2) − (p0
1 − p3
1)p2
2]
2
(p0
1 − p3
1)(p0
2 − p3
2)
=
(p0
1 − p3
1)2
((p1
2)2
+ (p2
2)2
) + (p0
2 − p3
2)2
((p1
1)2
+ (p2
1)2
)
(p0
1 − p3
1)(p0
2 − p3
2)
− 2(p1
1p1
2 + p2
1p2
2)
= 2p1 · p2 − 2(p0
1p0
2 − p3
1p3
2) +
(p0
1 − p3
1)2
((p0
2)2
− (p3
2)2
)
(p0
1 − p3
1)(p0
2 − p3
2)
+
(p0
2 − p3
2)2
((p0
1)2
− (p3
1)2
)
(p0
1 − p3
1)(p0
2 − p3
2)
= 2p1 · p2 − 2(p0
1p0
2 − p3
1p3
2) 1 −
(p0
1 − p3
1)(p0
2 − p3
2)
(p0
1 − p3
1)(p0
2 − p3
2)
= 2p1 · p2 đpcm!. (27)