Semiconductor Bloch equation with LO phonon scattering

1. Bài tập nhóm: PHƯƠNG TRÌNH BLOCH BÁN DẪN CÓ
TÍNH ĐẾN TÁN XẠ PHONON
Dương Thấy,1
Nguyễn Lê Đức Thịnh,1
Lê Đại Nam,1
Bùi Quốc Long,1
and Lê Vũ Lân1
ĐHKHTN, ĐHQG Tp. Hồ Chí Minh
Quá trình động học lượng tử của electron và lỗ trống trong bán dẫn GaAs có tính đến
ảnh hưởng do tán xạ electron-phonon được khảo sát thông qua việc giải số phương
trình Bloch bán dẫn (SBE). So sánh kết quả với trường hợp không tính đến tán xạ
electron-phonon sẽ cho ta biết ảnh hưởng của số hạng tán xạ electron-phonon lên
quá trình động học của electron và lỗ trống là như thế nào. Ngoài ra, các ảnh hưởng
của xung laser khi thay đổi các thông số của laser như cường độ xung, độ dài xung
và năng lượng trội cũng được khảo sát.
CONTENTS
I. Phương trình Bloch bán dẫn có tính đến tán xạ phonon 2
A. Các hằng số vật lý và các tham số 2
B. Số hạng đồng bộ 3
C. Số hạng tán xạ 4
II. Áp dụng cho trường hợp GaAs 4
A. Một số giả thiết gần đúng 4
B. Rời rạc hóa các tổng theo k 5
C. Kỹ thuật factorizing integral để xử lý tích phân theo thời gian trong ∂tfj(k; t) |col 6
D. Hệ phương trình vi phân dùng để giải số 7
E. Các đại lượng vật lý cần xác định 9
F. Code giải số 10
III. Kết quả và bàn luận 12
A. Kết quả 12
B. Bàn luận 23

2. 2
I. PHƯƠNG TRÌNH BLOCH BÁN DẪN CÓ TÍNH ĐẾN TÁN XẠ PHONON
Phương trình Bloch bán dẫn có dạng tổng quát:
∂tfj(k; t) = ∂tfj(k; t) |coh +∂tfj(k; t) |col, (1)
∂tp(k; t) = ∂tp(k; t) |coh +∂tp(k; t) |col, (2)
trong đó, j = e, h là chỉ số cho electron và lỗ trống, fj là hàm mật độ electron và lỗ trống,
p là hàm phân cực, |coh là kí hiệu cho số hạng đồng bộ (coherent) và |col là kí hiệu cho số
hạng tán xạ (collision). Trước khi khảo sát dạng cụ thể của các số hạng trong phương trình
(1) và (2) thì ta sẽ nhắc lại một số hằng số vật lý và các tham số vật lý xuất hiện trong bài
toán.
A. Các hằng số vật lý và các tham số
Các hằng số vật lý sẽ xuất hiện là
1. hằng số Planck = 658.5 meV.fs,
2. hằng số Boltzmann kB = 0.08617 meV/K ,
3. thể tích V = 1 cm3
.
Các tham số vật lý liên quan đến electron và lỗ trống trong GaAs
1. khối lượng electron (tương đối) me/µ = 1 + me/mh = 1.147,
2. khối lượng lỗ trống (tương đối) mh/µ = 1 + mh/me = 7.821,
3. khối lượng rút gọn của hệ electron-lỗ trống µ = memh/(me + mh),
4. bán kính Bohr hiệu dụng a0 = 2
0/e2
µ = 125A,
5. năng lượng liên kết hiệu dụng ER = 2
/2µa2
0 = 4.2 meV.
Các tham số vật lý liên quan đến tán xạ phonon
1. hệ số polariton α = 0.069,
2. năng lượng phonon ω0 = 36 meV.

3. 3
Phonon là boson nên tuân theo phân bố Bose-Einstein
N(T) =
1
e ω0/kBT − 1
,
với nhiệt độ đang xét là nhiệt độ phòng T = 300 K.
Các tham số liên quan đến xung laser tới E(t) = E0 exp (−t2
/(δt)2
)
1. cường độ xung: d(k)E0 =
√
πχ0/δt với χ0 là hệ số không thứ nguyên được tùy chỉnh
từ khoảng 0.05 đến 1,
2. độ dài xung: δt, trong đây, chúng tôi lấy độ dài xung là δt = 100 fs,
3. năng lượng trội của photon ∆0 = ω − Eg được tùy chỉnh trong khoảng từ 50 meV
đến 900 meV.
B. Số hạng đồng bộ
Số hạng đồng bộ cho hàm mật độ ∂tfj(k; t) |coh có dạng cụ thể như sau:
∂tfj(k; t) |coh = −2 ΩR
(k; t)p∗
(k; t) , (3)
trong đó, là kí hiệu cho lấy phần ảo còn tần số tái chuẩn hóa Rabi ΩR
(k; t) được xác định
bởi
ΩR
(k; t) =
√
πχ0
2δt
e−t2/δt2
+
8πERa0
V
q
1
q2
p(k − q; t). (4)
Số hạng đồng bộ cho hàm phân cực ∂tp(k; t) |coh có dạng cụ thể như sau:
∂tp(k; t) |coh = −
ı
ε(k) − ∆0 − E(k) p(k; t) + ı 1 − fe(k; t) − fh(k; t) ΩR
(k; t), (5)
với
ε(k) =
2
k2
2µ
(6)
và
E(k) =
8πERa0
V
q
1
q2
fe(k − q; t) + fh(k − q; t) . (7)

4. 4
C. Số hạng tán xạ
Số hạng tán xạ ở đây ta chỉ xét tán xạ electron-phonon trong gần đúng Kadanoff-Bayes
mở rộng GKBA kết hợp với gần đúng cho hàm Green trễ
Gr
j,j (k, k ; t, t ) ∼ eı(εj(k)−εj (k )+ıγ)(t−t )/
.
Số hạng tán xạ cho hàm mật độ ∂tfj(k; t) |col có dạng cụ thể như sau:
∂tfj(k; t) |col = α
8π( ω0)3/2
(2µ)1/2V
q
1
q2
t
−∞
dt eı(εj(k)−εj(k−q)+ıγ)(t−t )/
×
fj(k; t ) 1 − fj(k − q; t ) D0>
(q; t, t ) + fj(k − q; t ) 1 − fj(k; t ) D0>∗
(q; t, t )
−2p∗
(k; t )p(k − q; t ) D0>
(q; t, t ) , (8)
trong đó, năng lượng của electron và lỗ trống là
εj(k ) =
k 2
2mj
=
ε(k )
mj/µ
, (9)
còn hàm truyền phonon tự do có dạng
D0>
(q; t, t ) = −
ı
σ=±1
N +
1 + σ
2
e−ıσ ω0(t−t )/
. (10)
Số hạng tán xạ cho hàm phân cực ∂tp(k; t) |col có dạng cụ thể như sau:
∂tp(k; t) |col = −ıα
4π( ω0)3/2
(2µ)1/2V
q
1
q2
t
−∞
dt eı(εh(k)−εe(k−q)−∆0−ıγ)(t−t )/
×
p(k; t ) 1 − fe(k − q; t ) − p(k − q; t ) 1 − fh(k; t ) D0>
(q; t, t )
+ p(k − q; t )fh(k; t ) − p(k; t )fe(k − q; t ) D0>∗
(q; t, t ) − k ⇔ k − q . (11)
II. ÁP DỤNG CHO TRƯỜNG HỢP GaAs
A. Một số giả thiết gần đúng
Gần đúng đầu tiên ta sẽ sử dụng là cho các hàm phân cực triệt tiêu p(k, t) = 0 trong số
hạng tán xạ của hàm mật độ ∂tfj(k; t) |col. Nếu không tính đến các số hạng tán xạ thì p(k, t)
chỉ có giá trị đáng kể trong khoảng thời gian xung laser còn tương tác với hệ (khoảng −3δt

5. 5
đến +3δt). Mặc khác, ảnh hưởng của tán xạ phonon là không quá lớn do hệ số polariton
của GaAs là nhỏ (α = 0.069 1). Vì vậy, nhìn chung dù có tính đến tán xạ phonon thì
p(k, t) chỉ có giá trị đáng kể trong một khoảng thời gian tương đối ngắn và gần đúng trên
là có thể chấp nhận được.
∂tfj(k; t) |col ≈ α
8π( ω0)3/2
(2µ)1/2V
q
1
q2
t
−∞
dt eı(εj(k)−εj(k−q)+ıγ)(t−t )/
×
fj(k; t ) 1 − fj(k − q; t ) D0>
(q; t, t ) + fj(k − q; t ) 1 − fj(k; t ) D0>∗
(q; t, t ) .(12)
Gần đúng thứ hai ta có thể sử dụng là gần đúng hiện tượng luận cho số hạng tán xạ của
hàm phân cực ∂tp(k; t) |col thành −p(k; t)/T2(t) với T2(t) giảm khi tổng số electron tăng. Ta
có thể cho T2(t) là hằng số hoặc thay đổi theo dạng:
T2(t)−1
= T−1
2 + βNe(t).
B. Rời rạc hóa các tổng theo k
Trong các công thức (7), (4) và (12) xuất hiện các tổng dạng q q−2
F(k; k − q) mà ta
cần rời rạc hóa để đơn giản các tính toán. Ta có thể viết lại:
q
q−2
F(k; k − q) =
k
1
|k − k |2
F(k; k )
≈
V
(2π)3
d3
k
|k − k |2
F(k; k )
=
V
(2π)2
k
k
ln
k + k
k − k
F(k; k )dk .
Thay vì sử dụng biến k, ta sử dụng năng lượng rút gọn ε = 2
k2
/2µ và rời rạc hóa ε = n∆ε
thì ta được
q
q−2
F(k; k − q) =
2µ
2
V
8π2
1
√
ε
ln
√
ε +
√
ε
√
ε −
√
ε
F(ε; ε )dε
≈
2µ
2
V
8π2
√
∆ε
n
1
√
n
ln
√
n +
√
n
√
n −
√
n
F(n; n )
=
2µ
2
V
8π2
√
∆ε
n
g(n; n )F(n; n ). (13)

6. 6
Thay (13) vào ta lần lượt thu được phần đồng bộ
∂tfj(n; t) |coh = −2 ΩR
(n; t)p∗
(n; t) , (14)
∂tp(n; t) |coh = −
ı
(n∆ε − ∆0 − E(n)) p(n; t) + ı (1 − fe(n; t) − fh(n; t)) ΩR
(n; t), (15)
ΩR
(n; t) ≈
√
πχ0
2δt
e−t2/δt2
+
√
ER∆ε
π n
g(n; n )p(n ; t), (16)
E(n) =
√
ER∆ε
π n
g(n; n ) [fe(n ; t) + fh(n ; t)] , (17)
còn phần tán xạ
∂tfj(n; t) |col =
α( ω0)3/2
π n
g(n; n )
t
−∞
dt eı((n−n )mj∆ε/µ+ıγ)(t−t )/
×
fj(n; t ) (1 − fj(n ; t )) D0>
(q; t, t ) + fj(n ; t ) (1 − fj(n; t )) D0>∗
(q; t, t ) , (18)
∂tp(n; t) |col= −
p(n; t)
T2(t)
. (19)
C. Kỹ thuật factorizing integral để xử lý tích phân theo thời gian trong ∂tfj(k; t) |col
Trong phần tán xạ của hàm mật độ ∂tfj(n; t) |col, ta nhìn thấy còn phần tích phân
dt . . . . Nếu tính trực tiếp tích phân trên thì cần bộ nhớ đủ lớn, do đó, để tránh việc
tính trực tiếp tích phân dt . . . ta sử dụng kĩ thuật factorizing integral. Do dạng của hàm
truyền phonon D0>
và nhân tử e mũ trong ∂tfj(n; t) |col đều có thể tách ra thành e...t
e...t
nên ta có thể viết lại phương trình (18) thành
∂tfj(n; t) |col =
α( ω0)3/2
π 2
n
g(n; n ) ×
× [K1,j(n, n ; t)G1,j(n, n ; t) + K2,j(n, n ; t)G2,j(n, n ; t)] (20)

7. 7
bằng cách đưa
K1,j(n, n ; t) = exp [ı((n − n )mj∆ε/µ + ω0 + ıγ)t/ ], (21)
K2,j(n, n ; t) = exp [ı((n − n )mj∆ε/µ − ω0 + ıγ)t/ ], (22)
G1,j(n, n ; t) = ı
t
−∞
dt K1,j(n, n ; −t ) ×
× [N+fj(n ; t ) (1 − fj(n; t )) − N−fj(n; t ) (1 − fj(n ; t ))] , (23)
G2,j(n, n ; t) = ı
t
−∞
dt K2,j(n, n ; −t ) ×
× [N−fj(n ; t ) (1 − fj(n; t )) − N+fj(n; t ) (1 − fj(n ; t ))] . (24)
Khi đó, các hàm G1,j(n, n ; t) và G2,j(n, n ; t) thỏa mãn phương trình vi phân
∂tG1,j(n, n ; t) = ıK1,j(n, n ; −t) ×
× [N+fj(n ; t) (1 − fj(n; t)) − N−fj(n; t) (1 − fj(n ; t))] , (25)
∂tG2,j(n, n ; t) = ıK2,j(n, n ; −t) ×
× [N−fj(n ; t) (1 − fj(n; t)) − N+fj(n; t) (1 − fj(n ; t))] . (26)
Như vậy, thay vì giải một cặp 2 phương trình vi phân cho hàm mật độ fj(n; t), ta mở rộng
ra thêm 4 phương trình vi phân cho các hàm G1(2),j.
D. Hệ phương trình vi phân dùng để giải số
Tổng kết lại các gần đúng và các xử lý đã trình bày ở trên, hệ phương trình vi phân cần
giải
∂tfj(n; t) = −2 ΩR
(n; t)p∗
(n; t) +
α( ω0)3/2
π 2
n
g(n; n ) ×
× [K1,j(n, n ; t)G1,j(n, n ; t) + K2,j(n, n ; t)G2,j(n, n ; t)] , (27)
∂tp(n; t) = −
ı
(n∆ε − ∆0 − E(n)) p(n; t) + ı (1 − fe(n; t) − fh(n; t)) ΩR
(n; t) −
p(n; t)
T2(t)
,
(28)
∂tG1,j(n, n ; t) = ıK1,j(n, n ; −t) ×
× [N+fj(n ; t) (1 − fj(n; t)) − N−fj(n; t) (1 − fj(n ; t))] , (29)
∂tG2,j(n, n ; t) = ıK2,j(n, n ; −t) ×
× [N−fj(n ; t) (1 − fj(n; t)) − N+fj(n; t) (1 − fj(n ; t))] , (30)

8. 8
trong đó,
ΩR
(n; t) ≈
√
πχ0
2δt
e−t2/δt2
+
√
ER∆ε
π n
g(n; n )p(n ; t), (31)
E(n) =
√
ER∆ε
π n
g(n; n ) [fe(n ; t) + fh(n ; t)] , (32)
K1,j(n, n ; t) = exp [ı((n − n )mj∆ε/µ + ω0 + ıγ)t/ ], (33)
K2,j(n, n ; t) = exp [ı((n − n )mj∆ε/µ − ω0 + ıγ)t/ ], (34)
N− = N, N+ = N + 1, với N = e ω0/kBT
− 1
−1
, (35)
T2(t)−1
= T−1
2 + βNe(t). (36)
Điều kiện ban đầu là
fj(n; −∞) = p(n; −∞) = G1,j(n, n ; −∞) = G2,j(n, n ; −∞) = 0, T2(−∞) = T2.
Do xung laser có dạng Gauss nên thực tế vào cỡ t = −3δt thì tác dụng của xung laser là
chưa đáng kể (cỡ 1.23 × 10−5
giá trị cực đại). Vì vậy, ta có thể xem t = −∞ là t = −3δt.
Ta chia thời gian thành các khoảng ∆t như sau:
tm = −3δt + m∆t,
và ta tính đến tmax = −3δt + Nt∆t đủ lớn là được.
Đối với năng lượng, ta tính tổng theo năng lượng đến một giá trị cực đại εmax và chia
khoảng năng lượng từ 0 đến εmax thành Nε khoảng thỏa:
∆ε = εmax/Nε,
và các tổng
n
=
Nε
n =0
.
Tổng kết lại, khi tính toán số ta sẽ có các thông số cho tính toán số là
1. số khoảng chia thời gian Nt,
2. khoảng chia thời gian ∆t,
3. năng lượng lớn nhất εmax,
4. số khoảng chia năng lượng Nε,

9. 9
hai tham số hiện tượng luận cho T2(t) là T2 và β và tham số tắt gần γ đối với gần đúng cho
hàm Green trễ.
Để giải số hệ phương trình vi phân (27), (28), (29) và (30) (hệ 7 phương trình) trên (để
đơn giản, ta quy về mảng F = (fe, fh, p, G1,e, G2,e, G1,h, G2,h))
∂tF = K(F; t), (37)
nhóm chúng tôi sử dụng thuật toán Runge-Kutta RK4:
k1 = K (Fm; tm) ,
k2 = K Fm +
k1∆t
2
; tm +
∆t
2
,
k3 = K Fm +
k2∆t
2
; tm +
∆t
2
,
k4 = K (Fm + k3∆t; tm + ∆t) ,
Fm+1 = Fm +
1
6
(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) ∆t, với m = 1, 2, . . . , Nt.
E. Các đại lượng vật lý cần xác định
Ở bài toán này, giải hệ phương trình (37) giúp chúng tôi xác định được hàm mật độ và
hàm phân cực: fe,h(n; t) và p(n; t). Các đại lượng vật lý này giúp chúng tôi xác định được
1. hàm mật độ toàn phần
Nj(t) =
k
fj(k; t) ≈
1
8π2
V
a3
0
∆ε
ER
3/2 Nε
n=0
√
nfj(n; t), (38)
2. tổng hàm phân cực
P(t) =
k
p(k; t) ≈
1
8π2
V
a3
0
∆ε
ER
3/2 Nε
n=0
√
np(n; t). (39)
Thông qua tổng hàm phân cực, chúng tôi có thể xác định được phổ hấp thụ
α( ω) ∼
P( ω)
E( ω)
, (40)
trong đó
P( ω)=
1
√
2π
P(t)eı ωt/
dt ≈
1
√
2π
Nt
m=0
P(tm)eı ωtm/
∆t
E( ω)=
1
√
2π
E0e−t2/δt2
eı ωt/
dt =
1
√
2π
δt
√
πE0e−( ω)2/(4 2δt−2)
.

10. 10
Để mô tả dạng của phổ hấp thụ, chúng tôi sẽ tính
˜α( ω) =
P( ω)
E( ω)d(k)/ π
=
Nt
m=0 P(tm)eı( ω)tm/
∆t
χ0e−( ω)2/(4 2δt−2)
, (41)
chỉ sai khác so với phổ hấp thụ α( ω) một hệ số tỉ lệ.
F. Code giải số
Ở đây, chúng tôi chỉ trình bày một đoạn trong code giải số hệ phương trình đã xây dựng
ở phần trước. Đoạn code sau đây là phần định nghĩa hàm K(F; t) trong hệ phương trình
(37) được viết bằng ngôn ngữ lập trình C++:
void ham(int j, double t, complex<double> f[][2], complex<double>pt[][2],
complex<double> G[N + 1][N + 1][2][2], complex<double> Gt[N + 1][N + 1][2][2], double nf)
{
int k, ks;
//avariables coherence
double En;
complex<double> EN, BN;
complex<double> rabi, chi;
//avariables scattering LO-phonon
double fn1[2], fn2[2];
complex<double> pn1, pn2;
double fscatt[2], pscatt;
chi = 0.5*h*sqrt(pi)*chi0*exp(-t*t / (deltat*deltat)) / deltat;
for (k = 1; k <= N; k++)
{
for (ks = 1; ks <= N; ks++)
{
/*auxiliary variables*/
fn1[0] = real(f[k][0]);
fn1[1] = imag(f[k][0]);
pn1 = f[k][1];
fn2[0] = real(f[ks][0]);
fn2[1] = imag(f[ks][0]);
pn2 = f[ks][1];
//begin the n*n ODE system
// equation for electron distributions
Gt[k][ks][0][0] = zi*(NP*fn2[0] * (1.0 - fn1[0])

11. 11
- NQ*fn1[0] * (1.0 - fn2[0]))*emu[k][j][0] * ephonon[j] / (emu[ks][j][0] * egama[j]);
Gt[k][ks][0][1] = zi*(NQ*fn2[0] * (1.0 - fn1[0])
- NP*fn1[0] * (1.0 - fn2[0]))*emu[k][j][0] / (ephonon[j] * emu[ks][j][0] * egama[j]);
//equation for holes distributions
Gt[k][ks][1][0] = zi*(NP*fn2[1] * (1.0 - fn1[1])
- NQ*fn1[1] * (1.0 - fn2[1]))*emu[k][j][1] * ephonon[j] / (emu[ks][j][1] * egama[j]);
Gt[k][ks][1][1] = zi*(NQ*fn2[1] * (1.0 - fn1[1])
- NP*fn1[1] * (1.0 - fn2[1]))*emu[k][j][1] / (ephonon[j] * emu[ks][j][1] * egama[j]);
}
//end of e loop
//scattering LO-phonon
fscatt[0] = 0.0; //electron
fscatt[1] = 0.0; //hole
// pscatt=z0;
for (ks = 1; ks <= N; ks++)
{
//electron
fscatt[0] += imag(G[k][ks][0][0] * emu[ks][j][0] * egama[j] / (ephonon[j] * emu[k][j][0])
+ G[k][ks][0][1] * egama[j] * ephonon[j] * emu[ks][j][0] / emu[k][j][0])*g[k][ks] * pi / (sqrt(ER));
//holes
fscatt[1] += imag(G[k][ks][1][0] * emu[ks][j][1] * egama[j] / (ephonon[j] * emu[k][j][1])
+ G[k][ks][1][1] * egama[j] * ephonon[j] * emu[ks][j][1] / emu[k][j][1])*g[k][ks] * pi / (sqrt(ER));
}
//Coherence
/*----H-F----*/
EN = z0;
BN = z0;
for (ks = 1; ks <= N; ks++)
{
EN += g[k][ks] * f[ks][0];
BN += g[k][ks] * f[ks][1];
}
rabi = chi / h + BN / h;
En = real(EN) + imag(EN); //real = e, imag = h
pt[k][0] = -2.0*complex<double>(imag(rabi*conj(f[k][1])), imag(rabi*conj(f[k][1])))
+ g_phonon * complex<double>(fscatt[0], fscatt[1]);
pt[k][1] = (-zi / h)*(k*de - detuning - En)*f[k][1] + zi*rabi*(1.0 - real(f[k][0]) - imag(f[k][0]))
- f[k][1]*(1.0/T2 + beta*nf);
}
}

12. 12
III. KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN
A. Kết quả
a. Khảo sát ảnh hưởng của tán xạ LO-phonon Các thông số sử dụng cho tính toán số
ở đây chúng tôi chọn là
Nt = 650, ∆t = 2.0 fs, εmax = 300 meV, Nε = 80.
Nhằm khảo sát ảnh hưởng của việc có mặt tán xạ LO-phonon, chúng tôi khảo sát xung laser
χ0 = 0.10, ∆0 = 170 meV,
và các tham số hiện tượng luận và tham số tắt dần
T2 = 200 fs, β = 5.0 × 10−20
fs−1
, γ = 0.001 meV.
Chúng tôi so sánh hai trường hợp: không tính đến tán xạ LO-phonon α = 0 và có tính đến
tán xạ LO-phonon α = 0.069. Kết quả tính toán của chúng tôi được mô tả thông qua các
đồ thị sau đây.
Hình 1. So sánh mật độ toàn phần của electron Ne(t) khi chưa tính đến tán xạ LO-phonon và có
tính đến tán xạ LO-phonon.

13. 13
Hình 2. So sánh suất của hàm tổng phân cực|P(t)| khi chưa tính đến tán xạ LO-phonon và có
tính đến tán xạ LO-phonon.
Hình 3. So sánh phân bố của hàm mật độ electron theo năng lượng và theo thời gian khi a) chưa
tính đến tán xạ LO-phonon và b) có tính đến tán xạ LO-phonon.

14. 14
Hình 4. So sánh phân bố của hàm mật độ lỗ trống theo năng lượng và theo thời gian khi a) chưa
tính đến tán xạ LO-phonon và b) có tính đến tán xạ LO-phonon.
Hình 5. So sánh phân bố của hàm phân cực theo năng lượng và theo thời gian khi a) chưa tính
đến tán xạ LO-phonon và b) có tính đến tán xạ LO-phonon.

15. 15
b. Khảo sát ảnh hưởng của cường độ xung laser Các thông số sử dụng cho tính toán
số ở đây chúng tôi chọn là
Nt = 650, ∆t = 2.0 fs, εmax = 300 meV, Nε = 80,
T2 = 200 fs, β = 5.0 × 10−20
fs−1
, γ = 0.001 meV.
Xung laser được xét có năng lượng trội ∆0 = 170 meV. Chúng tôi khảo sát ảnh hưởng của
cường độ xung laser ở một số giá trị tiêu biểu: χ0 = 0.10; 0.50 và 1.0. Các kết quả được trình
bày thông qua các đồ thị sau đây.
Hình 6. So sánh mật độ toàn phần của electron Ne(t) ở các giá trị cường độ xung χ0 = 0.1, 0.5, 1.0.
Hình 7. So sánh suất của hàm tổng phân cực|P(t)| ở các giá trị cường độ xung χ0 = 0.1, 0.5, 1.0.

16. 16
Hình 8. So sánh phân bố của hàm mật độ electron theo năng lượng và theo thời gian khi cường
độ xung χ0 = 0.1, 0.5, 1.0 ứng với các hình a, b và c.
Hình 9. So sánh phân bố của hàm mật độ lỗ trống theo năng lượng và theo thời gian khi cường
độ xung χ0 = 0.1, 0.5, 1.0 ứng với các hình a, b và c.

17. 17
Hình 10. So sánh phân bố của hàm phân cực theo năng lượng và theo thời gian khi cường độ xung
χ0 = 0.1, 0.5, 1.0 ứng với các hình a, b và c.
c. Khảo sát ảnh hưởng của năng lượng photon chiếu tới (thông qua năng lượng trội)
Đầu tiên, chúng tôi khảo sát khi năng lượng photon tới tương đối nhỏ ∆0 < 200 meV. Các
thông số sử dụng cho tính toán số ở đây chúng tôi chọn là
Nt = 650, ∆t = 2.0 fs, εmax = 300 meV, Nε = 80,
T2 = 200 fs, β = 5.0 × 10−20
fs−1
, γ = 0.001 meV.
Xung laser chúng tôi khảo sát với cường độ xung χ0 = 0.10. Năng lượng trội được khảo sát
ở các giá trị ∆0 = 50; 90; 130; 170 meV. Các kết quả được trình bày thông qua các đồ thị
sau đây.

18. 18
Hình 11. So sánh mật độ toàn phần của electron Ne(t) ở các giá trị ∆0 = 50; 90; 130; 170 meV.
Hình 12. So sánh suất của hàm tổng phân cực|P(t)| ở các giá trị ∆0 = 50; 90; 130; 170 meV.

19. 19
Hình 13. So sánh phân bố của hàm mật độ electron theo năng lượng và theo thời gian khi năng
lượng trội ∆0 = 50; 90; 130; 170 meV ứng với các hình a, b, c, d.
Hình 14. So sánh phân bố của hàm mật độ lỗ trống theo năng lượng và theo thời gian khi năng
lượng trội ∆0 = 50; 90; 130; 170 meV ứng với các hình a, b, c, d.

20. 20
Hình 15. So sánh phân bố của hàm phân cực theo năng lượng và theo thời gian khi năng lượng
trội ∆0 = 50; 90; 130; 170 meV ứng với các hình a, b, c, d.
Tiếp theo, chúng tôi khảo sát khi năng lượng photon tới tương đối lớn ∆0 > 200 meV.
Các thông số sử dụng cho tính toán số ở đây chúng tôi chọn là
Nt = 648, ∆t = 2.0 fs, εmax = 1000 meV, Nε = 250,
T2 = 200 fs, β = 5.0 × 10−20
fs−1
, γ = 0.001 meV.
Xung laser chúng tôi khảo sát với cường độ xung χ0 = 0.50 và độ dài xung δt = 250 fs.
Năng lượng trội được khảo sát ở các giá trị ∆0 = 300; 600; 850 meV. Các kết quả được trình
bày thông qua các đồ thị sau đây.
Hình 16. So sánh mật độ toàn phần của electron Ne(t) ở các giá trị ∆0 = 300; 600; 850 meV.

21. 21
Hình 17. So sánh suất của hàm tổng phân cực|P(t)| ở các giá trị ∆0 = 300; 600; 850 meV.
Hình 18. So sánh phân bố của hàm mật độ electron theo năng lượng và theo thời gian khi năng
lượng trội ∆0 = 300; 600; 850 meV ứng với các hình a, b, c.

22. 22
Hình 19. So sánh phân bố của hàm mật độ lỗ trống theo năng lượng và theo thời gian khi năng
lượng trội ∆0 = 300; 600; 850 meV ứng với các hình a, b, c.
Hình 20. So sánh phân bố của hàm phân cực theo năng lượng và theo thời gian khi năng lượng
trội ∆0 = 300; 600; 850 meV ứng với các hình a, b, c.

23. 23
B. Bàn luận
a. Ảnh hưởng của tán xạ LO-phonon Phân tích từ các hình 1, 2,3, 4 và 5, chúng ta dễ
dàng thấy rằng sự có mặt của tán xạ LO-phonon với hệ số polariton nhỏ hầu như không ảnh
hưởng nhiều đến hàm phân cực, hàm mật độ toàn phần và hàm tổng phân cực. Tuy nhiên,
tán xạ LO-phonon ít nhiều ảnh hưởng đến sự phân bố của mật độ electron/lỗ trống ở các
mức năng lượng trên dải dẫn/hóa trị. Ở trường hợp a, do năng lượng trội của xung laser
đang xét ∆0 = 170 meV nên ta chỉ thấy được rõ ràng ảnh hưởng lên sự phân bố của mật độ
electron. Hình 3 dễ dàng thấy rằng khi không có tán xạ LO-phonon, mật độ electron chủ
yếu phân bố ở mức năng lượng vào cỡ ε ≈ ∆0 = 170 meV và gần như không thay đổi gì sau
khoảng thời gian t > 200 fs; khi có tán xạ LO-phonon, mật độ electron ban đầu phân bố chủ
yếu ở ε ≈ ∆0 = 170 meV ở t = 0 nhưng sau đó phân bố electron lần lượt dịch chuyển về đáy
với các mức cách đều nhau cỡ 40 meV. Con số 40 meV phụ thuộc vào năng lượng phonon
ω0 và khối lượng electron me và chúng tôi sẽ giải thích ở phần sau. Đối với lỗ trống, do lỗ
trống nặng hơn electron cỡ 6.82 lần nên năng lượng mà lỗ trống nhận được từ năng lượng
trội chỉ bằng 1/6.82 lần electron - cỡ 21 meV nên không đủ để tham gia đáng kể vào tán xạ
LO-phonon. Điều này chúng tôi cũng sẽ giải thích dựa vào khảo sát từ kết quả của phần c.
b. Ảnh hưởng của cường độ xung laser Phân tích từ các hình 6, 7,8, 9 và 10, ta dễ
dàng thấy rằng việc tăng cường độ xung làm tăng số electron/lỗ trống hình thành ở dải
dẫn/hóa trị và hiển nhiên làm tăng độ lớn của hàm phân cực cũng như hàm tổng phân cực.
Việc tăng cường độ xung không ảnh hưởng nhiều đến quá trình rã ra phonon của electron
(xem hình 8), chỉ có một ít ảnh hưởng do việc tập trung quá nhiều electron ở đáy vùng dẫn.
c. Quá trình hấp thụ/phát xạ phonon của electron/lỗ trống Trước tiên, ta cần phân
tích các kết quả khi khảo sát năng lượng trội nhỏ: các hình 11, 12,13, 14 và 15. Ta thấy rằng
sự phân bố của mật độ electron thay đổi đáng kể khi ta tăng năng lượng trội từ 50 meV lên
170 meV còn sự phân bố mật độ lỗ trống cũng như hàm phân cực không thay đổi hình dạng
mà chỉ đơn thuần dịch chuyển lên các mức năng lượng tương ứng với ε = ∆0. Để giải thích
sự thay đổi phân bố electron khi thay đổi năng lượng trội, chúng tôi cho rằng: ban đầu, do
quá trình đồng bộ với xung laser chiếu tới nên hệ electron-lỗ trống chuyển lên mức ε0 = ∆0
sau khi photon ω = ∆0 +Eg bị hấp thụ (tương ứng, electron chuyển lên mức εe,0 = ∆0µ/me
và lỗ trống chuyển lên mức εh,0 = ∆0µ/mh). Khi phần đồng bộ không đáng kể so với tán
xạ thì tán xạ LO-phonon làm những electron tán xạ lên mạng tinh thể mất dần năng lượng

24. 24
ứng với từng phonon: δεe = ω0. Mà năng lượng rút gọn liên hệ với năng lượng của electron
theo hệ thức ε = εeme/µ nên tương ứng phân bố electron dịch chuyển về từng mức cách
nhau δε = ω0me/µ ≈ 41 meV. Do đó, ở các trường hợp ∆0 = 50; 90; 130; 170 meV electron
lần lượt đủ năng lượng rã ra 1; 2; 3; 4 phonon để về đáy vùng dẫn. Chúng tôi cũng cho rằng
đồng thời với quá trình phân rã là quá trình hấp thụ phonon nhằm chuyển lên các mức bên
trên nhưng ở hình 13 chưa thể hiện rõ điều đó vì cường độ xung còn bé và độ dài xung chưa
đủ lớn để phổ theo năng lượng đủ sắc nét. Hình vẽ sau đây mô tả giải thích của chúng tôi
về sự hấp thụ/phân rã phonon của electron.
Hình 21. Hình vẽ mô tả nhận photon rồi hấp thụ/phân rã
Các kết quả từ trường hợp năng lượng trội lớn các hình 16, 17,18, 19 và 20 cho ta thấy
rõ quá trình hấp thụ/phân rã phonon của cả electron và lỗ trống. Ở hình 18, ngoài các
vạch thấp hơn năng lượng trội ∆0 electron còn xuất hiện ở cả các mức cao hơn ∆0 một mức
41 meV. Điều này được thấy rõ khi chúng tôi tăng cường độ xung để tăng số electron và tăng
độ dài xung để phổ theo năng lượng đủ sắc nét. Ở hình 19, chúng ta cũng thấy được cả sự
phân rã và hấp thụ phonon của lỗ trống. Khi lỗ trống phân rã và hấp thụ phonon thì năng
lượng của lỗ trống dịch chuyển δεh = ω0 ứng với δε = δεmh/µ = ω0mh/µ = 282 meV. Do
đó, ở các trường hợp ∆0 = 300; 600; 850 meV lỗ trống lần lượt đủ năng lượng rã ra 1; 2; 3
phonon để về đáy vùng dẫn.