Vietnamese.

1. BÀI TẬP NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN
Bài 1: Giả sử một hệ ở trạng thái bất kì có hàm sóng tương ứng  r đã chuẩn hóa.
Hãy chứng minh rằng năng lượng trung bình của hệ ở trạng thái đó
   * ˆH r H r dV 

  không nhỏ hơn năng lượng ở trạng thái cơ bản gE của hệ.
Bài 2: Dùng phương pháp biến phân, hãy tìm năng lượng ở trạng thái cơ bản của:
a) hạt m chuyển động dưới thế năng   0
x
U x U
a
 . Chọn hàm thử:  
2
2
2
x
x Ae 


 .
b) hạt m dao động điều hòa một chiều với tần số  . Chọn hàm thử:  
2
2
2
x
x Ae 


 .
c) hạt m dao động điều hòa một chiều với tần số  . Chọn hàm thử:   2 2
A
x
x b
 

.
d) hạt m chuyển động dưới thế năng  
4
0
x
U x U
a
 
  
 
. Chọn hàm thử:  
2
2
2
x
x Ae 


 .
e) nguyên tử hydro. Chọn hàm thử:   r
r Ae 
 
 .
và so sánh với kết quả chính xác đã biết (câu b,c và e).
Bài 3: Xét một hạt m chuyển động dưới tác dụng của một hố thế dạng delta Dirac
   V x x  .
a) Hãy ước lượng năng lượng ở trạng thái cơ bản gE của hạt bằng phương pháp biến
phân với hàm thử Gaussian  
2
2
2
x
x Ae 


 .
b) Hãy ước lượng năng lượng ở trạng thái cơ bản gE của hạt bằng phương pháp biến
phân với hàm thử tam giác  
 
   
 
khi 0; 2
khi 2;
0 khi 0;
Ax x a
x A a x x a a
x a

 

  
 
(Lưu ý: đạo hàm của
hàm dạng bậc thang là hàm delta Dirac).
c) Hãy so sánh kết quả câu a, b với năng lượng ở trạng thái cơ bản
2
2
2
g
m
E

  .

2. Bài 4: Chúng ta khảo sát một hệ quả của nguyên lí biến phân.
a) Giả sử hệ ở trạng thái bất kì có hàm sóng tương ứng  r đã chuẩn hóa. Nếu trạng
thái  r trực giao với trạng thái cơ bản  g r của hệ    *
0gr r dV 

 . Hãy
chứng minh rằng năng lượng trung bình của hệ ở trạng thái đó
   * ˆH r H r dV 

  không nhỏ hơn năng lượng ở trạng thái kích thích thứ nhất
fE của hệ.
b) Hệ quả trên có thể giúp ta mở rộng phương pháp biến phân cho trạng thái kích thích
bậc cao hơn. Về tổng quát, việc xác định  g r thường rất khó nên không dễ để tìm
hàm sóng thử  r thỏa    *
0gr r dV 

 . Tuy nhiên, nếu thế  V r là hàm
chẵn thì  g r là hàm chẵn, do đó, nếu ta chọn  r là hàm lẻ thì điều kiện
   *
0gr r dV 

 tự khắc được thỏa. Áp dụng hệ quả này, hãy tính năng lượng ở
trạng thái kích thích thứ nhất của dao động tử điều hòa một chiều ,m  với hàm thử
 
2
2
x
x Axe 


 .
Bài 5: Giả sử một hệ lượng tử với Hamiltonian 0
ˆH có hai trạng thái riêng ,a b
tương ứng với hai năng lượng riêng  ,a b a bE E E E . Hai trạng thái này trực giao,
chuẩn hóa và không suy biến. Ta đặt vào một thế nhiễu loạn ˆV có các phần tử ma
trận ˆ ˆ ˆ ˆ0 .a V a b V b a V b b V a h      
a) Hãy tìm chính xác trị riêng với Hamiltonian có nhiễu loạn.
b) Giải năng lượng gần đúng đến bổ chính bậc hai của lí thuyết nhiễu loạn.
c) Giải năng lượng ở trạng thái cơ bản của bài toán bằng phương pháp biến phân với
hàm thử cos sina b    .
d) So sánh kết quả ở ba câu a, b, c và giải thích tại sao nguyên lí biến phân áp dụng tốt
trong trường hợp này.