This is about anomalous velocity and Berry curvature.

1. Bài tập về nhà 4
Môn Cấu trúc vùng bán dẫn
NCS: Lê Đại Nam (15 311 02)
1 Toán tử vận tốc trong không gian k
Trong không gian r , toán tử vận tốc theo định nghĩa là
 
ˆ 1 ˆˆ ˆ,
dr
v r r H
dt ı
    
. (1)
Theo định lý Bloch thì hàm sóng mô tả điện tử trong mạng tinh thể có thể viết dưới dạng
   ,ık r
r e u k r 
 , (2)
trong đó, ta có thể xem ˆ ık r
U e 
 là một phép biến đổi unita hàm sóng. Phép biến đổi
unita này chuyển từ việc xét bài toán trong không gian Hilbert của  r sang của
 ,u k r nên tương ứng khi đó, một toán tử  ˆA r bất kỳ tác dụng trong không gian của
 r biến đổi thành toán tử
     1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ık r ık r
A k U A r U e A r e  
  , (3)
tác dụng trong không gian của  ,u k r . Với phép biến đổi (3), khi các toán tử có mối
quan hệ với nhau trong không gian r thì ánh xạ của nó trong không gian k cũng có mối
quan hệ tương tự. Vì vậy, khi áp dụng hệ thức (3) cho các toán tử bên trong (1) thì ta
được
     1 ˆˆ ˆ ,v k r k H k
ı
 
 
. (4)

2. Trong không gian k thì toán tử  ˆr k có dạng tường minh như sau
 ˆ k
r k ı  . (5)
Thay (5) vào (4) thì ta được:
   
 ˆ
1 1ˆˆ ,k
H k
v k H k
k

   
  
. (6)
2 Biến đổi đoạn nhiệt và Berry connection
Ta xét trường hợp biến đổi theo thời gian của Hamiltonian là biến đổi đủ chậm
(biến đổi đoạn nhiệt), khi đó, từ phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian
     ˆ , , , ,H k u k r t ı u k r t
t



, (7)
ta có nghiệm hình thức phụ thuộc thời gian như sau:
 
 
 0
ˆ '
, , , ,0
t
ı
H k dt
u k r t e u k r
 
 . (8)
Tại thời điểm t tức thời, ứng với vector sóng  k k t , phương trình Schrodinger dừng
tương ứng có nghiệm
       0 0ˆ , ,n n nH k u k r k u k r . (9)
Ta khai triển  , ,0u k r theo bộ đủ  0
,nu k r và thay vào (8) thì được
   
 
   
 
 0 0
ˆ ' '
0 0
, , , ,
t t
n
ı ı
H k dt k dt
n n n n
n n
u k r t a k e u k r a k e u k r
  
   . (10)
Đạo hàm riêng (10) theo thời gian thì ta được

3.  
   
 
     
 
 
0
0
'
0
'
0
, , ,
, , ,
t
n
t
n
ı
k dt
n
n
n
ı
k dt
n n n
n
da k
ı u k r t ı e u k r
t dt
k u k r t ı a k e u k r
t








 
 



. (11)
Do  0
,nu k r không phụ thuộc tường minh vào thời gian mà gián tiếp qua ( )k k t nên
   0 0
, ,n n
dk
u k r u k r
t dt k
 
 
 
. (12)
Nhờ vậy ta viết lại (11) thành
 
   
 
     
 
 
0
0
'
0
'
0
, , ,
ˆ , , ,
t
n
t
n
ı
k dt
m
n
n
ı
k dt
n n
n
da k
ı u k r t ı e u k r
t dt
dk
H k u k r t ı a k e u k r
dt k







     
 
  


(13)
So sánh (13) với (7) và (9) thì ta được
   
   
 
 0 0
' '
0 0
, ,
t t
m n
ı ı
k dt k dt
m
m n n
m n
da k dk
e u k r a k e u k r
dt dt k
        
 
  
  , (14)
dẫn ra được phương trình chuyển động cho hệ số  na k
 
     
 
   
   0
0 0
'
0 0
, ,
, ,
t
n m
m
m m m
ı
k k dt
n m n
n m
da k dk
a k u k r u k r
dt dt k
dk
a k e u k r u k r
dt k
   
 

 
   
 
  
  
 

. (15)

4. Trong trường hợp biến đổi đoạn nhiệt, Hamiltonian biến đổi theo thời gian đủ
chậm thì ta có thể áp dụng định lý đoạn nhiệt:
   0, 0,m mq m mqk kt a t a     . (16)
Áp dụng định lý đoạn nhiệt ở (16) vào phương trình (15) cho m q và m q thì ta được
 
     
 
 
   
   0
0 0
'
0 0
, ,
, ,
t
q m
q
q q q
ı
k k dt
m
q m q
da k dk
a k u k r u k r
dt dt k
da k dk
a k e u k r u k r
dt dt
m
k
q
   
 
 
   
 
  
  

 

(17)
Giải (17) ta được kết quả
     
 
 
   
 
   
   
   
 
 
   
0 0
00
0 0
0 0
0
exp , , '
, ,
exp , ,
k t t
q q q q q
k
m m q
q m
k t
q q q m
k
ı
a k u k r u k r dk k k dt
k
ı dk
a k u k r u k r
dt kk k
ı
u k r u k r dk k k
k
 
 
 
        
   
 
    
  
     

 
 0
'
t
dt
 
 
   

(18)
Thay (18) vào (10) thì ta được hàm Bloch của hệ ở thời điểm bất kỳ
 
   
 
 
 
 
   
     
0 0
0 0
, , '
0 0 0 0
, ,
, , , ,
k t
t
q q q
k
ıu k r u k r dk k dt
k
q m q m
m q q m
u k r t e e
ı dk
u k r u k r u k r u k r
dt kk k

 

  


 
 
   
    
    

Nếu ta đưa vào định nghĩa của Berry connection

5.      0 0
, ,m m mı u k r u k r k
k

 

, (19)
thì hàm Bloch ở thời điểm bất kỳ có thể viết lại dưới dạng sau:
 
 
 
 
 
 
   
     
0 0
'
0 0 0 0
, ,
, , , ,
k t
t
q q
k
ıı k dk k dt
q m q m
m q q m
u k r t e e
ı dk
u k r u k r u k r u k r
dt kk k

 
  

 
 
   
    
    

(20)
Đặc biệt, nếu ta biến đổi hệ sao cho hệ đi hết một đường cong kín trong không gian k thì
hàm Bloch của hệ sau khi đi hết đường cong kín đó là
 
   
 
   
     
0
'
0 0 0 0
, ,
, , , ,
t
q q
C
ı
ı k dk k dt
q m q m
m q q m
u k r t e e
ı dk
u k r u k r u k r u k r
dt kk k

 
  

 
 
   
    
    

(21)
Khi đó, nếu ta đưa vào khái niệm độ cong Berry
       0 0
, ,m m m mk k ı u k r u k r
k k k
  
    
  
, (22)
và áp dụng định lý Stokes thì (21) có thể viết thành
 
   
 0
'
0
, , ,
t
q q
S
ı
ı k dS k dt
qm m
m
u k r t e e A u k r
   
  , (23)
với
   
   0 0
, ,
1
qm m q
q
q m
q
ı dk
A u k r u k r
dt kk k
A
 
  
  




 
 
.

6. 3 Vận tốc dị hướng và độ cong Berry
Quay trở lại toán tử vận tốc trong (6), phần tử ma trận của toán tử vận tốc xác định
bởi hệ thức sau
       
 
 
 
ˆ, , , ,
ˆ
1
, , , ,
v k u k r t v k u k r t
H k
u
k
k r t u k r t




(24)
Ta thay (23) vào (24) thì tính được
   
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
* 0 0
,
0 0
0 0 * 0 0
ˆ
1
, ,
ˆ
1
, ,
ˆ ˆ
1 1
, , , ,
qn qm n m
m n
q q
qm q m qm m q
m q m q
H k
v k A A u k r u k r
H k
u k r u k r
H k H
k
k
k
A u k r u k r A u k r u k r
k k 




 


 



 
.(25)
Để tính vận tốc, ta cần tính phần tử ma trận
                 
           
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ, , , , , ,
, , , ,
n m n m n m
n m m n n m
k
u k r H k u k r u k r H k u k r u k r H k u k r
u
k k
k
k r k u k r u k r k u k
k
r 
    
   
    
  
 

 
 
  
 
        0 0
, ,
m
m n mm nn
k k
k
k k u k r u k r

 



 
và thay vào (25)

7.  
 
       
       
0 0 0 0
0 0 0 0
1
, , , ,
, , , ,
q
m q q m
m q
q m m q
m q
k dk
v k ı u k r u k r u k r u k r
dk kt k
dk
ı u k r u k r u k r u k r
d kt k



 
   
 
 
  

 
 




(26)
Số hạng thứ hai trong (26) có chứa tích hỗn hợp của ba vector có thể biến đổi lại bằng
công thức Lagrange cho tích hỗn hợp
       
       
   
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
, , , ,
, , , ,
, ,
q m m q
m q q m
q m m
dk
u k r u k r u k r u k r
dt k
dk
u k r u k r u k r u k r
dt k
dk
u k r u k r
k
u
dt
k
k
 
    
 
 
 
 
  






   0
, ,q
k
k r u k r


(27)
Nhờ (27), ta tính được
 
 
       0 0 0 01
, , , ,
q
q m m q
m qk k
k dk
v k ı u k r u k r u k r u k r
dt k


 
     




 (28)
Quay lại định nghĩa của độ cong Berry
     
   
       
0 0
0 0
0 0 0 0
, ,
, ,
, , , ,
q q q
q q
q m m q
m q
k ı u k r u k r
k k
ı u k r u k r
k k
ı u k r u k r u k r u k r
k k
 
  
 
    
        
    
        

(29)
Đối chiếu (28) và (29), ta dễ dàng thấy rằng số hạng thứ hai của vận tốc chứa độ cong
Berry:

8.  
 
 1 q
q
k dk
v k k
dtk

  


. (30)
Số hạng  q
dk
k
dt
  chính là vận tốc dị hướng.