This is an essay in Vietnamese.

1. Thuyết động học
Lê Đại Nam1, a)
NCS Vật lý lý thuyết tại ĐHKHTN, ĐHQG Tp. Hồ Chí Minh,
Mã NCS: 15 311 02
(Dated: Ngày 23 tháng 3 năm 2017)
Một trong những vấn đề quan trọng của Vật lý hiện đại là nghiên cứu một hệ vĩ mô bao gồm nhiều hạt vi
mô. Một trong những cách tiếp cận bài toán về hệ vĩ mô là phương pháp của Thuyết động học. Thuyết động
học nghiên cứu các tính chất vĩ mô từ chính những hiểu biết chi tiết về các hạt vi mô cấu tạo nên hệ - các
phương trình chuyển động của các hạt vi mô. Trong tiểu luận này, tôi tìm hiểu những nội dung cơ bản của
Thuyết động học và ứng dụng của nó trong chất khí.
CONTENTS
I. Giới thiệu 1
II. Những khái niệm cơ bản 1
A. Động lực học của một hệ chất điểm 2
B. Tập hợp thống kê và trung bình tập hợp 2
C. Định lí Liouville 2
D. Hệ thống các phương trình BBGKY 4
III. Phương trình Boltzmann 6
A. Thiết lập phương trình Boltzmann 6
B. Va chạm và khuếch tán 10
C. Tính dẫn điện và dẫn nhiệt 10
D. Định lí H 11
IV. Kết luận 11
Tài liệu 11
I. GIỚI THIỆU
Để trả lời cho các câu hỏi trạng thái vĩ mô của hệ thay đổi theo thời gian như thế nào thì chúng ta phải khảo sát
tính chất cân bằng của một hệ vĩ mô. Vật lý thống kê cho phép chúng ta khảo sát trạng thái cân bằng của một hệ
vĩ mô. Do đó, chúng ta cần chỉ ra liệu một hệ vĩ mô có thật sự luôn tiến đến vị trí cân bằng hay không và khi hệ vĩ
mô không ở trạng thái cân bằng thì nó sẽ tiến triển theo thời gian bởi những quy luật gì. Muốn trả lời những câu hỏi
trên, ta phải tìm hiểu trạng thái vi mô của một hệ vĩ mô và từ đó suy ra trạng thái vĩ mô của hệ. Đây là một công
việc đầy gian nan. May mắn thay khi ta có một công cụ là Thuyết động học. Thuyết động học trả lời cho ta những
câu hỏi trên để từ đó ta biết được ta có thể áp dụng phương pháp thống kê để mô tả một hệ vĩ mô hay không1,2
.
Trong tiểu luận này, tôi sẽ tóm tắt lại một số nội dung cơ bản của Thuyết động học mà chủ yếu xoay quanh phương
trình Boltzmann.
II. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Thuyết động học giúp chúng ta nghiên cứu tính chất vĩ mô của một hệ từ những tính chất vi mô của hệ, nhất là
chi tiết về tương tác giữa các phần tử trong hệ đó. Để nghiên cứu các tính chất vĩ mô của một hệ, chúng ta cần phải
biết trạng thái vi mô của một hệ được xác định như thế nào và tiến triển của trạng thái vi mô ra làm sao, được quyết
định bởi những định luật nào1,2
. Không những thế, ta cần phải tìm cách xác định sự tiến triển của đại lượng vĩ mô
a)Electronic mail: ldn28593@gmail.com

2. 2
theo thời gian thông qua các trạng thái vi mô. Câu trả lời cho những vấn đề cơ bản trên nằm ở Định lí Liouville và
Hệ thống các phương trình Bogoliubov - Born - Green - Kirkwood -Yvon (BBGKY)2,3
mà tôi sẽ trình bày sau đây.
A. Động lực học của một hệ chất điểm
Trong cơ học cổ điển, trạng thái vi mô của một hệ gồm N chất điểm tại thời điểm t nào đó được mô tả qua một
điểm µ(t) nào đó trong không gian pha (p, q) = (p1, p2, . . . , pN , q1, q2, . . . , qN ). Tiến triển của hệ này theo thời gian
được xác định thông qua hàm Hamilton của hệ H = H (p, q; t), cụ thể là qua hệ phương trình Hamilton2
:
dq
dt
=
∂H
∂p
, và
dp
dt
= −
∂H
∂q
. (1)
Nếu hệ gồm các phân tử có khối lượng m đặt trong trường ngoài U (qi) và tương tác giữa các phân tử là V (qj − qk)
(thỏa V (qj − qk) = V (qk − qj) và V (qj − qj) = 0) thì Hamilton trong (1) xác định bởi
H(p, q; t)=
N
i=1
p2
i
2m
+ U (qi) +
1
2
N
(j,k)=1
V (qj − qk)
=
N
i=1
H(0)
(pi, qi) +
1
2
N
(j,k)=1
H(tt)
(qj, qk) . (2)
Về lý thuyết, nếu những tương tác cơ bản giữa các hạt vi mô với nhau và với trường ngoài đều xác định thì Hamilton
(2) được xác định; khi đó, ta hoàn toàn xác định được tiến triển theo thời gian của trạng thái vi mô của hệ µ(t). Qua
đó, các thông số vĩ mô của hệ sẽ được xác định. Tuy nhiên, trên thực tế, một hệ vĩ mô điển hình gồm xấp xỉ 1023±3
hạt vi mô. Với một hệ lớn như vậy thì dù ta có thể xác định chính xác Hamilton (2) của hệ thì cũng rất khó để giải
hệ phương trình Hamilton (1), và do đó, cũng rất khó để xác định tiến triển của µ(t).
B. Tập hợp thống kê và trung bình tập hợp
Đối với hệ mà chúng ta đang xét, khác với trạng thái vi mô µ(t), trạng thái vĩ mô M(t) chỉ được xác định thông
qua một hoặc môt số ít các thông số vĩ mô nào đó. Do đó, không gian sinh ra bởi các trạng thái vĩ mô nhỏ hơn nhiều
so với không gian trạng thái vi mô. Chính điều này khiến nhiều trạng thái vi mô µ1(t), µ2(t), . . . tương ứng với cùng
một trạng thái vĩ mô M(t) nào đó.
Tập hợp thống kê là tập N bản sao của một trạng thái vĩ mô M(t) mà ở đó mỗi bản sao tương ứng với một trạng thái
vi mô cụ thể µ(t) khác nhau. Khi đó, tại thời điểm t nào đó, trong một thể tích pha dΓ = d3N
pd3N
q =
N
i=1
d3
pid3
qi
lân cận (p, q) chứa dN(p, q; t) bản sao (điểm) trong N bản sao của tập hợp thống kê đang xét. Khi đó, mật độ pha
ρ(p, q; t) được xác định bởi
ρ(p, q; t)dΓ = lim
N→+∞
dN(p, q; t)
N
. (3)
Mật độ pha ρ có các tính chất tương tự như mật độ xác suất, ví dụ như tính chuẩn hóa ∞
ρdΓ = 1, nên một đại
lượng vĩ mô O(p, q) có giá trị trung bình tập hợp là
O(p, q) =
∞
O(p, q)ρ(p, q; t)dΓ. (4)
Mục đích của chúng ta là xác định tiến triển của trung bình tập hợp . . . (p, q) của các đại lượng vĩ mô theo thời
gian dựa vào hệ phương trình chuyển động của từng phân tử trong hệ (1).
C. Định lí Liouville
Để xác định tiến triển của trung bình tập hợp ứng với các đại lượng vĩ mô, ta cần xác định tiến triển của mật độ
pha ρ (p, q; t). Định lí Liouville giúp ta xác định được điều đó.

3. 3
Từ điều kiện chuẩn hóa của mật độ pha, ta dễ dàng thấy rằng mật độ pha phải thỏa phương trình liên tục
∂ρ
∂t
= −
∂
∂p
· ( ˙pρ) −
∂
∂q
· (˙qρ),
= − ˙p ·
∂ρ
∂p
− ˙q ·
∂ρ
∂q
− ρ
∂
∂p
· ˙p +
∂
∂q
· ˙q . (5)
Từ hệ phương trình Hamilton (1), ta thay ˙q và ˙p vào (5) thì được
∂ρ
∂t
=
∂H
∂q
·
∂ρ
∂p
−
∂H
∂p
·
∂ρ
∂q
+ ρ
∂
∂p
·
∂H
∂q
−
∂
∂q
·
∂H
∂p
,
= − {ρ, H} , (6)
với {. . . , . . . } là móc Poisson.
Ngoài ra, ta có thể hiểu định lí Liouville tương đương với việc vi phân thể tích pha dΓ không thay đổi theo thời gian.
Ở thời điểm t điểm pha µ(t) = (qt, pt). Sau đó một khoảng t+δt, điểm pha này di chuyển đến µ(t+δt) = (qt+δt, pt+δt).
Khi đó, thể tích phân lân cận điểm pha trên giãn nở theo Jacobian của phép biến đổi µ(t) → µ(t + δt):
dΓt+δt =
∂(qt+δt, pt+δt)
∂(qt, pt)
dΓt, (7)
trong đó Jacobian được tính qua
∂(qt+δt, pt+δt)
∂(qt, pt)
= det
∂
∂µt
⊗ µt+δt = exp Tr ln
∂
∂µt
⊗ µt+δt . (8)
Khai triển (8) với δt rất nhỏ
∂(qt+δt, pt+δt)
∂(qt, pt)
= exp Tr ln
∂
∂µt
⊗ µt + ˙µtδt + o δt2
,
= exp Tr ln I6N + δt
∂
∂µt
⊗ ˙µt + o δt2
,
= exp δtTr
∂
∂µt
⊗ ˙µt + o δt2
,
= exp δt
∂
∂p
· ˙p +
∂
∂q
· ˙q + o δt2
,
= 1 + δt
∂
∂p
· ˙p +
∂
∂q
· ˙q + o δt2
. (9)
Thay ˙p và ˙q từ hệ phương trình Hamilton (1) vào (9), ta được
∂(qt+δt, pt+δt)
∂(qt, pt)
= 1, (10)
hay
dΓt+δt = dΓt. (11)
Phương trình (11) tương đương định lí Liouville (6) bởi vì dNt+δt = dNt nên nếu dΓt+δt = dΓt thì ρt+δt = ρt, tức là
dρ/dt = 0 hay ∂ρ/∂t + {ρ, H} = 0.
Định lĩ Liouville dẫn đến hai hệ quả quan trọng. Hệ quả đầu tiên là tiến triển theo thời gian của trung bình thống
kê O (p, q) mô tả qua phương trình
d
dt
O (p, q) = − {O (p, q) , H} . (12)
Hệ quả thứ hai đến từ việc khi các phần tử trong tập hợp thống kê tương ứng với trạng thái vĩ mô là trạng thái cân
bằng. Khi đó, các trạng thái vi mô µ(t) sẽ nằm trên một mặt (H (p, q) = E, L1 (p, q) = L1, L2 (p, q) = L2, . . . ) với
Lj (p, q) , j = 1, 2, . . . là các đại lượng bảo toàn của hệ {Lj, H} = 0. Tương ứng, ở trạng thái cân bằng, mật độ pha
có dạng ρcân bằng = ρ (H (p, q) , L1 (p, q) , L2 (p, q) , . . . ). Tuy nhiên khi nào thì một trạng thái tiến đến cân bằng thì
cần phải đến định lí H mới được làm sáng tỏ.

4. 4
D. Hệ thống các phương trình BBGKY
Trên thực tế, với Hamilton H (p, q; t) trong (2) của một hệ gồm N hạt mà N vào cỡ 1023±3
thì việc xác
định mật độ pha ρ (p, q; t) từ định lí Liouville (6) là rất phức tạp. Không những thế, ρ (p, q; t) mô tả chi tiết
trạng thái vi mô µ(t) của tất cả N hạt ứng với trạng thái vĩ mô M(t); do đó, ρ (p, q; t) chứa nhiều thông tin
hơn cần thiết để xác định các đại lượng vĩ mô O nào đó. Vì vậy, sẽ thuận tiên hơn nếu ta xác định hàm
phân bố fs (p1, p2, . . . , ps, q1, q2, . . . , qs; t) tìm thấy s ≤ N hạt bất kỳ có động lượng và tọa độ nằm trong khoảng
(p1, p2, . . . , ps, q1, q2, . . . , qs) đến (p1 + dp1, p2 + dp2, . . . , ps + dps, q1 + dq1, q2 + dq2, . . . , qs + dqs). Về mặt toán học,
ta có thể xác định fs (p1, p2, . . . , ps, q1, q2, . . . , qs; t) bằng cách
fs (p1, p2, . . . , ps, q1, q2, . . . , qs; t)=
tất cả hoán vị σ của (1,2,...,N)
N
i=1
δ3
(pσ1
− pi) δ3
(qσ1
− qi) ,
=
N!
(N − s)!
ρs (p1, p2, . . . , ps, q1, q2, . . . , qs; t) , (13)
với
ρs (p1, p2, . . . , ps, q1, q2, . . . , qs; t) =
+∞
p,q=−∞
ρ (p = (p1, p2, . . . , ps, p) , q = (q1, q2, . . . , qs, q) ; t) d3(N−s)
pd3(N−s)
q. (14)
Để xác định tiến triển theo thời gian của fs hay cụ thể hơn là ρs, ta tách Hamilton H của hệ thành ba phần:
H = Hs + HN−s + Htương tác, (15)
với
Hs =
s
i=1
H(0)
(pi, qi; t) +
s
(j,k)=1
H(tt)
(qj, qk) , (16)
HN−s =
N
i=s+1
H(0)
(pi, qi; t) +
N
(j,k)=s+1
H(tt)
(qj, qk) , (17)
Htương tác =
s
j=1
N
k=s+1
H(tt)
(qj, qk) . (18)
Từ (14) kết hợp với (1) và định lí Liouville (6), ta tính được
∂
∂t
ρs=
∞
∂ρ
∂t
d3(N−s)
pd3(N−s)
q đặt dN−s
V = d3(N−s)
pd3(N−s)
q ,
= −
∞
ρ, Hs + HN−s + Htương tác dN−s
V,
= −


∞
{ρ, Hs} dN−s
V +
∞
{ρ, HN−s} dN−s
V +
∞
ρ, Htương tác dN−s
V

 ,
= −





∞
ρdN−s
V

 , Hs



+
∞
∂ρ
∂p
·
∂HN−s
∂q
−
∂ρ
∂q
·
∂HN−s
∂p
dN−s
V +
∞
∂ρ
∂p
·
∂Htương tác
∂q
dN−s
V,
= − {ρs, Hs} +
∞
∂ρ
∂p
·
∂HN−s
∂q
−
∂ρ
∂q
·
∂HN−s
∂p
dN−s
V +
∞
∂ρ
∂p
·
∂Htương tác
∂q
dN−s
V. (19)
Do ∂HN−s/∂p không phụ thuộc vào q và ∂HN−s/∂q không phụ thuộc vào p nên sử dụng tích phân từng phần, ta

5. 5
tính được số hạng thứ hai trong (19)
∞
∂ρ
∂p
·
∂HN−s
∂q
−
∂ρ
∂q
·
∂HN−s
∂p
dN−s
V=
∞
ρ
∂HN−s
∂q
· dN−s
Sq −
∞
ρ
∂HN−s
∂p
· dN−s
Sp
+
∞
ρ
∂
∂q
·
∂HN−s
∂q
−
∂
∂p
·
∂HN−s
∂p
dN−s
V = 0. (20)
Số hạng thứ ba trong (19) khai triển cụ thể có dạng
∞
∂ρ
∂p
·
∂Htương tác
∂q
dN−s
V=
∞


s
j=1
∂ρ
∂pj
·
N
k=s+1
∂Vj,k
∂qj
+
N
k=s+1
∂ρ
∂pk
·
s
j=1
∂Vk,j
∂qk


N
i=s+1
d3
pid3
qi,
= (N − s)
s
j=1∞

 ∂
∂pj
∞
ρ
N
i=s+2
d3
pid3
qi

 ·
∂Vj,s+1
∂qj
d3
ps+1d3
qs+1,
= (N − s)
s
j=1∞
∂ρs+1
∂pj
·
∂V (qj − qs+1)
∂qj
d3
ps+1d3
qs+1. (21)
trong đó thế tương tác có dạng Vj,k = V (qj − qk), số hạng thứ nhất ở dòng đầu ta sử dụng tính đối xứng theo chỉ số
j và số hạng thứ hai ở dòng đầu tiên ta sử dụng tích phân từng phần để rút gọn.
Như vậy, tiến triển theo thời gian của ρs tuân theo phương trình vi phân2? ?
∂ρs
∂t
+ {Hs, ρs} = (N − s)
s
j=1∞
∂ρs+1
∂pj
·
∂V (qj − qs+1)
∂qj
d3
ps+1d3
qs+1, (22)
hay của fs là
∂fs
∂t
+ {Hs, fs} =
s
j=1∞
∂fs+1
∂pj
·
∂V (qj − qs+1)
∂qj
d3
ps+1d3
qs+1. (23)
. Với N phương trình tương ứng s = 1, 2, . . . , N (lưu ý fN = ρ , HN = H và fN+1 = 0 ) thì ta được một hệ thống các
phương trình sắp xếp theo thứ bậc, gọi là hệ phương trình BBGKY, do Bogoliubov, Born, Green, Kirkwood và Yvon
đưa ra vào khoảng các năm 1935 và 1946 - 19472? ?
∂f1
∂t
+ {H1, f1} =
∞
∂f2
∂p1
·
∂V (q1 − q2)
∂q1
d3
p2d3
q2, (24)
∂f2
∂t
+ {H2, f2} =
∞
∂f3
∂p1
·
∂V (q1 − q3)
∂q1
d3
p3d3
q3 +
∞
∂f3
∂p2
·
∂V (q2 − q3)
∂q2
d3
p3d3
q3, (25)
. . . . . . . . . (26)
∂fs
∂t
+ {Hs, fs} =
∞
∂fs+1
∂p1
·
∂V (q1 − qs+1)
∂q1
d3
ps+1d3
qs+1 + · · · +
∞
∂fs+1
∂ps
·
∂V (qs − qs+1)
∂qs
d3
ps+1d3
qs+1, (27)
. . . . . . . . . (28)
∂fN
∂t
+ {HN , fN } = 0. (29)
Ta dễ dàng thấy rằng nếu các phân tử không tương tác với nhau , tức là không xảy ra sự va chạm giữa các phân tử,
thì các hàm fs thỏa mãn phương trình liên tục ∂fs/∂t + {H, fs} = 0 tương tự như ρ. Do đó, ta có thể hiểu vế bên
trái của các phương trình (23) trong hệ phương trình BBGKY như thành phần dòng (giống như dòng trong chất lưu)
còn vế phải tương ứng với thành phần gây ra bởi va chạm giữa các phân tử.
Về nguyên tắc, nếu xác định được fN = ρ thì các hàm fs tự động được xác định theo chuỗi fN → fN−1 → · · · →
f2 → f1. Tuy nhiên, trên thực tế, phụ thuộc vào dạng tương tác giữa các phân tử V (qj − qk) mà ta sẽ có những gần
đúng phù hợp với phần va chạm của hệ các phương trình (23) nhằm xác định trực tiếp một số hàm f1, f2, . . . .

6. 6
III. PHƯƠNG TRÌNH BOLTZMANN
Một trong những gần đúng đơn giản nhất của hệ các phương trình BBGKY, áp dụng cho các tương tác tầm ngắn
như tương tác Van der Waals hay Lennard-Jones cho trường hợp chất khí, chính là phương trình Boltzmann được
Boltzmann xây dựng từ 1872. Phương trình Boltzmann là một công cụ hữu ích cho việc mô tả các trạng thái không
cân bằng của chất khí. Phương trình Boltzmann dẫn đến một trong những hệ quả quan trọng nhất của Thuyết động
học - định lí H.
A. Thiết lập phương trình Boltzmann
Phương trình Boltzmann là phương trình vi phân cho biết diễn tiến theo thời gian của hàm mật độ f1 (p1, q1; t) mà
tôi đã đề cập ở phần II D. Chúng ta quan tâm đến hàm f1 (p1, q1; t) bởi vì hàm này mang lại một số thông tin cần
thiết cho hệ hạt như2? ?
:
mật độ hạt n = f1d3
p1, (30)
vận tốc trung bình u = f1
p1
m
d3
p1 (31)
dòng năng lượng E = f1E(p1, q1)
p1
m
d3
p1, . . . . (32)
Phương trình Boltzmann có thể được xây dựng tương tự định lí Liouville (6)4? ?
. Từ định lí Liouville, ta biết rằng
một vi phân thể tích pha 3 chiều thông thường ở hai thời điểm khác nhau t và t + δt là như nhau
d3
ptd3
qt = d3
pt+δtd3
qt+δt.
Nếu không xảy ra va chạm thì số hạt trong thể tích pha trên là không thay đổi. Tuy nhiên, nếu xảy ra va chạm thì
số hạt trong thể tích pha trên biến đổi4? ?
dNt+δt = dNt + δt
∂
∂t
dNt
va chạm
+ o(δt2
). (33)
Chia hai vế cho thể tích pha của một hạt thì ta được phương trình Boltzmann2,4? ?
d
dt
f1 (p1, q1; t) =
∂
∂t
f1 (p1, q1; t)
va chạm
, (34)
hay cụ thể hơn
∂
∂t
+ ˙q1 ·
∂
∂q1
+ ˙p1 ·
∂
∂p1
f1 =
∂
∂t
f1
va chạm
. (35)
Để xác định được thành phần va chạm ở vế bên phải, chúng ta cần so sánh phương trình Boltzmann (35) với phương
trình đầu tiên trong hệ phương trình BBGKY (23). Trong các tính toán, chúng ta sẽ cần sử dụng đến một giả thuyết
gọi là giả thuyết về số va chạm Stosszahlansatz mà Boltzmann đưa ra để đơn giản hóa vế phải của (35)2? ?
.
Trước hết, ta viết lại (35) dưới dạng so sánh được với hệ phương trình BBGKY (23)2? ?
:
∂f1
∂t
+ {H1, f1} =
∂
∂t
f1
va chạm
. (36)
So sánh giữa (36) với (23) với s = 1 thì ta dễ dàng thấy rằng2? ?
∂
∂t
f1
va chạm
=
∞
∂f2
∂p1
·
∂V (q1 − q2)
∂q1
d3
p2d3
q2, (37)
trong đó f2 lại được xác định bởi2? ?
∂
∂t
−
∂U
∂q1
·
∂
∂p1
−
∂U
∂q2
·
∂
∂p2
f2+
p1
m
·
∂
∂q1
+
p2
m
·
∂
∂q2
+
∂V (q1 − q2)
∂q1
·
∂
∂p1
−
∂
∂p2
f2
=
∞
∂f3
∂p1
·
∂V (q1 − q3)
∂q1
d3
p3d3
q3 +
∞
∂f3
∂p2
·
∂V (q2 − q3)
∂q2
d3
p3d3
q3. (38)

7. 7
Vấn đề đặt ra ở đây là sự xuất hiện của f3 trong phương trình (38). Để xử lý vấn đề này, chúng ta sẽ phân tích cỡ
độ lớn của các số hạng xuất hiện trong các phương trình (36), (37) và (38). Các số hạng xuất hiện trong các phương
trình trên đều có thứ nguyên là nghịch đảo của thời gian2? ?
:
τ−1
ngoại ∼
∂U
∂q
·
∂
∂p
là thời gian đặc trưng cho chuyển động tác dụng của trường ngoài, (39)
τ−1
va chạm ∼
∂V
∂q
·
∂
∂p
là thời gian va chạm giữa các phân tử động lượng p1,2, (40)
τ−1
x ∼
1
f2
∂V
∂q
·
∂f3
∂p
d3
p3d3
q3 là thời gian va chạm giữa các phân tử khác với các phân tử động lượng p1,2.(41)
Gọi v là tốc độ đặc trưng của hệ, L là chiều dài quỹ đạo đặc trưng do chuyển động dưới tác dụng của ngoại lực, d là
tầm tác dụng của lực tương tác giữa các phân tử và n là mật độ phân tử theo thể tích thì ta có2? ?
τ−1
ngoại ∼
v
L
(42)
τ−1
va chạm ∼
v
d
(43)
τ−1
x ∼ nvd2
, (44)
điều này dẫn đến việc
τ−1
ngoại
τ−1
va chạm
∼
d
L
và
τ−1
x
τ−1
va chạm
∼ nd3
. (45)
Với những tương tác tầm ngắn giữa các nguyên tử thì d vào cỡ kích thước nguyên tử 10−10
m, trong khi đó L vào cỡ
10−3
m và n vào cỡ 1026
m−3
nên các biểu thức định cỡ (45) trở thành2? ?
τ−1
ngoại
τ−1
va chạm
∼ 10−7
và
τ−1
x
τ−1
va chạm
∼ 10−4
. (46)
Định cỡ (46) cho phép ta có những ý tưởng về việc lấy gần đúng tích phân va chạm (37) từ việc lấy gần đúng phương
trình (38)2,4? ?
:
1. Định cỡ giữa τx và τva chạm trong (46) cho phép ta bỏ qua vế phải của (38). Phép gần đúng này có nghĩa là ta
xem như chỉ có đóng góp của tán xạ giữa 2 phân tử và bỏ qua đóng góp của các tán xạ nhiều hạt hơn. Điều
này đồng nghĩa với việc ta xem như fj = 0 với mọi j ≥ 3.
2. Định cỡ giữa τngoại và τva chạm trong (46) cho phép ta giả định rằng f2 chỉ phụ thuộc vào chuyển động tương
đối q = q1 − q2 và p = (p1 − p2)/2 mà không phụ thuộc nhiều vào chuyển động của khối tâm Q = ((q1 + q2) /2
và P = p1 + p2. Điều này rất dễ hiểu vì nếu ta giả định rằng f2 không phụ thuộc nhiều vào chuyển động do
tác dụng của trường ngoài mà thay đổi chủ yếu trong quá trình va chạm trong khi khối tâm thay đổi chỉ do tác
dụng của trường ngoài thì f2 hiển nhiên không phụ thuộc nhiều vào chuyển động khối tâm Q và P. Như vậy
f2 ≈ f2 ((p1 − p2)/2, q1 − q2; t). Ngoài ra, số hạng liên quan trực tiếp đến τngoại có thể bỏ qua so với số hạng
liên quan đến τva chạm.
Như vậy, thông qua hai phép lấy gần đúng trên, phương trình (38) trở thành2,4? ?
p1 − p2
m
·
∂
∂q
+
∂V (q1 − q2)
∂q1
·
∂
∂p1
−
∂
∂p2
f2 = 0. (47)
Ở đây, số hạng ∂f2/∂t trong (38) có thể định cỡ là nghịch đảo của thời gian chuyển động của các phân tử nên rất
nhỏ so với số hạng liên quan đến τva chạm nên ta cũng bỏ qua nốt còn ∂f2/∂q1 = −∂f2/∂q2 = −∂f2/∂q. Thay (47)
vào tích phân va chạm (37) thì ta được2,4? ?
∂f1
∂t va chạm
=
∞
p1 − p2
m
·
∂
∂q
f2 (p1, q1, p2, q2; t) d3
p2d3
q −
∞
∂V (q)
∂q
·
∂
∂p2
f2 (p1, q1, p2, q2; t) d3
p2d3
q.

8. 8
Lấy tích phân số hạng thứ hai theo p2 thì ta được2,4? ?
∂f1
∂t va chạm
=
∞
p1 − p2
m
·
∂
∂q
f2 (p1, q1, p2, q2; t) d3
p2d3
q. (48)
Bây giờ, ta khảo sát quá trình va chạm giữa hai hạt để xác định tích phân va chạm (48). Xét bài toán tán xạ được
mô tả như hình vẽ (III A).
Hình 1. Mô hình tán xạ giữa hai phân tử trong hệ quy chiếu khối tâm. Trong hệ quy chiếu khối tâm, ban đầu hai phân tử có
động lượng là p = (p1 − p2)/2 và −p còn sau khi tán xạ thì động lượng là p = (p1 − p2)/2 và −p . Hai phân tử chỉ tương tác
gần nên ta xem như hai phân tử hầu như không tương tác khi |q| > r0. Khi đó, b là tham số ngắm của tán xạ còn x là hình
chiếu của q = q1 − q2 lên phương p. Ta có d3
q = dxd2
b có thể tính theo tiết diện tán xạ d3
q = dx|dσ/ØΩ|dΩ.
Tích phân tán xạ (48) có thể được viết lại thành
∂f1
∂t va chạm
=
∞
d3
p2
|p1 − p2|
m



∞
f2 p1, p2, x+
; t − f2 p1, p2, x−
; t
dσ
dΩ
dΩ



, (49)
với x+
và x−
tương ứng với sau và trước khi va chạm. Do quá trình va chạm đàn hồi là thuận nghịch nên
f2 (p1, p2, x+
; t) = f2 (p1, p2, x−
; t) và ta viết lại (49) thành
∂f1
∂t va chạm
=
∞
d3
p2
|p1 − p2|
m



∞
f2 p1, p2, x−
; t − f2 p1, p2, x−
; t
dσ
dΩ
dΩ



, (50)
mà theo định luật bảo toàn động lượng thì
p1 + p2 = p1 + p2,
nên ta có thể đưa hàm delta Dirac vào để đưa tích phân va chạm về
∂f1
∂t va chạm
=
∞
d3
p2d3
p1d3
p2δ (p1 + p2 − p1 − p2)



|p1 − p2|
m
∞
f2 p1, p2, x−
; t − f2 p1, p2, x−
; t
dσ
dΩ
dΩ



.
(51)

9. 9
Năm 1867, Boltzmann đưa ra giả thuyết phân tử hỗn loạn "Stosszahlansatz"2,4? ?
f2 (p1, q1, p2, q2; t) = f1 (p1, q1; t) f1 (p2, q2; t) . (52)
Giả thuyết này Boltzmann đưa ra dựa trên thực tế rằng lực tương tác giữa các phân tử trong chất khí có tầm tác
dụng ngắn nên ở khoảng cách đủ xa |q1 − q2| d so với kích thước phân tử thì các phân tử chuyển động độc lập so
với nhau. Hình III A mô tả f2 (p1, q1, p2, q2; t) theo khoảng cách giữa các phân tử |q1 − q2|. Thay (52) vào (51) và (36)
Hình 2. f2 (p1, q1, p2, q2; t) thay đổi theo khoảng cách |q1 − q2|. Khi |q1 − q2| đủ lớn thì f2 (p1, q1, p2, q2; t) tiệm cận với
f1 (p1, q1; t) f1 (p2, q2; t)
thì ta được phương trình Boltzmann2,4? ?
:
∂f1
∂t
+ {H1, f1} =
∞
d3
p2d3
p1d3
p2δ (p1 + p2 − p1 − p2) ×
×



|p1 − p2|
m
∞
[f1 (p1, q1; t) f1 (p2, q2; t) − f1 (p1, q1; t) f1 (p2, q2; t)]
dσ
dΩ
dΩ



. (53)
Đối với fermion thì |f1| ≤ 1 nên trong tích phân va chạm phải thay f1 (p1, q1; t) f1 (p2, q2; t)−f1 (p1, q1; t) f1 (p2, q2; t)
bằng f1 (p1, q1; t) f1 (p2, q2; t) (1 − f1 (p1, q1; t)) (1 − f1 (p2, q2; t))−f1 (p1, q1; t) f1 (p2, q2; t) (1 − f1 (p1, q1; t)) (1 − f1 (p2, q2; t))4
.
Biểu diễn nghiệm của phương trình Boltzmann dưới dạng tích phân đường Nghiệm f1 (p1, q1; t) có thể được biểu
diễn dưới dạng tích phân đường của phân bố f
(0)
1 (p1, q1; t) khi không tính đến hiệu ứng do va chạm:
∂f
(0)
1
∂t
+ H1, f
(0)
1 = 0.
Biểu diễn đó có dạng
f1 (p1, q1; t) =
∞
0
f
(0)
1 (p1(0), q1(0); t − t ) exp

−
t
t−t
ds
τ(s)

 dt
τ(t − t )
, (54)

10. 10
với τ là khoảng thời gian va chạm giữa 2 phân tử. Ta có thể xem gần đúng τ là như nhau trong mỗi lần va chạm và
biểu diễn thành1
f1 (p1, q1; t) − f
(0)
1 (p1, q1; t) =
∞
0
df
(0)
1 (p1(0), q1(0); t − t )
dt
exp −
dt
τ
dt . (55)
Phương trình (55) giúp ta có thể khảo sát một số hiện tượng liên quan đến các hiện tượng truyền trong chất khí như
khuếch tán và dẫn điện - dẫn nhiệt1,4
.
B. Va chạm và khuếch tán
Số hạng tích phân va chạm trong phương trình Boltzmann (53) liên quan trực tiếp đến một hiện tượng phổ biến mà
chúng ta đều biết: hiện tượng khuếch tán. Để đơn giản, ta xét mô hình khí lí tưởng với phân bố Maxwell-Boltzmann1,4
f
(0)
1 (p, q; t) = n
m
2πkT
3/2
exp −
1
2mkT
p − mV
2
, (56)
trong trường hợp lớp chất khí bị kéo bởi một tấm chuyển động với vận tốc V chẳng hạn. Khi đó phương trình (55)
trở thành1,4
f1 = f
(0)
1 + p ·
∂
∂q
V ·
∂f
(0)
1
∂p
. (57)
Từ đó, ta có thể suy ra phương trình tán xạ4
∂
∂t
f1 = D 2
f1. (58)
C. Tính dẫn điện và dẫn nhiệt
Va chạm giữa các electron trong kim loại có thể dùng để giải thích tính dẫn điện và dẫn nhiệt của kim loại qua
mô hình khí electron. Ở đây, tôi ví dụ đối với tính dẫn điện trong kim loại. Giả sử ta đặt vào điện trường E. Khi đó,
phân bố Maxwell-Boltzmann của electron trong kim loại có dạng1,4
f
(0)
1 (p, q; t) = n
m
2πkT
3/2
exp −
p2
2mkT
+
eE · q
kT
, (59)
và ta có thể thay vào (55).
Mật độ dòng điện của đám khí electron có dạng1,4
j = −e
p
m
f1d3
p. (60)
Khi đó, ta có thể chỉ ra được định luật Ohm1,4
j = σdẫnE,
với độ dẫn điện có thể tính gần đúng
σdẫn =
ne2
m
τ,
giống như kết quả mô hình Drude - Lorentz của kim loại đưa ra.

11. 11
D. Định lí H
Để giải thích cho Nguyên lí hai của Nhiệt động lực học bằng Thuyết động học, Boltzmann đưa ra một hàm gọi là
hàm H:
H(t) = f1 (p, q; t) ln [f1 (p, q; t)] d3
pd3
q = ln f1 . (61)
Hàm H(t) liên quan trực tiếp đến thông tin về hệ hạt bởi vì theo lí thuyết thông tin, đại lượng tỉ lệ với ln f1 được
dùng để biểu thị thông tin của hệ hạt.
Khi ta tính đạo hàm của hàm H, ta được2
dH
dt
=
∂f1
∂t
(ln f1 + 1) d3
pd3
q
=
∂f1
∂t
ln f1d3
pd3
q. (62)
Thay (53) vào (62) ta sẽ tính ra được2
dH
dt
= −
1
4
[f1 (p1) f1 (p2) − f1 (p1) f1 (p2)] ln [f1 (p1) f1 (p2) − f1 (p1) f1 (p2)]
|p1 − p2|
m
d3
p1d3
p2d3
q
dσ
dΩ
dΩ
(63)
có biểu thức trong tích phân không âm nên
dH
dt
≤ 0, (64)
tức là H(t) luôn giảm. Đây chính là nội dung của định lí H.
Hàm H(t) liên hệ trực tiếp đến entropy của một hệ khí, đối với khí lí tưởng thì S = −NkH(t) nên định lí H tương
đương với nguyên lí hai của Nhiệt động lực học2
.
Ngoài ra, định lí H giúp ta chỉ ra rằng ở đa số các hệ nhiệt động thì sau một thời gian hệ hạt sẽ có xu hướng tiến
đến trạng thái cân bằng. Điều này giúp ta dễ dàng áp dụng các phương pháp thống kê để mô tả trạng thái vĩ mô của
một hệ vĩ mô1,2
.
IV. KẾT LUẬN
Trong tiểu luận này, tôi đã trình bày tóm tắt những nội dung cơ bản của Thuyết động học mà quan trọng nhất là
Hệ phương trình Boltzmann và định lí H.
TÀI LIỆU
1F. Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, 2nd ed. (Waveland Press Inc, USA, 2009).
2M. Kardar, Statistical Physics of Particles, 1st ed. (Cambridge University Press, UK, 2007).
3S. Salinas, Introduction to statistical physics (Springer Science & Business Media, 2013).
4M. Shang-Keng, Statistical Mechanics, reprint ed. (World Scientific, Singapore, 1993).