This is about SBEs in two-band model

1. Bài tập về nhà 4
Môn Cấu trúc vùng bán dẫn
NCS: Lê Đại Nam (15 311 02)
1 Đại số của các toán tử sinh hủy
1.1 Đại số của toán tử sinh hủy fermion
Toán tử sinh hủy fermion †
ˆ ˆ,k k
a a thỏa các hệ thức phản giao hoán sau:
     † † †
,
, 0, , , .k k k k k k k k
a a a a a a   
   (1)
Áp dụng (1) cho k k  thì ta được
   † † 22 †
, , 0 0.k k k k k k
a a a a a a   (2)
Vậy với mọi 2n  thì ta luôn có:
† †2
2 2
† 2
,
0
0
.
k k k
n n
k
n
k
n
k
a a a
a a a 

 




(3)
Điều này chứng tỏ không tồn tại trạng thái vĩ mô nào có hai fermion ở cùng một trạng
thái vi mô
†
, 2, ~ ,0, 0k
n
k k
n a      . (4)
Hệ quả hai fermion không ở cùng một trạng thái vi mô phù hợp với nguyên lí loại trừ
Pauli cho fermion.
1.2 Đại số của toán tử sinh hủy boson
Toán tử sinh hủy fermion †ˆ ˆ,k k
b b thỏa các hệ thức phản giao hoán sau:

2. † † †
,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , 0.,,k k k k k k k k
b b b b b b   
       
      (5)
Áp dụng hệ thức (5) cho k k  thì ta được
†
†
†
ˆ
ˆ ˆ, 1
ˆ
k
k k
k
b
b b
b

   
  
. (6)
Nếu ta tính
1 1 1 1† † † † † † † † 1† †ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,n n n n
k k k k k k k k k k k k k k k
n n
b b b b b b b b b b b b b b b    
             
          , (7)
thì rõ ràng ta thấy rằng †ˆ ˆ,k k
n
b b 
  liên hệ với † 1ˆ ˆ,k k
n
b b 
 
  qua một dạng hệ thức truy hồi.
Để chứng minh
†
†
†
ˆ
ˆ ˆ,
ˆ
n
n k
k k
k
b
b b
b

    
, ta dùng phương pháp quy nạp toán học. Do (6) nên giả
thiết của ta đúng với 1n  . Ta giả sử giả thiết trên vẫn đúng đến 1n :
1†
†
1†
ˆ
ˆ ˆ,
ˆ
n
n k
k k
k
b
b b
b

 
    
thì thay vào (7) ta được:
† † †
† †
1
1 † † † †1
† † †
1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,
ˆ ˆ ˆ
k k k
k k k k k k k k
n n
n n
k
n
k
n
k
b b b
b b b b b b b b
b b b

     
             
. (8)
Như vậy, giả thiết
†
†
†
ˆ
ˆ ˆ,
ˆ
n
n k
k k
k
b
b b
b

    
đúng với n . Theo nguyên lý quy nạp thì ta chứng
minh được
†
†
†
ˆ
ˆ ˆ,
ˆ
n
n k
k k
k
b
b b
b

    
. (9)
Để xác định  †ˆ ˆ,k k
b bf 
 
ta khai triển Taylor toán tử  †ˆ
k
f b :

3.  † †
0
ˆ ˆ
nk k
n
n
b C bf


  . (10)
Từ (10) và (9), ta tính được
 
 
† † †
0 0
†
†
† †
0 0
†
†
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
, ,
=
ˆ
n n
n
n nk k k k k k
n n
k
n n k
n nk
n
k
k
k
b b b C b C b b
b
C C
b b
bf
b
b
f
 
 
 
 
           
 
 
 


 
  (11)
1.3 Toán tử số hạt fermion/boson
Toán tử số hạt fermion được định nghĩa bởi
†
k k k
n a a . (12)
Ta sử dụng các hệ thức phản giao hoán của fermion (1) để tính
   † † † † † † †
† †
, ,
† †
, , , ,
,
0
k k k k k k k k k k k
k k k k k k
k k k
n a a a a a a a a a a
a a
n a a
 
   
 
        
   
 

   
(13)
Toán tử số hạt boson được định nghĩa bởi
†ˆ ˆ
k k k
N b b . (14)
Ta sử dụng các hệ thức giao hoán của boson (5) để tính
† † † † † † †
† †
, ,
† †
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,
ˆ ˆ
ˆ ˆ,
0
k k k k k k k k k k k
k k k k k k
k k k
N b b b b b b b b b b
b b
N b b
 
   
 
      
     
  

 
 
 
 
(15)

4. 2 Phương trình Bloch bán dẫn trong mô hình hai vùng
Phương trình Bloch bán dẫn SBE trong mô hình hai vùng có dạng
 2 1k
k k k k
dp
ı p ı n
dt
     , (16)
*
2k
k k
p
dn
dt
      . (17)
Từ phương trình (16) lấy liên hợp phức ta được
 
*
* *
2 1k
k k k k
dp
ı p ı n
dt
   . (18)
Lần lượt nhân k
p vào (18) và *
k
p vào (16) rồi lấy tổng thì ta được:
 
 
   
 
2* *
*
*
*
*
2
*
2
* *
*
2 1
2 1
2 1
2 1 2
k
k k k k k k
k
k k k k k k
k k
k k k k k k k
k
k k k
dp
p ı p ı p n
dt
dp
p ı p ı p n
dt
dp dp
p p ı n p p
dt dt
d p
p n
dt






   

   

      
  
        
 (19)
Kết hợp (19) với (17) thì ta chứng minh được
 
2
1 2k k
k
d p dn
n
dt dt
  . (20)
Từ (20) ta đưa về dạng
   
2
2 221
1 2 4 1 2
4
k
k k k
d p d
n p n
dt
C
dt
      . (21)

5. Như vậy ta tính được
2
1 2 4k k
n pC   . (22)
Để xác định được hằng số tích phân trong (22) và ta sẽ lấy dấu cộng hay dấu trừ thì ta cần
xét điều kiện ban đầu chưa có electron và lỗ trống, khi đó cũng chưa có phân cực nên hai
vế của (22) trở thành
1 C  . (23)
Vậy ta phải chọn dấu cộng cho (22) và 1C  :
2 21
1 2 41 1
2
1 4k k k k
n p n p  
 
    
. (24)
Từ (24), ta thấy trong giới hạn kích thích yếu 1k
p thì khai triển Taylor cho
(24) ta được:
 
   
 
1 22
2 4
2 4
1 4
1 4
1
1 1
.
1
2
1
2 2
k k
k k
k k
n p
p p
p p
 
 
 
 
   

 
 
 

 
 

. (25)
Như vậy ta có:
2
.k k
n p Điều này phù hợp vì khi kích thích yếu thì việc sinh cặp
electron-hole chủy yếu là đồng bộ, chuyển mức chủ yếu là chuyển mức thẳng và tổng
phân cực sẽ đúng bằng tổng số hạt sinh ra.