This is about S-matrix, Wick theorem, and Feynman diagrams.

1. Bài tập QFT tuần 5
Lê Đại Nam1, a)
PhD Student, VNU-HCM University of Science
(Dated: Ngày 5 tháng 6 năm 2017)
Bài tập về S-matrix và Feymann diagrams. Trong đây, có bàn về định nghĩa của Wick
contraction trong Wick theorem.
I. WICK CONTRACTION VÀ WICK THEOREM.
Trong tóm tắt này, ta quy ước các toán tử trường bất kỳ là tổ hợp của hai thành phần
liên quan đến toán tử sinh và toán tử hủy:
ˆA = ˆA−
+ ˆA+
, (1)
với ˆA−
và ˆA+
lần lượt liên quan đến toán tử sinh và toán tử hủy.
A. Thế nào là Wick contraction?
Có rất nhiều cách định nghĩa thế nào là Wick contraction, một trong những cách định
nghĩa Wick contraction giữa hai toán tử trường ˆA và ˆB là (ở đây để cho gọn tạm thời ta bỏ
dấu mũ khỏi các toán tử trường):
AB = T (AB) − N (AB) . (2)
Trong (2), T −tích và N−tích được định nghĩa là:
T (A(x)B(y)) =



+A(x)B(y) nếu x0
> y0
±B(y)A(x) nếu x0
< y0
.
(3)
a)
Electronic mail: ldn28593@gmail.com

2. 2
còn
N (A(x)B(y))= N A+
(x)B+
(y) + N A+
(x)B−
(y)
+N A−
(x)B+
(y) + N A−
(x)B−
(y)
= A+
(x)B+
(y)±B−
(y)A+
(x) + A−
(x)B+
(y) + A−
(x)B−
(y),
=



A(x)B(y) − [A+
(x), B−
(y)] cho boson
A(x)B(y) − {A+
(x), B−
(y)} cho fermion
(4)
với dấu + trong (3) và (4) dành cho boson còn − dành cho fermion.
Lần lượt thay (3) , (4) vào (2) cho boson thì:
A(x)B(y) =



+ [A+
(x), B−
(y)] nếu x0
> y0
− [A−
(x), B+
(y)] nếu x0
< y0
.
(5)
còn nếu thay (3) , (4) vào (2) cho fermion thì:
A(x)B(y) =



+ {A+
(x), B−
(y)} nếu x0
> y0
− {A−
(x), B+
(y)} nếu x0
< y0
.
. (6)
Dựa vào (5) và (6), ta thấy rằng đối với boson và fermion thì [·, ·] và {·, ·} là các số phức vì
luôn có dạng delta Kronecker, do đó, Wick contraction A(x)B(y) nói chung là một số phức
thuần túy và có thể tính như sau:
A(x)B(y)= 0| A(x)B(y) |0
= 0| T (A(x)B(y)) |0 − 0| N (A(x)B(y)) |0 = 0| T (A(x)B(y)) |0 , (7)
bởi vì 0| N (A(x)B(y)) |0 = 0 do các toán tử hủy trong N−tích luôn ở bên trái (tác dụng
lên |0 bằng 0) còn các toán tử sinh luôn ở bên phải (tác dụng lên 0| bằng 0).
Như vậy, Wick contraction có thể được định nghĩa bởi (2), (5), (6) và (7), tức là:
A(x)B(y)= T (A(x)B(y)) − N (A(x)B(y))
= 0| T (A(x)B(y)) |0
=



+ [A+
(x), B−
(y)]± nếu x0
> y0
− [A−
(x), B+
(y)]± nếu x0
< y0
.
với



[·, ·]− = [·, ·] cho boson
[·, ·]+ = {·, ·} cho fermion
. (8)
Định nghĩa theo dấu "=" đầu tiên là thừa nhận định lí Wick cho trường hợp 2 toán tử
trường, theo dấu "=" thứ hai là tính theo propagator của hai toán tử trường còn dấu "="

3. 3
thứ ba là định nghĩa trực tiếp. Các định nghĩa trên đã được chứng minh là tương đương nhau.
Lưu ý, do Wick contraction của hai toán tử trường là một số phức nên T −tích và N−tích
của Wick contraction là chính bản thân nó: T A(x)B(y) = N A(x)B(y) = A(x)B(y).
B. Định lí Wick
Phát biểu T −tích của một chuối các toán tử trường bằng N−tích của chuỗi các toán
tử trường đó cộng với tổng các N−tích của các chuỗi mà ở đó có chứa từ 1 đến tất cả các
contraction giữa các toán tử trong chuỗi đó:
T (A1(x1)A2(x2) · · · An(xn)) = N (A1(x1)A2(x2) · · · An(xn)) + N tất cả các contraction .
(9)
Chứng minh Ta giả sử x0
1 > x0
2 > · · · x0
n và định lí Wick đúng cho k toán tử trường với
mọi k < n. Khi đó, ta có:
T (A2(x2) · · · An(xn)) = N (A2(x2) · · · An(xn))+N tất cả contraction không chứa A1(x1) .
(10)
Và ta cần tính:
T (A1(x1)A2(x2) · · · An(xn))= T (A1(x1)N (A2(x2) · · · An(xn)))
+T A1(x1)N tất cả contraction không chứa A1(x1) ,
= A1(x1)N (A2(x2) · · · An(xn))
+A1(x1)N tất cả contraction không chứa A1(x1) , (11)
trong đó, ta sẽ tính từng số hạng như sau:
A1(x1)N (A2(x2) · · · An(xn))= A+
1 (x1)N (A2(x2) · · · An(xn)) + A−
1 (x1)N (A2(x2) · · · An(xn))
= N (A=
1 (x1)A2(x2) · · · An(xn)) + A+
1 (x1)N (A2(x2) · · · An(xn))
= N (A1(x1)A2(x2) · · · An(xn)) + A+
1 (x1)N (A2(x2) · · · An(xn)) ±
= N (A1(x1)A2(x2) · · · An(xn)) +
+N A+
1 (x1), A2(x2) ±
· · · An(xn) + · · · A2(x2) · · · A+
1 (x1), An(xn) ±
= N (A1(x1)A2(x2) · · · An(xn)) +
+N các số hạng chứa 1 contraction A1Ai ,

4. 4
và
A1(x1)N contraction không chứa A1(x1) = A−
1 (x1) + A+
1 (x1) N contraction không chứa A1(x1)
= N A−
1 (x1) contraction không chứa A1(x1)
+A+
1 (x1)N contraction không chứa A1(x1)
= N A1(x1)contraction không chứa A1(x1) +
+ A+
1 (x1)N contraction không chứa A1(x1) ±
= N A1(x1)contraction không chứa A1(x1) +
+N các số hạng chứa A1Ai và các contraction khác .
Từ đó, ta chứng minh được định lí Wick cho trường hợp số toán tử trường là n. Theo định
nghĩa của Wick contraction, ta thừa nhận định lí đúng cho số toán tử trường là k = 1 và
k = 2 nên theo nguyên lí quy nạp toán học, định lí Wick đúng cho mọi n (đpcm). Định lí
Wick sẽ giúp ta rất nhiều trong việc khai triển các bậc bổ chính khi tính S-matrix trong các
quá trình.
II. S-MATRIX VÀ GIẢN ĐỒ FEYNMAN TRONG QED
A. S-matrix trong QED
Trong QED, Hamiltonian tương tác có dạng:
Hint = eΨ(x)γµ
Ψ(x)Aµ(x). (12)
Tương ứng, S-matrix trong QED có dạng:
S= T e−ı Hintd4x
=
+∞
n=0
(−ı)n
n!
· · · d4
x1 · · · d4
xnT (Hint(x1) · · · Hint(xn)) ≡
+∞
n=0
S(n)
. (13)
Bổ chính bậc n trong (13) có dạng:
S(n)
=
(−ı)n
n!
· · · d4
x1 · · · d4
xnT (Hint(x1) · · · Hint(xn)) , (14)
nên ta phải xử lí T −tích trong từng bổ chính. Đây là lúc ta phải sử dụng định lí Wick:
S(n)
=
(−ı)n
n!
· · · d4
x1 · · · d4
xnN (Hint(x1) · · · Hint(xn)) ,
+
(−ı)n
n!
· · · d4
x1 · · · d4
xnN tất cả các contracion trong Hint(x1) · · · Hint(xn) .(15)

5. 5
Trên thực tế, ta quan tâm đến tiết diện tán xạ σ ∼ |Sif |2
nên chủ yếu ta sẽ tính đóng góp
của S(n)
vào Sif = i| S |f . Tổng quát, trạng thái ban đầu và trạng thái sau cùng có dạng:
|i = ˆb†
s1
(p1) · · ·ˆb†
sn
(pn) ˆa†
λ1
k1 · · · ˆa†
λm
km |0 (16)
|f = ˆb†
s1
(p1) · · ·ˆb†
sn
(pn ) ˆa†
λ1
k1 · · · ˆa†
λm
km |0 . (17)
B. Tính các bổ chính bậc 0, 1 và 2 của S-matrix
1. Bổ chính bậc 0
Số hạng bậc 0 trong (15) đơn thuần là 1, do đó, đóng góp của nó vào tiết diện tán xạ
bằng 0:
S(0)
= 1 ⇒ i| S(0)
|f = δif = 0, (18)
vì chủ yếu ta quan tâm đến tán xạ |f = |i còn quá trình không tán xạ |f = |i không
mang lại ý nghĩa vật lý gì để khảo sát tương tác.
2. Bổ chính bậc 1
Số hạng bậc 1 trong (15) với Hint của QED định nghĩa bởi (12) là
S(1)
= −ı d4
xN (Hint(x)) − ı d4
xN tất cả các contracion trong Hint(x)
= −ıe d4
xN Ψ(x)γµ
Ψ(x)Aµ(x) + Ψ(x)γµ
Ψ(x)Aµ(x) . (19)
Khi đó, phần tử ma trận của số hạng bậc 1 có dạng:
S
(1)
if = −ıe d4
x i| N Ψ(x)γµ
Ψ(x)Aµ(x) |f
−ıe d4
x i| N Ψ(x)γµ
Ψ(x)Aµ(x) |f . (20)
Cả hai tích phân trong (20) đều chỉ có một toán tử trường cho boson nên nếu khác 0 thì chỉ
có các tán xạ mà trạng thái |f dư ra hoặc ít đi 1 photon so với trạng thái |i . Tích phân
thứ hai có contraction giữa hai toán tử trường fermion nên (nên nhớ, contraction là số phức)
nên chỉ có thể khác không khi các fermion trong |f không thay đổi gì so với |i , tức là, tích
phân này tương ứng với photon tự sinh ra hoặc tự hủy đi mà không ảnh hưởng gì đến các
lepton? (Vô lý, nên tích phân này phải bằng 0). Ở tích phân đầu tiên có 8 số hạng khác

6. 6
nhau nhưng tương tự nhau, ta có thể lấy ví dụ một số hạng ứng với Ψ
+
γµ
Ψ−
A−
tương ứng
với hủy lepton và photon để tạo ra một lepton, khi đó, biểu diễn qua không gian xung lượng
sẽ xuất hiện exp {ı (pf − pi − ki) · x} mà khi tích phân sẽ cho ta delta Dirac δ (pf − pi − ki).
Delta Dirac này dẫn đến định luật bảo toàn năng xung lượng 4 chiều:
pf = pi + ki ⇔ pf · pf = pi · pi + 2pi · ki + ki · ki,
mà lepton có khối lượng không đổi còn photon lại có khối lượng bằng 0 nên dẫn đến pi·ki = 0,
điều này không thể vì lepton có khối lượng nghỉ khác 0 mà pi · ki ∼ (Ei − |pi|). Vì vậy, các
số hạng ở tích phân đầu tiên cũng phải bằng 0.
3. Bổ chính bậc 2
Bổ chính bậc 2 của S-matrix (13) trong lí thuyết QED (12) có dạng
S(2)
= −
1
2
d4
x1d4
x2N (Hint(x1)Hint(x2))
−
1
2
d4
xN tất cả các contracion trong Hint(x1)Hint(x2) , (21)
trong đó, Hint(x1)Hint(x2) gồm cả thảy 3 cặp tích toán tử trường (2 cặp fermion và 1 cặp
boson) có thể lấy contraction nên số hạng thứ hai trong (21) gồm 5 số hạng khác nhau. Do
vậy, S(2)
được chia ra làm 6 số hạng khác nhau:
S(2)
= S(2a)
+ S(2b)
+ S(2c)
+ S(2d)
+ S(2e)
+ S(2f)
, (22)
lần lượt bao gồm 1 số hạng 0 có contraction
S(2a)
= −
e2
2
d4
x1d4
x2N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2) , (23)
2 số hạng có 1 contraction
S(2b)
= −
e2
2
d4
x1d4
x2N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2) , (24)
và
S(2c)
= −
e2
2
d4
x1d4
x2N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2)
−
e2
2
d4
x1d4
x2N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2) , (25)

7. 7
2 số hạng có 2 contraction
S(2d)
= −
e2
2
d4
x1d4
x2N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2) , (26)
và
S(2e)
= −
e2
2
d4
x1d4
x2N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2)
−
e2
2
d4
x1d4
x2N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2) , (27)
và 1 số hạng có 3 contraction
S(2f)
= −
e2
2
d4
x1d4
x2N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2) . (28)
Tùy vào trạng thái ban đầu |i và sau cùng |f , ta mới tính được đóng góp của các số hạng
S(2a)
, S(2b)
, S(2c)
, S(2d)
, S(2e)
, S(2f)
trong (23), (24), (25), (26), (27), (28) là như thế nào. Ta
sẽ xét cụ thể một quá trình tán xạ e+
e−
→ e+
e−
.
C. Các số hạng bậc 2 của tán xạ e+e− → e+e−
Trong tán xạ e+
e−
→ e+
e−
từ đầu đến cuối đều không có photon nên số hạng đầu tiên
trong S
(2)
if là S
(2a)
if có chứa N−tích của Aµ nên phải bằng 0 (vì toán tử hủy photon A+
µ ở
bên phải tác dụng lên |0 bằng 0). Do đó, ta có:
S
(2a)
if = e+
e−
S(2a)
e+
e−
= 0. (29)
Trong hai số hạng chứa 1 contraction là S
(2b)
if và S
(2c)
if thì số hạng S
(2b)
if các toán tử trường
photon đã bị contraction nên không ảnh hưởng nên |i, f còn số hạng S
(2c)
if vẫn còn các toán
tử photon trong N−tích nên nó phải bằng 0 với cùng lí do như S
(2a)
if . Vì vậy, ta có:
S
(2b)
if = e+
e−
S(2b)
e+
e−
= −
e2
2
d4
x1d4
x2 e+
e−
N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2) e+
e−
,(30)
và
S
(2c)
if = e+
e−
S(2c)
e+
e−
= 0. (31)
Cùng lí do như S
(2a)
if và S
(2c)
if trong (29) và (31) thì S
(2d)
if cũng bằng 0 vì vẫn còn N−tích
của toán tử trường photon.
S
(2d)
if = e+
e−
S(2d)
e+
e−
= 0. (32)

8. 8
Số hạng chứa 2 contraction còn lại là S(2e)
còn chứa N−tích của Ψ(x1)Ψ(x2) và Ψ(x1)Ψ(x2)
nên nó sẽ hủy hạt và sinh phản hạt hoặc ngược lại, làm cho đóng góp của số hạng này cũng
bằng 0.
S
(2e)
if = e+
e−
S(2e)
e+
e−
= 0. (33)
Số hạng chứa 3 contraction thực ra tương đượng tích phân của một con số phức nên khi
tích phần tử ma trận đóng góp của nó không khác gì số hạng bậc 0, và do cùng lí do như ở
số hạng bậc 0, nên ta cũng bỏ qua đóng góp của số hạng này:
S
(2f)
if = e+
e−
S(2f)
e+
e−
= 0. (34)
Như vậy, chỉ có một số hạng đóng góp vào bậc 2 của tán xạ Bhabha:
S
(2)
if = S
(2b)
if = e+
e−
S(2b)
e+
e−
= −
e2
2
d4
x1d4
x2 e+
e−
N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2) e+
e−
,(35)
tương ứng với hai giản đồ Feynman: