1. Bài tập QFT tuần 4
Lê Đại Nam1, a)
PhD Student, VNU-HCM University of Science
(Dated: Ngày 23 tháng 5 năm 2017)
Bài tập về đối xứng U(1) của lí thuyết QED: a) chứng minh Lagrangian tự do của
trường điện từ bất biến qua phép biến đổi U(1), b) chứng minh Lagrangian tự do
của trường Dirac bất biến qua phép biến đổi U(1) toàn cục và c) thay ∂µ bằng đạo
hàm hiệp biến Dµ = ∂µ + ıeAµ thì Lagrangian của lí thuyết QED bất biến qua phép
biến đổi U(1) cục bộ.
I. CHỨNG MINH LAGRANGIAN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BẤT BIẾN QUA PHÉP BIẾN
ĐỔI U(1)
Lagrangian của trường điện từ tự do là
L0
EM = −
1
4
Fµν
Fµν, với Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. (1)
Phép biến đổi U(1) cục bộ của trường điện từ là
Aµ −→ Aµ = Aµ + ∂µα(x). (2)
Khi đó, tensor cường độ trường điện từ Fµν biến đổi như sau:
Fµν −→ Fµν = Fµν + ∂µ∂να(x) − ∂ν∂µα(x) = Fµν, (3)
nên tensor cường độ trường điện từ bất biến qua phép biến đổi (2). Do đó, Lagrangian của
trường điện từ tự do L0
EM bất biến qua phép biến đổi (2).
II. CHỨNG MINH LAGRANGIAN CỦA TRƯỜNG DIRAC BẤT BIẾN QUA PHÉP BIẾN
ĐỔI U(1) TOÀN CỤC
Lagrangian tự do của trường Dirac là Lagrangian của trường điện từ là
L0
Dirac = Ψ (ıγµ
∂µ − m) Ψ = Ψıγµ
∂µΨ − mΨΨ. (4)
a)
Electronic mail: ldn28593@gmail.com
2. 2
Phép biến đổi U(1) toàn cục của trường Dirac là
Ψ −→ Ψ = e−ıeα
Ψ và Ψ −→ Ψ = Ψeıeα
. (5)
Ta dễ dàng thấy rằng ΨΨ bất biến qua phép biến đổi (5) bởi vì Ψ Ψ = Ψ exp (ıeα) exp − (ıeα)Ψ =
ΨΨ. Do đó, số hạng liên quan đến khối lượng trong Lagrangian tự do của trường Dirac
mΨΨ hiển nhiên bất biến với phép biến đổi (5).
Do α là hằng số trong phép biến đổi toàn cực (5) nên ∂µ và exp − (ıeα) giao hoán với
nhau:
∂µ, e−ıeα
= ∂µ e−ıeα
= 0, (6)
nên γµ
∂µΨ = γµ
∂µ exp − (ıeα)Ψ = exp − (ıeα)γµ
∂µΨ. Do đó, qua phép biến đổi (5) thì số
hạng đầu tiên trong Lagrangian tự do của trường Dirac (4) bất biến:
Ψ ıγµ
∂µΨ = Ψ exp (ıeα)ıγµ
∂µ exp − (ıeα)Ψ = Ψ exp (ıeα) exp − (ıeα)ıγµ
∂µΨ = Ψıγµ
∂µΨ.
(7)
Vậy, Lagrangian tự do của trường Dirac bất biến qua phép biến đổi U(1) toàn cục (5):
L 0
Dirac = Ψ ıγµ
∂µΨ − mΨ Ψ = Ψıγµ
∂µΨ − mΨΨ = L0
Dirac. (8)
III. CHỨNG MINH LAGRANGIAN CỦA LÍ THUYẾT QED BẤT BIẾN QUA PHÉP BIẾN
ĐỔI U(1) CỤC BỘ
Lagrangian của lí thuyết QED mô tả tương tác giữa trường điện từ và electron là:
LQED = L0
EM + L0
Dirac + Linteract
= −
1
4
Fµν
Fµν + Ψ (ıγµ
∂µ − m) Ψ + ıeΨγµ
AµΨ
= −
1
4
Fµν
Fµν + Ψ (ıγµ
Dµ − m) Ψ với đạo hàm hiệp biến Dµ = ∂µ + ıeAµ. (9)
Phép biến đổi U(1) cục bộ của trường điện từ và trường Dirac là:
Aµ
Ψ
Ψ
−→
Aµ = Aµ + ∂µα(x)
Ψ = e−ıeα(x)
Ψ
Ψ = Ψeıeα(x)
. (10)
Theo kết quả câu 1, ta đã chứng minh được thành phần Lagrangian tự do của trường
điện từ bất biến qua phép biến đổi U(1) cục bộ của trường điện từ. Do đó, tương tự, ta có
3. 3
L 0
EM = L0
EM bất biến qua phép biến đổi (10). Vì vậy, ta chỉ cần khảo sát số hạng còn lại
trong Lagrangian của lí thuyết QED (9): L0
Dirac + Linteract = Ψ (ıγµ
Dµ − m) Ψ.
Trong số hạng L0
Dirac + Linteract = Ψ (ıγµ
Dµ − m) Ψ = Ψ (ıγµ
Dµ) Ψ − mΨΨ thì thành
phần liên quan đến khối lượng của trường ΨΨ bất biến với phép biến đổi U(1) cho dù là
toàn cục như ở câu 2 hay là cục bộ bởi vì Ψ Ψ = Ψ exp (ıeα(x)) exp − (ıeα(x))Ψ = ΨΨ. Do
đó, ta chỉ xét sự biến đổi của số hạng còn lại: Ψ (ıγµ
Dµ) Ψ.
Áp dụng phép biến đổi (10) cho số hạng Ψ (ıγµ
Dµ) Ψ, ta được:
Ψ ıγµ
Dµ Ψ = Ψe(ıeα(x))
(ıγµ
Dµ − eγµ
∂µα(x)) e(−ıeα(x))
Ψ
= Ψ (ıγµ
Dµ) Ψ + Ψ e(ıeα(x))
ıγµ
∂µ, e(−ıeα(x))
− (eγµ
∂µα(x)) Ψ. (11)
Giao hoán tử ıγµ
∂µ, e(−ıeα(x))
trong (11) dễ dàng tính được:
ıγµ
∂µ, e(−ıeα(x))
= e(−ıeα(x))
× eγµ
δµα(x), (12)
nên ta thấy ngay rằng số hạng thứ hai trong (11) bị triêt tiêu bởi vì:
e(ıeα(x))
ıγµ
∂µ, e(−ıeα(x))
− (eγµ
∂µα(x)) = 0. (13)
Do đó, Ψ ıγµ
Dµ Ψ = Ψ (ıγµ
Dµ) Ψ hay Ψ (ıγµ
Dµ) Ψ bất biến với phép biến đổi U(1) cục
bộ (10).
Tổng kết lại, ta dễ dàng chứng minh được L QED = LQED qua phép biến đổi U(1) cục
bộ (10) hay lí thuyết QED có đối xứng nội U(1).
