Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán ứng dụng với đề tài: Phương pháp hiệu chỉnh browder - tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh loại J - đơn điệu, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương trình tích phân kỳ dị với dịch chuyển và phản xạ trên trục thực, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương trình tích phân ngẫu nhiên, cho các bạn có thể tham khảo làm đề tài nghiên cứu
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán ứng dụng với đề tài: Phương pháp hiệu chỉnh browder - tikhonov cho phương trình phi tuyến không chỉnh loại J - đơn điệu, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương trình tích phân kỳ dị với dịch chuyển và phản xạ trên trục thực, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương trình tích phân ngẫu nhiên, cho các bạn có thể tham khảo làm đề tài nghiên cứu
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương trình tích phân ngẫu nhiên, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Một số kết quả về nghiệm của phương trình Cauchy-Riemann, cho các bạn có thể làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận án tóm tắt ngành toán giải tích với đề tài: Xác định quy luật biên phi tuyến và xác định nguồn trong các quá trình truyền nhiệt, cho các bạn làm luận án tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Tính giải được của một lớp bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính với pantograph, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương pháp giải hình thức các phương trình tích phân Volterra, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng KIRCHHOFF có nguồn phi tuyến, cho các bạn có thể tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Elliptic, cho các bạn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán ứng dụng với đề tài: Điều kiện cực trị và tính chính quy của các nhân tử Lagrange cho bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Phương trình sóng tuyến tính mô tả dao động của thanh đàn hồi nhớt, cho các bạn có thể tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán trung học phổ thông, cho các bạn tham khảo
GIÁO TRÌNH 2-TÀI LIỆU SỬA CHỮA BOARD MONO TỦ LẠNH MÁY GIẶT ĐIỀU HÒA.pdf
https://dienlanhbachkhoa.net.vn
Hotline/Zalo: 0338580000
Địa chỉ: Số 108 Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội
More Related Content
Similar to Bài giảng chương 8: Phương trình vi phân cấp một và cấp hai
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương trình tích phân ngẫu nhiên, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Một số kết quả về nghiệm của phương trình Cauchy-Riemann, cho các bạn có thể làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận án tóm tắt ngành toán giải tích với đề tài: Xác định quy luật biên phi tuyến và xác định nguồn trong các quá trình truyền nhiệt, cho các bạn làm luận án tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Tính giải được của một lớp bài toán biên cho hệ phương trình vi phân hàm tuyến tính với pantograph, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương pháp giải hình thức các phương trình tích phân Volterra, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng KIRCHHOFF có nguồn phi tuyến, cho các bạn có thể tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Elliptic, cho các bạn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán ứng dụng với đề tài: Điều kiện cực trị và tính chính quy của các nhân tử Lagrange cho bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Phương trình sóng tuyến tính mô tả dao động của thanh đàn hồi nhớt, cho các bạn có thể tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình trong chương trình toán trung học phổ thông, cho các bạn tham khảo
Similar to Bài giảng chương 8: Phương trình vi phân cấp một và cấp hai (20)
GIÁO TRÌNH 2-TÀI LIỆU SỬA CHỮA BOARD MONO TỦ LẠNH MÁY GIẶT ĐIỀU HÒA.pdf
https://dienlanhbachkhoa.net.vn
Hotline/Zalo: 0338580000
Địa chỉ: Số 108 Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội
GIAO TRINH TRIET HOC MAC - LENIN (Quoc gia).pdfLngHu10
Chương 1
KHÁI LUẬN VỀ TRIẾT HỌC VÀ TRIẾT HỌC MÁC - LÊNIN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức: Trang bị cho sinh viên những tri thức cơ bản về triết học nói chung,
những điều kiện ra đời của triết học Mác - Lênin. Đồng thời, giúp sinh viên nhận thức được
thực chất cuộc cách mạng trong triết học do
C. Mác và Ph. Ăngghen thực hiện và các giai đoạn hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin;
vai trò của triết học Mác - Lênin trong đời sống xã hội và trong thời đại ngày nay.
2. Về kỹ năng: Giúp sinh viên biết vận dụng tri thức đã học làm cơ sở cho việc nhận
thức những nguyên lý cơ bản của triết học Mác - Lênin; biết đấu tranh chống lại những luận
điểm sai trái phủ nhận sự hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin.
3. Về tư tưởng: Giúp sinh viên củng cố niềm tin vào bản chất khoa học và cách mạng
của chủ nghĩa Mác - Lênin nói chung và triết học Mác - Lênin nói riêng.
B. NỘI DUNG
I- TRIẾT HỌC VÀ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TRIẾT HỌC
1. Khái lược về triết học
a) Nguồn gốc của triết học
Là một loại hình nhận thức đặc thù của con người, triết học ra đời ở cả phương Đông và
phương Tây gần như cùng một thời gian (khoảng từ thế kỷ VIII đến thế kỷ VI trước Công
nguyên) tại các trung tâm văn minh lớn của nhân loại thời cổ đại. Ý thức triết học xuất hiện
không ngẫu nhiên, mà có nguồn gốc thực tế từ tồn tại xã hội với một trình độ nhất định của
sự phát triển văn minh, văn hóa và khoa học. Con người, với kỳ vọng được đáp ứng nhu
cầu về nhận thức và hoạt động thực tiễn của mình đã sáng tạo ra những luận thuyết chung
nhất, có tính hệ thống, phản ánh thế giới xung quanh và thế giới của chính con người. Triết
học là dạng tri thức lý luận xuất hiện sớm nhất trong lịch sử các loại hình lý luận của nhân
loại.
Với tư cách là một hình thái ý thức xã hội, triết học có nguồn gốc nhận thức và nguồn
gốc xã hội.
* Nguồn gốc nhận thức
Nhận thức thế giới là một nhu cầu tự nhiên, khách quan của con người. Về mặt lịch
sử, tư duy huyền thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là loại hình triết lý đầu tiên mà con
người dùng để giải thích thế giới bí ẩn xung quanh. Người nguyên thủy kết nối những hiểu
biết rời rạc, mơ hồ, phi lôgích... của mình trong các quan niệm đầy xúc cảm và hoang
tưởng thành những huyền thoại để giải thích mọi hiện tượng. Đỉnh cao của tư duy huyền
thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là kho tàng những câu chuyện thần thoại và những tôn
9
giáo sơ khai như Tô tem giáo, Bái vật giáo, Saman giáo. Thời kỳ triết học ra đời cũng là
thời kỳ suy giảm và thu hẹp phạm vi của các loại hình tư duy huyền thoại và tôn giáo
nguyên thủy. Triết học chính là hình thức tư duy lý luận đầu tiên trong lịch sử tư tưởng
nhân loại thay thế được cho tư duy huyền thoại và tôn giáo.
Trong quá trình sống và cải biến thế giới, từng bước con người có kinh nghiệm và có
tri thức về thế giới. Ban đầu là những tri thức cụ thể, riêng lẻ, cảm tính. Cùng với sự tiến
bộ của sản xuất và đời sống, nhận thức của con người dần dần đạt đến trình độ cao hơn
trong việc giải thích thế giới một cách hệ thống
Bài thuyết trình môn học Hệ Điều Hành.pptxduongchausky
Hệ điều hành là một môn học cung cấp kiến thức cơ bản về quản lý tài nguyên của máy tính. Dưới đây là một số nội dung chính của môn học hệ điều hành:
Định nghĩa và tính chất của hệ điều hành:
Định nghĩa và tính chất cơ bản của hệ điều hành.
Lịch sử phát triển hệ điều hành.
Phân loại hệ điều hành.
Quản lý tiến trình:
Tiến trình và luồng (process/thread).
Đồng bộ hóa tiến trình.
Lập lịch CPU.
Tắc nghẽn và xử lý tắc nghẽn:
Khái niệm tắc nghẽn.
Điều kiện xảy ra tắc nghẽn.
Các phương pháp xử lý tắc nghẽn.
Quản lý bộ nhớ:
Khái niệm chung về quản lý bộ nhớ.
Các chiến lược quản lý bộ nhớ thực.
Quản lý bộ nhớ ảo.
Quản lý tập tin:
Hệ thống quản lý tập tin.
Thư mục và cách cài đặt hệ thống file và thư mục.
Quản lý nhập xuất:
Hệ thống vào ra.
Xử lý vào ra.
Quản lý truy cập đĩa.
Môn học hệ điều hành giúp bạn hiểu nguyên tắc hoạt động của hệ điều hành và cung cấp kiến thức cơ bản để xây dựng và quản lý các hệ điều hành cụ thể. Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm, có thể xem các tài liệu chi tiết về môn học này.
CÁC BIỆN PHÁP KỸ THUẬT AN TOÀN KHI XÃY RA HỎA HOẠN TRONG.pptxCNGTRC3
Cháy, nổ trong công nghiệp không chỉ gây ra thiệt hại về kinh tế, con người mà còn gây ra bất ổn, mất an ninh quốc gia và trật tự xã hội. Vì vậy phòng chông cháy nổ không chỉ là nhiệm vụ mà còn là trách nhiệm của cơ sở sản xuất, của mổi công dân và của toàn thể xã hội. Để hạn chế các vụ tai nạn do cháy, nổ xảy ra thì chúng ta cần phải đi tìm hiểu nguyên nhân gây ra các vụ cháy nố là như thế nào cũng như phải hiểu rõ các kiến thức cơ bản về nó từ đó chúng ta mới đi tìm ra được các biện pháp hữu hiệu nhất để phòng chống và sử lý sự cố cháy nổ.
Mục tiêu:
- Nêu rõ các nguy cơ xảy ra cháy, nổ trong công nghiệp và đời sống; nguyên nhân và các biện pháp đề phòng phòng;
- Sử dụng được vật liệu và phương tiện vào việc phòng cháy, chữa cháy;
- Thực hiện được việc cấp cứa khẩn cấp khi tai nạn xảy ra;
- Rèn luyện tính kỷ luật, kiên trì, cẩn thận, nghiêm túc, chủ động và tích cực sáng tạo trong học tập.
Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ
:
https://www.facebook.com/garmentspace/
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
HOẶC
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
Bài giảng chương 8: Phương trình vi phân cấp một và cấp hai
1. Chương 8: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
SAI PHÂN
§1: Các khái niệm cơ bản về PTVP
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ - Bộ môn Toán kinh tế & KHDL
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ
2. 2
I. Khái niệm cơ bản về PTVP
Xét các phương trình:
1. x2 + 3x -4 =0 PT đại số
2. x - e2x = 0 PT đại số
3. y’ = x2 + y2 với y=y(x) PT vi phân cấp 1
4. xdy – y2dx = 0 với y=y(x) PT vi phân cấp 1
5. y’’’+2xy’=lnx với y=y(x) PT vi phân cấp 3
6. với u=u(x,y) PT vi phân đạo hàm riêng
7. với u=u(x,y) PT vi phân đạo hàm riêng
' '
x y
u u 0
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
2 2
2 2
u u
0,...
x y
3. 3
I. Khái niệm cơ bản về PTVP
Định nghĩa 1: Một phương trình mà đối tượng phải tìm là một
hàm số và hàm số phải tìm có mặt trong phương trình dưới
dạng đạo hàm hoặc vi phân các cấp được gọi là phương trình
vi phân.
Phương trình vi phân được chia làm hai loại:
PTVP thường là PTVP với hàm số phải tìm là hàm số một biến
số.
VD: y’ = x2 + y2; xdy – y2dx = 0, …
PTVP đạo hàm riêng là PTVP với hàm số phải tìm là hàm số
nhiều biến số.
VD:
2 2
2 2
u u u u
x y u; 0,...
x y x y
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
4. 4
I. Khái niệm cơ bản về PTVP
Định nghĩa 2: Cấp của PTVP là cấp cao nhất của đạo hàm
hoặc vi phân của hàm số phải tìm có mặt trong PTVP đó.
Định nghĩa 3: Dạng tổng quát của PTVP cấp n như sau:
F(x, y, y’, y”,…,y(n)) = 0 (*)
Định nghĩa 4: Nghiệm của PTVP (*) là hàm số y = (x) mà
khi thay vào pt (*) ta được đồng nhất thức đúng, tức là:
F(x, (x), ’(x), ”(x),…, (n)(x)) 0
Định nghĩa 5: Giải PTVP nghĩa là tìm tất cả các nghiệm của
PTVP đó. Nghiệm của một PTVP bao gồm các nghiệm có chung
dạng tổng quát và các nghiệm riêng không thuộc dạng tổng
quát đó (nghiệm kì dị).
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
5. 5
II. Khái niệm phương trình vi phân cấp 1
Dạng tổng quát của ptvp cấp 1 như sau: F(x, y, y’) = 0 (1)
Dạng đã giải theo đạo hàm: y’ = f(x, y) (2)
Dạng đối xứng: M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 (3)
Nghiệm của ptvp cấp 1 có dạng tổng quát như sau: y = (x, C)
(Nếu nghiệm tổng quát viết dưới dạng (x, y, C) = 0 thì được
gọi là tích phân tổng quát của PTVP. Nếu nghiệm tổng quát
gán cho C một giá trị cụ thể gọi là nghiệm riêng. Nếu nghiệm
không thuộc nghiệm tổng quát thì gọi là nghiệm kì dị của
PTVP)
Bài toán Cauchy:
Tìm nghiệm của ptvp: y’ = f(x,y) hay F(x, y, y’) = 0
thỏa mãn điều kiện ban đầu: y = y0 khi x = x0
6. 6
II. Khái niệm phương trình vi phân cấp 1
Ví dụ:
Họ hàm y = C .ex là nghiệm tổng quát của PT : y ′ = y.
Hàm y =1/x là một nghiệm riêng của PT: xdy + ydx = 0.
Hàm ẩn xác định bởi phương trình:
là tích phân tổng quát của PTVP:
Hàm y = ex là nghiệm của bài toán Cauchy:
y ′ = y thỏa mãn y(0)=1.
0
ydy xdx
2 2
x y C
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
7. Chương 8: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
SAI PHÂN
§2: Cách giải một số PTVP thường cấp 1
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ - Bộ môn Toán kinh tế & KHDL
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ
8. 8
I. PTVP tuyến tính cấp 1
1. Định nghĩa: là ptvp có dạng tổng quát như sau:
y’ + p(x).y = q(x) (1)
Khi q(x) 0 thì ptvp (1) có dạng: y’ + p(x).y = 0 (2)
được gọi là ptvp tuyến tính cấp 1 thuần nhất liên kết với (1).
Ptvp (2) có nghiệm tổng quát:
y = C.e-p(x)dx (C là hằng số bất kỳ).
Ví dụ: Giải PTVP: y’+2xy=0, nghiệm TQ là
Định lý: Nếu y0(x) là nghiệm riêng của ptvp (1) và y(x) là nghiệm
tổng quát của ptvp liên kết (2) thì y0(x) + y(x) là nghiệm tổng
quát của ptvp (1).
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
2
x
y Ce
9. 9
I. PTVP tuyến tính cấp 1
2. Phương pháp giải (Phương pháp biến thiên hằng số)
y’ + p(x).y = q(x) (1)
Bước 1: Giải ptvp thuần nhất liên kết: y’ + p(x).y = 0 ta được
nghiệm tổng quát:
y = C.e-p(x)dx = C.y0(x) (C là hằng số bất kỳ)
Bước 2: Tìm nghiệm tổng quát của ptvp (1) dưới dạng
y = C(x).y0(x); với C(x) là hàm số của x
Tính y' và thay vào (1) ta tìm được biểu thức C’(x) = q(x).y0
-1(x)
Kết luận: Nghiệm tổng quát của (1) có dạng:
1
0 0
y q(x).y (x)dx C .y (x)
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
10. 10
I. PTVP tuyến tính cấp 1
3. Sử dụng công thức nghiệm
Công thức nghiệm tổng quát của PTVP tuyến tính cấp 1
không thuần nhất y’ + p(x).y = q(x) (1) là:
Ví dụ: Giải PTVP tuyến tính cấp 1
( ) ( )
( )
p x dx p x dx
y e q x e dx C
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
) ' 2
x
a y y e 2
) ( 0)
dy y
b x x
dx x
12. 12
II. PTVP tách biến
1. Định nghĩa: PTVP tách biến (Ptvp biến số phân ly) có dạng:
M(x)dx + N(y)dy = 0 (1)
Cách giải: Lấy tích phân hai vế ta được:
2. Một số PTVP đưa được về dạng PTVP tách biến
Dạng 1: M1(x).M2(y).dx + N1(x).N2(y).dy = 0 (2)
Cách giải: Trường hợp 1: N1(x).M2(y) = 0 để tìm các nghiệm riêng
của PT(1). Trường hợp 2: N1(x).M2(y) ≠ 0 : Biến đổi ptvp (1) về
dạng:
Lấy tích phân hai vế ta được:
Dạng 2: y’ = f1(x).f2(y) (4) dy/dx= f1(x).f2(y)
Cách giải: Biến đổi tương tự dạng 1
1 2
1 2
M (x) N (y)
dx dy 0 (3)
N (x) M (y)
1 2
1 2
M (x) N (y)
dx dy C
N (x) M (y)
M(x)dx N(y)dy C
13. 13
II. PTVP tách biến
Ví dụ: Giải PTVP
2
a. 2xdx 3y dy 0
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
b. ydx xdy 0
2
c. y(x 1)dx x(y 1)dy 0
14. 14
III. Phương trình Bernoulli (đọc thêm)
Ptvp Bernoulli là ptvp có dạng tổng quát:
y’ + p(x).y = q(x).y với là hằng số thực khác 0 và 1
Cách giải:
Ptvp Bernoulli có nghiệm riêng y = 0.
Chia hai vế của pt cho y ta được pt:
y- .y’ + p(x).y1- = q(x)
Đặt z = y1- thì z’ = (1 - ) y- .y’; ta quy về ptvp tuyến
tính cấp 1 của z đối với x:
z’ + (1 - )p(x).z = (1 - )q(x)
Ví dụ: Giải PTVP
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
2 4/3
2
3
dy y
x y
dx x
15. 15
IV. PTVP toàn phần (đọc thêm)
1. Ptvp toàn phần
Ptvp được gọi là ptvp toàn phần
nếu tồn tại hàm (x,y) sao cho:
Khi đó (1) có tích phân tổng quát là:
Định lý: Nếu thì (1) là ptvp toàn phần. Khi đó:
với (x0;y0) là điểm bất kỳ thuộc MXĐ của M(x,y) và N(x,y).
M(x,y).dx N(x,y).dy 0 (1)
d (x, y) M(x, y)dx N(x, y)dy
(x, y) C
M N
y x
0 0
y
x
0
x y
(x,y) M(x,y).dx N(x ,y).dy
0 0
y
x
0
x y
(x,y) M(x,y ).dx N(x,y).dy
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
16. 16
IV. PTVP toàn phần (đọc thêm)
1. Ptvp toàn phần
Ví dụ: Giải PTVP
( 1) 0
y y
e dx xe dy
2 2 2 3
(3 6 ) (6 4 ) 0
x xy dx x y y dy
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
17. 17
IV. PTVP toàn phần (đọc thêm)
2. Phương pháp thừa số tích phân
Cho ptvp: M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 (1)
Nếu nhân hai vế của (1) với p = p(x,y) sao cho:
p.M(x,y).dx + p.N(x,y).dy = 0
là ptvp toàn phần thì p(x,y) được gọi là thừa số tích phân
Gợi ý tìm thừa số tích phân ( Chỉ phụ thuộc 1 biến)
M N
y x
(x)
N
M N
y x
(y)
M
(x)dx
tstp p(x) và p(x) e
(y)dy
tstp q(y) và q(y) e
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
18. Chương 8: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
SAI PHÂN
§3: Phương trình vi phân cấp 2
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ - Bộ môn Toán kinh tế & KHDL
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ
19. 19
I. Khái niệm phương trình vi phân cấp 2
Dạng tổng quát của PTVP cấp 2 như sau:
F(x, y, y’, y”) = 0
Dạng đã giải ra theo y”:
y” = f(x, y, y’)
Nghiệm của PTVP cấp 2 có dạng tổng quát như sau:
y = (x, C1, C2) hoặc (x, y, C1, C2) = 0
Bài toán Cauchy:
Tìm nghiệm của PTVP cấp 2: F(x, y, y’, y”) = 0
thỏa mãn điều kiện ban đầu:
y = y0 và y’ = y’0 khi x = x0
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
20. 20
II. Một số PTVP cấp 2 có thể hạ cấp
1. PTVP dạng: y” = f(x) (khuyết y và y’)
Lấy tích phân bất định 2 lần ta được nghiệm tổng quát.
2. PTVP dạng: y” = f(x, y’) (khuyết y)
Đặt y’ = z ta có: y” = z’ phương trình quy về PTVP cấp 1:
z’ = f(x, z)
3. PTVP dạng: y” = f(y, y’) (khuyết x)
Đặt z = y’, ta có: y” = z’(x) = z’(y).y’(x) = z’(y).z
PT có dạng PTVP cấp 1 với z là hàm số của y:
z’(y).z = f(y, z)
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
21. 21
III. PTVP tuyến tính cấp 2
Ptvp tuyến tính cấp 2 là ptvp có dạng tổng quát như sau:
y” + p(x).y’ + q(x).y = f(x) (1)
Khi f(x) 0 thì PTVP (1) có dạng:
y” + p(x).y’ + q(x).y = 0 (2)
được gọi là ptvp tuyến tính cấp 2 thuần nhất liên kết với (1).
Lưu ý:
Các phương pháp giải ptvp tuyến tính cấp 2 được tiếp cận
tương tự như phương pháp giải ptvp tuyến tính cấp 1.
Giải ptvp tuyến tính cấp 2 cần vận dụng một số kiến thức cơ
bản về tập hợp số phức.
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
22. 22
Hàm số độc lập, phụ thuộc tuyến tính
Các hàm số f1(x), f2(x), …, fm(x) xác định trên tập D được gọi là
phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số thực k1, k2, …, km trong
đó có ít nhất một số khác 0 thỏa mãn:
k1f1(x) +k2f2(x) + … + kmfm(x) 0
Các hàm số f1(x), f2(x), …, fm(x) xác định trên tập D được gọi là
độc lập tuyến tính nếu đẳng thức
k1f1(x) +k2f2(x) + … + kmfm(x) 0
chỉ thỏa mãn khi k1 = k2 = … = km = 0.
Ví dụ: Các cặp hàm số sau đây là độc lập tuyến tính trên R
1) eax và ebx (a b) 2) eax và xeax
3) eaxcos bx và eaxsinbx
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
23. 23
Các định lý cơ bản về nghiệm
Ptvp tuyến tính cấp 2 thuần nhất:
y” + p(x).y’ + q(x).y = 0 (2)
Định lý:
Nếu y(x) là một nghiệm của (2) thì C.y(x), với C là hằng số bất
kỳ, cũng là nghiệm của (2).
Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm của (2) thì y1(x) + y2(x) cũng
là nghiệm của (2).
Nếu y(x) = u(x) + iv(x) là một nghiệm phức của (2) thì u(x) và
v(x) là các nghiệm thực của (2).
Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (2) thì
C1y1(x) + C2y2(x) là nghiệm tổng quát của (2), trong đó C1 và
C2 là các hằng số bất kỳ.
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
24. 24
Các định lý cơ bản về nghiệm
Ptvp tuyến tính cấp 2 tổng quát:
y” + p(x).y’ + q(x).y = f(x) (1)
Ptvp tuyến tính cấp 2 thuần nhất liên kết:
y” + p(x).y’ + q(x).y = 0 (2)
Định lý:
Nếu y*(x) là một nghiệm riêng của (1) và y1(x), y2(x) là hai
nghiệm độc lập tuyến tính của ptvp tuyến tính cấp 2 thuần nhất
liên kết (2) thì nghiệm tổng quát của (1) có dạng:
y = y*(x) + C1y1(x) + C2y2(x)
C1 và C2 là các hằng số bất kỳ.
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
25. 25
IV. PTVP tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
1. PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng
y” + p.y’ + q.y = 0 (2), với p và q là hằng số
Tìm nghiệm của (2) dưới dạng y = ekx, ta suy ra k thỏa mãn:
k2 + p.k + q = 0 (*) gọi là PT đặc trưng của (2)
Nếu (*) có 2 nghiệm thực phân biệt k1=a, k2=b thì (2) có
nghiệm tổng quát là y= C1eax + C2 ebx.
Nếu (*) có nghiệm thực kép k1 = k2 = k thì (2) có nghiệm tổng
quát là y=(C1 + C2x)ekx.
Nếu (*) có 2 nghiệm phức liên hợp k = i thì (2) có nghiệm
tổng quát là y= ex (C1 cosx + C2 sinx)
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
26. 26
IV. PTVP tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
1. PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng
Ví dụ 1: Giải các phương trình vi phân cấp 2:
a. y’’ + 7y’ + 10y = 0
b. y’’ - 6y’ + 9y = 0
c. y’’ + 4y’ + 13y = 0
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
27. 27
IV. PTVP tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
2. Phương pháp giải PTVP cấp 2 không thuần nhất
y” + p.y’ + q.y = f(x) (1)
Bước 1: Giải ptvp thuần nhất liên kết:
y” + p.y’ + q.y = 0 (2)
ta được nghiệm tổng quát:
y0 (x)= C1y1(x) + C2y2(x) (C1, C2 là hằng số bất kỳ)
Bước 2: Tìm nghiệm riêng y*(x) của (1)
Bước 3: Nghiệm tổng quát của (1) có dạng:
y = y*(x) + y0(x) = y*(x) + C1y1(x) + C2y2(x)
(C1, C2 là hằng số bất kỳ)
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
30. 30
IV. Ptvp tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
b) Cách giải PTVP dạng (đọc thêm)
y” + p.y’ + q.y = eax[P1(x)cosbx + P2(x)sinbx] (1)
Bước 1: Giải ptvp thuần nhất liên kết: y” + p.y’ + q.y = 0 (2)
Phương trình đặc trưng: k2 +pk+q=0 (3)
nghiệm tổng quát của pt thuần nhất là: y0 (x)
Bước 2: Tìm nghiệm riêng y*(x) của (1):
Nếu k = a bi không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì
pt (1) có nghiệm riêng dạng:
y*(x) = eax[Q1(x)cosbx + Q2(x)sinbx]
Q1(x) và Q2(x) là các đa thức có bậc là max{bậc P1(x), bậc P2(x)}
Nếu k = a bi là nghiệm của phương trình đặc trưng thì pt (1) có
nghiệm riêng dạng:
y*(x) = xeax[Q1(x)cosbx + Q2(x)sinbx]
Bước 3: Nghiệm tổng quát của (1) có dạng:
y = y*(x) + y0(x) (C1, C2 là hằng số bất kỳ)
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
31. 31
IV. Ptvp tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
c) Nguyên lý “chồng chất” nghiệm (đọc thêm)
Xét các phương trình vi phân:
y” + p.y’ + q.y = f(x) (1)
y” + p.y’ + q.y = g(x) (2)
trong đó, p và q là các số thực.
Định lý:
Nếu y1(x) là một nghiệm của (1) và y2(x) là một nghiệm của (2)
thì tổng y1(x) + y2(x) là nghiệm của phương trình:
y” + p.y’ + q.y = f(x) + g(x)
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
32. 32
IV. Ptvp tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
3. Phương pháp biến thiên hằng số (đọc thêm)
Giải PTVP: y” + p.y’ + q.y = f(x) (1), f(x) khác dạng 2.a, 2.b
Bước 1: Giải Ptvp thuần nhất liên kết được nghiệm tổng quát:
y = C1.y1(x) + C2.y2(x) (C1, C2 là hằng số bất kỳ)
Bước 2: Tìm nghiệm tổng quát của Ptvp (1) dưới dạng
y = C1(x).y1(x) + C2(x).y2(x) (C1(x) và C1(x) là hàm số của x)
C’1(x) và C’2(x) sẽ tìm được từ hệ pt:
Tích phân C’1(x) và C’2(x) để tính C1(x) và C2(x). Từ đó có nghiệm
tổng quát của (1)
1 1 2 2
1 1 2 2
y (x).C' (x) y (x).C' (x) 0
y '(x).C' (x) y '(x).C' (x) f(x)
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
33. Chương 8: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
SAI PHÂN
§4: Phân tích động trong kinh tế
(đọc thêm)
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ - Bộ môn Toán kinh tế & KHDL
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ
34. 34
I. Một số PTVP cấp 1 trong kinh tế
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
35. 35
I. Một số PTVP cấp 1 trong kinh tế
( )
dk
s k k
dt
( ) ( )
dK
I t sY t
dt
( 0)
dL
L
dt
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
36. 36
I. Một số PTVP cấp 1 trong kinh tế
3. Mô hình điều chỉnh giá thị trường
Giả sử lượng cung và cầu của một loại hàng hóa như sau:
Giá cân bằng là
Giả thiết tốc độ biến thiên của giá cả tỷ lệ thuận với lượng dư
cầu:
Khi đó ta được PTVP:
Nghiệm của pt có dạng:
( ) ( )
dP
b d P a c
dt
( )
( ) [P(0)-P]e b d t
P t P
( ), 0
d s
dP
Q Q
dt
;
d s
Q a bP Q c dP
a c
P
b d
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
37. 37
II. Một số PTVP cấp 2 trong kinh tế
1. Mô hình thị trường với kì vọng giá
Xét hàm cung và hàm cầu dưới dạng
Quỹ thời gian của giá thị trường
Giả sử xét mô hình tuyến tính
Giả sử chỉ có hàm cầu chứa kì vọng giá khi đó ta có PT
Trạng thái cân bằng là:
' ''
' ''
d
s
Q a bP P P
Q c dP P P
a c
P
b d
'' '
b d a c
P P P
[P(t),P'(t),P''(t)]=D[P(t),P'(t),P''(t)]
S
[P(t),P'(t),P''(t)]; Q =D[P(t),P'(t),P''(t)]
st dt
Q S
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
38. 38
II. Một số PTVP cấp 2 trong kinh tế
2. Mô hình điều chỉnh giá có tính đến hàng hóa tồn đọng
Được biểu diễn dưới dạng PT:
Giả thiết hàm cung và hàm cầu có dạng:
Khi đó mô hình được đưa về PTVP cấp 2:
Trạng thái cân bằng ổn định động:
0
( ) [ ( ) ( )]
t
d s d s
dP
Q Q Q x Q x dx
dt
;
d s
Q a bP Q c dP
2
2
( ) ( ) ( )
d P dP
b d b d P a c
dt dt
a c
P
b d
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
39. 39
II. Một số PTVP cấp 2 trong kinh tế
3. Mô hình ô nhiễm môi trường
Gọi y là lượng cacbon dioxit, hàm lượng đó tuân theo quy luật
và PT:
Trong đó x là lượng cacbon dioxit do các xí nghiệp thải và tuân
theo quy luật:
Khi đó mô hình là hệ 2 PTVP cấp 1 được đưa về PTVP cấp 2:
Giải PTVP cấp 2 tìm được y:
dy
x y
dt
2
2
bt
d y dy
y ae
dt dt
2
bt
ae
y
b b
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
bt
dx
ae y
dt
40. Chương 8: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
SAI PHÂN
§5: Phương trình sai phân (đọc thêm)
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ - Bộ môn Toán kinh tế & KHDL
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ
41. 41
I. Khái niệm sai phân và PT sai phân
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
42. 42
I. Khái niệm sai phân và PT sai phân
2
( , , , ,..., ) 0
n
t t t t
t y y y y
1
( , , ,..., ) 0
t t t n
F t y y y
1 1
( , , ,..., )
t n t t t n
y f t y y y
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
43. 43
I. Khái niệm sai phân và PT sai phân
1 2
( , , ,..., )
t n
y t C C C
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
44. 44
II. Một số PT sai phân cấp 1
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
Yt+1 -2Yt =7
45. 45
II. Một số PT sai phân cấp 1
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
46. 46
II. Một số PT sai phân cấp 1
3. Một số mô hình PTSP tuyến tính cấp 1 trong kinh tế
a. Mô hình Cobweb
Phương trình (1) là PTSP ôtônôm tuyến tính cấp 1. Ta tìm được
nghiệm tổng quát là:
, 1 , 1
, 1 1 1
, 1 1
( 0, 0) (1)
( 0, 0)
d t s t
d t t t t
s t t
Q Q
Q P P P
Q P
0
( ) ,
t
t
P P P P P
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
47. 47
II. Một số PT sai phân cấp 1
b. Mô hình thị trường có hàng hóa tồn đọng
Các giả thiết của mô hình:
Lượng cung và cầu là hàm tuyến tính
Lượng điều chỉnh:
Với các giả thiết trên ta có PTSP:
Nghiệm của phương trình có dạng:
1
1
( 0, 0)
( 0, 0)
dt t
st t
Q P
Q P
0
( ) 1 ( ) ,
t
t
P P P P P
1 ( ) (2)
t t st dt
P P Q Q
1 [1 ( )] ( )
t t
P P
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
48. 48
II. Một số PT sai phân cấp 1
(0 1)
t t
S sY s
0
t
t
a
Y Y
a s
1
( ) ( 0)
t t t
I a Y Y a
1 0
t t
a
Y Y
a s
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
49. 49
II. Một số PT sai phân cấp 1
1 0 (0 1)
t t
C C cY c
1 0 0
t t
Y cY C I
0 0
0
( ) ,
1
t
t
C I
Y Y Y c Y Y
c
lthue@vnu.edu.vn
4/2022