Chương 8 giới thiệu về phương trình vi phân (ptvp) với các khái niệm cơ bản, loại hình và cấp độ của ptvp. Tài liệu bao gồm phương pháp giải các loại ptvp tuyến tính cấp 1, cấp 2 và các dạng khác như ptvp Bernoulli và ptvp toàn phần. Ngoài ra, tài liệu cũng đề cập đến bài toán Cauchy và điều kiện ban đầu trong giải ptvp.

1. Chương 8: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
SAI PHÂN
§1: Các khái niệm cơ bản về PTVP
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ - Bộ môn Toán kinh tế & KHDL
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ

2. 2
I. Khái niệm cơ bản về PTVP
Xét các phương trình:
1. x2 + 3x -4 =0 PT đại số
2. x - e2x = 0 PT đại số
3. y’ = x2 + y2 với y=y(x) PT vi phân cấp 1
4. xdy – y2dx = 0 với y=y(x) PT vi phân cấp 1
5. y’’’+2xy’=lnx với y=y(x) PT vi phân cấp 3
6. với u=u(x,y) PT vi phân đạo hàm riêng
7. với u=u(x,y) PT vi phân đạo hàm riêng
' '
x y
u u 0
 
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
2 2
2 2
u u
0,...
x y
 
 
 

3. 3
I. Khái niệm cơ bản về PTVP
Định nghĩa 1: Một phương trình mà đối tượng phải tìm là một
hàm số và hàm số phải tìm có mặt trong phương trình dưới
dạng đạo hàm hoặc vi phân các cấp được gọi là phương trình
vi phân.
 Phương trình vi phân được chia làm hai loại:
PTVP thường là PTVP với hàm số phải tìm là hàm số một biến
số.
VD: y’ = x2 + y2; xdy – y2dx = 0, …
PTVP đạo hàm riêng là PTVP với hàm số phải tìm là hàm số
nhiều biến số.
VD:
2 2
2 2
u u u u
x y u; 0,...
x y x y
   
   
   
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

4. 4
I. Khái niệm cơ bản về PTVP
Định nghĩa 2: Cấp của PTVP là cấp cao nhất của đạo hàm
hoặc vi phân của hàm số phải tìm có mặt trong PTVP đó.
 Định nghĩa 3: Dạng tổng quát của PTVP cấp n như sau:
F(x, y, y’, y”,…,y(n)) = 0 (*)
 Định nghĩa 4: Nghiệm của PTVP (*) là hàm số y = (x) mà
khi thay vào pt (*) ta được đồng nhất thức đúng, tức là:
F(x, (x), ’(x), ”(x),…, (n)(x))  0
 Định nghĩa 5: Giải PTVP nghĩa là tìm tất cả các nghiệm của
PTVP đó. Nghiệm của một PTVP bao gồm các nghiệm có chung
dạng tổng quát và các nghiệm riêng không thuộc dạng tổng
quát đó (nghiệm kì dị).
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

5. 5
II. Khái niệm phương trình vi phân cấp 1
 Dạng tổng quát của ptvp cấp 1 như sau: F(x, y, y’) = 0 (1)
 Dạng đã giải theo đạo hàm: y’ = f(x, y) (2)
 Dạng đối xứng: M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 (3)
 Nghiệm của ptvp cấp 1 có dạng tổng quát như sau: y = (x, C)
(Nếu nghiệm tổng quát viết dưới dạng (x, y, C) = 0 thì được
gọi là tích phân tổng quát của PTVP. Nếu nghiệm tổng quát
gán cho C một giá trị cụ thể gọi là nghiệm riêng. Nếu nghiệm
không thuộc nghiệm tổng quát thì gọi là nghiệm kì dị của
PTVP)
 Bài toán Cauchy:
Tìm nghiệm của ptvp: y’ = f(x,y) hay F(x, y, y’) = 0
thỏa mãn điều kiện ban đầu: y = y0 khi x = x0

6. 6
II. Khái niệm phương trình vi phân cấp 1
 Ví dụ:
 Họ hàm y = C .ex là nghiệm tổng quát của PT : y ′ = y.
 Hàm y =1/x là một nghiệm riêng của PT: xdy + ydx = 0.
 Hàm ẩn xác định bởi phương trình:
là tích phân tổng quát của PTVP:
 Hàm y = ex là nghiệm của bài toán Cauchy:
y ′ = y thỏa mãn y(0)=1.
0
 
ydy xdx
2 2
 
x y C
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

7. Chương 8: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
SAI PHÂN
§2: Cách giải một số PTVP thường cấp 1
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ - Bộ môn Toán kinh tế & KHDL
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ

8. 8
I. PTVP tuyến tính cấp 1
1. Định nghĩa: là ptvp có dạng tổng quát như sau:
y’ + p(x).y = q(x) (1)
 Khi q(x)  0 thì ptvp (1) có dạng: y’ + p(x).y = 0 (2)
được gọi là ptvp tuyến tính cấp 1 thuần nhất liên kết với (1).
 Ptvp (2) có nghiệm tổng quát:
y = C.e-p(x)dx (C là hằng số bất kỳ).
 Ví dụ: Giải PTVP: y’+2xy=0, nghiệm TQ là
Định lý: Nếu y0(x) là nghiệm riêng của ptvp (1) và y(x) là nghiệm
tổng quát của ptvp liên kết (2) thì y0(x) + y(x) là nghiệm tổng
quát của ptvp (1).
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
2
x
y Ce


9. 9
I. PTVP tuyến tính cấp 1
2. Phương pháp giải (Phương pháp biến thiên hằng số)
y’ + p(x).y = q(x) (1)
Bước 1: Giải ptvp thuần nhất liên kết: y’ + p(x).y = 0 ta được
nghiệm tổng quát:
y = C.e-p(x)dx = C.y0(x) (C là hằng số bất kỳ)
Bước 2: Tìm nghiệm tổng quát của ptvp (1) dưới dạng
y = C(x).y0(x); với C(x) là hàm số của x
Tính y' và thay vào (1) ta tìm được biểu thức C’(x) = q(x).y0
-1(x)
Kết luận: Nghiệm tổng quát của (1) có dạng:
1
0 0
y q(x).y (x)dx C .y (x)

 
 
 

lthue@vnu.edu.vn
4/2022

10. 10
I. PTVP tuyến tính cấp 1
3. Sử dụng công thức nghiệm
Công thức nghiệm tổng quát của PTVP tuyến tính cấp 1
không thuần nhất y’ + p(x).y = q(x) (1) là:
Ví dụ: Giải PTVP tuyến tính cấp 1
( ) ( )
( )
p x dx p x dx
y e q x e dx C
 
 
 
 
 

lthue@vnu.edu.vn
4/2022
) ' 2
  x
a y y e 2
) ( 0)
dy y
b x x
dx x
  

11. 11
I. PTVP tuyến tính cấp 1

lthue@vnu.edu.vn
4/2022

12. 12
II. PTVP tách biến
1. Định nghĩa: PTVP tách biến (Ptvp biến số phân ly) có dạng:
M(x)dx + N(y)dy = 0 (1)
Cách giải: Lấy tích phân hai vế ta được:
2. Một số PTVP đưa được về dạng PTVP tách biến
Dạng 1: M1(x).M2(y).dx + N1(x).N2(y).dy = 0 (2)
Cách giải: Trường hợp 1: N1(x).M2(y) = 0 để tìm các nghiệm riêng
của PT(1). Trường hợp 2: N1(x).M2(y) ≠ 0 : Biến đổi ptvp (1) về
dạng:
Lấy tích phân hai vế ta được:
Dạng 2: y’ = f1(x).f2(y) (4)  dy/dx= f1(x).f2(y)
Cách giải: Biến đổi tương tự dạng 1
1 2
1 2
M (x) N (y)
dx dy 0 (3)
N (x) M (y)
 
1 2
1 2
M (x) N (y)
dx dy C
N (x) M (y)
 
 
M(x)dx N(y)dy C
 
 

13. 13
II. PTVP tách biến
Ví dụ: Giải PTVP
2
a. 2xdx 3y dy 0
 
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
b. ydx xdy 0
 
2
c. y(x 1)dx x(y 1)dy 0
   

14. 14
III. Phương trình Bernoulli (đọc thêm)
 Ptvp Bernoulli là ptvp có dạng tổng quát:
y’ + p(x).y = q(x).y với  là hằng số thực khác 0 và 1
Cách giải:
 Ptvp Bernoulli có nghiệm riêng y = 0.
 Chia hai vế của pt cho y ta được pt:
y- .y’ + p(x).y1-  = q(x)
 Đặt z = y1-  thì z’ = (1 - ) y- .y’; ta quy về ptvp tuyến
tính cấp 1 của z đối với x:
z’ + (1 - )p(x).z = (1 - )q(x)
Ví dụ: Giải PTVP
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
2 4/3
2
3
 
dy y
x y
dx x

15. 15
IV. PTVP toàn phần (đọc thêm)
1. Ptvp toàn phần
 Ptvp được gọi là ptvp toàn phần
nếu tồn tại hàm (x,y) sao cho:
 Khi đó (1) có tích phân tổng quát là:
Định lý: Nếu thì (1) là ptvp toàn phần. Khi đó:
với (x0;y0) là điểm bất kỳ thuộc MXĐ của M(x,y) và N(x,y).
M(x,y).dx N(x,y).dy 0 (1)
 
  
d (x, y) M(x, y)dx N(x, y)dy
(x, y) C
 
M N
y x
 

 
0 0
y
x
0
x y
(x,y) M(x,y).dx N(x ,y).dy
  
 
0 0
y
x
0
x y
(x,y) M(x,y ).dx N(x,y).dy
  
 
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

16. 16
IV. PTVP toàn phần (đọc thêm)
1. Ptvp toàn phần
Ví dụ: Giải PTVP
( 1) 0
y y
e dx xe dy
  
2 2 2 3
(3 6 ) (6 4 ) 0
x xy dx x y y dy
   
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

17. 17
IV. PTVP toàn phần (đọc thêm)
2. Phương pháp thừa số tích phân
Cho ptvp: M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 (1)
Nếu nhân hai vế của (1) với p = p(x,y) sao cho:
p.M(x,y).dx + p.N(x,y).dy = 0
là ptvp toàn phần thì p(x,y) được gọi là thừa số tích phân
Gợi ý tìm thừa số tích phân ( Chỉ phụ thuộc 1 biến)
M N
y x
(x)
N
 

 
  
M N
y x
(y)
M
 

 
  
(x)dx
tstp p(x) và p(x) e


  
(y)dy
tstp q(y) và q(y) e
 

 
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

18. Chương 8: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
SAI PHÂN
§3: Phương trình vi phân cấp 2
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ - Bộ môn Toán kinh tế & KHDL
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ

19. 19
I. Khái niệm phương trình vi phân cấp 2
 Dạng tổng quát của PTVP cấp 2 như sau:
F(x, y, y’, y”) = 0
 Dạng đã giải ra theo y”:
y” = f(x, y, y’)
 Nghiệm của PTVP cấp 2 có dạng tổng quát như sau:
y = (x, C1, C2) hoặc (x, y, C1, C2) = 0
 Bài toán Cauchy:
Tìm nghiệm của PTVP cấp 2: F(x, y, y’, y”) = 0
thỏa mãn điều kiện ban đầu:
y = y0 và y’ = y’0 khi x = x0
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

20. 20
II. Một số PTVP cấp 2 có thể hạ cấp
1. PTVP dạng: y” = f(x) (khuyết y và y’)
Lấy tích phân bất định 2 lần ta được nghiệm tổng quát.
2. PTVP dạng: y” = f(x, y’) (khuyết y)
Đặt y’ = z ta có: y” = z’  phương trình quy về PTVP cấp 1:
z’ = f(x, z)
3. PTVP dạng: y” = f(y, y’) (khuyết x)
Đặt z = y’, ta có: y” = z’(x) = z’(y).y’(x) = z’(y).z
PT có dạng PTVP cấp 1 với z là hàm số của y:
z’(y).z = f(y, z)
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

21. 21
III. PTVP tuyến tính cấp 2
 Ptvp tuyến tính cấp 2 là ptvp có dạng tổng quát như sau:
y” + p(x).y’ + q(x).y = f(x) (1)
 Khi f(x)  0 thì PTVP (1) có dạng:
y” + p(x).y’ + q(x).y = 0 (2)
được gọi là ptvp tuyến tính cấp 2 thuần nhất liên kết với (1).
Lưu ý:
 Các phương pháp giải ptvp tuyến tính cấp 2 được tiếp cận
tương tự như phương pháp giải ptvp tuyến tính cấp 1.
 Giải ptvp tuyến tính cấp 2 cần vận dụng một số kiến thức cơ
bản về tập hợp số phức.
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

22. 22
Hàm số độc lập, phụ thuộc tuyến tính
 Các hàm số f1(x), f2(x), …, fm(x) xác định trên tập D được gọi là
phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số thực k1, k2, …, km trong
đó có ít nhất một số khác 0 thỏa mãn:
k1f1(x) +k2f2(x) + … + kmfm(x)  0
 Các hàm số f1(x), f2(x), …, fm(x) xác định trên tập D được gọi là
độc lập tuyến tính nếu đẳng thức
k1f1(x) +k2f2(x) + … + kmfm(x)  0
chỉ thỏa mãn khi k1 = k2 = … = km = 0.
Ví dụ: Các cặp hàm số sau đây là độc lập tuyến tính trên R
1) eax và ebx (a  b) 2) eax và xeax
3) eaxcos bx và eaxsinbx
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

23. 23
Các định lý cơ bản về nghiệm
Ptvp tuyến tính cấp 2 thuần nhất:
y” + p(x).y’ + q(x).y = 0 (2)
Định lý:
 Nếu y(x) là một nghiệm của (2) thì C.y(x), với C là hằng số bất
kỳ, cũng là nghiệm của (2).
 Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm của (2) thì y1(x) + y2(x) cũng
là nghiệm của (2).
 Nếu y(x) = u(x) + iv(x) là một nghiệm phức của (2) thì u(x) và
v(x) là các nghiệm thực của (2).
 Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của (2) thì
C1y1(x) + C2y2(x) là nghiệm tổng quát của (2), trong đó C1 và
C2 là các hằng số bất kỳ.
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

24. 24
Các định lý cơ bản về nghiệm
Ptvp tuyến tính cấp 2 tổng quát:
y” + p(x).y’ + q(x).y = f(x) (1)
Ptvp tuyến tính cấp 2 thuần nhất liên kết:
y” + p(x).y’ + q(x).y = 0 (2)
Định lý:
Nếu y*(x) là một nghiệm riêng của (1) và y1(x), y2(x) là hai
nghiệm độc lập tuyến tính của ptvp tuyến tính cấp 2 thuần nhất
liên kết (2) thì nghiệm tổng quát của (1) có dạng:
y = y*(x) + C1y1(x) + C2y2(x)
C1 và C2 là các hằng số bất kỳ.
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

25. 25
IV. PTVP tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
1. PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng
y” + p.y’ + q.y = 0 (2), với p và q là hằng số
Tìm nghiệm của (2) dưới dạng y = ekx, ta suy ra k thỏa mãn:
k2 + p.k + q = 0 (*) gọi là PT đặc trưng của (2)
 Nếu (*) có 2 nghiệm thực phân biệt k1=a, k2=b thì (2) có
nghiệm tổng quát là y= C1eax + C2 ebx.
 Nếu (*) có nghiệm thực kép k1 = k2 = k thì (2) có nghiệm tổng
quát là y=(C1 + C2x)ekx.
 Nếu (*) có 2 nghiệm phức liên hợp k =   i thì (2) có nghiệm
tổng quát là y= ex (C1 cosx + C2 sinx)
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

26. 26
IV. PTVP tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
1. PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất hệ số hằng
Ví dụ 1: Giải các phương trình vi phân cấp 2:
a. y’’ + 7y’ + 10y = 0
b. y’’ - 6y’ + 9y = 0
c. y’’ + 4y’ + 13y = 0
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

27. 27
IV. PTVP tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
2. Phương pháp giải PTVP cấp 2 không thuần nhất
y” + p.y’ + q.y = f(x) (1)
Bước 1: Giải ptvp thuần nhất liên kết:
y” + p.y’ + q.y = 0 (2)
ta được nghiệm tổng quát:
y0 (x)= C1y1(x) + C2y2(x) (C1, C2 là hằng số bất kỳ)
Bước 2: Tìm nghiệm riêng y*(x) của (1)
Bước 3: Nghiệm tổng quát của (1) có dạng:
y = y*(x) + y0(x) = y*(x) + C1y1(x) + C2y2(x)
(C1, C2 là hằng số bất kỳ)
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

28. 28
IV. PTVP tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

lthue@vnu.edu.vn
4/2022

29. 29
IV. Ptvp tuyến tính cấp 2 hệ số hằng

lthue@vnu.edu.vn
4/2022

30. 30
IV. Ptvp tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
b) Cách giải PTVP dạng (đọc thêm)
y” + p.y’ + q.y = eax[P1(x)cosbx + P2(x)sinbx] (1)
Bước 1: Giải ptvp thuần nhất liên kết: y” + p.y’ + q.y = 0 (2)
Phương trình đặc trưng: k2 +pk+q=0 (3)
 nghiệm tổng quát của pt thuần nhất là: y0 (x)
Bước 2: Tìm nghiệm riêng y*(x) của (1):
 Nếu k = a  bi không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng thì
pt (1) có nghiệm riêng dạng:
y*(x) = eax[Q1(x)cosbx + Q2(x)sinbx]
Q1(x) và Q2(x) là các đa thức có bậc là max{bậc P1(x), bậc P2(x)}
 Nếu k = a  bi là nghiệm của phương trình đặc trưng thì pt (1) có
nghiệm riêng dạng:
y*(x) = xeax[Q1(x)cosbx + Q2(x)sinbx]
Bước 3: Nghiệm tổng quát của (1) có dạng:
y = y*(x) + y0(x) (C1, C2 là hằng số bất kỳ)
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

31. 31
IV. Ptvp tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
c) Nguyên lý “chồng chất” nghiệm (đọc thêm)
Xét các phương trình vi phân:
y” + p.y’ + q.y = f(x) (1)
y” + p.y’ + q.y = g(x) (2)
trong đó, p và q là các số thực.
Định lý:
Nếu y1(x) là một nghiệm của (1) và y2(x) là một nghiệm của (2)
thì tổng y1(x) + y2(x) là nghiệm của phương trình:
y” + p.y’ + q.y = f(x) + g(x)
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

32. 32
IV. Ptvp tuyến tính cấp 2 hệ số hằng
3. Phương pháp biến thiên hằng số (đọc thêm)
Giải PTVP: y” + p.y’ + q.y = f(x) (1), f(x) khác dạng 2.a, 2.b
Bước 1: Giải Ptvp thuần nhất liên kết được nghiệm tổng quát:
y = C1.y1(x) + C2.y2(x) (C1, C2 là hằng số bất kỳ)
Bước 2: Tìm nghiệm tổng quát của Ptvp (1) dưới dạng
y = C1(x).y1(x) + C2(x).y2(x) (C1(x) và C1(x) là hàm số của x)
C’1(x) và C’2(x) sẽ tìm được từ hệ pt:
Tích phân C’1(x) và C’2(x) để tính C1(x) và C2(x). Từ đó có nghiệm
tổng quát của (1)
1 1 2 2
1 1 2 2
y (x).C' (x) y (x).C' (x) 0
y '(x).C' (x) y '(x).C' (x) f(x)
 


 

lthue@vnu.edu.vn
4/2022

33. Chương 8: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
SAI PHÂN
§4: Phân tích động trong kinh tế
(đọc thêm)
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ - Bộ môn Toán kinh tế & KHDL
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ

34. 34
I. Một số PTVP cấp 1 trong kinh tế

lthue@vnu.edu.vn
4/2022

35. 35
I. Một số PTVP cấp 1 trong kinh tế

( )
dk
s k k
dt

  
( ) ( )
dK
I t sY t
dt
 
( 0)
dL
L
dt
 
 
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

36. 36
I. Một số PTVP cấp 1 trong kinh tế
3. Mô hình điều chỉnh giá thị trường
 Giả sử lượng cung và cầu của một loại hàng hóa như sau:
 Giá cân bằng là
 Giả thiết tốc độ biến thiên của giá cả tỷ lệ thuận với lượng dư
cầu:
 Khi đó ta được PTVP:
 Nghiệm của pt có dạng:
( ) ( )
dP
b d P a c
dt
 
   
( )
( ) [P(0)-P]e b d t
P t P

 
 
( ), 0
d s
dP
Q Q
dt
 
  
;
d s
Q a bP Q c dP
    
a c
P
b d



lthue@vnu.edu.vn
4/2022

37. 37
II. Một số PTVP cấp 2 trong kinh tế
1. Mô hình thị trường với kì vọng giá
 Xét hàm cung và hàm cầu dưới dạng
 Quỹ thời gian của giá thị trường
 Giả sử xét mô hình tuyến tính
 Giả sử chỉ có hàm cầu chứa kì vọng giá khi đó ta có PT
 Trạng thái cân bằng là:
' ''
' ''
d
s
Q a bP P P
Q c dP P P
 
 
   


    

a c
P
b d



'' '
b d a c
P P P

  
 
   
[P(t),P'(t),P''(t)]=D[P(t),P'(t),P''(t)]
S
[P(t),P'(t),P''(t)]; Q =D[P(t),P'(t),P''(t)]
st dt
Q S

lthue@vnu.edu.vn
4/2022

38. 38
II. Một số PTVP cấp 2 trong kinh tế
2. Mô hình điều chỉnh giá có tính đến hàng hóa tồn đọng
 Được biểu diễn dưới dạng PT:
 Giả thiết hàm cung và hàm cầu có dạng:
 Khi đó mô hình được đưa về PTVP cấp 2:
 Trạng thái cân bằng ổn định động:
0
( ) [ ( ) ( )]
t
d s d s
dP
Q Q Q x Q x dx
dt
 
   

;
d s
Q a bP Q c dP
    
2
2
( ) ( ) ( )
d P dP
b d b d P a c
dt dt
  
     
a c
P
b d



lthue@vnu.edu.vn
4/2022

39. 39
II. Một số PTVP cấp 2 trong kinh tế
3. Mô hình ô nhiễm môi trường
 Gọi y là lượng cacbon dioxit, hàm lượng đó tuân theo quy luật
và PT:
 Trong đó x là lượng cacbon dioxit do các xí nghiệp thải và tuân
theo quy luật:
 Khi đó mô hình là hệ 2 PTVP cấp 1 được đưa về PTVP cấp 2:
 Giải PTVP cấp 2 tìm được y:
dy
x y
dt

 
2
2
bt
d y dy
y ae
dt dt
 
  
2
bt
ae
y
b b
 

 
lthue@vnu.edu.vn
4/2022
bt
dx
ae y
dt

 

40. Chương 8: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ
SAI PHÂN
§5: Phương trình sai phân (đọc thêm)
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
Giảng viên: TS. Lê Thị Huệ - Bộ môn Toán kinh tế & KHDL
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ

41. 41
I. Khái niệm sai phân và PT sai phân

lthue@vnu.edu.vn
4/2022

42. 42
I. Khái niệm sai phân và PT sai phân

2
( , , , ,..., ) 0
n
t t t t
t y y y y
    
1
( , , ,..., ) 0
t t t n
F t y y y
  
1 1
( , , ,..., )
t n t t t n
y f t y y y
   

lthue@vnu.edu.vn
4/2022

43. 43
I. Khái niệm sai phân và PT sai phân

1 2
( , , ,..., )
t n
y t C C C


lthue@vnu.edu.vn
4/2022

44. 44
II. Một số PT sai phân cấp 1

lthue@vnu.edu.vn
4/2022
Yt+1 -2Yt =7

45. 45
II. Một số PT sai phân cấp 1

lthue@vnu.edu.vn
4/2022

46. 46
II. Một số PT sai phân cấp 1
3. Một số mô hình PTSP tuyến tính cấp 1 trong kinh tế
a. Mô hình Cobweb
 Phương trình (1) là PTSP ôtônôm tuyến tính cấp 1. Ta tìm được
nghiệm tổng quát là:
, 1 , 1
, 1 1 1
, 1 1
( 0, 0) (1)
( 0, 0)
d t s t
d t t t t
s t t
Q Q
Q P P P
Q P
  
   
 
   
 
  
 
 
 
      

     

0
( ) ,
t
t
P P P P P
  
  
  
    
  
 
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

47. 47
II. Một số PT sai phân cấp 1
b. Mô hình thị trường có hàng hóa tồn đọng
Các giả thiết của mô hình:
 Lượng cung và cầu là hàm tuyến tính
 Lượng điều chỉnh:
 Với các giả thiết trên ta có PTSP:
 Nghiệm của phương trình có dạng:
1
1
( 0, 0)
( 0, 0)
dt t
st t
Q P
Q P
   
   


   


    

 
0
( ) 1 ( ) ,
t
t
P P P P P
 
  
 

     

1 ( ) (2)
t t st dt
P P Q Q

    
1 [1 ( )] ( )
t t
P P
     
     
lthue@vnu.edu.vn
4/2022

48. 48
II. Một số PT sai phân cấp 1

(0 1)
t t
S sY s
  
0
t
t
a
Y Y
a s
 
  

 
1
( ) ( 0)
t t t
I a Y Y a

  
1 0
t t
a
Y Y
a s

 

lthue@vnu.edu.vn
4/2022

49. 49
II. Một số PT sai phân cấp 1

1 0 (0 1)
t t
C C cY c
    
1 0 0
t t
Y cY C I
   
0 0
0
( ) ,
1
t
t
C I
Y Y Y c Y Y
c

   

lthue@vnu.edu.vn
4/2022