This is an essay in Vietnamese.

1. Tiểu luận điện động lực: BỨC XẠ ĐIỆN TỪ
Lê Đại Nam,1, 2, a)
Nguyễn Lê Đức Thịnh,3, 4, b)
Dương Thấy,3, 5, c)
Bùi Chí Thành,3, 6, d)
and Lưu Hoàng
Nhân3, 7, e)
1)
NCS Vật lý lý thuyết tại ĐHKHTN, ĐHQG Tp. Hồ Chí Minh
2)
Mã NCS: 15 311 02
3)
HVCH Vật lý lý thuyết tại ĐHKHTN, ĐHQG Tp. Hồ Chí Minh
4)
Mã HVCH: 16C 31 018
5)
Mã HVCH: 16C 31 006
6)
Mã HVCH: 16C 31 016
7)
Mã HVCH: 16C 31 014
(Dated: Ngày 20 tháng 3 năm 2017)
Bức xạ điện từ là một quá trình phổ biến trong tự nhiên và hiện nay được áp dụng nhiều trong đời sống: từ
truyền hình, ra-đa, kết nối không dây đến khảo sát các vật thể ở rất xa trong vũ trụ, . . . . Lí thuyết về trường
điện từ của J. C. Maxwell cho phép chúng ta xác định trường bức xạ, dòng bức xạ và năng lượng mất mát
cho bức xạ điện từ. Ở đây, nhóm chúng tôi trình bày tóm tắt lí thuyết cơ bản về bức xạ điện từ tổng quát
và áp dụng trong một số trường hợp cụ thể: bức xạ do lưỡng cực điện, do lưỡng cực từ, do tứ cực điện và do
điện tích chuyển động có gia tốc.
CONTENTS
I. Khái niệm bức xạ điện từ 1
II. Trường điện từ tổng quát - Thế trễ 2
A. Thế vô hướng và thế vector 2
B. Hàm Green trễ - Thế trễ 3
C. Hệ phương trình Jefimenko - Trường điện từ tổng quát 4
III. Bức xạ điện từ 5
A. Bức xạ đa cực 5
1. Bức xạ lưỡng cực điện 7
2. Bức xạ lưỡng cực từ và tứ cực điện 9
B. Bức xạ do điện tích chuyển động 11
1. Trường điện từ do điện tích chuyển động 11
2. Bức xạ Larmor 12
3. Hiệu chỉnh Liénard của bức xạ Larmor 13
4. Phản lực của bức xạ điện từ Abraham - Lorentz 14
IV. Kết luận 15
Tài liệu 15
I. KHÁI NIỆM BỨC XẠ ĐIỆN TỪ
Bức xạ của trường điện từ chính là sóng điện từ lan truyền trong các môi trường khác nhau với nguồn chính là sự
phân bố của các điện tích. Khi nghiên cứu bức xạ điện từ, ta chỉ xét những trường hợp mà các thành phần E và B
của trường điện từ có xu hướng giảm chậm hơn hoặc vào cỡ hàm 1/r tại các khoảng cách xa so với nguồn1,2
giá trị lớn nhất của n để lim
r→+∞
rn
|E|, lim
r→+∞
rn
|B| < +∞ là nmax ≤ 1. (1)
a)Electronic mail: ldn28593@gmail.com
b)Electronic mail: nglducthinh@gmail.com
c)Electronic mail: duongthay@gmail.com
d)Electronic mail: chithanhnhatrangthientai@gmail.com
e)Electronic mail: hnhanxiii@gmail.com

2. 2
Ở những trường hợp này, công suất bức xạ của trường điện từ, tức là thông lượng của vector Umow - Poynting, và
động lượng (xung lượng) của trường điện từ ở rất xa phải khác không1,2
:
P(t) = lim P r, t +
r
c
= 0, (2)
p(t) = lim p r, t +
r
c
= 0, (3)
với
P (r, t ) =
1
µ0 S
(E × B) · ˆrr2
dΩ, (4)
p (r, t ) = 0
V
(E × B) r2
drdΩ. (5)
Do đó, năng lượng và xung lượng của trường điện từ bị mất mát dần ở rất xa và quá trình bức xạ là một quá trình
không thuận nghịch. Trường hợp điện tích đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều và các dòng điện không đổi, do vậy,
sẽ không được xem là nguồn bức xạ do giảm theo hàm 1/r21,2
.
II. TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TỔNG QUÁT - THẾ TRỄ
A. Thế vô hướng và thế vector
Trường điện từ E (r, t), D (r, t), B (r, t), H (r, t) trong môi trường có phân bố điện tích ρ = ρ (r, t) và phân bố dòng
điện J = J (r, t) được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell vĩ mô3
· D = ρ, × E = −
∂B
∂t
,
· B = 0, × H = J +
∂D
∂t
. (6)
Từ phương trình bảo toàn từ thông
· B = 0,
ta suy ra tồn tại một trường vector A (r, t), được gọi là thế vector, sao cho3
B = × A. (7)
Thay (7) vào phương trình mô tả định luật Faraday về cảm ứng điện từ
× E = −
∂B
∂t
= − ×
∂A
∂t
,
thì ta luôn tìm được một trường vô hướng Φ (r, t), được gọi là thế vô hướng, sao cho1
E = − Φ −
∂A
∂t
. (8)
Trong chân không thì = 1 và µ = 1 thì thay (7) và (8) vào hai phương trình còn lại của hệ phương trình Maxwell
(6), ta được
3 2
−
1
c2
∂2
∂t2
Φ −
∂
∂t
· A −
1
c2
∂Φ
∂t
= −
ρ
0
, (9)
2
−
1
c2
∂2
∂t2
A + · · A −
1
c2
∂Φ
∂t
= −µ0J. (10)
Hai phương trình (9) và (10) có thể trở thành hai phương trình D’Alembert không thuần nhất3
2
−
1
c2
∂2
∂t2
Φ = −
ρ
0
, (11)
2
−
1
c2
∂2
∂t2
A = −µ0J. (12)

3. 3
nếu ta chọn thế vô hướng Φ và A thỏa định chuẩn Lorentz1–3
· A −
1
c2
∂Φ
∂t
= 0. (13)
Các phương trình (11), (12) và (13) giúp ta xác định được thế vô hướng Φ và thế vector A. Từ đó, ta có thể xác định
được trường điện từ E, D, B, H.
B. Hàm Green trễ - Thế trễ
Hai phương trình (11) và (12) có nghiệm tổng quát dưới dạng3
Φ (r, t) =
1
4π 0
G (r, t; r , t ) ρ (r , t ) d3
r dt , (14)
A (r, t) =
µ0
4π
G (r, t; r , t ) J (r , t ) d3
r dt , (15)
với G (r, t; r , t ) là hàm Green của toán tử D’Alembert3
= 2
−
1
c2
∂2
∂t2
,
hay cụ thể hơn là nghiệm của phương trình3
G (r, t; r , t ) = −4πδ (r − r ) δ (t − t ) . (16)
Để giải phương trình (16), ta sử dụng phép biến đổi Fourier f → F:
f (r, t) =
1
2π
+∞
−∞
F (r, ω) exp (−iωt)dω,
nhằm đưa phương trình (16) về dạng tách biến được
2
+
ω2
c2
G (r, ω; r , t ) = −4πδ (r − r ) exp (iωt ), (17)
có hai nghiệm độc lập tuyến tính là
G(±)
(r, ω; r , t ) =
exp (±
iω|r − r |
c
)
|r − r |
exp (iωt ). (18)
Tương ứng với hai nghiệm này là hai hàm Green sớm và trễ G(±)
(r, t; r , t ) có dạng3
G(±)
(r, t; r , t ) =
δ t − t
|r − r |
c
|r − r |
. (19)
Thay (19) vào (14) và (15), ta được hai cặp nghiệm độc lập tuyến tính của thế vô hướng và thế vector ứng với hàm
Green sớm và trễ3
Φ(±)
(r, t) =
1
4π 0
ρ r , t
|r − r |
c
|r − r |
d3
r , (20)
A(±)
(r, t) =
µ0
4π
J r , t
|r − r |
c
|r − r |
d3
r . (21)

4. 4
Các thế sớm mô tả trường điện từ tồn tại ngay cả trước khi các nguồn điện tích điểm và các dòng điện xuất hiện, do
đó, không có ý nghĩa vật lý khi mô tả trường điện từ. Vì vậy, chỉ có trường điện từ được mô tả bởi các thế vô hướng
và thế vector trễ mới có ý nghĩa vật lý
Φ (r, t) =
1
4π 0
ρ r , t −
|r − r |
c
|r − r |
d3
r , (22)
A (r, t) =
µ0
4π
J r , t −
|r − r |
c
|r − r |
d3
r . (23)
Thế vô hướng trễ (22) và thế vector trễ (23) có thể được chứng minh là thỏa mãn định chuẩn Lorentz (13) bằng một
số tính toán đơn giản và sử dụng định luật bảo toàn điện tích
∂ρ
∂t
+ · J = 0,
nhưng chúng tôi không tiện trình bày trong tiểu luận này.
Từ thế vô hướng (22) và thế vector (23), thay vào (7) và (8) thì ta có thể xác định được E và B của trường điện
từ. Tuy nhiên các tính toán tương đối phức tạp, do đó, ta sẽ chứng minh các thành phần E và B cũng thỏa phương
trình có dạng giống như phương trình (11) và (12) - hệ phương trình Jefimenko mà chúng tôi sẽ trình bày ở mục II C.
C. Hệ phương trình Jefimenko - Trường điện từ tổng quát
Như đã đề cập ở trên, ta có thể dẫn ra một hệ phương trình có dạng giống như phương trình (11) và (12) để mô
tả các thành phần E và B. Tác dụng × vào phương trình (12) và nhớ rằng B liên hệ với A qua (7) thì ta được
B = −µ0 × J.
Tương tự, tác dụng vào (12), ∂/∂t vào (11) và nhớ rằng E xác định từ Φ và A qua (8) thì ta được
E = −
1
0
− ρ −
∂J
∂t
.
Hệ hai phương trình vi phân vừa được xây dựng ở trên3
:
E = −
1
0
ρ −
1
c
∂J
∂t
, (24)
B = −µ0 × J, (25)
có dạng giống hệt (11), (12) nếu xem (− ρ − ∂J/∂t) và × J đóng vai trò là nguồn của E và B. Do đó, nghiệm
của hai phương trình (24) và (25) có thể biểu diễn thông qua hàm Green tương tự (14) và (15)3
:
E =
1
4π 0
G (r, t; r , t ) − ρ −
1
c
∂J
∂t
d3
r dt , (26)
B =
µ0
4π
G (r, t; r , t ) ( × J) d3
r dt . (27)
Như đã giải thích ở mục II B, hàm Green trễ G(−)
mới mang ý nghĩa vật lý, mô tả trường điện từ xuất hiện sau khi
cảm nhận được sự xuất hiện của nguồn, nên hai phương trình (26) và (27) có thể viết lại thành
E =
1
4π 0
1
|r − r |
− ρ −
1
c
∂J
∂t t =t−|r−r |/c
d3
r , (28)
B =
µ0
4π
1
|r − r |
[ × J]t =t−|r−r |/c d3
r . (29)
Ta xem [· · · ]t =t−|r−r |/c như một toán tử, kí hiệu tạm thời là [· · · ]trễ thì ta có các hệ thức giao hoán tử sau (kí hiệu
f ◦ g nghĩa là thực hiện toán tử g trước, toán tử f sau)4
:
[· · · ]trễ ◦ = ◦ [· · · ]trễ −
r − r
|r − r |
[· · · ]trễ ◦
1
c
∂
∂t
và [· · · ]trễ ◦
∂
∂t
=
∂
∂t
◦ [· · · ]trễ .

5. 5
Khi đó, kết hợp với tích phân từng phần cho các số hạng có chứa toán tử thì các phương trình (28) và (29) có thể
viết lại dưới dạng có chứa các số hạng thể hiện định luật Coulomb và định luật Biot-Savart-Laplace được gọi là các
phương trình Jefimenko3
:
E =
1
4π 0
ρ r , t −
|r − r |
c
r − r
|r − r |3
+
∂
∂t
ρ r , t −
|r − r |
c
r − r
c|r − r |2
−
1
c2|r − r |
∂
∂t
J r , t −
|r − r |
c
d3
r , (30)
B =
µ0
4π
J r , t −
|r − r |
c
×
r − r
|r − r |3
+
∂
∂t
J r , t −
|r − r |
c
×
r − r
c|r − r |2
d3
r , (31)
III. BỨC XẠ ĐIỆN TỪ
Hệ hai phương trình Jefimenko (30) và (31) cho phép ta xác định trường điện từ trong trường hợp tổng quát. Tuy
nhiên, như đã đề cập ở phần đầu tiên I, bức xạ điện từ chỉ tồn tại với các thành phần E và B giảm chậm hơn 1/r ở
giới hạn r rất lớn. Do đó, chỉ có một số thành phần trong trường điện từ đóng góp vào bức xạ điện từ. Trong tiểu
luận này, chúng tôi khảo sát hai trường hợp cơ bản của bức xạ điện từ: bức xạ đa cưc và bức xa do điện tích điểm
chuyển động.
A. Bức xạ đa cực
Đối với trường hợp nguồn điểm và dòng điện thay đổi theo thời gian nhưng định xứ ở một vùng không gian nhất
định thì tính chất của trường điện từ rất phụ thuộc vào khoảng cách từ nguồn điểm và dòng điện đến điểm mà chúng
ta đang xét. Ở đây, ta chỉ xét trường điện từ ở rất xa so với nguồn (xa như thế nào sẽ được đề cập cụ thể sau). Khi
đó, trường điện từ có thể biểu diễn dưới dạng một khai triển gồm đóng góp của các thành phần đa cực khác nhau.
Bức xạ tương ứng với đóng góp của các đa cực được gọi là bức xạ đa cực.
Phân bố điện tích ρ và dòng điện J có thể viết dưới dạng khai triển Fourier3
ρ (r, t) =
1
2π
ρ (r, ω) exp (−iωt)dω, (32)
J (r, t) =
1
2π
J (r, ω) exp (−iωt)dω. (33)
Khai triển Fourier (32) và (33) không chỉ đơn thuần là một phép biến đổi tích phân đầy màu sắc toán học mà còn
cho chúng ta một nhận xét rất vật lý: phân bố điện tích và dòng điện thay đổi theo thời gian là chồng chất của các
phân bố dạng sin hoặc cos với các tần số góc ω khác nhau3
ρ (r, ω) exp (−iωt) và J (r, ω) exp (−iωt), (34)
nên theo nguyên lí chồng chất thì trường điện từ E, B (và đương nhiên là thế tương ứng φ, A) đều là chồng chất của
trường điện từ dạng sin hoặc cos
E (r, ω) exp (−iωt) và B (r, ω) exp (−iωt), (35)
Φ (r, ω) exp (−iωt) và A (r, ω) exp (−iωt) ,
nên ta chỉ cần khảo sát bức xạ điện từ với trường hợp dao động điều hòa dạng sin hoặc cos thuần túy là đủ.
Áp dụng khai triển Fourier (32) và (33) vào hệ phương trình Jefimenko (30) và (31) thì ta xác định được các thành
phần biên độ E (r, ω) và B (r, ω) của trường điện từ4
E =
1
4π 0
ρ
r − r
|r − r |3
−
iωρ
c
r − r
|r − r |2
+
iωJ
c2|r − r |
exp
iω|r − r |
c
d3
r , (36)
B =
µ0
4π
J ×
r − r
|r − r |3
−
iω
c
J ×
r − r
|r − r |2
exp
iω|r − r |
c
d3
r . (37)

6. 6
Từ phương trình liên tục ∂ρ/∂t + · J = 0, ta suy ra liên hệ giữa ρ và J:
iωρ = · J. (38)
Thay (38) vào (36), ta có thể viết lại (36) thành
E =
1
4π 0
ρ
r − r
|r − r |3
−
· J
c
r − r
|r − r |2
+
iωJ
c2|r − r |
exp
iω|r − r |
c
d3
r . (39)
Số hạng ở giữa trong (39) thì ta có thể biến đổi bằng cách sử dụng tích phân từng phần và hệ thức tích ba vector
Lagrange a × (b × c) = (c · a)b − (a · b)c ta được4
E =
1
4π 0
ρ
r − r
|r − r |3
+
J · (r − r ) (r − r ) + J × (r − r ) × (r − r )
c|r − r |4
−
iω J × (r − r ) × (r − r )
c2|r − r |3
exp
iω|r − r |
c
d3
r .
(40)
Hai phương trình (37) và (40) mô tả biên độ dao động E và B của trường điện từ ứng với dao động sin exp (−iωt).
Khảo sát E và B ở miền bức xạ r 2πc/ω d với d là kích thước đặc trưng của phân bố điện tích và dòng điện,
ta thấy các thành phần Coulomb và Biot-Savart-Laplace trễ trong (40) và (37)3
1
4π 0
ρ
r − r
|r − r |3
exp
ω|r − r |
c
d3
r ∼
exp (iωr/c)
r2
,
µ0
4π
J ×
r − r
|r − r |3
exp
ω|r − r |
c
d3
r ∼
exp (iωr/c)
r2
,
đều tiệm cận r−2
exp (ωr/c) nên không đóng góp gì vào bức xạ điện từ. Ngoài ra, thành phần thứ hai của E cũng có
tính chất tương tự3
1
4π 0
J · (r − r ) (r − r ) + J × (r − r ) × (r − r )
c|r − r |4
exp
iω|r − r |
c
d3
r ∼
exp (iωr/c)
r2
,
nên cũng không đóng góp gì vào bức xạ điện từ. Do đó, trường điện từ bức xạ chỉ gồm các thành phần còn lại4
Ebức xạ =
1
4π 0
ω
ic2
J × (r − r ) × (r − r )
|r − r |
exp
iω|r − r |
c
d3
r , (41)
Bbức xạ =
µ0
4π
ω
ic
J ×
r − r
|r − r |2
exp
iω|r − r |
c
d3
r . (42)
Các hệ thức (41) và (42) chưa thực sự mô tả chính xác những thành phần nào đóng góp vào bức xạ điện từ ở xa
vô cùng. Như chúng tôi đã đề cập ở phần I, chỉ có các thành phần tỉ lệ với 1/r mới đóng góp vào bức xạ điện từ. Do
đó, chúng ta phải loại bỏ các thành phần giảm nhanh hơn 1/r, tức là các rất nhỏ bậc cao hơn 1/r, hay chính xác là
các rất nhỏ O(1/r2
) có trong (41) và (42). Sử dụng các xấp xỉ và khai triển sau đây3
:
r − r
|r − r |
≈ ˆr,
1
|r − r |
≈
1
r
, |r − r | ≈ r − ˆr · r , exp
−iω/cˆr · r
c
=
n
(−iω)
n
n!
(ˆr · r )
n
,
thì hai phương trình (41) và (42) trở thành
Ebức xạ ≈
1
4π 0
ω
ic2
exp (iωr/c)
r n
(−iω/c)n
n!
J (r ) (ˆr · r )
n
d3
r × ˆr × ˆr, (43)
Bbức xạ ≈
µ0
4π
ω
ic
exp (iωr/c)
r n
(−iω/c)n
n!
J (r ) (ˆr · r )
n
d3
r × ˆr. (44)
Ta dễ dàng thấy được mối liên hệ giữa Ebức xạ và Bbức xạ là một sóng ngang giống như sóng phẳng đơn sắc (thực ra
là giống sóng cầu bởi vì biên độ giảm dần theo hàm 1/r)1,3
Ebức xạ = cBbức xạ × ˆr. (45)

7. 7
Điều này cũng dễ hiểu bởi trường điện từ bức xạ mà ta đang khảo sát ở rất xa so với nguồn điện và dòng điện, do
đó, thực chất trường điện từ bức xạ Ebức xạ và Bbức xạ là nghiệm của hệ phương trình Maxwell (6) tại vùng không
gian ρ = 0 và J = 0.
Từng số hạng trong tổng
n
(−iω/c)n
n!
J (r ) (ˆr · r )
n
d3
r = J (r ) d3
r −
iω
c
J (r ) (ˆr · r ) d3
r +
(iω)2
2c2
J (r ) (ˆr · r )
2
d3
r + . . . , (46)
tương ứng với đóng góp của từng đa cực khác nhau trong bức xạ điện từ3
. Chúng ta sẽ lần lượt khảo sát từng số hạng
để xem đóng góp của chúng là như thế nào. Cụ thể ở đây, chúng tôi khảo sát hai số hạng đầu tiên ứng với n = 0 và
n = 1 tương ứng với bức xạ của lưỡng cực điện, lưỡng cực từ và tứ cực điện.
Trước khi đi vào mô tả chi tiết trường điện từ bức xạ ở các số hạng bậc thấp, chúng tôi nhắc lại vector Umow-
Poynting trung bình theo thời gian ứng với bức xạ tần số góc ω là1,3
S bức xạ =
1
2µ0
Ebức xạ × B∗
bức xạ
=
c2
2Z0
|Bbức xạ|2
ˆr. (47)
với Z0 = µ0/ 0 là trở kháng của chân không. Do đó, phân bố của công suất bức xạ trung bình theo góc khối là1,3
dPbức xạ
dΩ
= r2
S bức xạ · ˆr =
c2
2Z0
|Bbức xạ|2
r2
. (48)
1. Bức xạ lưỡng cực điện
Số hạng đầu tiên ứng với n = 0 trong (46) là
J (r ) d3
r
có thể biến đổi lại thông qua tích phân từng phần thì ta được
J (r ) d3
r =
j
ej xjJ · dS − r · J d3
r = −iω r ρd3
r = −iωp,
với p (ω) = r ρ (r , ω) d3
r chính là moment lưỡng cực điện của nguồn bức xạ3
.
Nếu nguồn bức xạ là một lưỡng cực điện thuần túy (điển hình là ăn-ten thẳng hoặc các phân tử trong khí quyển)
thì trường điện từ bức xạ của lưỡng cực có dạng1,3
Ebức xạ lưỡng cực điện ≈ −
1
4π 0
ω2
c2
exp (iωr/c)
r
[p × ˆr] × ˆr, (49)
Bbức xạ lưỡng cực điện ≈ −
µ0
4π
ω2
c
exp (iωr/c)
r
p × ˆr. (50)
Thay (50) vào (48) ta được1,3
dPbức xạ lưỡng cực điện
dΩ
=
Z0
32π2c2
ω4
|p × ˆr|2
=
Z0
32π2c2
ω4
|p|2
sin2
θ, (51)
với θ là góc hợp bởi p và r. Ta dễ dàng tháy từ (51) rằng công suất bức xạ lớn nhất là ở phương vuông góc với lưỡng
cực θ = ±π/2 và không có bức xạ ở dọc trên phương của lưỡng cực θ = 0, π1,3
. Phân bố công suất bức xạ trung bình
theo góc khối thể hiện qua hình III A 1
Tổng công suất bức xạ trung bình là1,3
Pbức xạ lưỡng cực điện =
Z0
12πc2
ω4
|p (ω) |2
. (52)

8. 8
Hình 1. Phân bố công suất bức xạ điện từ trung bình của một lưỡng cực điện trong không gian.
Ví dụ: Tán xạ Rayleigh và màu sắc của bầu trời. Ở đây chúng tôi đề cập đến một trong những ví dụ điển hình
nhất của bức xạ lưỡng cực là tán xạ Rayleigh. Định luật Rayleigh về tán xạ giúp chúng ta giải thích tại sao bầu trời
ban ngày có màu xanh và lúc bình minh hay hoàng hôn thì lại thấy mặt trời có màu đỏ.
Tán xạ Rayleigh là tán xạ giữa ánh sáng mặt trời với các phân tử phân cực (điển hình là phân tử hơi nước) trên
khí quyển. Các phân tử phân cực có thể được xem như hai quả cầu tích điện trái dấu liên kết bởi một lò xo (bởi vì
các phân tử chỉ dao động quay vị trí cân bằng bền của chúng)3
. Khi đó, thành phần điện trường của ánh sáng nằm
dọc trên trục của phân tử làm các điện tích dao động quay vị trí cân bằng của chúng, do đó, moment lưỡng cực điện
của chúng thay đổi theo thời gian như hình III A 1 Bức xạ lưỡng cực phát ra từ các phân tử có phương vuông góc
Hình 2. Tương tác giữa phân tử và ánh sáng tới.
Ánh sáng tới kích thích phân tử dao động và phát ra bức xạ lưỡng cực theo phương vuông góc với ánh sáng tới.
với ánh sáng tới. Theo (52), tổng công suất bức xạ lưỡng cực điện tỉ lệ với ω4
∼ λ−4
, điều này giúp giải thích tại sao
trong định luật Rayleigh cường độ của ánh sáng tán xạ tỉ lệ nghịch với lũy thừa bậc 4 của bước sóng. Do đó, ở điều
kiện chiếu sáng thông thường vào ban ngày thì bức xạ có bước sóng càng ngắn có cường độ càng lớn. Điều này giải
thích vì sao ban ngày bầu trời màu xanh1
.
Ngoài ra, do bức xạ lưỡng cực lớn nhất ở hướng vuông góc với lưỡng cực nên chỉ có bức xạ của các lưỡng cực tiếp
tuyến với bề mặt trái đất tại nơi quan sát tới được mắt người quan sát. Do đó chỉ có thành phần ánh sáng mặt trời
tiếp tuyến với mặt đất mới tạo ra các thành phần bức xạ lưỡng cực đi tới mắt. Vào ban ngày thì ánh sáng tiếp tuyến
với mặt đất chỉ đi một quãng đường ngắn nên câu chuyện đúng như mô tả vừa rồi; tuy nhiên, vào hoàng hôn và lúc
bình minh thì thành phần ánh sáng này phải đi quãng đường dài hơn nên chỉ có các thành phần bước sóng dài như
màu đỏ mới không bị hấp thụ và cho tán xạ đáng kể như mô tả ở hình III A 1. Khi đó, tại nơi quan sát, ta sẽ trông
thấy mặt trời màu đỏ và bầu trời có màu vàng cam hoặc ngả đỏ1
.

9. 9
Hình 3. Mối liên hệ giữa ánh sáng tới và ánh sáng tán xạ tới được mắt và quãng đường mà ánh sáng tới đi trong khí quyển1,3
.
2. Bức xạ lưỡng cực từ và tứ cực điện
Số hạng thứ hai ứng với n = 1 trong (46) là
−
iω
c
J (r ) (ˆr · r ) d3
r
có thể biến đổi lại thành tổ hợp của hai thành phần, đối xứng và phản xứng, như sau3
−
iω
c
J (ˆr · r ) d3
r = −
iω
2c
J (ˆr · r ) + J · ˆr r d3
r −
iω
c
1
2
r × J d3
r × ˆr.
Sử dụng tích phân từng phần cho số hạng thứ nhất và thay · J = iωρ vào thì ta được3
−
iω
c
J (ˆr · r ) d3
r = −
ω2
2c
r (ˆr · r ) ρd3
r −
iω
c
1
2
r × J d3
r × ˆr.
Thành phần lưỡng cực từ Thành phần phản xứng
−
iω
c
1
2
r × J d3
r × ˆr = −
iω
c
M × ˆr,
có chứa moment lưỡng cực từ của một dòng điện kín
M (ω) =
1
2
r × J (r , ω) d3
r ,
nên thành phần trường điện từ bức xạ tương ứng sẽ mô tả bức xạ của một dòng điện kín thay đổi theo thời gian. Do
đó, ta gọi thành phần này là bức xạ lưỡng cực từ3
.
Nếu nguồn bức xạ thuần túy là một lưỡng cực từ, ví dụ như một vòng dây kín tiết diện S mang dòng điện I (ω)
chẳng hạn, thì trường điện từ bức xạ của lưỡng cực từ có dạng1,3
Ebức xạ lưỡng cực từ ≈
1
4π 0
ω2
c3
exp (iωr/c)
r
M × ˆr , (53)
Bbức xạ lưỡng cực từ ≈ −
µ0
4π
ω2
c2
exp (iωr/c)
r
M × ˆr × ˆr. (54)
Thay (54) vào (48) thì ta được1,3
dPbức xạ lưỡng cực từ
dΩ
=
Z0
32π2c4
ω4
|M × ˆr|2
=
Z0
32π2c4
ω4
|M|2
sin2
θ, (55)

10. 10
tương tự như trong lưỡng cực điện (51) nếu thay thế p → M/c. Và do đó, ta cũng có tổng công suất bức xạ lưỡng
cực từ tương tự như trong phương trình (52)1,3
:
Pbức xạ lưỡng cực từ (ω) =
Z0
12π2c4
ω4
|M (ω) |2
. (56)
Nếu bức xạ lưỡng cực từ là do một lưỡng cực điện quay đều với tốc độ góc ω thì ta có thể ước lượng
Pbức xạ lưỡng cực từ
Pbức xạ lưỡng cực điện
=
|M|
c|p|
2
=
ωR
c
2
1,
tức là công suất của bức xạ lưỡng cực từ thường rất nhỏ so với bức xạ lưỡng cực điện1
.
Thành phần tứ cực điện Thành phần đối xứng
−
ω2
2c
r (ˆr · r ) ρd3
r ,
có thể biến đổi lại một thành phần quen thuộc hơn bằng cách biểu diễn r (ˆr · r ) thành (r ⊗ r ) · ˆr (⊗ là tích ngoài,
tích tensor hay dyadic product2
) thì ta sẽ thấy
−
ω2
2c
r (ˆr · r ) ρd3
r = −
ω2
6c
3r ⊗ r ρd3
r · ˆr = −
ω2
6c
Q · ˆr,
có sự xuất hiện của tensor moment tứ cực điện
Q (ω) = 3r ⊗ r ρ (r , ω) d3
r = 3xaxb − r 2
δa,b ρ (r , ω) d3
r ,
nên thành phần bức xạ điện từ tương ứng là bức xạ điện từ của moment tứ cực3
.
Trường điện từ của bức xạ tứ cực điện, phân bố công suất trung bình của bức xạ tứ cực điện và tổng công suất
trung bình của bức xạ tứ cực điện lần lượt là1,3
Ebức xạ tứ cực điện ≈
1
24π 0
iω3
c3
exp (iωr/c)
r
Q · ˆr × ˆr × ˆr, (57)
Bbức xạ tứ cực điện ≈
µ0
24π
iω3
c2
exp (iωr/c)
r
Q · ˆr × ˆr, (58)
dPbức xạ tứ cực điện
dΩ
=
Z0
1152π2c4
ω6
| Q · ˆr × ˆr|2
, (59)
Pbức xạ tứ cực điện (ω) =
Z0
1440πc4
ω6
a,b
|Qa,b|2
. (60)
Công suất bức xạ tứ cực điện tỉ lệ với lũy thừa bậc 6 của tần số góc ω6
. Để thấy rõ phân bố của bức xạ, ta xét
một trường hợp tứ cực điện phân bố cầu có tensor moment tứ cực là một ma trận chéo với các thành phần là
Q1,1 = Q2,2 = −(1/2)Q3,3 = 1/2Q0. Khi đó phân bố (59) trở thành:
dP
dΩ
=
Z0
512π2c4
ω6
|Q0|2
sin2
θ cos2
θ,
có các cực đại tại θ = π/4 và 3π/4 và cực tiểu tại θ = 0 và π/23
như mô tả bởi hình III A 2 và III A 2
Mở rộng ra, nếu ta khảo sát các số hạng bậc cao hơn thì sẽ thấy: ứng với các 2l
−cực điện hoặc từ thì công suất
của bức xạ tỉ lệ với ω2l+2
và công suất bức xạ của 2l
−cực điện có cỡ độ lớn lớn hơn công suất bức xạ của 2l
−cực từ
tương ứng3
.

11. 11
Hình 4. Phân bố công suất bức xạ điện từ trung
bình của một tứ cực điện trong không gian.
Hình 5. Hình chiếu phân bố công suất bức xạ điện
từ trung bình của một tứ cực điện lên một mặt
phẳng.
B. Bức xạ do điện tích chuyển động
Mục III A, chúng tôi đã trình bày sơ lược về bức xạ đa cực của các nguồn điểm và dòng điện phân bố định xứ thay
đổi theo thời gian. Trong trường hợp đó, đơn cực điện không có đóng góp gì vào trường điện từ bức xạ ở miền rất
xa so với nguồn . Tuy nhiên, trong trường hợp ngược lại, nếu các phân bố điện tích và dòng điện không định xứ mà
các điện tích chuyển động thì đơn cực điện vẫn có đóng góp vào trường điện từ bức xạ nếu nó chuyển động có gia
tốc. Bức xạ điện từ này sẽ làm mất mát năng lượng của điện tích và khiến cho điện tích chuyển đông chậm dần mà
điển hình là trường hợp của electron chuyển động trong mô hình nguyên tử hệ mặt trời của Rutherford và mô hình
nguyên tử vành đai sao Thổ của Nagaoka những năm 1911 - 1914. Chính bức xạ điện từ này khiến cho mô hình của
Rutherford và Nagaoka không bền vững và tạo tiền đề cho sự ra đời của mô hình Bohr. Chúng ta sẽ quay lại vấn đề
này sau khi khảo sát trường điện từ bức xạ của điện tích điểm chuyển động.
1. Trường điện từ do điện tích chuyển động
Trong trường hợp này, chúng tôi khảo sát trường điện từ có một điện tích có điện tích q chuyển động với phương
trình chuyển động r0 (t) có vận tốc v(t) = ˙r0(t) và gia tốc a(t) = ¨r0(t). Khi đó, phân bố điện tích và dòng điện có
dạng delta Dirac3
:
ρ (r , t ) = qδ [r − r0(t )] và J (r , t ) = qv(t )δ [r − r0(t )] .
Lúc này, các hệ thức Jefimenko (30) và (31) trở thành các hệ thức Heaviside - Feynman cho trường điện từ của điện
tích q, bao gồm hệ thức Feynman cho điện trường3
E =
q
4π 0
r − r0,trễ
|r − r0,trễ|3
+
|r − r0,trễ|
c
∂
∂t
r − r0,trễ
|r − r0,trễ|3
+
1
c2
∂2
∂t2
r − r0,trễ
|r − r0,trễ|
, (61)
và hệ thức Heaviside cho từ trường3
B =
q
4π 0c2
vtrễ × r − r0,trễ
κ2
trễ
|r − r0,trễ|3
+
1
c|r − r0,trễ|
∂
∂t
vtrễ × r − r0,trễ
κtrễ|r − r0,trễ|
, (62)
với κ = 1 − v · (r − r0) /(c|r − r0|).
Trong các phương trình (61) và (62), các đại lượng có chỉ số "trễ" được tính tại thời điểm ttrễ xác định bởi phương
trình1,3
ttrễ = t −
|r − re (ttrễ) |
c
. (63)
Trong hệ thức Heaviside - Feynman, ta cần tính đạo hàm5
∂ttrễ
∂t
=
1
κtrễ
. (64)

12. 12
Từ đó, ta rút ra được trường điện từ Liénard-Wiechert5
E =
q
4π 0
1
κ3r2
1 −
v2
c2
ˆr −
v
c
+ r × ˆr −
v
c
× a , (65)
B =
1
c
ˆr × E. (66)
Trong trường điện từ Liénard-Wiechert có hai thành phần điện trường: thành phần do vận tốc và thành phần do gia
tốc1,3
. Chúng ta sẽ khảo sát xem thành phần nào đóng góp vào bức xạ.
2. Bức xạ Larmor
Giả sử điện tích chuyển động thẳng đều a = 0 thì điện trường Liénard-Wiechert trở thành
E =
q
4π 0
1
κ3r2
1 −
v2
c2
ˆr −
v
c
, (67)
B =
q
4π 0c2
v × ˆr
κ3r2
1 −
v2
c2
(68)
có cả hai thành phần điện từ trường đều tỉ lệ với 1/r2
nên không thể đóng góp vào bức xạ điện từ. Do đó, thành
phần trường vận tốc không có đóng góp vào bức xạ điện từ của điện tích chuyển động.
Vì vậy, ta có thể suy ra: chỉ khi chuyển động có gia tốc thì mới xảy ra bức xạ điện từ làm giảm năng lượng của điện
tích. Để đơn giản trong tính toán, ta sẽ tính công suất bức xạ của điện tích trong hệ quy chiếu quán tính K có vận
tốc đúng bằng vận tốc tức thời v của điện tích. Khi đó, trong hệ quy chiếu K trường điện từ được mô tả bởi1,3
E =
q
4π 0
ˆr × (ˆr × a)
r
, (69)
B =
q
4π 0c
ˆr × [ˆr × (ˆr × a)]
r
, (70)
nên vector Umow - Poynting lúc này có dạng1,3
S =
1
µ0c
q
4π r
2
a2
− (a · ˆr)2
ˆr =
1
µ0c
qa
4π r
2
sin2
θˆr. (71)
Từ đây, ta xác định được phân bố công suất bức xạ của một điện tích đang chuyển động1,3
dP
dΩ
=
µ0q2
a2
16π2c
sin2
θ, (72)
có dạng tương tự bức xạ lưỡng cực điện (51) và từ (55).
Tổng công suất bức xạ của điện tích, trong hệ quy chiếu K hay trong hệ quy chiếu của chúng ta, đều là1,3
PLarmor =
µ0q2
a2
6πc
, (73)
được gọi là hệ thức Larmor của bức xạ điện từ do điện tích chuyển động có gia tốc.
Ví dụ: Sự thiếu bền vững của nguyên tử Rutherford Theo mẫu Rutherford mà chúng tôi đã đề cập ở đầu phần
III B, nguyên tử gồm electron điện tích −e, khối lượng me chuyển động tròn với quỹ đạo bán kính R xung quanh hạt
nhân. Để đơn giản, chúng ta xét trường hợp của nguyên tử hydro Z = 1. Nếu không có bức xạ điện từ, ở quỹ đạo R
electron sẽ chuyển động tròn đều với vận tốc, gia tốc và năng lượng lần lượt là
v =
e2
4π 0meR
,
a =
v2
R
=
e2
4π 0meR2
,

13. 13
E = −
e2
8π 0R
.
Do có bức xạ Larmor nên electron mất dần năng lượng, do đó, electron dần dần tiến đến hạt nhân và nguyên tử
không còn tồn tại. Để ước lượng thời gian nguyên tử tồn tại, chúng tôi sử dụng phương pháp đoạn nhiệt: trong một
chu kỳ T chuyển động tròn, ta xem electron chuyển động tròn với bán kính r. Toàn bộ năng lượng bức xạ Larmor
trong một chu kỳ làm bán kính quỹ đạo electron giảm đi ∆r được tính bởi
−
∂E
∂r
∆r = PLarmorT,
nên ta rút ra được phương trình vi phân
dr
dt
= −
Z2
0 e4
6π2m2
ec
1
r2
.
Ta có thể ước lượng được thời gian electron tới hạt nhân là vào cỡ:
τ =
2π2
m2
ecR3
e4Z2
0
≈ 7 × 10−12
s.
Thực tế, nếu nguyên tử thật sự tồn tại như mẫu Rutherford mô tả, electron sẽ rơi vào hạt nhân nhanh hơn τ bởi vì
các tính toán trên chúng tôi giả định ảnh hưởng của bức xạ Larmor rất nhỏ.
3. Hiệu chỉnh Liénard của bức xạ Larmor
Hệ thức Larmor, tuy vậy, không thật sự chính xác. Điều này là do trong hệ quy chiếu K nếu công suất bức xạ là
dW/dt thì trong hệ quy chiếu K phải là dW/dttrễ
1
. Do đó, phân bố công suất trên một đơn vị góc khối phải là1,3
dP
dΩ
= 1 −
v · ˆr
c
µ0q2
16π2c
a2
− (a · ˆr)2
. (74)
Khi đó, tổng công suất bức xạ phải được hiệu chỉnh lại so với hệ thức Larmor (73)1,3
PLarmor =
µ0q2
γ6
6πc
a2
− |
v × a
c
|2
, (75)
với γ = 1/ 1 − v2/c2 là thừa số Lorentz. Hệ thức (75) chính là mở rộng Liénard của hệ thức Larmor (73). Với trường
hợp v c thì hệ thức (75) trở lại thành hệ thức Larmor (73)1,3
.
Hình 6. Phân bố công suất bức xạ trong toàn không gian khi góc hợp giữa a và v của điện tích là α = π/4c và tốc độ của điện
tích là v = 0.5c.

14. 14
Hình 7. Phân bố công suất bức xạ thay đổi theo
tốc độ khi góc hợp giữa a và v của điện tích là
α = π/3c và các đường màu đỏ, xanh và tím lần
lượt ứng với v/c lần lượt là 0, 0.4 và 0.8. Đường
màu đỏ chính là phân bố theo hệ thức Larmor (73)
Hình 8. Phân bố công suất bức xạ thay đổi theo
góc α hợp giữa a và v khi tốc độ của điện tích là
v = 0.5c và các đường màu đỏ, xanh và tím lần
lượt ứng với α lần lượt là 0, π/4 và π/2.
4. Phản lực của bức xạ điện từ Abraham - Lorentz
Do bức xạ điện từ (73) (hay (75)) nên một điện tích q gia tốc chậm hơn một hạt trung hòa tương ứng có cùng khối
lượng m. Điều này có thể giải thích một cách cơ học rằng bức xạ tác dụng lên điện tích một phản lực Fphản lực bức xạ
1
.
Trong trường hợp điện tích chuyển động với tốc độ nhỏ v c, ta có thể xem công suất trung bình của phản lực
bức xạ chính là công suất bức xạ Larmor (73). Ta có thể dẫn ra được biểu thức xác định phản lực bức xạ
Fphản lực bức xạ =
µ0q2
6πc
˙a, (76)
được gọi là hệ thức Abraham - Lorentz1
.

15. 15
IV. KẾT LUẬN
Trong tiểu luận này, nhóm chúng tôi đã tìm hiểu quá trình bức xạ điện từ của các nguồn khác nhau như:
1. bức xạ lưỡng cực điện và từ, bức xạ tứ cực điện;
2. bức xạ do điện tích chuyển động có gia tốc.
TÀI LIỆU
1D. J. Griffiths, Introduction to electrodynamics, 4th ed. (Pearson Addison-Wesley, USA, 2013).
2B. Thide, Electromagnetic Field Theory (Dover Publications, USA, 2002).
3J. D. Jackson, Classical ElectroDynamics, 3rd ed. (John Wiley and Son Inc, USA, 1999).
4R. de M. e Souza, M. V. Cougo-Pinto, C. Farina, and M. Moriconi, American Journal of Physics 77, 67 (2009).
5M. A. Heald and J. B. Marion, Classical Electromagnetic Radiation, 3rd ed. (Saunders College Publishing, USA, 1995).