This is in Vietnamese. This is about Warnier states, TBA Hamiltonian and Lowdin perturbation theory.

1. Bài tập về nhà 2
Môn Cấu trúc vùng bán dẫn
NCS: Lê Đại Nam (15 311 02)
1 Trạng thái định xứ Wannier và Hamilton liên kết chặt
Theo định nghĩa, trạng thái Wannier j xác định theo các trạng thái Bloch k

như sau:
1 ik R
R k
k FBZ
e
N
 

   , (1)
trong đó, R là vị trí của ion và N là số nguyên tử. Trước khi sử dụng trạng thái Wannier,
ta sẽ chứng minh trạng thái Wannier thỏa mãn một số tính chất cần thiết. Để đơn giản, ta
kí hiệu (1) dưới dạng một phép biến đổi unita
.U   (2)
Lưu ý, do số điểm của mạng đảo trong vùng Brillouin thứ nhất bằng với N nên số lượng
trạng thái Bloch và Wannier là tương đương nhau, vì vậy, có thể hiểu U là một ma trận
unita vuông.
1.1 Tính đủ của các trạng thái Wannier
Để chứng tỏ các trạng thái Wannier cũng span một không gian con của không gian
Hilbert tương đương với các trạng thái Bloch, ta sẽ tính toán tử projector sau
R R
R
P    . (3)
Áp dụng định nghĩa ở (1) thay vào (3) thì ta chứng minh được tính đủ của bộ các trạng
thái Wannier

2.  
,
1.
1 i q k R
q qk k k q k k
q qRk k k
eP
N

 
     
 
  
 
    (4)
Do đó, sử dụng các trạng thái Wannier làm cơ sở là phù hợp.
1.2 Liên hệ ngược giữa các trạng thái Bloch và các trạng thái Wannier
Từ định nghĩa (1), ta có thể xây dựng phép liên hệ ngược giữa các trạng thái Bloch
và các trạng thái Wannier. Phép liên hệ ngược này tương đương với phép biến đối ngược
của phép biến đổi unita (2). Từ (1), ta nhân hai vế cho
iq R
e
N

và lấy tổng trên toàn bộ
mạng tinh thể thì thu được
1 1iq R iq R ik R
R k
R R k FBZ
e e e
NN
   

    , (5)
thay đổi thứ tự lấy tổng ở vế phải thì ta được
 
,
1 1
,
i q k Riq R
qR k q k k
R Rk FBZ k FBZ
e e
NN

 
 
 
      



  (6)
chính là hệ thức liên hệ ngược giúp ta xác định các trạng thái Bloch theo các trạng thái
Wannier. Hệ thức (6) cũng có thể biểu diễn như phép biến đổi ngược của (2):
†
U   . (7)
1.3 Tính trực chuẩn của trạng thái Wannier
Từ các hệ thức (2) và (7) cũng như tính trực chuẩn của các trạng thái Bloch, ta dễ
dàng chứng minh được tính trực chuẩn của các trạng thái Wannier như sau
†
, ,R R R R R RR R R R R R
U U     
            . (8)
1.4 Sự biến đổi của Hamiltonian trong mô hình liên kết chặt
Dưới bộ cơ sở trạng thái Bloch, Hamiltonian trong lượng tử hóa lần hai có dạng
tổng quát như sau

3. †
,
ˆ ˆ ˆ ˆk k k k
k k
H H c c 

   . (9)
Một cách tương tự, trong bộ cơ sở Wannier, Hamiltonian có thể viết dưới dạng
†
,
ˆ ˆˆ ˆ
R R R R
R R
H H d d 

   . (10)
Sử dụng định nghĩa (1), ta có thể biến đổi (10) về dạng của (9) như sau
 
,
ˆ ˆ1 i k R k R
R R k k
k k N
H e H
   
 

 
 
 
    . (11)
Một cách hình thức, ta có thể viết
†ˆ ˆH U HU     . (12)
Trường hợp các hạt không tương tác như đề bài cho thì ,
ˆ
k k k k k
H   
   còn
,
ˆ
R R R R
t H 
   , lúc này, ta dễ dàng suy ra
   
, ,
,
1 1i k R k R ik R R
R R k k k k
k k kN
e e
N
t  
      
 

 
 
 
 
  . (13)
2 Lý thuyết nhiễu loạn suy biến Löwdin bậc ba
Phương trình Schrodinger dừng cần giải
ˆH E   . (14)
Nếu ta sử dụng bộ cơ sở  nào đó thì hàm sóng có thể viết lại dưới dạng
j j
j
a   , (15)
và phương trình (14) có thể đưa về dạng phương trình trị riêng

4. jk k j
k
H a Ea , (16)
trong đó phần tử ma trận Hamilton * ˆ
j kk jH H dV   .
Ý tưởng trong lý thuyết nhiễu loạn suy biến Löwdin là chia bộ cơ sở   thành
hai bộ cơ sở con  A   và  B   sao cho không tồn tại bất kỳ suy biến nào giữa
hai bộ cơ sở con đó. Khi đó, phương trình (16) có thể viết lại thành
j j jj j j
A B
j j
H a H a H a Ea   
 
 
 
 
    . (17)
Phương trình (17) có thể giúp ta giải được ja
j j
j
A Bjj jj
j j
H a H a
a
E H E H
   
 
 
 
 
 
 
  . (18)
Đối với j A  và j B  thì ta có
A B
A B
H aH a
a
E H E H
H a H a
a
E H E H
  

  
 
   

  
 
 
 

 
 

 
 
 
 
 
 
(19)
Khi đó, ta có thể viết lại a như sau
 1
.
A B A B
A B A B
H H a H aH a
a
E H E H E H E H
H H a H aH
a
E H E H E H E H
     

      
   
     

      
 

    
     
  
    

     

 
   
    
  
 
    
    
  
   
   
(20)

5. Nếu dừng ở đây, ta chỉ thấy xuất hiện các số hạng đến bậc hai của các phần tử ma trận,
khi đó, ta chỉ thu được lý thuyết nhiễu loạn Löwdin bậc hai. Để mở rộng lên lý thuyết
nhiễu loạn suy biến Löwdin bậc ba, ta cần khai triển tiếp (20) để làm xuất hiện tất cả các
số hạng bậc ba theo các phần tử ma trận
 
 
1
1
A B A B B
A B A
H H a H H aH
a a
E H E H E H E H E H
H H aH
a
E H E H E H
H H
E H E H
      
 
        
 
   

    
 
 


    

      

  

   


  
    

 
  

 
    
  
.
B B A B
H a H a
E H E H
     
       
   
     
        
   
 
 
  
  
   
(21)
Đến đây, ta có thể lập luận rằng nếu trạng thái  mà ta đang xét là nhiễu loạn từ một
trong các trạng thái ở tập con A thì các hệ số khai triển a của  sẽ rất nhỏ so với các
hệ số a . Ngoài ra, khi đó, E H E H   . Vì vậy, số hạng cuối cùng trong (21) có
thể coi là rất nhỏ bậc ba và có thể bỏ qua trong lý thuyết nhiễu loạn bậc ba. Lúc này, (21)
có thể viết lại thành
  
.
A B A B B A
H H a H H H a
Ea H a
E H E H E H
       
  
        
 
     
 
          

   
  
      (22)
Vì các chỉ số lấy tổng là các chỉ số câm nên các chỉ số lấy tổng của A trong (22) có thể
đưa về giống nhau, khi đó, ta được
  A B B B
H H H H H
Ea H a
E H E H E H
     
  
      
 
   
 
      

 
    
   
  
    . (23)
Như vậy, tới đây, ta chỉ việc áp dụng lý thuyết nhiễu loạn thông thường trong tập cơ sở
A với “Hamiltonian”

6.   B B B
H H H H H
U H
E H E H E H
     
 
     
 
   
 
    

   
  
   , (24)
bao hàm luôn “tương tác” của tập con B lên A .
Quay trở lại phương trình Schrodinger (14), giả sử Hamiltonian có thể viết lại
thành
  0 1ˆ ˆ ˆH H H   , (25)
sao cho khi 0  ta nhận được lời giải của bài toán phi nhiễu loạn
0 0ˆH E   , (26)
còn khi 1  ta quay trở lại bài toán đang xét
ˆH E   . (27)
Khi đó, nghiệm của phương trình Schrodinger sau
       ˆH E      , (28)
có thể giải được bằng cách khai triển Taylor
 
 
1 2 2
0 1 2 2
E E E E
  
  
       
   
(29)
và cho 1  là ta trở lại được nghiệm của bài toán ban đầu. Trước khi phân tích kỹ hơn,
chúng ta cần lưu ý rằng ở đây để chọn bài toán phi nhiễu loạn tốt ta nên chọn sao cho các
phần tử ma trận của phần nhiễu loạn không nằm trên đường chéo chính
0
jj jjH H . (30)
Từ lý thuyết của Löwdin, nếu ta chỉ xét đến nhiễu loạn đến từ các trạng thái ở tập
$A$ thì thay vì giải (28), ta chỉ cần giải

7.        ,
A
E a U a  

    

  (31)
với
 
       
 
1 1 1 1 1
0 1 2 3
0 0 0
1 1 1 1
0 1 2 3 1
20 0 0 0
B B B
B B
H H H H H
U H H
E E E E E E
H H H H
H H E
E E E E
     
  
    
 
   
  
    
   
  
  
   
  
   

 
 
 
   
  
 
    
   
  
 
  
 
1 1 1
3
0 0 0 0
1 1
0 1 2
0 0
1 1 1
3
0 0 0
B B
B
H H H
E E E E
H H
H H
E E
H H H
E E E
   
     
 
 
 
  
   
  

 

  
  


 

  

 
  


 
 

   
1 1
2
1
0 0 0
.
B B B
H H
E
E E E
 

     

  

 
 
   
  
(32)
Để áp dụng lý thuyết nhiễu loạn, khai triển Taylor hàm sóng tương đương với khai triển
Taylor hệ số ( )a 
  1 2 2 3 3
a a a a                 (33)
Khai triển của năng lượng tương ứng là
  0 1 2 2 3 3
E E E E E            (34)
Thay (33), (34) vào (31) với lưu ý “Hamiltonian” U có dạng như (32) thì ta được các
phương trình tương ứng từ bậc 1 đến bậc 3 theo  như sau:
0 1 1 0 1 1
E a E H a H     

 

   , (35)

8. 1 1
0 2 1 1 2 0 2 1 1
0 0
B
H H
E a E a E H a H a
E E
 
        
    
   
  
    

   , (36)
    
1 1
0 3 1 2 2 1 3 0 3 1 2 1
0 0
1 1 1 1 1
0 2
1
0 0 0 0 0
.
B
B B B
H H
E a E a E a E H a H a a
E E
H H H H H
E
E E E E E E
 
           
     
     

        

    
   
 
  

 
         
 
  
   
  
(37)
Giải hệ phương trình trên ta sẽ xác định được các bổ chính bậc 1 đến bậc 3 của năng
lượng.