Giá 10k/ 5 lượt tải liên hệ page để mua https://www.facebook.com/garmentspace
Chỉ với 10k THẺ CÀO VIETTEL bạn có ngay 5 lượt download tài liệu bất kỳ do Garment Space upload, hoặc với 100k THẺ CÀO VIETTEL bạn được truy cập kho tài liệu chuyên ngành vô cùng phong phú
Liên hệ: www.facebook.com/garmentspace
Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ
: https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
HOẶC
https://www.facebook.com/garmentspace/
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
Download luận văn thạc sĩ ngành vật lí với đề tài: Quá trình tán xạ siêu hạt, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://baocaothuctap.net
Giá 10k/ 5 lượt tải liên hệ page để mua https://www.facebook.com/garmentspace
Chỉ với 10k THẺ CÀO VIETTEL bạn có ngay 5 lượt download tài liệu bất kỳ do Garment Space upload, hoặc với 100k THẺ CÀO VIETTEL bạn được truy cập kho tài liệu chuyên ngành vô cùng phong phú
Liên hệ: www.facebook.com/garmentspace
Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ
: https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
HOẶC
https://www.facebook.com/garmentspace/
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
Download luận văn thạc sĩ ngành vật lí với đề tài: Quá trình tán xạ siêu hạt, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620
Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://baocaothuctap.net
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Các bổ đề, định lý quan trọng và một số ứng dụng của định lý minimax, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864
Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net
Download luận văn thạc sĩ ngành kĩ thuật xây dựng với đề tài: Xác định nội lực và chuyển vị của dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố đều bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Sự ổn định của phương trình vi phân tuyến tính và phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu trong không gian HILBERT, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Sức căng tại mặt phân cách của ngưng tụ bose einstein hai thành phần bị giớ...TÀI LIỆU NGÀNH MAY
Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ
: https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
HOẶC
https://www.facebook.com/garmentspace/
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
Download luận văn thạc sĩ ngành xác xuất thống kê toán học với đề tài: Động học của phương trình kolmogorov chịu nhiễu Markov, cho các bạn làm luận văn tham khảo
Liên hệ page để tải tài liệu
https://www.facebook.com/garmentspace
My Blog: http://congnghemayblog.blogspot.com/
http://congnghemay123.blogspot.com/
Từ khóa tìm kiếm tài liệu : Wash jeans garment washing and dyeing, tài liệu ngành may, purpose of washing, definition of garment washing, tài liệu cắt may, sơ mi nam nữ, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế quần âu, thiết kế veston nam nữ, thiết kế áo dài, chân váy đầm liền thân, zipper, dây kéo trong ngành may, tài liệu ngành may, khóa kéo răng cưa, triển khai sản xuất, jacket nam, phân loại khóa kéo, tin học ngành may, bài giảng Accumark, Gerber Accumarkt, cad/cam ngành may, tài liệu ngành may, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, vật liệu may, tài liệu ngành may, tài liệu về sợi, nguyên liệu dệt, kiểu dệt vải dệt thoi, kiểu dệt vải dệt kim, chỉ may, vật liệu dựng, bộ tài liệu kỹ thuật ngành may dạng đầy đủ, tiêu chuẩn kỹ thuật áo sơ mi nam, tài liệu kỹ thuật ngành may, tài liệu ngành may, nguồn gốc vải denim, lịch sử ra đời và phát triển quần jean, Levi's, Jeans, Levi Straus, Jacob Davis và Levis Strauss, CHẤT LIỆU DENIM, cắt may quần tây nam, quy trình may áo sơ mi căn bản, quần nam không ply, thiết kế áo sơ mi nam, thiết kế áo sơ mi nam theo tài liệu kỹ thuật, tài liệu cắt may,lịch sử ra đời và phát triển quần jean, vải denim, Levis strauss cha đẻ của quần jeans. Jeans skinny, street style áo sơ mi nam, tính vải may áo quần, sơ mi nam nữ, cắt may căn bản, thiết kế quần áo, tài liệu ngành may,máy 2 kim, máy may công nghiệp, two needle sewing machine, tài liệu ngành may, thiết bị ngành may, máy móc ngành may,Tiếng anh ngành may, english for gamrment technology, anh văn chuyên ngành may, may mặc thời trang, english, picture, Nhận biết và phân biệt các loại vải, cotton, chiffon, silk, woolCÁCH MAY – QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH ĐÁNH SỐTÀI LIỆU KỸ THUẬT NGÀNH MAY –TIÊU CHUẨN KỸ THUẬT – QUY CÁCH ĐÁNH SỐ - QUY CÁCH LẮP RÁP – QUY CÁCH MAY – QUY TRÌNH MAY – GẤP XẾP ĐÓNG GÓI – GIÁC SƠ ĐỒ MÃ HÀNG - Công nghệ may,kỹ thuật may dây kéo đồ án công nghệ may, công nghệ may trang phục, thiết kế trang phục, anh văn chuyên ngành may, thiết bị may công
GIÁO TRÌNH 2-TÀI LIỆU SỬA CHỮA BOARD MONO TỦ LẠNH MÁY GIẶT ĐIỀU HÒA.pdf
https://dienlanhbachkhoa.net.vn
Hotline/Zalo: 0338580000
Địa chỉ: Số 108 Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội
Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ
:
https://www.facebook.com/garmentspace/
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
HOẶC
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
GIAO TRINH TRIET HOC MAC - LENIN (Quoc gia).pdfLngHu10
Chương 1
KHÁI LUẬN VỀ TRIẾT HỌC VÀ TRIẾT HỌC MÁC - LÊNIN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức: Trang bị cho sinh viên những tri thức cơ bản về triết học nói chung,
những điều kiện ra đời của triết học Mác - Lênin. Đồng thời, giúp sinh viên nhận thức được
thực chất cuộc cách mạng trong triết học do
C. Mác và Ph. Ăngghen thực hiện và các giai đoạn hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin;
vai trò của triết học Mác - Lênin trong đời sống xã hội và trong thời đại ngày nay.
2. Về kỹ năng: Giúp sinh viên biết vận dụng tri thức đã học làm cơ sở cho việc nhận
thức những nguyên lý cơ bản của triết học Mác - Lênin; biết đấu tranh chống lại những luận
điểm sai trái phủ nhận sự hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin.
3. Về tư tưởng: Giúp sinh viên củng cố niềm tin vào bản chất khoa học và cách mạng
của chủ nghĩa Mác - Lênin nói chung và triết học Mác - Lênin nói riêng.
B. NỘI DUNG
I- TRIẾT HỌC VÀ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TRIẾT HỌC
1. Khái lược về triết học
a) Nguồn gốc của triết học
Là một loại hình nhận thức đặc thù của con người, triết học ra đời ở cả phương Đông và
phương Tây gần như cùng một thời gian (khoảng từ thế kỷ VIII đến thế kỷ VI trước Công
nguyên) tại các trung tâm văn minh lớn của nhân loại thời cổ đại. Ý thức triết học xuất hiện
không ngẫu nhiên, mà có nguồn gốc thực tế từ tồn tại xã hội với một trình độ nhất định của
sự phát triển văn minh, văn hóa và khoa học. Con người, với kỳ vọng được đáp ứng nhu
cầu về nhận thức và hoạt động thực tiễn của mình đã sáng tạo ra những luận thuyết chung
nhất, có tính hệ thống, phản ánh thế giới xung quanh và thế giới của chính con người. Triết
học là dạng tri thức lý luận xuất hiện sớm nhất trong lịch sử các loại hình lý luận của nhân
loại.
Với tư cách là một hình thái ý thức xã hội, triết học có nguồn gốc nhận thức và nguồn
gốc xã hội.
* Nguồn gốc nhận thức
Nhận thức thế giới là một nhu cầu tự nhiên, khách quan của con người. Về mặt lịch
sử, tư duy huyền thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là loại hình triết lý đầu tiên mà con
người dùng để giải thích thế giới bí ẩn xung quanh. Người nguyên thủy kết nối những hiểu
biết rời rạc, mơ hồ, phi lôgích... của mình trong các quan niệm đầy xúc cảm và hoang
tưởng thành những huyền thoại để giải thích mọi hiện tượng. Đỉnh cao của tư duy huyền
thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là kho tàng những câu chuyện thần thoại và những tôn
9
giáo sơ khai như Tô tem giáo, Bái vật giáo, Saman giáo. Thời kỳ triết học ra đời cũng là
thời kỳ suy giảm và thu hẹp phạm vi của các loại hình tư duy huyền thoại và tôn giáo
nguyên thủy. Triết học chính là hình thức tư duy lý luận đầu tiên trong lịch sử tư tưởng
nhân loại thay thế được cho tư duy huyền thoại và tôn giáo.
Trong quá trình sống và cải biến thế giới, từng bước con người có kinh nghiệm và có
tri thức về thế giới. Ban đầu là những tri thức cụ thể, riêng lẻ, cảm tính. Cùng với sự tiến
bộ của sản xuất và đời sống, nhận thức của con người dần dần đạt đến trình độ cao hơn
trong việc giải thích thế giới một cách hệ thống
CÁC BIỆN PHÁP KỸ THUẬT AN TOÀN KHI XÃY RA HỎA HOẠN TRONG.pptxCNGTRC3
Cháy, nổ trong công nghiệp không chỉ gây ra thiệt hại về kinh tế, con người mà còn gây ra bất ổn, mất an ninh quốc gia và trật tự xã hội. Vì vậy phòng chông cháy nổ không chỉ là nhiệm vụ mà còn là trách nhiệm của cơ sở sản xuất, của mổi công dân và của toàn thể xã hội. Để hạn chế các vụ tai nạn do cháy, nổ xảy ra thì chúng ta cần phải đi tìm hiểu nguyên nhân gây ra các vụ cháy nố là như thế nào cũng như phải hiểu rõ các kiến thức cơ bản về nó từ đó chúng ta mới đi tìm ra được các biện pháp hữu hiệu nhất để phòng chống và sử lý sự cố cháy nổ.
Mục tiêu:
- Nêu rõ các nguy cơ xảy ra cháy, nổ trong công nghiệp và đời sống; nguyên nhân và các biện pháp đề phòng phòng;
- Sử dụng được vật liệu và phương tiện vào việc phòng cháy, chữa cháy;
- Thực hiện được việc cấp cứa khẩn cấp khi tai nạn xảy ra;
- Rèn luyện tính kỷ luật, kiên trì, cẩn thận, nghiêm túc, chủ động và tích cực sáng tạo trong học tập.
CÁC BIỆN PHÁP KỸ THUẬT AN TOÀN KHI XÃY RA HỎA HOẠN TRONG.pptx
Nguyen ly bat dinh Heisenberg va coherent states
1. Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh
Khoa Vật lí
Bài tiểu luận
“Nguyên lí bất định Heisenberg
và trạng thái kết hợp - coherent state”
Sinh viên: Lê Đại Nam
MSSV: K37.102.062
Tp. Hồ Chí Minh, 5/2014
2. Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent state
1
MỤC LỤC
MỤC LỤC ......................................................................................................................1
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................................2
1 Hệ thức bất định Heisenberg và nguyên lí bất định Heisenberg .............................3
1.1 Hệ thức bất định Heisenberg.............................................................................3
1.2 Nguyên lí bất định Heisenberg .........................................................................4
2 Trạng thái kết hợp....................................................................................................5
2.1 Trạng thái kết hợp.............................................................................................5
2.2 Trạng thái kết hợp và bài toán dao động tử điều hòa........................................6
3 Mở rộng hệ thức bất định Heisenberg .....................................................................9
3.1 Hệ thức bất định Heisenberg tổng quát.............................................................9
3.2 Phép đo hai đại lượng vật lí trong cơ học lượng tử ........................................10
4 Mở rộng khái niệm trạng thái kết hợp ...................................................................11
4.1 Trạng thái kết hợp trong nhóm Heisenberg - Weyl ........................................12
4.2 Mở rộng khái niệm trạng thái kết hợp với đại số Lie bất kì ...........................14
5 Kết luận..................................................................................................................14
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................................15
3. Lê Đại Nam
2
LỜI MỞ ĐẦU
Nguyên lí bất định Heisenberg (1927) là một trong những nguyên lí cơ bản nhất
của cơ học lượng tử, và cũng là một trong những nguyên lí gây tranh cãi nhất của cơ
học lượng tử. Nguyên lí này không dễ gì có thể chấp nhận được, ngay cả đối với
những thiên tài như Albert Einstein. Nguyên lí bất định Heisenberg chống lại thuyết
quyết định luận của Albert Einstein cũng như định lí bất toàn (năm 1930) của Kurl
Godel đạp đổ những nổ lực thống nhất toán học của David Hilbert chính là những
bằng chứng thuyết phục nhất cho thấy rằng sự hiểu biết của con người đối với tự
nhiên là có giới hạn, giới hạn này không phải do khoa học kĩ thuật, do đặc tính của
con người mà là bản chất của thế giới tự nhiên. Con người ngày các tiến sát đến giới
hạn đó nhưng không thể vượt qua những giới hạn đó.
Ngày nay, vẫn có các nhà vật lí vẫn tin tưởng rằng con người có thể hiểu biết được
tất cả và mô tả các thế giới này trong một nguyên lí, một phương trình duy nhất. Điều
đầu tiên mà các nhà vật lí này thực hiện chính là kiểm nghiệm tính đúng đắn của
nguyên lí gây tranh cãi bậc nhất ở thế kỉ 20 – nguyên lí bất định Heisenberg.
Một trong những vấn đề thú vị liên quan đến nguyên lí bất định Heisenberg là
trạng thái kết hợp (coherent state). Trạng thái kết hợp không chỉ đơn thuần là giới hạn
của hệ thức bất định mà mối liên hệ giữa trạng thái kết hợp và trạng thái cổ điển của
một hệ cơ học giúp chúng ta có một phương pháp tiếp cận các bài toán cơ học lượng
tử.
Trong tiểu luận Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent
state, tôi đã trình bày những vấn đề cơ bản về hệ thức bất định Heisenberg và trạng
thái kết hợp Gaussian và sự mở rộng các khái niệm hệ thức bất định, trạng thái kết
hợp cho các trường hợp tổng quát.
4. Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent state
3
1 Hệ thức bất định Heisenberg và nguyên lí bất định Heisenberg
1.1 Hệ thức bất định Heisenberg
Đối với một hàm sóng bất kì thì
ˆ ,
ˆ ,x x
x x
p p
là tọa độ trung bình và xung lượng trung bình theo phương x ; và
ˆ ˆ ˆ ˆ, ,
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ2 Im ,
x x x
x x x x
x x x x
x x
i x p x x p p
x x p p p p x x
x x p p x x p p
i x x p p
suy ra
ˆ ˆ ˆ ˆIm ,
2
x x x xx x p p x x p p
Áp dụng bất đẳng thức Schwartz
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,x x x x x xx x p p x x x x p p p p
với
ˆ ˆ ,
ˆ ˆ ,x x x x x
x x x x x
p p p p p
lần lượt là độ bất định của tọa độ và xung lương. Từ đây, ta dẫn ra được hệ thức bất
định Heisenberg [3, 4]
2
xx p .
5. Lê Đại Nam
4
1.2 Nguyên lí bất định Heisenberg
Dựa vào hệ thức bất định Heisenberg, năm 1927, Werner Heisenberg đưa ra
nguyên lí bất định Heisenberg [3]
“Càng xác định vị trí chính xác bao nhiêu, càng xác định
động lượng kém chính xác bấy nhiêu và ngược lại”.
Nguyên lí bất định Heisenberg không cho phép chúng ta xác định chính xác đồng
thời vị trí và động lượng của một hạt, điều này đi ngược lại hoàn toàn với quan điểm
của cơ học cổ điển vốn dựa trên thuyết quyết định luận (causal determinism). Một
trong những ví dụ nổi tiếng về quan điểm này của cơ học cổ điển là “con quỉ
Laplace” (Laplace ‘s demon) được Pierre – Simone Laplace đưa ra năm 1814. Lập
luận mà Laplace đưa ra như sau
“Chúng ta có thể xem vũ trụ hiện tại là kết quả của quá
khứ và là nguyên nhân của tương lai. Một trí tuệ mà tại
một thời điểm nhất định có thể biết được tất cả các lực
thiết lập chuyển động cho tự nhiên và vị trí của tất cả các
vật trong tự nhiên, và nếu trí tuệ này đủ sức phân tích
toàn bộ các dữ liệu trên, thì nó có thể đưa ra một công
thức duy nhất cho chuyển động của các vật thể từ các
thiên thể to lớn trong vũ trụ cũng như những nguyên tử bé
xíu bên trong chúng. Đối với trí tuệ siêu phàm này, không
điều gì là không chắc chắn và tương lai cũng như quá khứ
sẽ xuất hiện trong mắt nó” [5].
Chúng ta có thể hiểu rằng, nếu cung cấp cho con quỉ Laplace tất các các lực chi
phối chuyển động của vũ trụ này và vị trí, xung lượng của tất cả các vật thể trong vũ
trụ tại một thời điểm nhất định 0 0,x p thì con quỉ Laplace có thể xác định toàn bộ quá
khứ cũng như tương lai của vũ trụ này. Tuy nhiên, dù có con quỉ Laplace có siêu
phàm đến đâu, thì nguyên lí Heisenberg đã không cho phép chúng ta xác định đồng
thời 0 0,x p của một vật thể một cách chính xác, huống chi là cả vũ trụ. Điều này có thể
6. Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent state
5
ví von rằng chúng ta có một chiếc siêu máy tính với những thuận toán tiên tiến nhất
nhưng lại không có dữ liệu đầu vào input cho nó vậy.
2 Trạng thái kết hợp
2.1 Trạng thái kết hợp
Trở lại với hệ thức bất định Heisenberg
,
2
xx p
dấu bằng của hệ thức bất định xảy ra khi và chỉ khi
ˆˆ x x
x
p px x
i
x p
hoặc
ˆ ˆ
.x x
x
p p x x
i
p x
Thực hiện các biến đổi, ta đưa phương trình trên về dạng
ˆ ˆ .
2 2 2 2
x x
x x
x x
p px x
x i p x i p
x p x p
Trạng thái thỏa mãn
,
2
xx p
được gọi là trạng thái kết hợp (coherent state) của hai toán tử ˆx và ˆxp . Trạng thái kết
hợp lần đầu tiên được Erwin Schrodinger đưa ra vào năm 1926 trong quá trình giải bài
toán dao động tử điều hòa [8]. Bài toán dao động tử điều hòa có nhiều ứng dựng trong
việc giải các bài toán cơ học lượng tử, do đó, trạng thái kết hợp cũng được phát triển
và ứng dụng rộng rãi trong các lí thuyết vật lí phát triển từ cơ học lượng tử. Tôi sẽ trở
lại với quá trình mở rộng và phát triển khái niệm trạng thái kết hợp vào phần 4 của
tiểu luận.
Quay lại với “dấu bằng” của hệ thức bất định Heisenberg, ta dễ dàng thấy rằng
trạng thái kết hợp chính là vector riêng của toán tử không Hermite
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,
2 2 2 2
x x
x x
x x
p px x
a x i p a x i p
x p x p
7. Lê Đại Nam
6
với , ,xx p đóng vai trò như các tham số tự do thỏa ,.
2
xx p
Do ˆ ˆa a
nên nếu là một trạng thái kết hợp của hai toán tử ˆx và ˆxp thì
cũng là một trạng thái kết hợp của hai toán tử đó. Như vậy, ứng với hai toán tử
ˆx và ˆxp thì các trạng thái lập thành hai nhóm tương ứng là hàm riêng của hai toán tử
ˆ ˆ, .a a
Các vector riêng a của toán tử ˆa ứng với trị riêng a thì các vector riêng
*
a a
của toán tử ˆa
ứng với trị riêng *
a . Khi đó, trị trung bình của ˆx và ˆxp là
*
*
1 2 1 2
Re Re ,
2 21 1
Im Im .
x x
x x
x
x x
x a a
p p
p p
p a a
x x
Ta thấy rằng hai trạng thái kết hợp tương ứng có cùng tọa độ trung bình và xung
lượng trung bình ngược dấu, tương đương với hai sóng tại “chuyển động” ngược
chiều nhau tới cùng một vị trí.
Một tính chất cần lưu ý là toán tử ˆa không phải là toán tử Hermite nên bộ vector
riêng cơ sở a không trực giao.
2.2 Trạng thái kết hợp và bài toán dao động tử điều hòa
Các toán tử ˆ ˆ,a a
có dạng tương tự các toán tử hủy – sinh trong bài toán dao động
tử điều hòa có Hamiltonian [7]
2 2 2
ˆˆ ,
2 2
xp m x
H
m
ˆ ˆ,a a
có dạng
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ,
2 22 2
x x
m i m i
a x p a x p
m m
thỏa
8. Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent state
7
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0, , 0,a a I a I a I
và
ˆ
ˆ ˆ ˆ ,
2
I
H aa
tương ứng với các tham số , ,xx p lần lượt là
1
, , .
2 2
x
m
x p
m
Khi đó, nghiệm riêng của toán tử ˆa ứng với trị riêng a
2
2
1 4
1 2 1 2
exp ,
2 2
m m a
a x a
và nghiệm riêng của toán tử ˆa
ứng với trị riêng *
a
2
*2
* *
1 4
1 2 1 2
exp ,
2 2
m m a
a x a
là các trạng thái kết hợp trong bài toán dao động tử điều hòa. Do dạng tường minh của
chúng là dạng hàm Gauss nên chúng còn được gọi là trạng thái kết hợp Gaussian hay
bó sóng Gaussian [7].
Nếu ta xem các trạng thái kết hợp là các trạng thái chồng chập thì ta có thể biểu
diễn chúng dưới dạng
0
,
n
a n a n
với
1
ˆ 0 ,
!
n
n a
n
là các trạng thái dừng của bài toán dao động tử điều hòa.
Tôi tính được hệ số khai triển
9. Lê Đại Nam
8
2
2
0 .
! !
an n
a a
n a a e
n n
Như vậy, hàm sóng của dao động tử điều hòa ở trạng thái kết hợp có dạng
2
2
0
.
!
a n
n
a
a e n
n
Kết hợp với hệ thức
ˆ ˆ,ˆ ˆˆ ˆ A BA B A B
e e e e
khi ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, , , , 0A A B B A B
, tôi viết lại
khai triển trên dưới dạng [6]
*
ˆ ˆ
0 ,
za z a
a e
toán tử
*
ˆ ˆza z a
e
được gọi là toán tử sinh của trạng thái kết hợp (creation operator of
coherent state) [6].
Tại thời điểm t , hàm sóng của dao động tử điều hòa ở trạng thái kết hợp a là
2
1
ˆ 2
2 2 2
0
,
!
i n t
aH i t i tn
i t
i t
n
a e
e a e n e e a e a t
n
với
i t
a t e a
,
tức là trạng thái này cũng dao động điều hòa với tần số góc . Ta có nhận xét rằng
trong trường hợp dao động tử điều hòa, trạng thái kết hợp cũng dao động tương tự như
mô hình dao động tử điều hòa trong cơ học cổ điển,
,
,
.
da t
i a t
dt
dx t p t
dt m
dp t
m x t
dt
10. Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent state
9
Do đó, trạng thái kết hợp của dao động tử điều hòa là trạng thái gần giống nhất với
trạng thái cổ điển của dao động tử điều hòa, và được gọi là trạng thái giả cổ điển
(quasiclassical state). Ta cũng nhận xét rằng ở trạng thái kết hợp, khi 0 thì
0,xx p
trùng với trạng thái cổ điển, tức là khi đó trạng thái kết hợp trở về trạng thái cổ điển.
3 Mở rộng hệ thức bất định Heisenberg
3.1 Hệ thức bất định Heisenberg tổng quát
Hệ thức bất định không chỉ đối với hai đại lượng vị trí và động lượng mà còn được
mở rộng thành hệ thức bất định tổng quát đối với hai đại lượng ˆA và ˆB bất kì.
Nếu ˆA và ˆB là hai toán tử Hermite bất kì thì [2]
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ,
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ,
A B AB BA AB BA
B A A B BA AB
suy ra
ˆ ˆˆ ˆ, , ,A B A B
tức là giao hoán tử của chúng ˆ ˆ,A B
là toán tử phản Hermite.
Do ˆ ˆ,A B
là toán tử phản Hermite nên ˆ ˆ,A B
có dạng ˆ ˆˆ,A B iC với ˆC là một
toán tử Hermite.
Đối với một hàm sóng bất kì thì
ˆ ,
ˆ ,
A A
B B
là trị trung bình của các đại lượng ˆA và ˆB ; và
11. Lê Đại Nam
10
ˆ ˆ ˆˆ ˆ, ,
ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ
ˆ ˆ2 Im ,
iC i C A B A A B B
A A B B B B A A
A A B B A A B B
i A A B B
suy ra
ˆ ˆˆ ˆIm ,
2
C
A A B B A A B B
Áp dụng bất đẳng thức Schwartz
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ,A A B B A A A A B B B B
với
ˆ ˆ ,
ˆ ˆ ,
A A A A A
B B B B B
lần lượt là độ bất định của phép đo các đại lượng ˆA và ˆB ; ta dẫn ra được hệ thức bất
định [7]
2
C
A B .
3.2 Phép đo hai đại lượng vật lí trong cơ học lượng tử
Dựa vào hệ thức bất định, ta thấy rằng không phải lúc nào hai đại lượng bất kì ˆA
và ˆB đều có thể xác định chính xác đồng thời. Điều kiện cần và đủ để hai đại lượng
ˆA và ˆB có thể xác định chính xác đồng thời là
ˆ ˆ, 0A B và là hàm riêng của ˆA và ˆB .
Để làm rõ điều này, ta khảo sát một thí nghiệm tưởng tượng sau: hệ đang ở trạng
thái và ta lần lượt thực hiện các phép đó ˆA, ˆB và ˆA.
12. Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent state
11
ˆ ˆ
ˆ
ˆ ˆ,
ˆ ˆ ˆˆ ˆ, , .
A B
A
A A A B B A
A A B AB A BA A A A B
Do ˆ ˆ, 0A B nên trạng thái của hệ sau các phép đo trên là trạng thái ,A B và kết
quả của phép đo lần lượt là các trị riêng , ,A B A. Điều này cho thấy phép đo ˆB không
làm ảnh hưởng đển phép đo ˆA nên hai đại lượng ứng với hai phép đo này hoàn toàn
có thể xác định chính xác.
Tuy nhiên, cũng dựa vào sơ đồ trên, ta thấy ở trường hợp ˆ ˆ, 0A B thì những lập
luận trên không còn đúng nữa. Khi đó, phép đo ˆB không làm ảnh hưởng đển phép đo
ˆA nên hai đại lượng ứng với hai phép đo này không thể xác định chính xác đồng thời.
Mối quan hệ bất định giữa hai đại lượng trên được thể hiện qua
.
2
C
A B
4 Mở rộng khái niệm trạng thái kết hợp
Hệ thức bất định của phép đo hai đại lượng ˆA và ˆB
,
2
C
A B
dấu bằng của hệ thức bất định xảy ra khi và chỉ khi
ˆ ˆA A B B
i
A B
hoặc
ˆˆ
.
A AB B
i
B A
Thực hiện các biến đổi, ta đưa phương trình trên về dạng
ˆ ˆ .
2 2 2 2
B A B A
A i B A i B
A B A B
Trạng thái thỏa mãn
,
2
C
A B
13. Lê Đại Nam
12
chính là trạng thái kết hợp gần với trạng thái cổ điển nhất của hai toán tử ˆA và ˆB .
Trạng thái kết hợp chính là vector riêng của toán tử không Hermite
ˆˆ ˆ ,
2 2
B A
D A i B
A B
với , ,A B đóng vai trò như các tham số tự do thỏa .
2
C
A B
Do ˆ ˆD D
nên nếu là một trạng thái kết hợp của hai toán tử ˆA và ˆB thì
cũng là một trạng thái kết hợp của hai toán tử đó. Như vậy, ứng với hai toán tử
ˆA và ˆB thì các trạng thái lập thành hai nhóm tương ứng là hàm riêng của hai toán tử
ˆ ˆ,D D .
Các vector riêng D của toán tử ˆD ứng với trị riêng D thì các vector riêng
D D
của toán tử ˆD ứng với trị riêng D . Khi đó, trị trung bình của ˆA và ˆB
là
1 2 1 2
Re Re ,
1 2 1 2
Im Im .
A A
A D D
B B
B B
B D D
A A
Do toán tử ˆD không phải là toán tử Hermite nên bộ vector riêng cơ sở D
không trực giao. Ta sử dụng lí thuyết nhóm để xây dựng các trạng thái kết hợp D
cho trường hợp tổng quát [6].
4.1 Trạng thái kết hợp trong nhóm Heisenberg - Weyl
Ở phần 1 và 2, chúng ta đã khảo sát hệ thức bất định Heisenberg và trạng thái kết
hợp ở một trường hợp riêng ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ, ,xA x B p C I với ˆˆ ˆ, ,xx p I lần lượt là toán tử tọa độ,
động lượng và toán tử đồng nhất.
Bộ ba toán tử trên tạo thành nhóm Heisenberg – Weyl [1]
14. Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent state
13
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0, , 0.x xx p i I x I p I
Ta đưa các toán tử hủy – sinh ˆ ˆ,a a
có dạng
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, .
2 22 2
x x
m i m i
a x p a x p
m m
Khi đó, các toán tử ˆˆ ˆ, ,a a I
cũng tạo thành một nhóm Heisenberg – Weyl [1]
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0, , 0.a a I a I a I
Ta đưa thêm toán tử “dao động tử điều hòa”
2 2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ,
2 2 2
xpI m x
H aa
m
chính là Hamiltonian của bài toán dao động tử điều hòa. Khi đó, các toán tử
ˆ ˆˆ ˆ, , ,xx p I H tạo thành nhóm “dao động tử điều hòa” ˆ ˆˆ ˆ, , ,xx p I H [6]
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0, , 0.
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, 0, , , , .
x x
x
x p i I x I p I
i i
I H x H p p H x
m m
và các toán tử ˆ ˆˆ ˆ, , ,a a I H
lập thành hai đại số con đẳng hướng tối đại liên hiệp với
nhau ˆ ˆˆ, ,a I H và ˆ ˆˆ , ,a I H
của chân không 0 thỏa và cấu
trúc của các đại số con đó [6]
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , 0, , 0,
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ, , , .
a a I a I a I
a H a a H a
Trạng thái kết hợp a xây dựng từ chân không 0 ở phần 2 là trạng thái kết hợp
của nhóm Heisenberg – Weyl gần với trạng thái cổ điển nhất. Trạng thái kết hợp a
được xây dựng từ chính đại số con đẳng hướng tối đại ˆ ˆˆ, ,a I H của chân không
0 [6].
15. Lê Đại Nam
14
4.2 Mở rộng khái niệm trạng thái kết hợp với đại số Lie bất kì
Dựa vào cách xây dựng trạng thái kết hợp của bài toán dao động tử điều hòa dựa
trên nhóm “dao động tử điều hòa”, ta mở rộng khái niệm trạng thái kết hợp với đại số
Lie bất kì.
Giả sử đại số Lie có biểu diễn bất khả quy :T r . Trạng thái kết hợp
của đại số Lie là các vector thỏa [6]
,T r r r r
trong đó, ta khảo sát trường hợp trạng thái kết hợp gần nhất với trạng thái cổ điển
nhất. Để xây dựng được trạng thái kết hợp này, ta phải đưa ra được hai đại số con
đẳng hướng tối đại liên hiệp với nhau và của chân không 0 thỏa [6].
Trạng thái kết hợp gần nhất với trạng thái cổ điển được xây dựng từ chính đại số con
đẳng hướng tối đại của chân không 0 . Đối với trường hợp 3 toán tử Hermite
ˆ ˆˆ, ,A B C thỏa ˆ ˆˆ,A B iC , ta phải xây dựng được đại số Lie cực tiểu dựa trên 3 toán
tử Hermite trên. Dựa trên đại số Lie ta đã xây dựng được, ta có thể xây dựng được
trạng thái kết hợp gần nhất với trạng thái cổ điển thỏa
.
2
C
A B
Việc mở rộng khái niệm trạng thái kết hợp cho đại số Lie bất kì có nhiều ứng dụng
trong việc giải quyết các bài toán lượng tử ví dụ như trạng thái kết hợp của nhóm
SO n dùng để giải quyết bài toán coupling hai moment góc, trạng thái kết hợp trong
bài toán nguyên tử hydro, v.v.v [6].
5 Kết luận
Như vậy, tôi đã trình bày những vấn đề cơ bản về hệ thức bất định Heisenberg và
trạng thái kết hợp Gaussian và sự mở rộng các khái niệm hệ thức bất định, trạng thái
kết hợp cho các trường hợp tổng quát bằng lí thuyết về không gian Hilbert và lí thuyết
nhóm.
16. Nguyên lí bất định Heisenberg và trạng thái kết hợp - coherent state
15
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Angel Ballesteros, Francisco J. Herranz, Preeti Parashar. (1997). Quantum
Heisenberg–Weyl Algebras. Journal of Physics A: Mathematical and General, 30(7),
149 - 154.
2. Dũng, H. (2003). Nhập môn Cơ học lượng tử. NXB ĐHQG Tp.HCM.
3. Heisenberg, W. (1925). Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und
mechanischer Beziehungen. Zeitschrift für Physik, 33, 879-893.
4. Heisenberg, W. (1927). Uber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen
Kinematik und Mechanik. Zeitschrift für Physik, 45(3 - 4), 172 - 198.
5. Laplace, P. S. (1951). A Philosophical Essay on Probabilities. ( . a. translated into
English rom the original rench 6th ed. by Truscott, Dịch giả) Dover Publications.
6. Perelomov, A. (1986). Generalized Coherent States and Their Applications.
Springer Berlin Heidelberg.
7. Sakurai, J. J. (1994). Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley.
8. Schrodinger, E. (1926). Der stetige Übergang von der Mikro- zur Makromechanik.
Die Naturwissenschaften, 14(28), 664 - 666.