This note is in Vietnamese.

1. Bài thi kết thúc học phần:
Tính tiết diện tán xạ của tán xạ Compton
Lê Đại Nam1, a)
NCS, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh
Mã số: 15 311 02.
(Dated: Ngày 25 tháng 6 năm 2017)
Tiết diện của tán xạ Compton e−
γ → e−
γ theo lí thuyết QED được xác định thông
qua các giản đồ Feynman của quá trình này.
CONTENTS
I. Đóng góp của các giản đồ Feynman trong tán xạ Compton e−
γ → e−
γ 2
A. Hamiltonian tương tác, trường spinor và trường vector trong QED 2
B. Ma trận tán xạ (S-matrix) của tán xạ Compton 3
1. Số hạng bậc 0 3
2. Số hạng bậc 1 4
3. Số hạng bậc 2 4
C. Các giản đồ Feynman có đóng góp trong ma trận tán xạ bậc thấp nhất 9
II. Bình phương module của biên độ xác suất Feynman |M|2
trong tán xạ
Compton e−
γ → e−
γ 11
A. Tính số hạng |M1|2
12
B. Tính số hạng |M2|2
15
C. Tính số hạng M∗
1M2 = M1M∗
2 16
III. Tiết diện tán xạ σe−γ→e−γ của tán xạ Compton e−
γ → e−
γ 18
A. Động học của tán xạ Compton trong hệ quy chiếu e−
bia đứng yên 18
B. Liên hệ giữa 1/4 |M|2
và tiết diện tán xạ dσ/dΩ 19
C. Hệ thức tiết diện tán xạ dσ/dΩ Klein-Nishima cho tán xạ Compton 20
a)
Electronic mail: ldn28593@gmail.com

2. 2
I. ĐÓNG GÓP CỦA CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN TRONG TÁN XẠ COMPTON e−γ → e−γ
A. Hamiltonian tương tác, trường spinor và trường vector trong QED
Để xác định các giản đồ nào đóng góp trong tán xạ Compton e−
γ → e−
γ, ta cần xác
định các số hạng trong ma trận tán xạ (S-matrix). Để làm được điều này, ta cần xác định
Hamiltonian tương tác, trường spinor của electron và positron và trường vector của photon
trong Điện đông lực học lương tử QED.
Để xác định Hamiltonian tương tác, ta xuất phát từ Lagrangian tổng quát của Lí thuyết
QED:
LQED= L0
Dirac + L0
Maxwell + Lint
= ψ(ı/∂ − m)ψ −
1
2
((∂µAν)(∂µ
Aν
) − (∂µAµ)(∂µ
Aµ
)) − eψ /Aψ. (1)
Từ Lagrangian LQED để chuyển qua hình thức luận Hamilton, ta tính động lượng của trường
spinor và trường vector:
π= ∂LQED/∂(∂0ψ) = ıψγ0
(2)
Πµ
= ∂LQED/∂(∂0Aµ) = (δ0
µ − 1)∂0
Aµ
. (3)
Từ (1), (2) và (3) ta xác định Hamiltonian HQED của lí thuyết QED:
HQED= π∂0ψ + Π∂0Aµ
− LQED
= ψ(m − ıγi
∂i)ψ +
1
2
(∂iA0)(∂i
A0
) − (∂0Ai)(∂0
Ai
) + eψ /Aψ
= H0
Dirac + H0
Maxwell + Hint. (4)
Từ đó, ta xác định được thành phần tương tác trong biểu thức xác định Hamiltonian (4):
Hint = eψ /Aψ, (5)
hay để tránh phân kỳ chân không, ta có thể đưa thêm N−tích:
Hint = N eψ /Aψ . (6)
Trong tán xạ Compton dưới lí thuyết QED, chỉ có một trường spinor mô tả electron và

3. 3
phản hạt của nó là positron được xét đến:
ψ(x)=
2
s=1
d3
p
(2π)3/2
√
2E
ˆb
(s)
p u(s)
(p)e−ıp·x
ψ+ : hủy electron e−
+
2
s=1
d3
p
(2π)3/2
√
2E
ˆc
(s)
p
†
v(s)
(p)e+ıp·x
ψ− : tạo positron e+
, (7)
ψ(x)=
2
s=1
d3
p
(2π)3/2
√
2E
ˆb
(s)
p
†
u(s)
(p)e+ıp·x
ψ+ : tạo electron e−
+
2
s=1
d3
p
(2π)3/2
√
2E
ˆc
(s)
p v(s)
(p)e−ıp·x
ψ− : hủy positron e+
, (8)
Aµ(x)=
3
λ=0
d3
k
(2π)3/2 2ωk
ε(λ)
µ (k)ˆa
(λ)
k
e−ıp·x
A+
µ : hủy photon γ
+
3
λ=0
d3
k
(2π)3/2 2ωk
(ε(λ)
µ (k))∗
(ˆa
(λ)
k
)†
e+ıp·x
A−
µ : tạo photon γ
,(9)
trong đó, ˆa
(λ)
k
, (ˆa
(λ)
k
)†
thỏa điều kiện giao hoán của các toán tử sinh hủy boson còn ˆb
(s)
p ,
ˆb
(s)
p
†
và ˆc
(s)
p , ˆc
(s)
p
†
thỏa điều kiện phản giao hoán của các toán tử sinh hủy fermion.
Lưu ý, trong tán xạ Compton mà ta đang quan tâm, trạng thái đầu và cuối đều có dạng:
e−
(p, s); γ(k, λ) = ˆb
(s)
p
†
(ˆa
(λ)
k
)†
|0 . (10)
B. Ma trận tán xạ (S-matrix) của tán xạ Compton
Phần tử của ma trận tán xạ S-matrix có thể được xác định bởi:
Sfi= f| T exp −ı Hintd4
x |i
=
∞
n=0
(−ı)n
n!
· · · d4
x1 · · · d4
xn f| T {Hint(x1), · · · , Hint(xn)} |i
S
(n)
fi
. (11)
Đối với tán xạ Compton trong lý thuyết QED, ta thay Hint từ (5) và các trạng thái đầu |i
và cuối |f có dạng như trong (10). Khi đó, ta lần lượt xác định các đóng góp của các bổ
chính bậc n là S
(n)
fi trong (11) với n = 0, 1, 2, . . .. Ở đây, ta chỉ xem đóng góp của bậc thấp
nhất khác 0, mà cụ thể sẽ được chứng minh sau, là bậc 2.
1. Số hạng bậc 0
Số hạng bậc 0 trong S-matrix (11) là
S
(0)
fi = f| 1 |i = f |i . (12)

4. 4
Thay trạng thái đầu và cuối có dạng ở (10) vào (12) thì ta được:
S
(0)
fi = e−
(pf , sf ); γ(kf , λf ) e−
(pi, si); γ(ki, λi)
= 0| ˆb
(sf )
pf
(ˆa
(λf )
kf
) ˆb
(si)
pi
†
(ˆa
(λi)
ki
)†
|0 = δ (pi − pf ) δ ki − kf δsi,sf
δλi,λf
,
mô tả một quá trình không tán xạ. Đối với một quá trình tán xạ mà ở đó f = i thì S
(0)
fi = 0
nên đóng góp của số hạng bậc 0 được bỏ qua trong tán xạ Compton.
2. Số hạng bậc 1
Số hạng bậc 0 trong S-matrix (11) là
S
(1)
fi = −ı d4
x f| T {Hint} |i . (13)
Thay Hamiltonian tương tác của QED ở (5), trạng thái đầu và cuối có dạng ở (10) vào (13)
kết hợp với định lí Wick để đổi T −tích sang N−tích thì ta được
S
(1)
fi = −ıe d4
x e−
f ; γf N ψ(x) /A(x)ψ(x) e−
i ; γi + e−
f ; γf ψ(x) /A(x)ψ(x) e−
i ; γi
có dạng − ıe d4
x 0| (ˆa
(λf )
kf
)(ˆa
(λi)
ki
)†
A+
µ (x) + A−
µ (x) · · · |0
gồm một số hạng chứa kẹp chân không của sinh 2 hủy 1 photon và 1 số hạng sinh 1 hủy 2
photon nên các số hạng này buộc phải bằng 0. Do đó, S
(1)
fi = 0.
3. Số hạng bậc 2
Bổ chính bậc 2 của S-matrix (11) trong QED có dạng:
S
(2)
fi = −
1
2
dx
1dx
2 f| T {Hint(x1)Hint(x2)} |i
= −
1
2
dx
1dx
2 f| N {Hint(x1)Hint(x2)} |i
−
1
2
dx
1dx
2 f| N tất cả các contraction trong Hint(x1)Hint(x2) |i .(14)
Các số hạng trong (14) có thể được chia làm 6 số hạng khác nhau bởi Hint(x1)Hint(x2) chứa
3 cặp tích toán tử trường (2 cặp fermion và 1 cặp boson). Để đơn giản, ta tạm thời bỏ qua
kẹp f| · · · |i thì:
S(2)
= S(2a)
+ S(2b)
+ S(2c)
+ S(2d)
+ S(2e)
+ S(2f)
, (15)

5. 5
lần lượt bao gồm 1 số hạng 0 có contraction
S(2a)
= −
e2
2
d4
x1d4
x2N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2) , (16)
2 số hạng có 1 contraction
S(2b)
= −
e2
2
d4
x1d4
x2N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2) , (17)
và
S(2c)
= −
e2
2
d4
x1d4
x2N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2)
−
e2
2
d4
x1d4
x2N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2) , (18)
2 số hạng có 2 contraction
S(2d)
= −
e2
2
d4
x1d4
x2N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2) , (19)
và
S(2e)
= −
e2
2
d4
x1d4
x2N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2)
−
e2
2
d4
x1d4
x2N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2) , (20)
và 1 số hạng có 3 contraction
S(2f)
= −
e2
2
d4
x1d4
x2N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2) . (21)
Trước khi xác định đóng góp của từng số hạng trong 6 số hạng ở (16), (17), (18), (19), (20)
và(21) thì ta cần phải lưu ý rằng ở trạng thái đầu và cuối chỉ có duy nhất 01 fermion là
electron e−
nên các số hạng nào có đầy đủ cả 2 cặp ψ, ψ không nằm trong móc contraction
đều dẫn đến tình trạng dư thừa các toán tử hủy fermion tác dụng lên ket hoặc dư thừa các
toán tử sinh fermion tác dụng lên bra nên sẽ bằng 0. Ngoài ra, ta nên lưu ý rằng đối với cặp
ψ, ψ nếu nằm ngoài contraction thì khi tác dụng lên |i hoặc f| chỉ có thành phần ứng với
electron là ψ+ và ψ+ tác dụng.
a. Đóng góp của số hạng S
(2a)
fi Số hạng này có đóng góp bằng 0 vì trong S(2a)
đầy đủ
2 cặp toán tử trường spinor ψ, ψ không nằm trong móc contraction.
b. Đóng góp của số hạng S
(2b)
fi Số hạng này có đóng góp bằng 0 vì trong S(2b)
đầy đủ
2 cặp toán tử trường spinor ψ, ψ không nằm trong móc contraction.

6. 6
c. Đóng góp của số hạng S
(2c)
fi Số hạng này gồm 2 số hạng, có đặc điểm chung là chỉ
có một cặp toán tử trường spinor nằm trong contraction nên còn một cặp toán tử trường
spinor nối với e−
i và e−
f , một cặp toán tử trường vector nối với γi và γf . Do đó, số hạng này
là số hạng duy nhất có các giản đồ Feynman mà đóng góp vào tán xạ Compton e−
γ → e−
γ
khác 0. Ta lần lượt vẽ các giản đồ Feynman ứng với từng số hạng trong S
(2c)
fi .
Đối với số hạng đầu tiên:
S
(2c1)
fi = −
e2
2
d4
x1d4
x2 f| N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2) |i ,
= −
e2
2
d4
x1d4
x2 f| N Ψ(x1) /A+(x1)Ψ+(x1)Ψ+(x2) /A+(x2)Ψ(x2) |i +
−
e2
2
d4
x1d4
x2 f| N Ψ(x1) /A−(x1)Ψ+(x1)Ψ+(x2) /A−(x2)Ψ(x2) |i +
−
e2
2
d4
x1d4
x2 f| N Ψ(x1) /A−(x1)Ψ+(x1)Ψ+(x2) /A+(x2)Ψ(x2) |i +
−
e2
2
d4
x1d4
x2 f| N Ψ(x1) /A+(x1)Ψ+(x1)Ψ+(x2) /A−(x2)Ψ(x2) |i . (22)
có hai số hạng ứng với /A+ · · · /A+ và /A− · · · /A− bằng 0 vì số lượng toán tử sinh và hủy trường
vector không đều nhau. Do đó, còn hai số hạng khác 0
S
(2c1)
fi = −
e2
2
d4
x1d4
x2 e−
f ; γf N Ψ(x1) /A−(x1)Ψ+(x1)Ψ+(x2) /A+(x2)Ψ(x2) e−
i ; γi +
−
e2
2
d4
x1d4
x2 e−
f ; γf N Ψ(x1) /A+(x1)Ψ+(x1)Ψ+(x2) /A−(x2)Ψ(x2) e−
i ; γi . (23)
ứng với hai sơ đồ:
Hình 1. Giản đồ ứng với số hạng S
(2c1)
fi hủy cặp
e−
i γi thành một fermion rồi sinh lại cặp e−
f γf .
Hình 2. Giản đồ ứng với số hạng S
(2c2)
fi hủy cặp
e−
i sinh ra γf và một fermion rồi bắt lại lại cặp
γi để thành e−
i .

7. 7
Tương tự như vậy, số hạng còn lại
S
(2c2)
fi = −
e2
2
d4
x1d4
x2 f| N Ψ(x1)γµ
Ψ(x1)Aµ(x1)Ψ(x2)γν
Ψ(x2)Aν(x2) |i (24)
biến đổi thành
S
(2c2)
fi = −
e2
2
d4
x1d4
x2 e−
f ; γf N Ψ+(x1) /A−(x1)Ψ(x1)Ψ(x2) /A+(x2)Ψ+(x2) e−
i ; γi
−
e2
2
d4
x1d4
x2 e−
f ; γf N Ψ+(x1) /A+(x1)Ψ(x1)Ψ(x2) /A−(x2)Ψ+(x2) e−
i ; γi (25)
ứng với hai sơ đồ số hạng S
(2c2)
fi :
Hình 3. Giản đồ ứng với số hạng S
(2c2)
fi hủy cặp
e−
i sinh ra γf và một fermion rồi bắt lại lại cặp
γi để thành e−
i .
Hình 4. Giản đồ ứng với số hạng S
(2c1)
fi hủy cặp
e−
i γi thành một fermion rồi sinh lại cặp e−
f γf .
d. Đóng góp của số hạng S
(2d)
fi Số hạng này có cả 2 cặp toán tử trường spinor đều nằm
trong contraction nên dẫn đến việc xuất hiện thừa số e−
i e−
f mà để thừa số này khác 0
thì e−
ở trạng thái đầu và e−
và ở trạng thái cuối phải giống nhau. Do đó, khi tích phân các
xung lượng trong các toán tử trường sẽ xuất hiện δ(p1+ + p1− − k1) hoặc δ(p2+ + p22− − k2)
chỉ khác 0 khi định luật bảo toàn năng xung lượng k = p+ + p− thỏa. Mà k · k = 0 còn
p+ · p+ = p− · p− = m2
> 0 nên không thể thỏa định luật bảo toàn năng xung lượng
k = p+ + p−. Do đó, số hạng này phải bằng 0. Hiểu theo giản đồ Feynman, sơ đồ ứng với số
hạng này là:

8. 8
Hình 5. Giản đồ Feynman ứng với số hạng S
(2d)
fi . Số này này có đóng góp bằng 0 vì sinh-hủy cặp
γ e+ + e− vi phạm bảo toàn năng xung lượng.
e. Đóng góp của số hạng S
(2e)
fi Số hạng này gồm 2 số hạng có cặp toán tử trường vector
nằm trong contraction nên dẫn đến việc xuất hiện thừa số γi| γf mà để thừa số này khác
0 thì γ ở trạng thái đầu và γ và ở trạng thái cuối phải giống nhau. Do đó, khi tích phân các
xung lượng trong các toán tử trường sẽ xuất hiện δ(pi− = k1 + p1−) hoặc δ(pf− = p2− + k2)
chỉ khác 0 khi định luật bảo toàn năng xung lượng p− = k + p− thỏa. Mà k · k = 0 còn
p− · p− = m2
> 0 nên không thể thỏa định luật bảo toàn năng xung lượng p− = k + p−. Do
đó, số hạng này phải bằng 0. Hiểu theo giản đồ Feynman, sơ đồ ứng với số hạng này là:
Hình 6. Giản đồ Feynman ứng với số hạng S
(2e)
fi . Số này này có đóng góp bằng 0 vì quá trình hấp
thụ hoặc phát xạ photon của e− tự do e− γ + e− vi phạm bảo toàn năng xung lượng.
f. Đóng góp của số hạng S
(2f)
fi Do trong S(2f)
tất cả các toán tử trường nằm dưới tác
dụng của contraction nên S(2f)
thuần túy là một số phức, do vây tương tự với số hạng bậc
0,
S
(2f)
fi = f| S(2f)
|i = S(2f)
δfi = 0,
với các quá trình tán xạ f = i. Nếu tính cụ thể hơn thì số hạng này ứng sẽ chứa δ(p1 +p2 +k)
tương ứng với định luật bảo toàn năng xung lượng k + p1 + p2 = 0 mà điều này không thể

9. 9
xảy ra vì |p1| = |p2| = m > 0. Hay nói theo ngôn ngữ giản đồ Feynman thì số hạng này ứng
với giản đồ
Hình 7. Giản đồ Feynman ứng với số hạng S
(2f)
fi . Số này này có đóng góp bằng 0 vì vi phạm định
luật bảo toàn năng xung lượng.
C. Các giản đồ Feynman có đóng góp trong ma trận tán xạ bậc thấp nhất
Dựa vào các lập luận ở phần trước, trong tán xạ Compton, có hai giản đồ hình cây có
đóng góp là:
Hình 8. Hai giản đồ cây đóng góp trong số hạng bậc 2 của ma trận tán xạ. Trong đó, giản đồ thứ
hai là cách vẽ khác đơn giản hơn của giản đồ 2 và 3. Hai giản đồ này xuất hiện hai lần trong số
hạng S
(2c)
fi của khai triển bậc 2 thành phần của ma trận S.
Chúng ta nên lưu ý về việc hai giản đồ này mỗi giản đồ xuất hiện hai lần trong khai triển
của ma trận S và trong khai triển của S có thừa số 1/2! xuất phát từ số hoán vị các giản
đồ. Dựa vào hai giản đồ trên, ta khai triển được ma trận tán xạ đến bậc 2:
Sfi = δfi + ı(2π)4
(M1 + M2) δ(4)
(pi + ki − pf − kf ) + O e3
, (26)

10. 10
với M = M1 + M2 là biên độ xác suất Feynman tính từ hai giản đồ trên.
a. Biên độ xác suất Feynman M1 của giản đồ thứ nhất Giản đồ thứ nhất:
Hình 9. Tính biên độ M1 của giản đồ thứ nhất qua quy tắc Feynman.
qua quy tắc Feynman cho ta biên độ Feynman M1 như sau:
ıM1= u(sf )
(pf )(−ıeγν
)(ε
(λf )
ν (kf ))∗
ı(/pi
+ /ki + m)
(pi + ki)2 − m2
ε(λi)
µ (ki)(−ıeγµ
)u(si)
(pi)
= −e2
ε(λi)
µ (ki)(ε
(λf )
ν (kf ))∗
u(sf )
(pf )
ıγν
(/pi
+ /ki + m)γµ
(p2
i + k2
i + 2pi · ki) − m2
u(si)
(pi)
= −e2
ε(λi)
µ (ki)(ε
(λf )
ν (kf ))∗
u(sf )
(pf )
ıγν
2pi · ki
γν
(pi)ν + m)γµ
u(si)
(pi) + /kiγµ
u(si)
(pi)
= −e2
ε(λi)
µ (ki)(ε
(λf )
ν (kf ))∗
u(sf )
(pf )
ıγν
2pi · ki
2gµν
(pi)ν − γµ
γν
(pi)ν + γµ
m)u(si)
(pi) + /kiγµ
u(si)
(pi)
= −e2
ε(λi)
µ (ki)(ε
(λf )
ν (kf ))∗
u(sf )
(pf )
ıγν
2pi · ki
2(pi)µ
u(si)
(pi) − γµ
(/pi − m)u(si)
(pi) + /kiγµ
u(si)
(pi)
= −e2
ε(λi)
µ (ki)(ε
(λf )
ν (kf ))∗
u(sf )
(pf )
ıγν
2pi · ki
2(pi)µ
u(si)
(pi) + /kiγµ
u(si)
(pi)
= −ıe2
ε(λi)
µ (ki)(ε
(λf )
ν (kf ))∗
u(sf )
(pf )
2γν
pµ
i + γν /kiγµ
2pi · ki
u(si)
(pi), (27)
và liên hợp phức tương ứng là
−ıM∗
1= ıe2
(ε(λi)
µ (ki))∗
ε
(λf )
ν (kf )u(si)
(pi)γ0 2(γν
)†
pµ
i + (γµ
)†
(/ki)†
(γν
)†
2pi · ki
γ0
u(sf )
(pf )
= ıe2
(ε(λi)
µ (ki))∗
ε
(λf )
ν (kf )u(si)
(pi)
2γν
pµ
i + γµ/kiγν
2pi · ki
u(sf )
(pf ). (28)
Để biến đổi ra dạng rút gọn như (27) ta đã sử dụng điều kiện k2
i = 0 và p2
i = m2
để biến
đổi dấu = thứ hai sang thứ ba, sử dụng điều kiện {γν
, γµ
} = 2gµν
1 từ dấu bằng thứ tư qua
thứ năm và sử dụng tính chất (/pi
− m)u(pi) = 0 để biến đổi từ năm sang sáu. Làm tương
tự các bước như trên cho giản đồ thứ hai ta sẽ thu được kết quả như sau.

11. 11
b. Biên độ xác suất Feynman M2 của giản đồ thứ hai Giản đồ thứ hai:
Hình 10. Tính biên độ M2 của giản đồ thứ hai qua quy tắc Feynman.
qua quy tắc Feynman cho ta biên độ Feynman M2 như sau:
ıM2= u(sf )
(pf )(−ıeγµ
)ε(λi)
µ (ki)
ı(/pi
− /kf + m)
(pi − kf )2 − m2
(ε
(λf )
ν (kf ))∗
(−ıeγν
)u(si)
(pi)
= −ıe2
ε(λi)
µ (ki)(ε
(λf )
ν (kf ))∗
u(sf )
(pf )
2γµ
pν
i − γµ/kf γν
−2pi · kf
u(si)
(pi), (29)
và liên hợp phức tương ứng
−ıM2= ıe2
(ε(λi)
µ (ki))∗
ε
(λf )
ν (kf )u(si)
(pi)γ0
2(γµ
)†
pν
i − (γν
)†/k
†
f (γµ
)†
−2pi · kf
γ0
u(sf )
(pf )
= ıe2
(ε(λi)
µ (ki))∗
ε
(λf )
ν (kf )u(si)
(pi)
2γµ
pν
i − γν /kf γµ
−2pi · kf
u(sf )
(pf ). (30)
II. BÌNH PHƯƠNG MODULE CỦA BIÊN ĐỘ XÁC SUẤT FEYNMAN |M|2
TRONG TÁN
XẠ COMPTON e−γ → e−γ
Với việc xác định được đầy đủ các giản đồ Feynman giúp ta xác định chính xác khai
triển được ma trận tán xạ đến bậc 2. Điều này giúp ta sẽ tính được tiết diện tán xạ dσ/dΩ
của tán xạ Compton mà ta đang xét. Tiết diện tán xạ có thể xác định bằng cách tính bình
phương module biên độ xác suất Feynman |M|2
bởi vì vi phân tiết diện tán xạ dσ tỉ lệ với
tốc độ chuyển dời Γi→f mà theo quy tắc vàng Fermi thì Γi→f tỉ lệ với bình phương module
của ma trận S, do đó, tỉ lệ với bình phương biên độ xác suất Feynman |M|2
. Để xác định

12. 12
cụ thể mối quan hệ này thì ở phần sau chúng ta sẽ khảo sát. Tóm lại, muốn tính được tiết
diện tán xạ ta phải tính |M|2
. Chính xác hơn, ta phải tính tổng spin và độ phân cực của
electron tán xạ e−
f và photon tán xạ γf và lấy trung bình spin và độ phân cực của electron
tới e−
i và photon tới γi tớicác bình phương biên độ xác suất Feynman
1
4
các spin các độ phân cực
|M|2
≡
1
4
|M|2
(31)
Để tính 1/4 |M|2
ta khai triển cho trường hợp tán xạ Compton có 2 giản đồ Feynman:
1
4
|M|2
=
1
4
|M1|2
+
1
4
|M2|2
+
1
4
M∗
1M2 +
1
4
M1M∗
2. (32)
A. Tính số hạng |M1|2
Ta tính số hạng đầu tiên trong (32)
1
4
|M1|2
=
e4
4 λi
(ελi
µ (ki))∗
ελi
ν (ki)
λf
(ε
λf
α (kf ))∗
ε
λf
β (kf )Tr





sf
usf
(pf )usf
(pf )

 ×
×
2γα
pν
i + γα/kiγν
2pi · ki si
usi
(pi)usi
(pi)
2γβ
pµ
i + γµ/kiγβ
2pi · ki
=
e4
16(pi · ki)2
λi
(ελi
µ (ki))∗
ελi
ν (ki)
λf
(ε
λf
α (kf ))∗
ε
λf
β (kf ) ×
×Tr (/pf
+ m)(2γα
pν
i + γα
/kiγν
)(/pi
+ m)(2γβ
pµ
i + γµ
/kiγβ
) , (33)
số hạng này có dạng tổng quát là
λi
(ελi
µ (ki))∗
ελi
ν (ki)
λf
(ε
λf
α (kf ))∗
ε
λf
β (kf )Mµναβ
.
Các số hạng còn lại |M2|2
, M∗
1M2 và M1M∗
2 đều có dạng này nên ta sẽ tìm cách xử lí số
hạng này tổng quát nhằm áp dụng tương tự cho 3 số hạng còn lại |M2|2
, M∗
1M2 và M1M∗
2.
Để xử lí tổng phân cực λ xuất hiện trong các số hạng trên thì ta cần chứng minh một hệ
thức gọi là đồng nhất thức Ward.
Đồng nhất thức Ward Ta biết rằng qua phép biến đổi Gauge: A ±
µ = A±
µ + δµα±
với
α+
=
λ
d3
k
(2π)3/2 2ωk
˜α(k)e−ık·x
, và α−
=
λ
d3
k
(2π)3/2 2ωk
(˜α(k))∗
e+ık·x
.

13. 13
Do đó, phép biến đổi gauge trên tương đương với
ε
λ
µ = ελ
µ − ıkµ ˜α.
Do Mµναβ
không chứa photon nên không phụ thuộc vào gauge đã chọn, do đó, đại lượng
này bất biết với phép biến đổi gauge. Nhưng mà bản thân tổng
(ελi
µ (ki))∗
ελi
ν (ki)(ε
λf
α (kf ))∗
ε
λf
β (kf )Mµναβ
cũng bất biến với phép biến đổi gauge nên
(ελi
µ (ki))∗
ελi
ν (ki)(ε
λf
α (kf ))∗
ε
λf
β (kf )Mµναβ
= (ελi
µ (ki))∗
ελi
ν (ki)(ε
λf
α (kf ))∗
ε
λf
β (kf )Mµναβ
+˜αελi
ν (ki)(ε
λf
α (kf ))∗
kµMµναβ
.
Từ đây, ta suy ra đồng nhất thức Ward:
(ki)µMµναβ
= 0.
Ta thay (ki)µ bằng (ki)ν, (kf )α hoặc (kf )β đều ra kết quả tương tự như vậy. Nếu ki =
(1, 0, 0, 1) thì
M0ναβ
= M3ναβ
và Mµ0αβ
= Mµ3αβ
.
Mà ε(1)
(ki) = (0, 1, 0, 0) và ε(2)
(ki) = (0, 0, 1, 0) nên
λi
(ελi
µ (ki))∗
ελi
ν (ki)Mµναβ
= M11αβ
+M22αβ
= M11αβ
+M22αβ
+M33αβ
−M00αβ
= −gµνMµναβ
,
do đó, tổng phân cực có thể đổi thành (−gµν). Điều này về tổng quát vẫn chính xác dù ta
có chọn hệ trục tọa độ như thế nào đi chăng nữa. Áp dụng tương tự với tổng theo λf thì ta
được:
λi
(ελi
µ (ki))∗
ελi
ν (ki)
λf
(ε
λf
α (kf ))∗
ε
λf
β (kf )Mµναβ
= gµνgαβMµναβ
. (34)
Áp dụng hệ thức (34) cho (33) thì được
1
4
|M1|2
=
e4
gµνgαβ
16(pi · ki)2
Tr (/pf
+ m)(2γα
pν
i + γα
/kiγν
)(/pi
+ m)(2γβ
pµ
i + γµ
/kiγβ
)
=
e4
16(pi · ki)2
Tr (/pf
+ m)(2γα
pν
i + γα
/kiγν
)(/pi
+ m)(2γα(pi)ν + γν /kiγα) .(35)

14. 14
Khai triển tường minh vế phải của (35) ta được 2 × 2 × 2 × 2 = 16 số hạng khác nhau bao
gồm:
/pf
(γα
/kiγν
)/pi
(γν /kiγα) chứa tích của 8 ma trận γ.
m(γα
/kiγν
)/pi
(γν /kiγα) chứa tích của 7 ma trận γ.
/pf
(γα
/kiγν
)m(γν /kiγα) chứa tích của 7 ma trận γ.
m(γα
/kiγν
)m(γν /kiγα) chứa tích của 6 ma trận γ.
/pf
(2γα
pν
i )/pi
(γν /kiγα) chứa tích của 6 ma trận γ.
/pf
(γα
/kiγν
)/pi
(2γα(pi)ν) chứa tích của 6 ma trận γ.
m(2γα
pν
i )/pi
(γν /kiγα) chứa tích của 5 ma trận γ.
/pf
(2γα
pν
i )m(γν /kiγα) chứa tích của 5 ma trận γ.
m(γα
/kiγν
)/pi
(2γα(pi)ν) chứa tích của 5 ma trận γ.
/pf
(γα
/kiγν
)m(2γα(pi)ν) chứa tích của 5 ma trận γ.
m(2γα
pν
i )m(γν /kiγα) chứa tích của 4 ma trận γ.
m(γα
/kiγν
)m(2γα(pi)ν) chứa tích của 4 ma trận γ.
/pf
(2γα
pν
i )/pi
(2γα(pi)ν) chứa tích của 4 ma trận γ.
m(2γα
pν
i )/pi
(2γα(pi)ν) chứa tích của 3 ma trận γ.
/pf
(2γα
pν
i )m(2γα(pi)ν) chứa tích của 3 ma trận γ.
m(2γα
pν
i )m(2γα(pi)ν) chứa tích của 2 ma trận γ.
Tuy nhiên, vết của tích số lẻ các ma trận γ bằng 0 nên ta loại bỏ được 8 số hạng và còn lại:
Tr /pf
(γα
/kiγν
)/pi
(γν /kiγα) = Tr γα/pf
γα
/kiγν
/pi
γν /ki = Tr (−2/pf
)/ki(−2/pi
)/ki = 4Tr /pf
/ki/pi
/ki
= 32(pf · ki)(pi · ki) − 16(pf · pi)(ki · ki) = 32(pf · ki)(pi · ki).
Tr {m(γα
/kiγν
)m(γν /kiγα)}= m2
Tr {γαγα
/kiγν
γν /ki} = 16Tr {/ki/ki} = 64ki · ki = 0.
Tr /pf
(2γα
pν
i )/pi
(γν /kiγα) = 2Tr γα/pf
γα
/pi/pi
/ki = −4Tr /pf /pi/pi
/ki = −16m2
pf · ki.
Tr /pf
(γα
/kiγν
)/pi
(2γα(pi)ν) = 2Tr γα/pf
γα
/ki/pi/pi
= −4pi · piTr /pf
/ki = −16m2
pf · ki.
Tr {m(2γα
pν
i )m(γν /kiγα)}= 2m2
Tr γαγα
/pi
/ki = 8m2
Tr /pi
/ki = 32m2
pi · ki.
Tr {m(γα
/kiγν
)m(2γα(pi)ν)}= 2m2
Tr γαγα
/ki/pi
= 8m2
Tr /ki/pi
= 32m2
ki · pi.
Tr /pf
(2γα
pν
i )/pi
(2γα(pi)ν) = 4pi · piTr γα/pf
γα
/pi
= −8m2
Tr /pf /pi
= −32m2
pi · pf .
Tr {m(2γα
pν
i )m(2γα(pi)ν)}= 4m2
pi · piTr {γα
γα} = 64m4
.

15. 15
Thay các biểu thức này vào (35) thì ta được:
1
4
|M1|2
= 2e4 pf · ki + 2m2
pi · ki
+
2m4
− m2
(pi + ki) · pf
(pi · ki)2
= 2e4 pi · kf + 2m2
pi · ki
+
2m4
− m2
(pi · pf + ki · pf )
(pi · ki)2
= 2e4 pi · kf
pi · ki
+
m2
pi · ki
+
m4
(pi · ki)2
. (36)
Trong đó, để khử pf trong (36), ta sử dụng các hệ thức sau đây:
(pi − pf )2
= (kf − ki)2
⇔ pi · pf = m2
+ ki · kf ,
pf = pi + ki − kf ⇔ ki · pf = pi · ki − ki · kf ,
(pf − ki)2
= (pi − kf )2
⇔ pf · ki = pi · kf .
B. Tính số hạng |M2|2
Ta tính số hạng thứ hai trong (32)
1
4
|M2|2
=
e4
4 λi
(ελi
µ (ki))∗
ελi
ν (ki)
λf
(ε
λf
α (kf ))∗
ε
λf
β (kf )Tr





sf
usf
(pf )usf
(pf )

 ×
×
2γν
pα
i − γν /kf γα
−2pi · kf si
usi
(pi)usi
(pi)
2γµ
pβ
i − γµ/kf γβ
−2pi · kf
=
e4
16(pi · kf )2
λi
(ελi
µ (ki))∗
ελi
ν (ki)
λf
(ε
λf
α (kf ))∗
ε
λf
β (kf ) ×
×Tr (/pf
+ m)(2γν
pα
i − γν
/kf γα
)(/pi
+ m)(2γµ
pβ
i − γµ
/kf γβ
) . (37)
Đối chiếu giữa (33) và (37) ta thấy rằng thực tế
1
4
|M2|2
có dạng giống với
1
4
|M1|2
và từ
1
4
|M1|2
nếu ta thay ki bằng (−kf ) thì ta suy ra được
1
4
|M2|2
nên ta thay ki ở
(36) bằng (−kf ) để suy ra được:
1
4
|M2|2
= 2e4 pf · kf − 2m2
pi · kf
+
2m4
− m2
(pi − kf ) · pf
(pi · kf )2
= 2e4 pi · ki − 2m2
pi · kf
+
2m4
+ m2
(kf · pf − pi · pf )
(pi · kf )2
= 2e4 pi · kf
pi · kf
−
m2
pi · kf
+
m4
(pi · kf )2
. (38)

16. 16
Trong đó, để khử pf trong (38), ta sử dụng các hệ thức sau đây:
(pi − pf )2
= (kf − ki)2
⇔ pi · pf = m2
+ ki · kf ,
pf = pi + ki − kf ⇔ kf · pf = pi · kf + ki · kf ,
(pf + kf )2
= (pi + ki)2
⇔ pf · kf = pi · ki.
C. Tính số hạng M∗
1M2 = M1M∗
2
Hai số hạng còn lại trong (32) thực chất là liên hợp phức của nhau, mà thực chất mỗi số
hạng là một số thực, nên hai số hạng đó bằng nhau M∗
1M2 = M1M∗
2. Vì vậy, ta chỉ cần
tính một trong hai số hạng này là được.
Từ (28) và (29), tương tự các số hạng trước đó, ta cũng xử lí tổng spin thành (/p + m) và
sử dụng đồng nhất thức Ward để xử lí tổng phân cực thì được kết quả
1
4
M∗
1M2= −
e4
16(pi · ki)(pi · kf )
×
×Tr /pi
+ m (2γα(pi)ν + γν /kiγα) /pf
+ m 2γν
pα
i − γν
/kf γα
. (39)
Tương tự như (35), vết ở công thức (39) có 16 số hạng thì có 8 số hạng chứa số lẻ ma trận
γ nên bằng 0 và còn lại 8 số hạng chứa số chẵn ma trận γ có khả năng khác 0 là:
Tr {m(2γα(pi)ν)m(2γν
pα
i )}= 4m2
Tr /pi/pi
= 16m2
pi · pi = 16m4
.
Tr {m(γν /kiγα)m(2γν
pα
i )}= 2m2
Tr γν
γν /ki/pi
= 8m2
Tr /ki/pi
= 32m2
ki · pi.
Tr m(2γα(pi)ν)m(−γν
/kf γα
) = −2m2
Tr γα
γα/pi
/kf = −8m2
Tr /pi
/kf = −32m2
pi · kf .
Tr m(γν /kiγα)m(−γν
/kf γα
) = −m2
Tr γν /kiγαγν
/kf γα
= −m2
Tr γν /ki (2gν
α − γν
γα) /kf γα
= m2
Tr γν /kiγνγα
/kf γα
− 2m2
Tr γα
γα/ki/kf
= 4m2
Tr /ki/kf − 8m2
Tr /ki/kf = −16m2
ki · kf
Tr /pi
(2γα(pi)ν)/pf
(2γν
pα
i ) = 4Tr /pi/pi/pf /pi
= 16(pi · pi)(pi · pf ) = 16m2
(pi · pf ).
Tr /pi
(γν /kiγα)/pf
(2γν
pα
i ) = 2Tr γν
/pi
γν /ki/pi/pf
= −4Tr /pi
/ki/pi/pf
= 16m2
(ki · pf ) − 32(pi · ki)(pi · pf ).
Tr /pi
(2γα(pi)ν)/pf
(−γν
/kf γα
) = −2Tr γα/pi
γα
/pf /pi
/kf = 4Tr /pi/pf /pi
/kf
= −16m2
(kf · pf ) + 32(pi · kf )(pi · pf ).

17. 17
Tr /pi
(γν /kiγα)/pf
(−γν
/kf γα
) = −Tr /pi
γν /kiγα/pf
γν
/kf γα
= Tr /pi
γν /ki(/pf
γα − 2(pf )α)γν
/kf γα
= Tr /pi
γν /ki/pf
γαγν
/kf γα
− 2Tr /pi
γν /kiγν
/kf /pf
= Tr /pi
γν /ki/pf
(2gν
α − γν
γα)/kf γα
+ 4Tr /pi
/ki/kf /pf
= 2Tr /pi
γν /ki/pf
/kf γν
− Tr /pi
γν /ki/pf
γν
γα/kf γα
+ 4Tr /pi
/ki/kf /pf
= −4Tr /pi
/ki/pf
/kf + 8ki · pf Tr /pi
/kf + 4Tr /pi
/ki/kf /pf
= 32(pi · pf )(ki · kf ).
Thay các biểu thức trên vào (39) thì được:
1
4
M∗
1M2= −e4 m4
+ m2
(pf · (pi + ki − kf ) − ki · kf ) + 2(pi · pf )(ki · kf )
(pi · ki)(pi · kf )
+
2m2
− 2pi · pf
pi · kf
+
2pi · pf − 2m2
pi · ki
= −e4 2m4
− m2
ki · kf + 2(pi · pf )(ki · kf )
(pi · ki)(pi · kf )
+
2m2
− 2pi · pf
pi · kf
+
2pi · pf − 2m2
pi · ki
. (40)
Để khử pf trong (40), ta sử dụng các hệ thức sau đây:
(pi − pf )2
= (kf − ki)2
⇔ 2m2
− 2pi · pf = −2ki · kf ,
pf = pi + ki − kf ⇔ pi · pf = m2
+ pi · ki − pi · kf
pi · pf = m2
+ ki · kf = m2
+ pi · ki − pi · kf ⇔ ki · kf = pi · ki − pi · kf .
Khi đó, (40) rút gọn thành
1
4
M∗
1M2= −e4 2m4
(pi · ki)(pi · kf )
+
m2
(pi · kf )
−
m2
(pi · ki)
. (41)
Lần lượt thay (36), (38) và (41) vào (32) thì ta được kết quả
1
4
|M|2
= 2e4
m4 1
pi · ki
−
1
pi · kf
2
+ 2m2 1
pi · ki
−
1
pi · kf
+
pi · ki
pi · kf
+
pi · kf
pi · ki
= 2e4
(m4
+ (pi · ki)(pi · kf ))
1
pi · ki
−
1
pi · kf
2
+ 2m2 1
pi · ki
−
1
pi · kf
+ 2 . (42)
Dònng trên có dạng giống như trong Peskin còn dòng dưới là biến đổi lại để tiện cho tính
toán ở phần sau. Có được
1
4
|M|2
, ta có thể bắt đầu tính tiết diện tán xạ của tán xạ
Compton.

18. 18
III. TIẾT DIỆN TÁN XẠ σe−γ→e−γ CỦA TÁN XẠ COMPTON e−γ → e−γ
A. Động học của tán xạ Compton trong hệ quy chiếu e− bia đứng yên
Trong hệ quy chiếu e−
i đứng yên thì vector năng xung 4 chiều của e−
i và γi là:
(pi)µ
= m, 0 , (43)
(ki)µ
= ωi, −ki . (44)
Khi đó, photon tán xạ γf hợp với photon tới γi một góc θ còn e−
f giật lùi sao cho bảo toàn
năng-xung lượng của cả hệ. Khi đó, vector năng xung 4 chiều của e−
f và γf là:
(pf )µ
= Ef , −kf , (45)
(kf )µ
= ωf , −kf . (46)
Vì γf tán xạ một góc θ so với γi nên ta có
ki · kf = ωiωf − |ki||kf |θ = ωiωf (1 − cos θ).
Hình 11. Mô hình động học của tán xạ Compton trong hệ quy chiếu electron bia e−
i đứng yên mà
ta thường khảo sát.
Do e−
i đứng yên nên (42) rút gọn lại thành
1
4
|M|2
= 2e4
m2
+ ωiωf
1
ωi
−
1
ωf
2
+ 2m
1
ωi
−
1
ωf
+ 2 . (47)

19. 19
Để xác định ωf , ta xuất phát từ định luật bảo toàn năng xung lượng 4 chiều
pi + ki = pf + kf
⇔ pf = pi + ki − kf
⇒ |pf |2
= |pi + ki − kf |2
⇔ m2
= m2
+ 2m(ωi − ωf ) − 2ωiωf (1 − cos θ)
⇔
1
ωf
−
1
ωi
=
1 − cos θ
m
=
2
m
sin2 θ
2
.
Do đó, thay vào (47) ta được
1
4
|M|2
= 2e4
1 +
2ωi
m
sin2 θ
2
+ 1 +
2ωi
m
sin2 θ
2
−1
− sin2
θ . (48)
B. Liên hệ giữa 1/4 |M|2
và tiết diện tán xạ dσ/dΩ
Như đã từng đề cập từ trước, tiết diện tán xạ dσ/dΩ và bình phương module biên độ
xác suất Feynman 1/4 |M|2
có mối liên hệ tỉ lệ thuận trực tiếp với nhau. Ở phần trước,
1/4 |M|2
trong tán xạ Compton đã được xác đinh một cách tường minh trong (48). Ở
phần này, ta sẽ tìm cách xây dựng mối liên hệ giữa bình phương module biên độ xác suất
Feynman 1/4 |M|2
và tiết diện tán xạ dσ/dΩ thông qua:
1. định nghĩa tiết diện tán xạ, liên hệ giữa tiết diện tán xạ và tốc độ chuyển dời;
2. quy tắc vàng Fermi, liên hệ giữa tốc độ chuyển dời và bình phương module biên độ
xác suất Feynman.
Theo định nghĩa, tiết diện tán xạ được xác định bởi tỉ số giữa số tán xạ và mật độ dòng
hạt tới. Số tán xạ được xác định bởi tích số giữa số hạt tới và tốc độ chuyển dời Γi→f còn
mật độ dòng hạt tới là tích số giữa mật độ hạt và vận tốc tương đối giữa 2 dòng hạt tới
|va − vb|, do đó, tiêt diện tán xạ thỏa mãn
dσ =
Γi→f V
|va − vb|
. (49)
Ở đây, V là thể tích chuẩn hóa.
Quy tắc vàng Fermi trong bài toán nhiễu loạn phụ thuộc thời gian của cơ học lượng tử
cho phép ta xác định được Γi→f theo bình phương phần tử ma trận S |Sfi|2
Γi→f = 2π|Sfi|2
δ Ea + Eb − Ef . (50)

20. 20
Mà xác suất chuyển dời Pi→f lại được xác định bởi
Pi→f =
|Sfi|2
i |i f |f
=
(2π)4
|Mfi|2
δ(4)
(pa + pb − pf ) V T
(2EaV )(2EbV ) (2Ef V )
. (51)
với V T là thể tích chuẩn hóa của không thời gian nên ta có thể ước lượng tốc độ chuyển dời
là
Γi→f =
(2π)4
|Mfi|2
δ(4)
(pa + pb − pf )
V (2Ea)(2Eb) (2Ef V )
. (52)
Từ (49) và (52) ta suy ra:
dσ =
|Mfi|2
|va − vb|(2Ea)(2Eb) (2Ef V )
(2π)4
δ(4)
pa + pb − pf . (53)
Đối với tán xạ a+b → c+d ta quan tâm vi phân tiết diện tán xạ theo vi phân góc khối dΩc
của xung lượng hạt c thì ta tích phân (53) theo xung lượng pd và độ lớn của pc thì ta được
dσ=
|Mfi|2
|va − vb|(2Ea)(2Eb)
dΩc
|pc|2
d|pc|
(2π)3(2Ec)
d3
pd
(2π)3(2Ed)
(2π)4
δ(4)
(pa + pb − pc − pd)
=
|Mfi|2
64π2|va − vb|EaEb
dΩc
E2
c − m2
cdEc
˜Ed
δ(Ea + Eb − Ec − ˜Ed),
=
|Mfi|2 ˜E2
c − m2
c
64π2|va − vb|EaEb(Ea + Eb − ˜Ec)|1 + d ˜Ed/d ˜Ec|
dΩc, (54)
với ˜Ec và ˜Ed là năng lượng của c và d khi định luật bảo toàn năng xung lượng được thỏa
mãn với pc nằm trong vi phân dΩc đang xét. Đạo hàm d ˜Ed/d ˜Ec có thể được tính như sau:
d ˜Ed
d ˜Ec
=
dEd
d|pd|
d|pa + pb − pc|
d|pc|
d|pc|
dEc Ec= ˜Ec
=
|˜pd|
˜Ed
|˜pc| − |pa + pb| cos θ
|˜pd|
˜Ec
|˜pc|
=
˜Ec
Ea + Eb − ˜Ec
|˜pc| − |pa + pb| cos θ
|˜pc|
= χ.
Trong trường hợp ta lấy tổng spin và độ phân cực nữa thì
dσ
dΩc
=
˜E2
c − m2
c
64π2|va − vb|EaEb(Ea + Eb − ˜Ec)(1 + χ)
×
1
4
|M|2
. (55)
C. Hệ thức tiết diện tán xạ dσ/dΩ Klein-Nishima cho tán xạ Compton
Trong mô hình tán xạ Compton mà ta đang xét thì hệ thức liên hệ (55) trở thành
dσ
dΩ
=
ωf
64π2mωi(m + ωi − ωf )(χ + 1)
1
4
|M|2
, (56)

21. 21
với ωf thỏa dịch chuyển Compton:
1
ωf
−
1
ωi
=
1 − cos θ
m
=
2
m
sin2 θ
2
.
Ta tính hệ số χ cho tán xạ Compton:
χ =
ωf − ωi cos θ
m + ωi − ωf
⇒ (m + ωi − ωf )(1 + χ) = m + ωi(1 − cos θ).
Như vậy, hệ thức (56) trở thành
dσ
dΩ
=
1
64π2(m + ωi(1 − cos θ))2
1
4
|M|2
. (57)
Từ
1
4
|M|2
tính từ (48), ta thay vào (57) thì thu được
dσ
dΩ
=
α2
2m2
1 +
2ωi
m
sin2 θ
2
+ 1 +
2ωi
m
sin2 θ
2
−1
− sin2
θ 1 +
2ωi
m
sin2 θ
2
−2
, (58)
với α = e2
/4π là hằng số cấu trúc tinh tế.
Nếu ta quan tâm đến phân bố tiết diện tán xạ theo góc phương vị θ (trong thực tế thực
nghiệm của Compton) thì ta tích phân tiết diện tán xạ trên toàn góc cực φ:
dσ
d cos θ
=
πα2
m2
1 +
2ωi
m
sin2 θ
2
+ 1 +
2ωi
m
sin2 θ
2
−1
− sin2
θ 1 +
2ωi
m
sin2 θ
2
−2
.
(59)
Nếu ta thay tỉ số 1 +
2ωi
m
sin2 θ
2
bởi
ωf
ωi
thì ta có được hệ thức Klein-Nishima:
dσ
d cos θ
=
πα2
m2
ωi
ωf
2
ωf
ωi
+
ωi
ωf
− sin2
θ , (60)
tương tự như trong Peskin.
Trong trường hợp photon tới có bước sóng dài, tức ωi rất nhỏ thì (59) trở thành
dσ
d cos θ
=
πα2
m2
(1 + cos2
θ), (61)
tương tự hệ thức tiết diện tán xạ Thomson theo điện động lực cổ điển.
Trong trường hợp photon tới có bước sóng ngắn, tức ωi rất lớn, thì (59) trở thành
dσ
d cos θ
=
πα2
m2
m
ωi
1
1 − cos θ
, (62)
trở nên rất lớn khi θ nhỏ, điều này là hiển nhiên thì khi năng lượng photon tới rất lớn thì
việc tán xạ lên electron không ảnh hưởng nhiều đến photon.

22. 22
Hình 12. Phân bố tiết diện tán xạ theo góc θ với các giá trị khác nhau của ωi/m. Trục tung
tỉ lệ với tiết diện tán xạ và bỏ qua các hằng số tỉ lệ. Theo thứ tự màu xanh, đỏ, tím ứng với
ωi/m = 1/20, 1, 20 còn đường màu đen ứng với tiết diện tán xạ Thomson.