Written by Dai-Nam, in Vietnamese

1. LỜI GIẢI CHÍNH XÁC CỦA BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
THE EXACT SOLUTION OF HARMONIC OCSILLATOR PROBLEM
Lê Đại Nam
Tóm tắt
Bài toán dao động tử điều hòa là một trong những bài toán cơ bản của cơ học lượng
tử. Bài toán này có nhiều ứng dụng quan trọng trong cơ học lượng tử, vật lí hạt nhân,
vật lí hạt cơ bản và các lí thuyết vật lí hiện đại khác. Bài toán đã được Erwin
Schroedinger đưa ra lời giải giải tích chính xác vào năm 1926 [5]. Trong bài báo
này, tôi trình bày lời giải giải tích chính xác của bài toán dao động dao động tử điều
hòa một chiều và lời giải giải tích chính xác của bài toán dao động tử điều hòa ba
chiều, so sánh với bài toán dao động tử điều hòa cổ điển.
Abstract
The harmonic oscillator problem is one of quantum mechanics’ basic problems. This
problem has many important applications in quantum mechanics, nuclear physics,
particles physics and the other theory of mordern physics. In 1926, the exact
analytical solution of this problem was built by Erwin Schroedinger [5]. In this paper,
I represent the exact analytical solutions of harmonic ocsillator problem in one-
dimension space, in three-dimension space and compare them with classical
harmonic ocsillator problem.
1 Giới thiệu tổng quan
1.1 Mô hình của bài toán dao động tử điều hòa
Trong cơ học cổ điển, bài toán dao động tử điều hòa là bài toán một hạt có khối
lượng m chuyển động trong trường lực thế có dạng [1]
 2 2 2
,x y zf m xi yj zk      (1.1.1)
với , ,x y z   là tần số góc dao động trên trục , ,x y z . Thế năng tương ứng với trường
lực trên là [1]
 2 2 2 2 2 21
.
2
potential x y zV m x y z     (1.1.2)

2. Trong cơ học lượng tử, bài toán dao động tử điều hòa là bài toán một hạt có khối
lượng m chuyển động trong thế dạng (1.1.2). Hamiltonian của bài toán dao động tử
điều hòa lượng tử phi tương đối tính có dạng [1]
 
2
2 2 2 2 2 2 21ˆ ˆ ˆ ˆ .
2 2
x y zH m x y z
m
        (1.1.3)
1.2 Bài toán dao động tử điều hòa trong cơ học lượng tử
Bài toán dao động tử điều hòa giúp các nhà vật lí đưa ra được lời giải cho những
bài toán cơ học lượng tử quan trọng như: bài toán mẫu nguyên tử Hooke [3], bài toán
về các mức Landau [2], bài toán nguyên tử hidro [6] hay bài toán MICZ – Kepler [6].
2 Lời giải giải tích của bài toán dao động tử điều hòa lượng tử
2.1 Bài toán dao động tử điều hòa một chiều
Bài toán dao động tử điều hòa một chiều là bài toán một hạt có khối lượng m
chuyển động trong hố thế một chiều của trường ngoài   2 21
2
potentialV x m x .
Hamiltonian của bài toán có dạng
2 2
2 2
2
1ˆ ˆ
2 2
H m x
m x


  

, (2.1.1)
và phương trình Schroedinger của bài toán có dạng
   
2 2
2 2
2
1
ˆ ; ;
2 2
m x x t i x t
m x t

  
     
  
. (2.1.2)
Do trường ngoài là trường dừng nên phương trình Schroedinger của bài toán tách biến
giữa x và t theo phép tách biến      ;x t x t   với
  exp
E
t A i t
 
  
 
, (2.1.3)
và  x thỏa phương trình Schroedinger dừng
   
2 2
2 2
2
1
ˆ
2 2
m x x E x
m x
  
 
   
 
, (2.1.4)

3. trong đó, E là năng lượng của dao động tử điều hòa ở trạng thái dừng. Bằng cách
chọn 1m   , tôi đưa phương trình (2.1.4) về phương trình không thứ nguyên
(xem phụ lục 1)
   
2
2
2
1 1
ˆ
2 2
x x E x
x
 
 
   
 
. (2.1.5)
Trong cơ học cổ điển, chuyển động của dao động tử điều hòa là khép kín nên dao
động tử điều hòa luôn ở trạng thái liên kết. Do đó, hàm sóng  x phải là một hàm
số liên tục thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
   *
1x x dx 


 , (2.1.6)
và điều kiện hữu hạn
 lim 0
x
x

 . (2.1.7)
Như vậy, giải bài toán dao động tử điều hòa thực chất là giải bài toán Cauchy
(2.1.5) với những điều kiện (2.1.5) và (2.1.6). Để giải bài toán Cauchy trên, tôi xét bài
toán tiệm cận x  . Giải bài toán tiệm cận x  , tôi tìm được nghiệm tiệm cận
(xem phụ lục 2)
 
2
exp
2
x
x A
 
  
 
. (2.1.8)
Để giải phương trình (2.1.5), tôi biểu diễn hàm sóng của bài toán thông qua hàm
sóng tiệm cận    
2
exp
2
x
x f x
 
  
 
để đưa phương trình (2.1.5) về phương trình
Hermite
2
2
1
2 2 0
2
d f df
x E f
dx dx
 
    
 
. (2.1.9)
Giải phương trình (2.1.9), tôi tìm được hàm
   nf x AH x , (2.1.10)

4. là đa thức Hermite bậc  0,1,2,...n n  , thỏa mãn điều kiện hữu hạn cho hàm sóng và
năng lượng của bài toán phải thỏa điều kiện (xem phụ lục 3) [1] [3]
1
2
nE n  . (2.1.11)
Phương trình (2.1.5) có nghiệm thỏa điều kiện (2.1.6) và (2.1.7) là (xem phụ lục 4) [1]
[3]
   
2
1
exp
22 !
HO
n n
n
x
x H x
n


 
  
 
. (2.1.12)
Hàm sóng tổng quát và năng lượng của các trạng thái dừng của dao động tử điều
hòa một chiều là [1] [3]
   
2
1 1
; exp
2 22 !
n n
n
x
x t H x i n t
n 
  
      
  
, (2.1.13)
và [1] [3]
1
2
nE n  , (2.1.14)
hay trong hệ đơn vị SI là [1] [3]
  21 1
; exp
2 22 !
n n
n
m m
x t H x x i n t
n
 


    
        
   
, (2.1.15)
và [1] [3]
1
2
nE n 
 
  
 
. (2.1.16)
2.2 Bài toán dao động tử điều hòa ba chiều
Bài toán dao động tử điều hòa là bài toán một hạt có khối lượng m chuyển động
trong thế dạng
 2 2 2 2 2 21
2
potential x y zV m x y z     . (2.2.1)
Hamiltonian của bài toán dao động tử điều hòa lượng tử phi tương đối tính có dạng

5.  
2
2 2 2 2 2 2 21ˆ
2 2
x y zH m x y z
m
        . (2.2.2)
Phương trình Schroedinger của bài toán dao động tử điều hòa ba chiều [3]
     
2
2 2 2 2 2 2 2
, , ; , , ;
2 2
x y z
m
x y z x y z t i x y z t
m t
  
  
        
 
. (2.2.3)
Phương trình (2.2.3) tách biến đối với các biến số , ,x y z và t . Sử dụng phép tách
biến
         , , ;x y z t X x Y y Z z t  , (2.2.4)
tôi tách biến phương trình (2.2.3) và giải ra được hàm sóng và năng lượng của bài
toán dao động tử điều hòa ba chiều lần lượt là (xem phụ lục 5) [3]
 , , ;
1 1 1
exp
2 2 2
x y z x y z
yHO HO HOx z
n n n n n n
x x y y z z
mm m
x y z t x y z
it n n n
 
  
  
    
         
    
       
             
       
, (2.2.5)
và [3]
1 1 1
2 2 2x y zn n n x x y y z zE n n n  
     
          
     
. (2.2.6)
3 Liên hệ giữa bài toán dao động tử điều hòa lượng tử và bài toán dao động tử
điều hòa cổ điển
Ở phần này, tôi tiến hành khảo sát liên hệ giữa bài toán dao động tử điều hòa
lượng tử một chiều và giới hạn cổ điển của bài toán đó.
Hàm phân bố xác suất của dao động tử điều hòa lượng tử [1]
         * 2 21
; ; ; exp
2 !
n n n nn
x t x t x t H x x
n


     , (3.1.1)
ứng với năng lượng [1]
1
2
nE n  . (3.1.2)

6. Ở trạng thái cổ điển, dao động tử điều hòa có hàm phân bố xác suất (xem phụ lục 6)
[1]
  2
1
;
2 2
n x t
E x




, (3.1.3)
ứng với mức năng lượng E .
Tôi so sánh hàm phân bố xác suất ở các trạng thái dừng thứ n dựa vào các đồ thị
sau [1]
Hình 1.Hàm phân bố xác suất trạng thái lượng tử và trạng thái cổ điển với n = 0,1,5,100
Dựa vào đồ thị trên, tôi thấy rằng hàm mật độ xác suất của dao động tử điều hòa
lượng tử ở các trạng thái dừng và ở trạng thái cổ điển là khác nhau:
 Hàm mật độ xác suất cổ điển bị giới hạn trong vùng chuyển động cổ điển,
hàm mật độ xác suất lượng tử không bị giới hạn bởi hai điểm quay lui cổ
điển và vẫn có xác suất khác 0 ở miền cấm cổ điển.
 Hàm mật độ xác suất cổ điển không có điểm nào bằng 0 còn hàm mật độ
xác suất lượng tử có n điểm có xác suất bằng 0.

7. Với giới hạn n  thì nhìn chung hàm mật độ xác suất lượng tử gần giống với
hàm mật độ xác suất cổ điển, điều này phù hợp với nguyên lí tương ứng của Niels
Bohr [3].
Kết quả (2.1.16) cho thấy năng lượng của dao động tử điều hòa lượng tử bị lượng
tử hóa theo n và có năng lượng ở trạng thái cơ bản là 0
2
E

 , điều này hoàn toàn
trái ngược với cơ học cổ điển khi năng lượng của dao động tử điều hòa là liên tục và
năng lượng ở trạng thái cơ bản là 0 0E  . Ở giới hạn 0 thì năng lượng của dao
động tử điều hòa lượng tử xem như liên tục và năng lượng cơ bản 0 0E  như cơ học
cổ điển, đây chính là giới hạn cổ điển của bài toán dao động tử điều hòa và phù hợp
với nguyên lí tương ứng của Niels Bohr [3].
4 Kết luận
Trong cơ học lượng tử, các nhà vật lí thường mô hình hóa hoặc biến đổi phương
trình Schroedinger của một bài toán nào đó về bài toán dao động tử điều hòa chính vì
nó là một trong số ít những bài toán cơ học lượng tử có lời giải giải tích chính xác và
đơn giản. Trong bài báo này, tôi đã trình bày lời giải giải tích chính xác của bài toán
dao động tử điều hòa và khảo sát giới hạn cổ điển của bài toán này.
5 Phụ lục tính toán
5.1 Phụ lục 1
Phương trình Schroedinger dừng của bài toán dao động tử điều hòa một chiều
   
2 2
2 2
2
1
ˆ
2 2
m x x E x
m x
  
 
   
 
. (5.1.1)
Tôi biểu diễn biến x và năng lượng E theo các biến không thứ nguyên
,x xa E Eb  . (5.1.2)
Thay vào phương trình (5.1.1)
   
2 2 2 4 2 2 2
2
2 2 2
1 1
2 2
m a m a b
x x E x
x
 
 
 
   
 
. (5.1.3)

8. Chọn a
m
 và b  , ta dẫn ra được phương trình không thứ nguyên
   
2
2
2
1 1
2 2
x x E x
x
 
 
   
 
. (5.1.4)
5.2 Phụ lục 2
Phương trình (2.1.5) ở giới hạn tiệm cân x  
 
2
2
2
1 1
0
2 2
x x
x

 
   
 
. (5.1.5)
Phương trình này có nghiệm gần đúng
 
2
exp
2
x
x A
 
  
 
, (5.1.6)
bởi vì
   
2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
1 0 0
2 2 2 2
x x x x
x x
  
    
          
    
. (5.1.7)
5.3 Phụ lục 3
Phương trình Hermite (2.1.9)
2
2
1
2 2 0
2
d f df
x E f
dx dx
 
    
 
. (5.1.8)
Sử dụng khai triển Taylor  
0
n
n
n
f x C x


  , tôi rút ra được hệ thức truy hồi
  2
1
2
2
2 1
n n
n E
C C
n n

 
  
 
 
. (5.1.9)
Phương trình Hermite trên có 2 họ nghiệm độc lập

9.  
 
 
 
 
 
1
20
0
0
1
2 10
1
0
4 1 2
,
2 !
4 3 2
.
2 1 !
l
sym lk
l
l
anti sym lk
l
k E
f x C x
l
k E
f x C x
l






 

 

 






(5.1.10)
Nếu 0nC n  trong cả hai họ nghiệm, ta đều dẫn ra được tiệm cận
 
 
2
2
0
1
,
.
sym x
anti sym x
f x C e
f x C xe


(5.1.11)
Khi đó, điều kiện (2.1.6) không thỏa mãn. Do đó, phải tồn tại giá trị n sao cho 0nC 
và 2 0nC   . Khi đó, năng lượng phải được lượng tử hóa
1
2
nE n  . (5.1.12)
Khi đó, hàm  nf x trở thành đa thức Hermite
   
2
2
1
n x
n x
n n
d e
H x e
dx

  . (5.1.13)
5.4 Phụ lục 4
Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng (2.1.6) dẫn ra
       
2
*HO HO x
m n m n m n mnx x dx A A H x H x e dx  
 

 
   . (5.1.14)
Sử dụng tích phân
   
2
2 ! !x m n
m n mnH x H x e dx m n 

 

 . (5.1.15)
Tôi tìm được hệ số chuẩn hóa
1
2 !
n
n
A
n 
 . (5.1.16)

10. 5.5 Phụ lục 5
Phương trình (2.2.3) của bài toán dao động tử điều hòa ba chiều
     
2
2 2 2 2 2 2 2
, , ; , , ;
2 2
x y z
m
x y z x y z t i x y z t
m t
  
  
        
 
. (5.1.17)
Khi sử dụng tách biến (2.2.4)
         , , ;x y z t X x Y y Z z t  , (5.1.18)
tôi dẫn ra được bốn phương trình độc lập
   
   
   
 
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
1
,
2 2
1
,
2 2
1
,
2 2
exp .
x x
y y
z z
x y z
m x X x E X x
m x
m y Y y E Y y
m y
m z Z z E Z z
m z
E E E
t A i t




 
   
 
 
   
 
 
   
 
  
  
 
(5.1.19)
Ba phương trình đầu lần lượt chính là hình chiếu của dao động tử điều hòa lên phương
, ,x y z nên hàm sóng phải có nghiệm dạng (2.2.5).
5.6 Phụ lục 6
Ở trạng thái cổ điển, phân bố xác suất của dao động tử điều hòa
 ;n
dt
dP x t dx
T
  . (5.1.20)
Suy ra
 
  2
1 1
;
2 2
n x t
v x T E x


 

. (5.1.21)

11. Tài liệu tham khảo
1. Dũng, H. (2003). Nhập môn Cơ học lượng tử. NXB ĐHQG Tp.HCM.
2. Landau, L. D.; Lifschitz, E. M. (1977). Quantum Mechanics: Non-relativistic
Theory. Course of Theoretical Physics (Vol. 3). (3rd, Ed.) London: Pergamon
Press.
3. Neil R. Kestner, Oktay Sinanoḡlu. (1962). Study of Electron Correlation in
Helium-Like Systems Using an Exactly Soluble Model. Physical Review
Letters, 128(6), 2687–2692.
4. Sakurai, J. J. (1994). Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley.
5. Schrodinger, E. (1926). Der stetige Übergang von der Mikro- zur
Makromechanik. Die Naturwissenschaften, 14(28), 664 - 666.
6. Van-Hoang Le, Thanh-Son Nguyen, Ngoc-Hung Phan. (2009). A Hidden Non-
Abelian Monopole in a 16-Dimensional Harmonic Oscillator. J. Phys. A, 42.