Tải thêm nhiều tài liệu khác tại www.mientayvn.com

1. Chöông III
DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ

2. Dao đ ng c a m ng m t chi u ch a 2 lo i nguyên t có kh iộ ủ ạ ộ ề ứ ạ ử ố
l ng m và Mượ
Nghiệm của chúng có dạng:
 Thay các nghiệm này vào phương trình chuyển động tương
ứng được 2 phương trình để xác định biên độ Am và AM
Để đơn giản ta đặt giả
thuyết mô hình các nguyên
tử đặt xen kẽ và cách đều
nhau một khoảng a’.
Với a = 2a’: tham số ô mạng
sơ cấp ( chon a la khoảng
cách lặp lại của 2 mp
nguyên tử giống nhau).
x2n = AM exp i [(2n)qa – ωt]
x2n+1 = Am exp i [(2n+1)qa – ωt]

3.  Từ điều kiện để cho nghiệm của hệ 2 phương trình không tầm
thường, định thức của các hệ số Am và AM phải bằng 0. Do đó
 Như vậy với cùng một giá trị vectơ sóng q có hai tần số khác
nhau ω-
và ω+
(khác với TH chuỗi nguyên tử 1 loại).
 Nếu biểu diễn ω theo q ta được hai nhánh tần số:
 Nhánh âm: ω-
(q) (acoustical branch)
 Nhánh quang: ω+
(q) (optical branch)

4. Với
• Các giá trị q = ±π/a ứng với biên vùng Brillouin ta có :
M
f
A
2
≈maxω
Đường cong ωA(q) có dạng như TH chuỗi nguyên tử 1
loại, và ứng với dao động âm và siêu âm, nên gọi là
nhánh âm.
m
f
O
2
=minω

5. • D a vào hình v d i đây, ta nh n th y:ự ẽ ướ ậ ấ
– Trên phổ ω(q) có m t kho ng giá tr tộ ả ị ừ ω-
= (2f/M)1/2
đ nế ω+
= (2f/m)1/2
không
ng v i nghi m nào c a ph ng trình sóng truy n trong m ng tinh th . Nóiứ ớ ệ ủ ươ ề ạ ể
cách khác: trong m ng tinh th không có dao đ ng ng v i t n s trongạ ể ộ ứ ớ ầ ố
kho ng đó.ả Đây chính là đ c đi m c a m ng tinh th ch a nhi u nguyên tặ ể ủ ạ ể ứ ề ửĐây chính là đ c đi m c a m ng tinh th ch a nhi u nguyên tặ ể ủ ạ ể ứ ề ử
trong m t ô s c p.ộ ơ ấtrong m t ô s c p.ộ ơ ấ
– Trong tr ng h p này, biên vùng Brillouin có m tườ ợ ộ khu v c c mự ấkhu v c c mự ấ . Sóng ng v iứ ớ
t n s trong khu v c đó không lan truy n đ c màầ ố ự ề ượ b h p thị ấ ụb h p thị ấ ụ m nh.ạ

6. Xét t s : xỉ ố 2n+1/x2n=Am/AM=

12. • Các h t dao đ ng đ ng pha v i biên đ b ng nhau có t n s thu cạ ộ ồ ớ ộ ằ ầ ố ộ
nhánh âm v i q nh . Trong tr ng h p này ô m ng d ch chuy n nhớ ỏ ườ ợ ạ ị ể ư
m t toàn b . Do đóộ ộ xu t hi n các ch nén và dãn trong tinh thấ ệ ỗ ể
t ng t nh s nén và dãn c a tinh th khi có sóng âm truy n quaươ ự ư ự ủ ể ề .
Vì v y dao đ ng trong đóậ ộ cả hai nguyên t trong ô đ n v chuy nử ơ ị ể
đ ng đ ng phaộ ồ đ c g i làượ ọ dao đ ng “âm”ộ
• Nhánh quang t ng ng v i tr ng h pươ ứ ớ ườ ợ hai nguyên t trong ô daoử
đ ng ng c pha nhauộ ượ . Biên đ dao đ ng t l ng c v i kh i l ngộ ộ ỷ ệ ượ ớ ố ượ
c a h t. Tr ng tâm c a ô đ n v không đ i. N uủ ạ ọ ủ ơ ị ổ ế 2 lo i nguyên tạ ử
mang đi n tích trái d uệ ấ thì trong ô xu t hi n moment l ng c c đi nấ ệ ưỡ ự ệ
nh đó có thờ ể t ng tác m nh v i sóng đi n tươ ạ ớ ệ ừ  lo i dao đ ngạ ộ
“quang”

17. Dao đ ng c a m ng tinh th 3 chi uộ ủ ạ ể ề
Các k t qu nêu trên có th m r ng cho m ng tinh th 3 chi u.ế ả ể ở ộ ạ ể ề
- Để tính toán dùng thế V của tinh thể là hàm của toạ độ của tất
cả các nguyên tử có trong tinh thể
- Khi mạng dao động, các nguyên tử lệch ra khỏi vị trí cân
bằng.
- Khai triển V thành chuỗi quanh vị trí cân bằng
- Khi độ dịch chuyển của các nguyên tử là nhỏ, có thể bỏ qua.
- Khi độ dịch chuyển của các nguyên tử đủ lớn lúc này trong
mạng tinh thể sẽ xuất hiện các nhánh dao động âm và quang

18. - Cách làm trên có thể tổng quát cho trường hợp tinh thể có
nhiều loại nguyên tử hoặc trong ô chứa nhiều nguyên tử
Kết quả cho thấy:
Nếu trong ô có p nguyên tử thì nói chung có 3p nhánh dao
động
ω1(q); ω2 (q); ω3 (q)….. ωp(q)
Trong đó có 3 nhánh âm và 3p-3 nhánh quang => LT cổ điển
cho các dđ tử chuyển động điều hòa.

19. • Các nhánh này tuỳ theo s đ i x ng c a m ng tinh th có th trùng nhauự ố ứ ủ ạ ể ể
theo m t s chi u nào đó (suy bi n)ộ ố ề ế
Ví d minh hoụ ạ

23. Tóm lược quá trình dao động mạng tinh thể :
Loại mạng 1 nguyên tử 2 nguyên tử p nguyên tử
1D 1 nhánh dao động,
chưa có phân cực
(chỉ có sóng dọc)
2 nhánh dao động :
•1 A
•1 O
(Vùng cấm ở giữa)
p mode dao động
•1 A
• (p – 1) O
(Giữa chúng là vùng
cấm)
2D Xuất hiện phân cực
(ngoài sóng dọc
thêm 1 sóng ngang)
2x2 mode dao động :
1 LA +1 TA
1LO + 1 TO
2xp=2p mode dao
động :
1 LA + 1TA
(p-1) LO + (p-1) TO
3D Phân cực phức tạp
hơn (ngoài sóng dọc
thêm 2 sóng ngang)
3x2 mode dao động :
1 LA + 2 TA
1 LO + 2TO
3xp = 3p mode dao
động :
1 LA + 2 TA
(p-1) LO + 2 (p-1) TO

24. Khái niệm về Phonon
1) Biểu diễn dđ mạng bằng các dđ tử điều hòa :
• Dịch chuyển thực của nguyên tử của mạng tinh thể khi dđ
(TH đơn giản nhất là mạng 1D 1 nguyên tử) :
Nếu viết lại công thức này dưới dạng :
Thì PT chuyển động của ngtử có thể dễ dàng biến đổi thành :
Vậy có N nguyên tử thì có N pt với dạng trên, mỗi pt ứng với 1 giá
trị của q. Các pt trên độc lập với nhau.
un(t) = A exp i [nqa – ωt]
un(t) = Uq (t) exp (inqa)
02
2
2
=+ )()(
)(
tUq
dt
tUd
q
q
ω

25. Vậy nếu không xét hệ tọa độ dịch chuyển thực của các nguyên tử
mà chuyển sang hệ tọa độ mới :
un(t) (thực)  Uq(t) (phức) : hệ tọa độ chuẩn (tiêu chuẩn hay
chuẩn tắc). Chú ý : sự biến đổi này chỉ thực hiện được khi các
dịch chuyển thực của các nguyên tử đủ nhỏ để lực ttác là lực đàn
hồi.
⇒Bài toán phức tạp về hệ ngtử dđ tương tác nhau, phụ thuộc
nhau chuyển thành 1 bài toán đơn giản về 1 hệ các dđ hoàn toàn
độc lập, không ttác nhau.
⇒ Các dđ độc lập Uq(t) trong hệ tọa độ mới thường gọi là các
mode (kiểu) dđ của các dđ tử điều hòa.

26. • Tinh th có N nguyên t có th xem nh là m t h đ ng h c.ể ử ể ư ộ ệ ộ ọ
Chuy n đ ng c a nó có th mô t b i Nể ộ ủ ể ả ở to đ chu nạ ộ ẩ đ c l p v iộ ậ ớ
nhau. M i to đ chu n mô t cho m t c u hình xác đ nh c a r t cỗ ạ ộ ẩ ả ộ ấ ị ủ ấ ả
nguyên t c a tinh th dao đ ng đi u hoàử ủ ể ộ ề
• Dao đ ng t p thộ ậ ể c a t t c các nguyên t c a tinh th đ c g i làủ ấ ả ử ủ ể ượ ọ
dao đ ng chu nộ ẩ c a m ng (ủ ạ  t a đ chu n)ọ ộ ẩ
• V i to đ chu n,ớ ạ ộ ẩ dao đ ng c a m ng N ngt 3D t ng đ ng v iộ ủ ạ ử ươ ươ ớ
3N dao đ ng đi u hoà đ c l pộ ề ộ ậ
 M i dao đ ng b t kỳ c a m ng tinh th có th bi u di n b ng tỗ ộ ấ ủ ạ ể ể ể ễ ằ ổ
h p tuy n tính c a các dao đ ng chu n.ợ ế ủ ộ ẩ

27. • Lý thuy t l ng t cho chuy n đ ng c a N h t có t ng tác v i nhauế ượ ử ể ộ ủ ạ ươ ớ
trong chu i.ỗ
• Gi i ph ng trình Schrodinger cho h N h t t ng tác v i nhau là r tả ươ ệ ạ ươ ớ ấ
khó.
=> Dùng to đ suy r ng có th đ a h N h t t ng tác v i nhau vạ ộ ộ ể ư ệ ạ ươ ớ ề
N dao đ ng t đ c l p. Khi đó ph ng trình Schrodinger tách thànhộ ử ộ ậ ươ
N ph ng trình, trong đó m i ph ng trình mô t cho chuy n đ ngươ ỗ ươ ả ể ộ
c a 1 h t.ủ ạ
• Khi các h t không t ng tác v i nhau, năng l ng vạ ươ ớ ượ à hàm sóng c aủ
h là:ệ
2) Biểu diễn dđ mạng bằng các phonon :

28. • Qs là to đ suy r ng, Eạ ộ ộ s và ψs tho mãn ph ng trìnhả ươ
 Phương trình này có dạng phương trình của dao động tử điều
hoà đã được giải trong cơ học lượng tử. Giá trị riêng của
nghiệm là:
Es = (ns + ½ )ηωs (hay (n+1/2)ђω))
trong đó: ns - số nguyên dương hoặc bằng 0
 Khác với lý thuyết cổ điển, theo lý thuyết lượng tử năng lượngnăng lượng
chỉ có thể lấy các giá trị gián đoạnchỉ có thể lấy các giá trị gián đoạn
 Năng lượngNăng lượng ηωηωss chỉ có thể xem là một lượng tử của dao độngchỉ có thể xem là một lượng tử của dao động
với tần sốvới tần số ωωss  phononphonon
 Nghiệm ψs (Qs) ứng với năng lượng Es biểu thị cho trạng thái

29. • Theo c h c l ng t , quy t c l c l a cho s l ng t c a dao đ ngơ ọ ượ ử ắ ọ ự ố ượ ử ủ ộ
có d ng:ạ
∆ns = ± 1
• Khi ∆ns = -1 m ng d ch chuy n vào tr ng thái có năng l ng th pạ ị ể ạ ượ ấ
h n: năng l ngơ ượ ηωs đ c truy n cho các h t t i đi n ho c v t xungượ ề ạ ả ệ ặ ậ
quanh  quá trình chuy n tr ng thái là quá trình b c x phonon.ể ạ ứ ạ
• Quá trình chuy n tr ng thái v iể ạ ớ ∆ns = 1 là quá trình h p th phononấ ụ
b i m ngở ạ

30. • Phonon đ c mô t b i các bó sóng chuy n đ ng trong m ng. Tínhượ ả ở ể ộ ạ
ch t c a các bó sóng đó r t gi ng tính ch t c a các h t c đi n vì cóấ ủ ấ ố ấ ủ ạ ổ ể
th gán cho nó năng l ng, xung l ng và v n t c.ể ượ ượ ậ ố
• Năng l ng c a phonon là: Eượ ủ p = ηωs (hay ђω)
• Chu n xung l ng c a phonon: Pẩ ượ ủ p = ηqs (hay ђk)
• T ng tác gi a 2 phonon ho c gi a phonon và electron đ c xemươ ữ ặ ữ ượ
nh s tán x gi a hai h t.ư ự ạ ữ ạ
• Phonon tuân theo phân b Bose-Einsteinố