On the fine structure of hydrogen

1
VỀ CẤU TRÚC TINH TẾ CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO
ON THE FINE – STRUCTURE OF HYDROGEN ATOM
Đặng Thị Xuân Diễm, Lê Đại Nam
Tóm tắt
Cấu trúc năng lượng của nguyên tử hydro là một cấu trúc rất phức tạp. Tùy theo độ
chính xác trong việc đo đạc quang phổ vạch, các cấu trúc bên trong có thể quan sát
được: cấu trúc tinh tế, dịch chuyển Lamb, cấu trúc siêu tinh tế. Mỗi cấu trúc quan sát
được tương ứng với các lí thuyết nhằm giải thích các cấu trúc này. Trong bài báo
này, chúng tôi thảo luận về một vài lí thuyết về cấu trúc phổ năng lượng của nguyên
tử hydro bao gồm các lí thuyết lượng tử bán cổ điển: lí thuyết của Bohr [1], lí thuyết
của Sommerfeld [19] và các lí thuyết lượng tử: lí thuyết của Schrodinger [18], lí
thuyết nhiễu loạn của Darwin [3], lí thuyết Dirac của Gordon [4]. Ngoài ra, chúng
tôi cũng thảo luận về một số kết quả thực nghiệm về cấu trúc tinh tế của nguyên tử
hydro .
Abstract
Energy structure of hydrogen is a very- complicated-structure. Its internal structures:
fine-structure, Lamb shift, hyperfine-structure can be observed depends on the
accuracy of the measurement of spectral lines. Each observed structure can be
explained by approriate theory of hydrogen ‘s energy structure. In this review article,
we discuss about some theories of hydrogen ‘s energy structure include quantum
semiclassical theories like Bohr’s theory [1], Sommerfeld ‘s theory [19] and
quantum theories like Schrodinger ‘s theory [18], Darwin ‘s pertubation theory [3],
Gordon ‘s Dirac theory [4]. In addition, we also discuss a little about some
experiment result of hydrogen ‘s fine-structure.
1 Cấu trúc phổ năng lượng của nguyên tử hydro theo các lí thuyết lượng
tử bán cổ điển và các lí thuyết lượng tử
Năm 1911, dựa vào kết quả thu được từ thí nghiệm tán xạ hạt  trên lá vàng (thực
hiện bởi Geiger và Marsden dưới sự hướng dẫn của Rutherford vào năm 1909), Ernest
Rutherford đã đề xuất mô hình về cấu trúc của nguyên tử được mô tả như sau: hạt
nhân rất nặng (mang hầu hết khối lượng của nguyên tử) mang điện tích dương Ze

2
đứng yên và các electron (rất nhẹ so với hạt nhân) mang điện tích âm e chuyển động
xung quanh hạt nhân theo tương tác Coulomb [17]
 
Z
V r c
r

 
   
 
. (1.1.1)
Nguyên tử có cấu trúc đơn giản nhất là nguyên tử hydro, do đó, bài toán nguyên tử
hydro (và các ion dạng hydro) được các nhà vật lí khảo sát đầu tiên.
Năm 1913, dựa vào mẫu nguyên tử Rutherford, Niels Bohr đã đưa ra lí thuyết nhằm
giải thích quang phổ vạch của nguyên tử hydro [1]. Mẫu nguyên tử hydro của Bohr
bao gồm một hạt nhân rất nặng mang điện tích dương Ze đứng yên và một electron)
mang điện tích âm e chuyển động tròn xung quanh hạt nhân theo tương tác
Coulomb (1.1.1). Tuy nhiên, electron không chuyển động trên quĩ đạo tùy ý mà phải
chuyển động trên các quĩ đạo dừng xác định tại đó nó không hấp thụ hay phát xạ bức
xạ điện từ (tiên đề 1 của Bohr); để electron chuyển từ các trạng thái dừng này sang
trạng thái dừng khác thì nó phải hấp thụ hay phát xạ các bức xạ điện từ có năng lượng
đúng bằng hiệu giữa hai mức năng lượng của hai trạng thái dừng trên (tiên đề 2 của
Bohr) [1]. Lí thuyết của Bohr tuy thành công khi giải thích được quang phổ vạch của
nguyên tử hydro nhưng không giải thích được các hiệu ứng tách vạch trong điện từ
trường do Stark và Zeeman lần lượt tìm ra, cũng như không giải thích được cấu trúc
tinh tế của nguyên tử hydro.
Năm 1916, Arnold Sommerfeld đã mở rộng lí thuyết của Bohr bằng cách xét thêm
các quĩ đạo dừng khác (elip) và tính thêm hiệu ứng tương đối tính [19]. Lí thuyết của
Sommerfeld giải thích được định tính cả các hiệu ứng tách vạch lẫn cấu trúc tinh tế
của nguyên tử hydro, tuy nhiên, vẫn chưa tính toán định lượng một cách chính xác (do
chưa tính đến spin).
Năm 1926, Erwin Schrodinger đưa ra phương trình Schrodinger – phương trình cơ
bản nhất của cơ học lượng tử. Ngay lập tức, ông đưa ra lời giải của phương trình
Schrodinger của bài toán nguyên tử hydro [18]. Phổ năng lượng theo lí thuyết của
Schrodinger trùng với phổ năng lượng trong lí thuyết của Bohr.

3
Năm 1928, Paul Dirac đưa ra phương trình cơ bản của cơ học lượng tử tương đối
tính áp dụng cho các hạt fermion (có spin bán nguyên) – phương trình Dirac. Ngay
trong năm đó, Charles Galton Darwin (cháu nội của nhà sinh học Charles Darwin) đã
đưa ra lời giải gần đúng phương trình Dirac của bài toán nguyên tử hydro. Lí thuyết
của Darwin tương đương với việc áp dụng lí thuyết nhiễu loạn trong đó có 3 thế nhiễu
loạn: hiệu chỉnh tương đối tính, tương tác giữa spin và moment quĩ đạo, thế nhiễu loạn
Darwin. Lí thuyết của Darwin đã chỉ ra được cấu trúc tinh tế của phổ năng lượng của
nguyên tử hydro [3].
Sau Darwin không lâu, Walter Gordon đã giải chính xác phương trình Dirac của bài
toán hydro. Phổ năng lượng theo lí thuyết lượng tử tương đối tính Dirac mà Gordon
đưa ra về mặt hình thức giống với phổ năng lượng theo lí thuyết của Sommerfeld
nhưng khác lí thuyết của Sommerfeld do có tính đến spin của electron [4]. Cấu trúc
phổ năng lượng của bài toán nguyên tử hydro đã được đưa ra một cách khá trọn vẹn.
Chúng tôi sẽ điểm lại những kết quả cơ bản nhất từ những lí thuyết trên. Những lí
thuyết phổ năng lượng nguyên tử hydro sau lí thuyết Dirac sẽ được tiếp tục thảo luận
ở phần 2.
Để thuận tiện cho việc biểu diễn, chúng tôi sử dụng một số hằng số sau [16]
 Hằng số cấu trúc tinh tế:
 
2
0
1
4 137,035999074 44
e
c


  ,
 Bán kính Bohr:   10
0 0,52917721092 17 10 m
e
a
m c

   ,
 Năng lượng Hatree:  2 2
27,21138505 60 eVHatree eE m c  ,
bởi vì khi làm việc với hệ đơn vị nguyên tử 1ec m e    thì bán kính Bohr và
năng lượng Hatree chính là đơn vị của chiều dài và năng lượng  0 1Hatreea E  và
hằng số cấu trúc tinh tế xuất hiện trong cường độ tương tác tĩnh điện (do  không có
thứ nguyên).

4
1.1 Cấu trúc phổ năng lượng của nguyên tử hydro theo lí thuyết của Bohr
1.1.1 Mô hình bài toán
Một electron điện tích e chuyển động tròn với bán kính r xung quanh hạt nhân
Ze , tương tác giữa electron và hạt nhân là tương tác Coulomb (1.1.1). Theo các tiên
đề của Bohr, electron chuyển động trên các quĩ đạo dừng bán kính nr thỏa mãn điều
kiện lượng tử hóa Bohr [1]
nL n , (1.1.2)
với 1,2,3...n 
1.1.2 Lời giải bài toán
Quĩ đạo dừng thứ n có bán kính
2
0n
n
r a
Z
 , (1.1.3)
và năng lượng
2
2
2
n Hatree
Z
E E
n
  . (1.1.4)
1.2 Cấu trúc phổ năng lượng của nguyên tử hydro theo lí thuyết của
Sommerfeld
Một electron điện tích e chuyển động trên các elip  r r  xung quanh hạt nhân
Ze , tương tác giữa electron và hạt nhân là tương tác Coulomb (1.1.1). Theo
Sommerfeld, electron chuyển động trên các quĩ đạo dừng bán kính nr thỏa mãn điều
kiện lượng tử hóa Wilson – Sommerfeld [19]
 2i i i
T
p dq n  , (1.2.1)
với 0,1,2,3...in  ứng với tọa độ suy rộng iq và động lượng suy rộng ip .

5
Mỗi trạng thái dừng phụ thuộc vào 3 số lượng tử , ,n k m thỏa [19]
1,2,3,...
1,2,3,...,
, 1,...,0,..., 1,
n
k n
m k k k k


    
. (1.2.2)
Quĩ đạo dừng thứ n có phương trình quĩ đạo [19]
  , ,
, ,
2 2
, , 2
1 cos 1
n k m
n k m
n k m
a
r
Z
k


 

 
  
 
 
, (1.2.3)
trong đó,
 
 
2 2
2 2 2 0
, , 2
2 2 2
1n k m
aZ
a k Z
Zn k k Z



 
 
   
   
 
, (1.2.4)
và
 
2 2 2
, , 2
2 2 2
1n k m
k Z
n k k Z




 
  
. (1.2.5)
Năng lượng tương ứng với trạng thái đó là [19]
 
, , 2 2 2
2
2 2 2
1 1
1
1
n k m HatreeE E
Z
n k k Z
 

 
 
 
   
 
 
    
 
. (1.2.6)

6
1.3 Cấu trúc phổ năng lượng của nguyên tử hydro theo lí thuyết lượng tử
Schrödinger
Một electron điện tích e chuyển động xung quanh hạt nhân Ze , tương tác giữa
electron và hạt nhân là tương tác Coulomb (1.1.1). Hamiltonian của bài toán [18]
2
ˆˆ
2 e
p Z
H c
m r

 
   
 
, (1.3.1)
và phương trình Schrödinger dừng của bài toán
   ˆ , , , ,H r E r      . (1.3.2)
Mỗi trạng thái dừng phụ thuộc vào 4 số lượng tử , , , jn l j m (có tính đến spin của
electron
1
2
s  ) là các số nguyên thỏa [2]
1,2,3,...
0,1,2,..., 1
1
2
1
, 1,...,0,..., 1,
2
j l
n
l n
j l
m m j j j j

 
 
      
. (1.3.3)
Hàm sóng ở trạng thái dừng  , , , jn l j m là [2]
     ,
, , , , ,, , ,j l
j
m m
n l j m n j j lr R r Y     . (1.3.4)
Năng lượng ở trạng thái dừng  , , , jn l j m là [2]
2
, , , 2
2jn l j m Hatree
Z
E E
n
  , (1.3.5)
chỉ phụ thuộc vào số lượng tử chính n và trùng với kết quả của mẫu Bohr. Ở đây có
hiện tượng suy biến các mức năng lượng nE với bậc suy biến [2]

7
2
2ng n . (1.3.6)
1.4 Cấu trúc phổ năng lượng của nguyên tử hydro theo lí thuyết nhiễu loạn của
Darwin
electron và hạt nhân là tương tác Coulomb (1.1.1) có tính đến nhiễu loạn do hiệu ứng
tương đối tính và do tương tác spin – quỹ đạo (tiến động Thomas). Ngoài ra, trong thế
nhiễu loạn còn tính đến nhiễu loạn Darwin. Hamiltonian của bài toán [3]
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
rc spin orbit DarwinH H H H H    , (1.4.1)
với Hamiltonian của nguyên tử hydro
2
0
ˆˆ
2 e
p Z
H c
m r

 
   
 
, (1.4.2)
và hiệu chỉnh tương đối tính
2
2
2
ˆ1ˆ
2 2
rc
e e
p
H
m c m
 
  
 
, (1.4.3)
cùng với tương tác spin – quỹ đạo của electron
2 3
ˆˆ ˆ
2
spin orbit
e
Z
H
m c r

  L S , (1.4.4)
và thế nhiễu loạn Darwin
 
3
3
2
ˆ
2
Darwin
e
H Z
m c

 r . (1.4.5)
Hai thành phần đầu tiên trong thế nhiễu loạn có thể dễ dàng được giải thích như sau.
Hiệu chỉnh tương đối tính (1.4.3) chính là khai triển toán tử động năng
2 2 2 4 2ˆ ˆ e eT p c m c m c   đến gần đúng bậc 2. Hiệu ứng tương đối tính là rất nhỏ bởi

8
vì trung bình 1
e
p
m c
 . Thành phần tương tác giữa spin và momemt động lượng
quĩ đạo của electron (1.4.4) chính là tương tác Larmor do electron chuyển động sẽ tạo
ra từ trường tương tác với chính moment từ do spin của nó tạo ra [14]. Tuy nhiên, do
hiệu ứng tương đối tính của electron chuyển động có xét đến spin làm xuất hiện tiến
động Thomas [21] đúng bằng một nửa tương tác Larmor nên thành phần tương tác
Larmor bị giảm đi một nửa. Hiệu ứng này vẫn còn được gọi là giảm nửa do tiến động
Thomas. Thành phần thứ ba trong thế nhiễu loạn được đặt là thế nhiễu loạn Darwin,
nó xuất hiện do thực chất Darwin khai triển phương trình Dirac chứ không từ bất cứ
tương tác vật lí nào. Thế nhiễu loạn Darwin chỉ tương tác với orbital  0s l  [3].
Phương trình Schrödinger dừng của bài toán
   ˆ , , , ,H r E r      . (1.4.6)
Ở mẫu nguyên tử Bohr, ta thấy hàm sóng chưa nhiễu loạn ở trạng thái dừng
 , , , jn l j m là
 
     ,0
, , , , ,, , ,j l
j
m m
n l j m n j j lr R r Y     , (1.4.7)
năng lượng chưa nhiễu loạn ở trạng thái dừng  , , , jn l j m là
 
2
0
, , , 2
2jn l j m Hatree
Z
E E
n
  . (1.4.8)
Năng lượng của nguyên tử hydro khi có tính đến bổ chính bậc 1 là [3]
2
, 2 2
1 3
1
2 1 2 4
n j Hatree
n
E E
n n j
  
     
  
. (1.4.9)

9
1.5 Cấu trúc phổ năng lượng của nguyên tử hydro theo lí thuyết lượng tử tương
đối tính Dirac
electron và hạt nhân là tương tác Coulomb (1.1.1) ở giới hạn cơ học lượng tử tương
đối tính. Phương trình Dirac của nguyên tử hydro [4]
 
 1 2 32
1 2 3
, , ,
ˆ , , ,e
x x x tc
c m c x x x t i
r t


 
     
 
p , (1.5.1)
trong đó, hàm sóng lưỡng spinor của nguyên tử hydro có dạng
0
1
2
3
 
 
  
 
 
 
, (1.5.2)
và các ma trận
2
2
00
, ,
00
I
I

  
    
   



(1.5.3)
với  1 2 3, ,   là các ma trận Pauli và 2I là ma trận đơn vị 2 2 .
Mỗi trạng thái dừng phụ thuộc vào 4 số lượng tử , , , jn l j m (gián tiếp thông qua số
lượng tử k ) là các số nguyên thỏa [4]
1,2,3,...
0,1,2,..., 1
1
2
1
, 1,...,0,..., 1,
2
j l
n
l n
j l
m m j j j j

 
 
      
, (1.5.4)

10
và
1 2 khi 1 2
1 2 khi 1 2
j j l
k
j j l
   
 
  
.
Năng lượng ở trạng thái dừng , , , jn l j m là [4]
 
, , , 2 2 2
2
2 2 2
1 1
1
1
jn l j m HatreeE E
Z
n k k Z
 

 
 
 
   
 
 
    
 
1
, (1.5.5)
khai triển kết quả (1.5.5) sẽ nhận được (1.4.9).
1.6 Một vài kết quả bằng số
1.6.1 Năng lượng của nguyên tử hydro ở một vài mức
Dựa vào các phổ năng lượng tương ứng với các lí thuyết khác nhau, chúng tôi xác
định năng lượng của nguyên tử hydro ở các mức năng lượng thấp sau đây:
1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 3 2 5 21 ,2 ,2 ,2 ,3 ,3 ,3 ,3 ,3s s p p s p p d d . Kết quả tính toán được chúng tôi
trình bày ở bảng sau
LT Bohr LT Sommerfeld LT Schrodinger LT Darwin LT Dirac
1s1/2 -13,60569253 eV -13,60587366 eV -13,60569253 eV -13,60587366 eV -13,60587366 eV
2s1/2
-03,40142313 eV
-03,40147974 eV
-03,40142313 eV
-03,40147974 eV -03,40147974 eV
2p1/2
-03,40143445 eV
2p3/2 -03,40143445 eV -03,40143445 eV
3s1/2
-01,51174361 eV
-01,51176374 eV
-01,51174361 eV
-01,51176374 eV -01,51176374 eV
3p1/2
-01,51175032 eV
3p3/2
-01,51175032 eV -01,51175032 eV
3d3/2
-01,51174585 eV
3d5/2 -01,51174585 eV -01,51174585 eV
1
Về hình thức, kết quả này giống với tính toán của Sommerfeld. Tuy nhiêu, k trong công thức của Gordon có
tính đến hiệu ứng do spin electron nên có bản chất khác với k trong công thức của Sommerfeld. Cụ thể: đối với
Sommerfeld k = l + 1 còn đối với Gordon k =l  1.

11
Từ các số liệu trên, chúng tôi vẽ giản đồ năng lượng mô tả sự tách mức ở các lí
thuyết khác nhau
Trong khi các mức có cùng j theo lí thuyết Darwin và lí thuyết Dirac có cùng
năng lượng thì theo lí thuyết Sommerfeld, mức nào có l cao hơn thì nằm cao hơn, ví
dụ như ở hai mức 1 22s và 1 22p . Ngoài ra, chúng tôi còn thấy có một nhận xét thú vị:
những trạng thái thỏa
1
2
j l  như 1 2 3 2 5 2, ,s p d thì các tính toán của Sommerfeld
rất khớp với kết quả theo lí thuyết Darwin và lí thuyết Dirac. Sự trùng nhau giữa các
kết quả gần đúng Darwin và chính xác Dirac cho thấy lí thuyết Darwin là đủ để giải
thích cấu trúc tinh tế của nguyên tử hydro với độ chính xác nhỏ hơn 8
10 eV
.
1.6.2 Về vạch H của nguyên tử hydro
Vạch H của nguyên tử hydro là 1 trong 4 vạch nhìn thấy được của nguyên tử hydro.
Nguyên tử hydro chuyển từ mức 3 về mức 2 sẽ phát ra vạch H . Từ lí thuyết Darwin
và lí thuyết Dirac, kết hợp với qui tắc lọc lựa 0, 1;0l    0 , dễ dàng nhận ra rằng
có 2 vạch H kí hiệu là H1
 và H2
. Đây chính là cấu trúc tinh tế của vạch H . Ở phần
2, chúng tôi sẽ bàn về kết quả thực nghiệm cấu trúc tinh tế của vạch H.

12
2 Thực nghiệm về cấu trúc năng lượng của nguyên tử hydro
2.1 Thực nghiệm về vạch H của nguyên tử hydro
2
Hình trên đây mô tả kết quả thực nghiệm về cấu trúc tinh tế của vạch H quan sát
được năm 1935 bởi giao thoa kết Perot – Fabry [20].
Người đầu tiên quan sát được cấu trúc tinh tế của vạch đỏ hydro (chính là vạch H)
chính là Michelson và Morley. Hai ông đã sử dụng giao thoa kế rất chính xác để kiểm
tra giả thuyết ether của Maxwell, và đồng thời hai ông cũng ghi nhận: “Nó có thể được
ghi nhận, đó là trường hợp của vạch đỏ hydro, hiện tượng giao thoa không xuất hiện
ở bước sóng 15000, và một lần nữa ở bước sóng 45000: vì thế vạch đỏ hidro phải là
vạch đôi với khoảng cách 1/60 tương tự như những vạch natri” [15]. Như vậy, cấu
trúc tinh tế của nguyên tử hydro đã được tìm ra từ rất sớm và được các nhà quang phổ
học nghiên cứu để tìm hiểu cấu trúc phổ năng lượng của nguyên tử hydro.
2.2 Thực nghiệm về cấu trúc giữa hai mức 2s1/2 và 2p1/2
Phổ nguyên tử hidro cáo cấu trúc tinh tế theo phương trình Dirac cho 1e chuyển
động trong trường Coulomb là do những hiệu ứng kết hợp giữa sự biến thiên tương
đối tính của khối lượng với vận tốc và spin – orbit. Nó được xem là chiến thắng tuyệt
vời của lí thuyết Dirac vì nó đã đưa ra cấu trúc tinh tế đúng của các mức năng lượng
2
Spedding, F. H. and Shane, C. D. and Grace, N. S. (1935) “The Fine Structure of Hα”, Physical Review,
47(38), pp. 38 -44.

13
[5]. Theo lí thuyết Dirac, trạng thái 1 22s cùng năng lượng với trạng thái 1 22p (là trạng
thái thấp hơn trong 2 trạng thái 2p ).
Tuy nhiên, năm 1947, Wilis Eugene Lamb và Robert Retherford đã phát hiện ra
mức 1 22s có năng lượng lớn hơn mức 1 22p bằng phương pháp sử dụng vi sóng. Dịch
chuyển giữa hai mức 1 22s và mức 1 22p được gọi là dịch chuyển Lamb. Sau đó, Lamb
và các cộng sự liên tục nghiên cứu về sự dịch chuyển này đến năm 1953 [5, 6, 7, 8, 9,
10, 11]. Năm 1955, Lamb được nhận giải Nobel vật lí “cho những khám phá về cấu
trúc tinh tế của nguyên tử hydro”. Năm 1948, Thedore Allen Welton đã sử dụng điện
động lực học lượng tử (QED) để giải thích dịch chuyển Lamb [14]. Dịch chuyển
Lamb đánh dấu sự thành công của Điện động lực học lượng tử.
Sự tách mức được tính toán giữa mức 1 2 1 22 ,2s p với 3 22p là 1
0,365cm
tương ứng
với bước sóng là2,74cm . Trong khi đó, thành tựu trong thời chiến (1939 – 1945) tốt
nhất trong công nghệ vi sóng là bước sóng lân cận 3cm . Do đó, vào thời của Lamb,
các nhà thực nghiệm chỉ có thể nghiên cứu cấu trúc tinh tế của nguyên tử hydro ở
trạng thái 2n  . Mà trạng thái s nếu ko có điện trường là trạng thái giả bền bởi sự
chuyển dời bức xạ xuống trạng thái cơ bản 1 21s bị cấm vì qui tắc lọc lựa. Do đó, ta
không thể nhận biết chính xác mức 1 22s và cũng không thể kiểm chứng chính xác
rằng hai trạng thái 1 22s và 1 22p có cùng mức năng lượng hay không. Do đó, Lamb sử
dụng thêm các điện trường và từ trường nhiễu loạn để khảo sát hai trạng thái trên [5].
Mô hình thí nghiệm Lamb và Retherford sử dụng [13]:
với hình ảnh mặt cắt của các bộ phận chính [13]

14
3
Có thể tóm tắt thí nghiệm của Lamb như sau: tách phân tử hydro trong một lò, có
khoảng một phần trăm triệu trong số đó được kích thích đến trạng thái giả bền 1 22s .
Những nguyên tử giả bền di chuyển ra khỏi vùng bắn phá và được phát hiện bởi quá
trình phóng điện tử từ kim loại. Dòng electron được đo bởi ống electrometer FP – 54
và 1 điện kế. Sau đó, ông cho các nguyên tử hydro này vào một từ trường nhiễu loạn
để xem xét hiệu ứng tách vạch, từ đó suy ngược ra chênh lệch giữa hai mức 1 22s và
1 22p . Sử dụng ngoại suy, ông tính được chênh lệch giữa hai mức 1 22s và 1 22p . Kết
quả cho thấy: mức 1 22s cao hơn 1 22p khoảng 1
0,033cm
. Ngoài ra, ông cũng quan
sát được sự chuyển mức từ 1 22s xuống 1 22p (càng khẳng định hơn nữa mức 1 22s
nằm trên cao) [5].
4
Đồ thị trên có cho thấy chênh lệch giữa 1 22s và 1 22p khi có và không có từ trường.
3
Lamb, W. E. (1955), Nobel Lecture, Nobel Organization, Stockholm – Sweden.
4
Lamb, W.E. and Retherford, R.C. (1947), “Fine Structure of the Hydrogen Atom by a Microwave Method”,
Physical Review, 72 (3), pp. 241 – 243.

15
3 Kết luận
Chúng tôi đã sơ lược khảo sát một vài lí thuyết về cấu trúc phổ năng lượng của
nguyên tử hydro bao gồm các lí thuyết lượng tử bán cổ điển: lí thuyết của Bohr [1], lí
thuyết của Sommerfeld [19] và các lí thuyết lượng tử: lí thuyết của Schrodinger [18],
lí thuyết nhiễu loạn của Darwin [3], lí thuyết Dirac của Gordon [4].
Ngoài ra, chúng tôi cũng tóm lược lại một vài thành tựu về thực nghiệm cấu trúc
phổ năng lượng của nguyên tử hydro: vạch đôi H1
 và H2
 và dịch chuyển Lamb.
4 Phụ lục
4.1 Các bổ chính bậc 1 của Darwin
Các hệ thức sử dụng trong quá trình tính toán
    
2 3
2 2 3 2 3 3 3
0 0 0
1 1 1
; ;
1 2 1 1 2
Z Z Z
r n a r n a l r a n l l l
  
  
. (4.1.1)
Hiệu chỉnh tương đối tính
 
 
2
4 2 2
3 2 3 2 2
2 2 4
2 2 2
2 2 2 2 2
0 0
1 1 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ
8 8 2
1 1 1 1ˆ ˆ2
2 2 2 16
rc
e e e
n
n n n
e e
H p p p E V
m c m c m c
Ze E Z e
E E V V E
m c m c r r
   
  
      
 
        
 
,
suy ra
2 2
2
4ˆ 3
4 1 2
rc n
Z n
H E
n l
  
   
. (4.1.2)
Tương tác spin – quĩ đạo
   
3
2 3 2 3
3 1ˆˆ ˆ 1 1
2 4 4
spin orbit
e e
Z Z
H j j l l
m c r m c r
 

 
        
L S ,
suy ra

16
   
  
2 2
0 khi 0,
ˆ 1 1 3 4
khi 0.
2 1 1 2
spin orbit
n
l
H Z j j l l
E l
nl l l



           
(4.1.3)
Nhiễu loạn Darwin
     
3 3
3 †
2 2
ˆ
2 2
Darwin
e e
Z Z
H
m c m c
 
   0 0r ,
suy ra
2
khi 0,ˆ
0 khi 0.
n
Darwin
E
l
H n
l

 
 
 
(4.1.4)
Phổ năng lượng của nguyên tử hydro tính đến bổ chính bậc 1
,
ˆ ˆ ˆ
n j n rc spin orbit DarwinE E H H H    , (4.1.5)
thu được công thức (1.4.9).
4.2 Khai triển trị riêng của Gordon
Từ công thức (1.5.5), khai triển theo Z
 
 
2 4 2 4 2
2
, , , 2 3 4
3
2 2 1 2 8jn l j m Hatree
Z Z Z
E E
n n j n
 

 
        
, (4.1.6)
ta thu được (1.4.9).
Tài liệu tham khảo
[1] Bohr, N. (1913), “On the constitution of atoms and molecules”, Philosophical
Magazine, 26 (151), pp. 1-25.
[2] Bethe, H. A. and Salpeter, E. E. (1957), Quantum mechanics of one- and two-
electron atoms, Springer, New York Academic Press.
[3] Darwin, C. G. (1928), “The wave equations of the electron”, Proc. R. Soc. Lond. A,
118, pp. 654 – 680.

17
[4] Gordon, W. (1928), “Die Energieniveaus des Wasserstoffatoms nach der
Diracschen Quantentheorie des Elektrons”, Zeitschrift für Physik A Hadrons and
Nuclei, 48 (1-2), pp. 11 – 14.
[5] Lamb, W.E. and Retherford, R.C. (1947), “Fine Structure of the Hydrogen Atom
by a Microwave Method”, Physical Review, 72 (3), pp. 241 – 243.
Part I”, Physical Review, 79 (4), pp. 549 – 572.
Part II”, Physical Review, 81 (2), pp. 222 – 232.
[8] Lamb, W.E. (1952), “Fine Structure of the Hydrogen Atom III”, Physical Review,
85 (2), pp. 259 – 276.
IV”, Physical Review, 86 (6), pp. 1014 – 1022.
[10] Triebwasser, S. and Dayhoff , E. S. and Lamb, W.E. (1953), “Fine Structure of
the Hydrogen Atom V”, Physical Review, 89 (1), pp. 98 – 106.
[11] Dayhoff, E. S. and Triebwasser, S. and Lamb, W.E. (1953), “Fine Structure of
the Hydrogen Atom VI”, Physical Review, 89 (1), pp. 106– 115.
[12] Lamb, W.E. (1953), “Fine Structure of the Hydrogen Atom VI”, Physica, 19 (1),
pp. 832 – 832.
[13] Lamb, W. E. (1955), Nobel Lecture, Nobel Organization, Stockholm – Sweden.
[14] Lifshitz, E. M. and Berestetskii, V. B. and Pitaevskii, L. P. (1979), Quantum
electrodynamics (translated into English), Pergamon Press, London.
[15] Michelson, A. A. and Morley, E. W. (1887), “On a method of making the wave-
length of sodium light the actual and practical standard of length”, Philosophical
Magazine Series 5, 24 (151), pp. 427 – 430.
[16] Mohr, P. J. and Taylor, B. N. and Newell D. B. (2012), “CODATA
recommended values of the fundamental physical constants: 2010”, Reviews of
Modern Physics, 84, pp. 1527 – 1605.

18
[17] Rutherford, E. (1911), “The Scattering of α and β Particles by Matter and the
Structure of the Atom”, Philosophical Magazine, 21, pp. 669-688.
[18] Schrödinger, E. (1926), “Quantisierung als Eigenwertproblem”, Annalen der
Physik, 385 (13), pp. 437 – 490.
[19] Sommerfeld, A. (1916), “Zur Quantentheorie der Spektrallinien”, Annalen der
Physik, 356 (17), pp. 1 – 94.
[20] Spedding, F. H. and Shane, C. D. and Grace, N. S. (1935) “The Fine Structure of
Hα”, Physical Review, 47(38), pp. 38 -44.
[21] Thomas, L. H. (1926), “The motion of the spinning electron”, Nature, 117 (2945),
pp. 514 – 514.

On the fine structure of hydrogen

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to On the fine structure of hydrogen

Similar to On the fine structure of hydrogen (20)

More from Lê Đại-Nam

More from Lê Đại-Nam (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (11)

On the fine structure of hydrogen