Luận văn Phương Trình Và Bất Phương Trình Hàm Trong Lớp Hàm Lượng Giác Ngược , các bạn tham khảo thêm tại tài liệu, bài mẫu điểm cao tại luanvantot.com

1. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
PHẠM HỮU QUYỀN
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
HÀM TRONG LỚP HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp
Mã số : 60.46.01.13
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Đà Nẵng - Năm 2015

2. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
Phản biện 1: TS. Nguyễn Ngọc Châu
Phản biện 2: GS.TS. Lê Văn Thuyết
Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 27
tháng 6 năm 2015
Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng

3. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình hàm và bất phương trình hàm là một chuyên đề
quan trọng trong giải tích, đặc biệt là trong chương trình chuyên toán
Trung Học Phổ Thông (THPT). Các đề thi học sinh giỏi Quốc gia,
Olympic Quốc tế cũng thường xuất hiện bài toán sử dụng các tính
chất của hàm lượng giác và lượng giác ngược, đó là những bài toán
khó và khá mới mẻ với học sinh THPT. Những cuốn sách tham khảo
cho học sinh về lĩnh vực này là không nhiều. Đặc biệt là trong các tài
liệu sách giáo khoa dành cho THPT thì hàm lượng giác ngược chưa
được trình bày một cách hệ thống và đầy đủ.
Xuất phát từ thực tế
Nguyễn Văn Mậu, tôi chọn
đó, với sự hướng dẫn của GS. TSKH đề
tài “ Phương trình và bất phương
trình hàm trong lớp hàm lượng giác ngược” làm đề tài luận văn
thạc sĩ của mình. Ngoài những kiến thức lý thuyết cơ bản, luận văn
còn có thêm một số bài tập về phương trình và bất phương trình,
đồng thời đưa vào các bài toán sử dụng tính chất hàm lượng giác
ngược.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài: “Phương trình và bất phương trình hàm trong lớp
hàm lượng giác ngược” nhằm cung cấp thêm cho các em học sinh
THPT, đặc biệt là các em học sinh khá, giỏi một tài liệu tham khảo
về phương trình và bất phương trình hàm.

4. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu: Phương trình hàm lượng giác
ngược và bất phương trình hàm lượng giác ngược.
3.2 Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất của hàm lượng giác
ngược và các bài toán liên quan trong lĩnh vực phương trình và bất
phương trình hàm
4. Phương pháp nghiên cứu
Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu ( sách, báo và
các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài luận văn ) để thu thập
thông tin nhằm hệ thống lại các vấn đề một cách lôgic, tìm hiểu các
bài toán, các ví dụ minh họa.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn phương trình
và bất phương trình hàm.
Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy.
6. Cấu trúc của luận văn: Ngoài phần mở đầu và kết luận,
luận văn được chia thành ba chương :
Chương 1: Hàm lượng giác ngược và các hệ thức liên quan
Chương này trình bày một số tính chất của hàm số, các tính
chất của hàm lượng giác ngược, các đẳng thức hàm sinh bởi hàm
lượng giác ngược

5. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
3
Chương 2: Một số dạng phương trình hàm trong lớp lượng
giác ngược
Chương này trình bày các phương trình hàm sinh bởi hàm
arcsin, arccos, arctan và arccot
Chương 3: Bất phương trình hàm trong hàm lượng giác
ngược
Chương này trình bày các bất phương trình hàm cơ bản, các
bất phương trình hàm cơ bản trong lớp hàm lượng giác ngược và một
số dạng toán liên quan đến bất phương trình hàm.

6. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
4
CHƯƠNG 1
HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC VÀ CÁC
HỆ THỨC LIÊN QUAN
1.1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Xét hàm số f ( x) với tập xác định Df ¡ và tập giá trị R ( f
) ¡
Định nghĩa 1.1. Nếu với mỗi phần tử y thuộc miền giá trị T,
tồn tại duy nhất 1 giá trị x ÎX sao cho y f ( x) thì f được gọi là đơn
ánh
Định nghĩa 1.2. Hàm f ( x) được gọi là hàm chẵn trên M,
M D f (gọi tắt là hàm chẵn trên M) nếu "x Î M Þ - x Î M và
f ( x) f (x), x M
Định nghĩa 1.3. Hàm f ( x) được gọi là hàm số lẻ trên M,
M D f (gọi tắt là hàm lẻ trên M) nếu "x Î M Þ - x Î M và
f ( x) f (x), x M
Định nghĩa 1.4. Cho hàm số f ( x) và tập M( M D f ). Hàm
f ( x) được gọi là hàm tuần hoàn trên tập M nếu tồn tại số dương
sao cho

7. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
5
ì"x Î M Þ x ± Î M
(1.1)
í
î f(x + ) = f (x),"x Î M
Số dương nhỏ nhất thỏa mãn (1.1) được gọi là chu kỳ cơ sở
của hàm tuần hoàn f(x).
Định nghĩa 1.5. Cho hàm số f ( x) và tập M( M D f ). Hàm
f ( x) được gọi là hàm phản tuần hoàn trên tập M nếu tồn tại số
dương sao cho:
ì"x Î M Þ x ± Î M
(1.2)
í
î f(x + ) = - f (x),"x Î M
Số nhỏ nhất thỏa mãn (1.2) được gọi là chu kỳ cơ sở của
hàm phản tuần hoàn f ( x) .
Định nghĩa 1.6. Hàm f ( x) được gọi là hàm tuần hoàn nhân
tính chu kỳ trên M nếu M D f và
  ¡ {0;1;1}
ì"x Î M Þ1
x Î M
í (1.3)
î f( x) = f (x),"x Î M
Số dương nhỏ nhất thỏa mãn (1.3) được gọi là chu kỳ cơ sở
của hàm tuần hoàn nhân tính
Định nghĩa 1.7.
nhân tính chu kỳ
Hàm
f ( x) được gọi là hàm
trên M nếu
phản tuần hoàn
M Df và
f ( x) .

8. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
6
ì"x Î M Þ1
x Î M
í (1.4)
î f( x) = - f (x),"x Î M
Số nhỏ nhất thỏa mãn (1.4) được gọi là chu kỳ cơ sở của
hàm phản tuần hoàn nhân tính f ( x)
Định nghĩa 1.8. Hàm số g gọi là hàm số ngược của hàm số f
và ký hiệu là f1
nếu:
f (g(x )) x với mọi x thuộc miền xác định của g
g( f (x )) x với mọi x thuộc miền xác định của f
Mọi hàm số đơn ánh đều có hàm ngược. Mọi hàm số đơn điệu
nghiêm ngặt đều có hàm ngược
hiệu
Định nghĩa 1.9. Tập A ¡ được gọi là trù mật trong ¡ , ký A
= ¡ nếux, y ¡, ( x y) luôn tồn tại A, sao cho
x y
Định nghĩa 1.10. Tập A ¡ được gọi là trù mật trong ¡ , ký hiệu
A = ¡ nếux ¡ tồn tại dãy số ( an ) ® x khi n ® ¥
1.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
Định lý 1.1. Giả sử hàm y = f(x) xác định, đồng biến (đơn điệu
tăng thực sự) hoặc nghịch biến (đơn điệu giảm thực sự) và liên tục
trong một khoảng X nào đó. Khi đó trong khoảng tập các giá trị Y
tương ứng của hàm đó, tồn tại hàm ngược (đơn trị) x = g(y) và cũng
là hàm đồng biến hoặc nghịch biến và liên tục trong khoảng đó.

9. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
7
Nhận xét 1.1. Từ các hàm lượng giác cơ bản như y = sin x, y =
cos x, y = tan x, y = cot x, theo định lí trên, ta có các hàm lượng giác
ngược tương ứng trong các khoảng đồng biến hoặc nghịch biến của
chúng.
é   ù æ   ö
Trong ê - ; ú , (hay trong ç - ; ÷ ), hàm số y = sin x
2 2 2 2
ë û è ø
(hay y = tan x) là hàm đồng biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm
ngược y = arcsin x (hay y =arctan x) như sau:
ì y = arcsin x
ìsin(arcsin x ) º x
ï
x= sin y ï
 
ï ï
£ arcsin x £
í -1 £ x £ 1 Û í-
2 2
ï
 
ï
ï £ y £ ï-1 £ x £ 1
ï-
2 2
î
î
ì y = arctan x
ìtan(arctan x ) º x
ï
x= tan y ï
 
ï ï
£ arctan x £
í -¥ £ x £ ¥ Û í-
2 2
ï
 
ï
ï £ y £ ï-¥ £ x £ ¥
ï-
2 2
î
î
Trong0; (hay trong0; ) hàm số y = cos x (hay y =cot
x) là hàm nghịch biến, liên tục nên khi đó tồn tại hàm ngược y =
arccos x (hay y =arccot x) như sau:
ì y = arccos x ìcos(arccos x ) º x
ï ï
í x = cos y Û í0 £ arccos x £
ï £ y £ ï

10. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
î -1 £ x £ 1,0 î-1 £ x £ 1

11. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
8
và
ì y = arccot x ìcos(arccot x ) º x
ï ï
< arccot x <
í x = cot y Û í0
ï
< y <
ï
î -¥ <x < ¥, 0 î-¥ <x < ¥
1)arcsin-x = - arcsin x ,"x Î-1;1
2)arccos-x = - arccos x ,"x Î-1;1
3)arctan-x = - arctan x
4)arccot-x = - arccot x
Để khảo sát các hàm lượng giác ngược, ta cũng cần phải biết
tính đạo hàm các cấp của chúng.
Định lý 1.2. Giả sử hàm y f ( x) thoả mãn các điều kiện của
Định lí 1.1 về sự tồn tại hàm ngược và tại điểm x = x0 hàm số có đạo
hàm f ¢x0 hữu hạn và khác 0.
Khi đó
y0 = fx0
đối với hàm ngược x
cũng tồn tại đạo hàm và có
g ( y) tại điểm tương
giá trị bằng
ứng
1
f ¢x0
.
Vậy ta có công thức đơn giản
x '
y
=
y
1
'x

12. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
9
Bây giờ ta chuyển qua tính đạo hàm của các hàm lượng giác
ngược. Để thuận lợi trong tính toán, ta đổi vai trò x và y. Công thức
trên khi đó sẽ được viết thành:
yx '
1
xy '
+ Hàm y=arcsinx , (1 x1 ) với y (hàm
2 2
ngược của hàm x=siny).
Khi đó ta có x y ' cos y 0 với
  y

.
2 2
Theo công thức trên ta có:
yx '
1

1

1

1
xy ' cosy 1 sin 2
y 1 x2
(Ta bỏ đi các giá trị x1 vì đối với các giá trị tương ứng
y thì đạo hàm x y ' cos y 0 ). Vậy hàm y=arcsinx là hàm
2
đồng biến.
Lại có y ''
2x
 0 với 0<x<1 và y '' 0 với -1<x<0.
(1 x2
)3
Vậy hàm y arcsin x lõm với 0<x<1 và lồi với -1<x<0.
Tương tự ta xét các hàm ngược còn lại

13. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
10
+ Hàm y=arccosx ,(1 x1 ) với 0 y (hàm ngược
của hàm x=cosy)
Ta có x y ' siny với 0 y
Khi đó yx '
1

1

1

1
 0
xy ' siny 1 x2
1 cos 2
y
Vậy hàm y=arccosx là hàm nghịch biến.
Lại có:
y ''
2x
 0 với 0<x<1 và y '' 0 với -1<x<0
(1 x2
)3
Vậy hàm y arccos x lồi với 0<x<1 và lõm với -1<x<0
+ Hàm y=arccotx,  x với 0 y (hàm ngược
của hàm x=cot y)
Ta có x y '
1
1 cot
2
y1 x
2
 0 . Suy ra
sin2
y
yx '
1

1
 0
xy ' 1 x2
Do đó hàm y=cot x là hàm nghịch biến.
Lại có y ''
1
 0 với x>0 và y '' 0 với x<0. Suy ra
  x2
1
2
hàm y = arccot x lõm với x>0 và lồi với x<0

14. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
11
1.3. MỘT SỐ ĐẲNG THỨC HÀM SINH BỞI HÀM LƯỢNG
GIÁC NGƯỢC
a) Hàm f (x ) arcsin x có các tính chất
f (x) + f ( y) = f (x 1- y2
+ y 1- x2
), "x , y Î [-1;1].
b) Hàm g(x ) arccos x có tính chất
g(x) + g( y) = g(xy - 1- x2
1- y2
), "x , y Î [-1,1]. c)
Hàm h(x ) arctan x có tính chất
h(x) + h( y) = h( x
 y
), "x, y Î ¡, xy ¹ 1.
1- xy
p(x) + p( y) = p( xy
x+

y
1
), "x, y Î ¡, x + y ¹ 0.
1.4. MỘT SỐ BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ
BẢN
Bài toán 1 (Phương trình hàm Cauchy) Tìm hàm f (x) liên
tục trên tập số thực và thỏa fx + y = fx+ f y;"x , y Î ¡
Bài giải.
Giả sử tồn tại hàm số f (x) thỏa mãn yêu cầu đề bài

15. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
12
Cho x y 0 , ta có f0 = 0.
Cho yx , ta được f-x = - fx
Vậy hàm f ( x) là hàm số lẻ nên ta chỉ cần xác định biểu thức
của f ( x) với x 0
Cho y x , suy ra f2x = 2 fx, "x Î ¡.
Giả sử với k nguyên dương, fkx = kfx,"x Î ¡
Khi đó fk +1 x = fkx + x, "x Î ¡ , "k Î ¥
Từ đó theo nguyên lý quy nạp, ta có fnx = nfx,"x Î ¡
.Ta kết hợp với tính chất f-x = - fx thu
được fmx = mfx, "m ΢ , "x Î ¡
Lại có f x = 2 f
æ x ö 2 æ x ö n æ x ö
ç ÷ = 2 f ç ÷ =...=2 f
ç ÷
2
2
2
n
è 2 ø è ø è ø
æ x ö 1
f x, "n ΢ , "x Î ¡
Từ đó suy ra: f èç ø÷ =
2 n
2n
Kết hợp các điều trên lại ta được
f
æ
çè 2
m
n
ö
÷ø = 2
m
n . f1, "m Î ¢ , n Î ¥

16. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
13
Sử dụng giả thiết liên tục của hàm f ( x) suy ra
fx = ax,"x Î ¡, a = f1
Thử lại, ta thấy hàm f ( x) = ax thỏa mãn yêu cầu đề bài
Vậy, hàm f ( x) = ax là hàm cần tìm
Bài toán 2 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ) Xác định
các hàm f ( x) liên tục trên ¡ thỏa mãn điều kiện sau:
fx + y = fx f y; "x , y Î ¡ .
Bài giải.
Ta có thể nhận thấy f º 0 là một nghiệm của bài toán
Xét trường hợp f ¹ 0 , khi đó tồn tại x0 Î ¡ sao cho
f (x0 ) ¹ 0
Theo đề ta có
f (x0 ) = f (x + (x0 - x)) = f (x) f (x0 - x ) ¹ 0 "x Î ¡
Suy ra f (x ) ¹ 0,"x Î ¡
æ x x ö é æ x öù 2
Mặt khác f (x) = f ç + ÷ =
ê f
ç ÷ú > 0,"x Î ¡
2 2 2
è ø ë è øû
Ta đặt g(x) = ln f (x) Þ f ( x ) = eg ( x)
.
Khi đó g ( x) là hàm liên tục trên ¡ và

17. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26
20
14
g(x y) ln f (x y) ln f (x) f ( y)
 ln f (x) ln f ( y) g(x) g( y),x , y ¡
Theo bài toán 1 thì g(x ) bx, b ¡ tùy ý.
Suy ra f (x) eb x
 a x
, a 0
Vậy nghiệm của bài toán là f 0 hoặc f (x) a x
, a 0
Bài toán 3: Tìm hàm f : ¡ ¡ thỏa mãn
f (x y) f (x y) 2cos x cos y,x , y ¡.
f (x y) f (x y) 2sin x sin y,x , y ¡.
f (x y) g(x y) 2sin x sin y,x , y ¡.
f (x y) f (x y) 2sin x sin y,x , y ¡.
f (x y) f (x y) 2cos x sin y,x , y ¡.
f (x y) g(x y) 2cos x sin y,x , y ¡.
Bài toán 9: Tìm hàm f : ¡ ¡ thỏa mãn

18. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26
20
15
f (x y) f (x y) 2sin x cos y,x , y ¡.
Bài toán 10: Tìm hàm f , g : ¡ ¡ thỏa mãn
f (x y) g(x y) 2sin x cos y,x , y ¡.
Bài toán 11: Tìm hàm f : ¡ ¡ thỏa mãn
f (x y) f (x y) 2 f (x)cos y,x , y ¡.
Bài toán 12: Tìm hàm f : ¡ ¡ thỏa mãn
f (x y) f (x y) 2g(x)sin y,x , y ¡.
Bài toán 13: Tìm hàm f : ¡ ¡ thỏa mãn sin(x
y) f (x)sin y f ( y)sin x,x , y ¡. Bài toán
14: Tìm hàm f , g : ¡ ¡ thỏa mãn sin(x y)
f (x)sin y g( y)sin x,x , y ¡. Bài toán 15:
Tìm hàm f , g : ¡ ¡ thỏa mãn
f (x y) g(x)sin y g( y)sin x,x , y ¡.
Bài toán 16: Tìm hàm f : ¡ ¡ thỏa mãn
f (x y) f (x y) sin2
x sin2
y,x , y ¡.
Bài toán 17: Tìm hàm f : ¡ ¡ thỏa mãn
f (x y) f (x y) f (x)2
 sin2
y,x , y ¡.

19. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
16
CHƯƠNG 2
MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG
LỚP HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
2.1. PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCSIN
Bài toán 18. Tìm các hàm f ( x) xác định và liên tục trên
[ -1,1] và thỏa mãn điều kiện
f (x) + f ( y) = f ( x 1- y2
+ y 1- x2
),"x , y Î [-1,1].
2.2. PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCCOS
Bài toán 19. Tìm các hàm f ( x) xác định và liên tục trên
[ -1,1] và thỏa mãn điều kiện
f (x) + f ( y) = f ( xy - 1- y2
1- x2
),"x , y Î [-1,1]
2.3. PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCTANG
Bài toán 20. Tìm các hàm f ( x) xác định, liên tục trên ¡ và
thỏa mãn điều kiện
f (x) + f ( y) = f (1
x
-

xy
y
), "x, y Î ¡, xy ¹ 1.
Bài toán 21. Xác định hàm f (x) liên tục trên ¡ và thỏa mãn
điều kiện

20. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
17
f (x) - f ( y) = f (1
x
+

xy
y
), "x, y Î ¡, | xy |< 1.
2.4. PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI HÀM ARCCOTANG
Bài toán 22. Tìm các hàm f (x) xác định, liên tục trên ¡ và
thỏa mãn điều kiện
f (x) + f ( y) = f ( xy
x+

y
1
), "x, y Î ¡ : x + y ¹ 0.
2.5. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM
Bài toán 23. Tìm tất cả hàm f (x) liên tục trên R và thỏa
mãn
fx f y- fx + y = sinxsiny,"x,y Î ¡
Bài toán 24. Tìm tất cả hàm f (x) xác định và liên tục trên R
thỏa mãn
ì f
x + y

+ f
x - y

= 2 f
x

f
y

,"x , y Î ¡ ï
í
ïî f 0 = 1, $x0 Î ¡ : fx0 < 1
Bài toán 25. ( IMO 2002) Tìm tất cả các hàm f : ¡ ¡ thỏa
f f (x) + y = 2x + f f ( y ) - x

21. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
18
Bài toán 26.(IMO 2004)Tìm tất cả các hàm
f :1;1; thỏa f (xf ( y)) yf (x);x , y1;
Bài toán 27. ( IMO 2005) Tìm tất cả các hàm f : ¡
 ¡
thỏa f (x) f ( y) 2 fx yf (x)x , y ¡
Bài toán 28. ( IMO 2007) Tìm tất cả các hàm f : ¡
 ¡
sao cho
fx f ( y) fx y f ( y),x , y ¡
Bài toán 29. ( IMO 2008) Tìm các hàm
f : (0;) (0;) thỏa mãn
f ( p)2
 f (q)2

p 2
 q2
.
f (r2
) f (s2
) r2  s2
Bài toán 30. ( IMO 2009) Tìm tất cả các hàm f : ¡ ¡
thỏa mãn với mọi x , y thuộc ¡ thì: fx y f (x) f ( y)
trong đóx chỉ số nguyên lớn nhất không vượt quá x.

22. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
19
CHƯƠNG 3
BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM TRONG LỚP HÀM
LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
3.1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN
Tương tự như các dạng toán về phương trình hàm chuyển đổi
các phép tính số học của đối số hoặc các đại lương trung bình, trong
mục này ta xét lớp các bất phương trình hàm tương ứng.
Bài toán 31. Xác định các hàm số f (t) thỏa mãn đồng thời các
điều kiện sau:
f (t ) ³ 0, "t Î ¡,
f (x + y) ³ f (x) + f ( y), "x , y Î ¡
Bài toán 32. Xác định các hàm số f (t) thỏa mãn đồng thời các
điều kiện sau:
f (t ) ³ 1, "t Î ¡,
f (x + y) ³ f (x) f ( y),"x , y Î ¡.
Bài toán 33. Xác định các hàm số f (t) thỏa mãn đồng thời các
điều kiện sau:
f (t ) ³ 0, "t Î ¡
,
f (xy) ³ f (x) + f ( y),"x , y Î ¡
.

23. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
20
Bài toán 34. Xác định các hàm số f ( x) thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:
f (t ) ³ 1, "t Î ¡
,
f (xy) ³ f (x) f ( y),"x , y Î ¡
.
Bài toán 35. Xác định các hàm số f ( x) thỏa mãn đồng thời
các điều kiện sau:
f (0) = 0 và f (t ) ³ 0,"t Î ¡,
f ( x+ y ) ³ f (x) + f ( y) ,"x , y Î ¡.
2 2
Bài toán 36. Xác định các hàm số f (t) thỏa mãn đồng thời các
điều kiện sau:
f (0) = 1 và f (t) ³ 1,
"t Î ¡ , f ( x +
2
y
) ³ f (x) f ( y),"x , y Î ¡.
Bài toán 37. Xác định các hàm số f (x) thỏa mãn đồng thời các
điều kiện sau:
f (1) = 1 và f (t ) ³ 1,"t Î ¡
,
f ( xy ) ³
f (x)
+
f ( y)
,"x , y Î ¡ .
2
Bài toán 38. Xác định các hàm số f (t) thỏa mãn đồng thời các
điều kiện sau:

24. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
21
f (1) = 1 và f (t ) ³ 1,"t Î ¡
,
f ( xy ) ³ f (x) f ( y),"x , y Î ¡
.
Bài toán 39. Xác định các hàm số f (t) thỏa mãn đồng thời các
điều kiện sau:
f (1) = 1 và f (t) ³ 1,"t Î ¡ , f ( x
2
+
xy
y ) ³
Bài toán 40. Xác định các hàm số f (t)
các điều kiện sau:
f(x)
 f ( y)
,"x ,
y Î ¡ . 2
thỏa mãn đồng thời
f (1) = 1 và f (t ) ³ 1,"t Î ¡
,
f ( x
2
+
xy
y ) ³ f (x) f ( y),"x , y Î ¡
.
Bài toán 41. Cho trước hàm số h(t) = at , a Î ¡ . Xác định hàm
số f (t) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
f (t) ³ h(t ),"t Î ¡,
f (x + y) ³ f (x) + f ( y),"x , y Î ¡.
3.2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM CƠ BẢN TRONG LỚP HÀM
LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
3.2.1. Bất phương trình hàm sinh bởi hàm arcsin
Bài toán 42. Tìm các hàm f (x) xác định và liên tục trên
[ -1,1] và thỏa mãn điều kiện

25. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
22
ì ),"x , y Î [-1,1]
1- y 2 + y 1- x 2
ï f (x) + f ( y) ³ f ( x
í
ï f (t ) ³ 0,"t Î [-1,1]
î
Bài toán 43. Tìm các hàm f ( x) xác định và liên tục trên
[ -1,1] và thỏa mãn điều kiện
ì ),"x , y Î [-1,1]
1- y 2 + y 1- x 2
ï f (x) + f ( y) ³ f ( x
í
ï f (t) ³ 2arcsin t ,"t Î [-1,1]
î
3.2.2. Bất phương trình hàm sinh bởi hàm arccos
Bài toán 44. Tìm các hàm f ( x) xác định và liên tục trên
[ -1,1] và thỏa mãn điều kiện
ì ),"x , y Î [-1,1].
1- y 2 1- x 2
ï f (x) + f ( y) ³ f ( xy -
í
ï f (t ) £ 0,"t Î [-1,1]
î
Bài toán 45. Tìm các hàm f ( x) xác định và liên tục trên
[ -1,1] và thỏa mãn điều kiện
ì ),"x , y Î [-1,1].
1- y 2 1- x 2
ï f (x) + f ( y) ³ f ( xy -
í
ï f (t) £ 3arccos t ,"t Î [-1,1]
î

26. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
23
3.2.3. Bất phương trình hàm sinh bởi hàm arctan
Bài toán 46. Tìm các hàm f ( x) xác định, liên tục trên ¡ và
thỏa mãn điều kiện
ì
ï f (x) + f ( y) £ f (1
x
-
+
xy
y
), "x, y Î ¡, xy ¹ 1.
í
ï
î f (t ) £ 0,"t Î ¡.
Bài toán 47. Cho ¡. Tìm các hàm f (x) xác định, liên tục
trên ¡ và thỏa mãn điều kiện
ì
ï f (x) + f ( y) £ f (1
x
-
+
xy
y
), "x, y Î ¡, xy ¹ 1.
í
ï
î f (t) £ arctan t ,"t Î ¡.
3.3. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BẤT PHƯƠNG
TRÌNH HÀM
Trong phần này ta trình bày một số bài toán liên quan đến bất
phương trình hàm từ các kỳ thi Olympic các nước và quốc tế.

27. Nhận viết đề tài trọn gói – ZL: 0909 23 26 20–
Luanvanmaster.com
TẢI TÀI LIỆU KẾT BẠN ZALO : 0909 23 26 20
24
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Luận văn“Phương trình và bất phương trình hàm trong lớp
hàm lượng giác ngược” đã thu được kết quả sau:
1. Trình bày về phương trình hàm sinh bởi các hàm lượng giác
ngược.
2. Trình bày về bất phương trình hàm sinh bởi các hàm lượng
giác ngược.
3. Tổng hợp một số bài toán trong các đề thi học sinh giỏi và
Olympic Toán.
Kết quả của luận văn nhằm tạo một tài liệu tham khảo cho các
em học sinh THPT, giúp các em hệ thống kiến thức cũng như dễ
dàng tiếp cận hơn với hàm lượng giác ngược