lay_linalg5_05_01_VN.pptx

5
5.1
© 2016 Pearson Education, Ltd.
Giá Trị Riêng và Vectơ Riêng
VECTƠ RIÊNG VÀ
GIÁ TRỊ RIÊNG

1- 2
VECTƠ RIÊNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG
Định nghĩa: Một vectơ riêng của một ma trận A
là một vectơ khác không x sao cho với một vô
hướng λ nào đó. Một vô hướng λ được gọi là một giá trị
riêng của A nếu có một nghiệm tầm thường x của
; x được gọi là một vectơ riêng tương ứng với λ.
 λ là một giá trị riêng của một ma trận A nếu
và chỉ nếu phương trình
(3)
có một nghiệm tầm thường.
 Tập tất cả các nghiệm của (3) chính là không gian
hạch của ma trận .
n n

x λx
A 
x λx
A 
( λ )x 0
A I
 
n n

λ
A I


1- 3
 Tập này là một không gian con of ℝ𝑛 và được gọi là
không gian riêng của A tương ứng với λ.
 Không gian riêng bao gồm vectơ không và tất cả các
vectơ riêng tương ứng với λ.
 Ví dụ 3: Chứng minh rằng 7 là một giá trị riêng của
ma trận
và tìm các vectơ riêng tương ứng.
1 6
5 2
A
 
  
 

1- 4
 Lời giải: vô hướng 7 là một giá trị riêng của A nếu và
chỉ nếu phương trình
(1)
có một nghiệm tầm thường.
 Nhưng (1) tương đương với , hay
(2)
 Để giải phương trình thuần nhất này, lập ma trận
x 7x
A 
x 7x 0
A  
( 7 )x 0
A I
 
1 6 7 0 6 6
7
5 2 0 7 5 5
A I

     
   
     

     

1- 5
 Các cột của hiển nhiên phụ thuộc tuyến tính,
nên (2) có các nghiệm tầm thường.
 Để tìm các vectơ riêng tương ứng, dung các phép
biến đổi hàng:
 Nghiệm tổng quát có dạng
 Mỗi vectơ có dạng này với là một vectơ riêng
tương ứng với .
7
A I

6 6 0 1 1 0
5 5 0 0 0 0
 
   
   

   
2
1
1
x
 
 
 
2
0
x 
λ 7

~

1- 6
 Ví dụ 4: Cho . Một giá trị riêng của
A là 2. Tìm một cơ sở của không gian riêng tương ứng.
 Lời giải: Lập ma trận
và rút gọn hàng ma trận bổ sung của .
4 1 6
2 1 6
2 1 8
A

 
 

 

 
 
4 1 6 2 0 0 2 1 6
2 2 1 6 0 2 0 2 1 6
2 1 8 0 0 2 2 1 6
A I
 
     
     
    
     
 
     
     
( 2 )x 0
A I
 

1- 7
 Tại bước này, rõ rang 2 là một giá trị riêng của A bởi
vì phương trình có các biến tự do.
 Nghiệm tổng quát là
, x2 và x3 tự do.
2 1 6 0 2 1 6 0
2 1 6 0 0 0 0 0
2 1 6 0 0 0 0 0
 
   
   

   

   
   
( 2 )x 0
A I
 
1
2 2 3
3
1/ 2 3
1 0
0 1
x
x x x
x

     
     
 
     
     
     
~

1- 8
 Không gian riêng, minh họa trong hình sau, là một
không gian con 2 chiều của ℝ3. Một cơ sở là
1 3
2 , 0
0 1
 

   
 
   
 
   
 
   
   
 

1- 9
Định lí 1: Các giá trị riêng của một ma trận tam giác là
các thành phần trên đường chéo chính của nó.
Chứng minh: Để đơn giản, ta xét trường hợp .
 Nếu A là tam giác trên, thì có dạng
3 3

λ
A I

11 12 13
22 23
33
11 12 13
22 23
33
λ 0 0
λ 0 0 λ 0
0 0 0 0 λ
λ
0 λ
0 0 λ
a a a
A I a a
a
a a a
a a
a
   
   
  
   
   
   

 
 
 
 

 
 

1- 10
 Vô hướng λ là một giá trị riêng của A nếu và chỉ nếu
phương trình có một nghiệm tầm
thường, nghĩa là, nếu và chỉ nếu phương trình có một
biến tự do.
 Bởi vì các thành phần bằng 0 trong , dễ thấy
rằng, có một biến tự do nếu và chỉ nếu
ít nhất một trong các thành phần trên đường chéo của
bằng 0.
 Điều này xảy ra nếu và chỉ nếu λ bằng với một trong
các thành phần a11, a22, a33 trong A.
( λ )x 0
A I
 
λ
A I

( λ )x 0
A I
 
λ
A I


1- 11
Định lí 2: Nếu v1, …, vr là các vectơ riêng tương ứng
với các giá trị riêng phân biệt λ1, …, λr của một
ma trận A, thì tập {v1, …, vr} là độc lập tuyến tính.
Chứng minh: Giả sử {v1, …, vr} phụ thuộc tuyến tính.
 Vì v1 khác không, Định lí 7 trong Mục 1.7 nói rằng
một trong các vectơ của tập là một tổ hợp tuyến tính
của các vectơ trước nó.
 Cho p là chỉ số bé nhất sao cho là một tổ hợp
tuyến tính của các vectơ (độc lập tuyến tính) đứng
trước nó.
n n

1
vp

1- 12
 Khi đó tồn tại các vô hướng c1, …, cp sao cho
(5)
 Nhân hai vế của (5) với A và sử dụng thông tin rằng
𝐴𝑣𝑘 = ʎ𝑘𝑣𝑘 với mỗi k, ta nhận được
(6)
 Nhân hai vế của (5) với và trừ cho kết quả từ (6),
ta có
(7)
1 1 1
v v v
p p p
c c 
  
1 1 1
1 1 1 1 1
v v v
λ v λ v λ v
p p p
p p p p p
c A c A A
c c

 
  
  
1
λp
1 1 1 1 1
(λ λ )v (λ λ )v 0
p p p p p
c c
 
    

1- 13
 Vì {v1, …, vp} độc lập tuyến tính, các trọng trong (7)
đều bằng 0.
 Nhưng không có nhân tử nào bằng 0, bởi vì
các giá trị riêng là phân biệt.
 Do đó với .
 Nhưng khi đó (5) nói rằng , điều này là không
thể.
1
λ λ
i p

0
i
c  1, ,
i p

1
v 0
p


1- 14
VECTƠ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN
 Vì vậy {v1, …, vr} không thể phụ thuộc tuyến tính và
do đó phải là độc lập tuyến tính.
 Nếu A là một ma trận, thì (8) là một môt tả truy
hồi của một dãy {xk} trong ℝ𝑛.
(8)
 Một nghiệm của (8) là một mô tả tường minh của {xk}
với công thức với mỗi xk không phụ thuộc trực tiếp vào
A hay vào các phần tử đứng trước trong dãy mà chỉ phụ
thuộc vào phần tử khởi đầu x0.
n n

1
x x
k k
A

 ( 0,1,2 )
k 

1- 15
VECTƠ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN
 Cách đơn giản nhất để xây dựng một nghiệm của (8)
là lấy một vectơ riêng x0 và giá trị riêng λ tương ứng
của nó, và cho
(9)
 Dãy này là một nghiệm bởi vì
0
x λ x
k
k
 ( 1,2, )
k 
1
0 0 0 0 1
x (λ x ) λ ( x ) λ (λx ) λ x x
k k k k
k k
A A A 

    

lay_linalg5_05_01_VN.pptx

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to lay_linalg5_05_01_VN.pptx

Similar to lay_linalg5_05_01_VN.pptx (20)

lay_linalg5_05_01_VN.pptx