Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành toán giải tích với đề tài: Ước lượng Gradient địa phương cho các hàm p-điều hòa trên đa tạp Riemann, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NÔI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NGUYỄN VĂN SƠN
ƯỚC LƯỢNG GRADIENT ĐỊA PHƯƠNG CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU
HÒA TRÊN ĐA TẠP RIEMANN
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60460102
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THẠC DŨNG
Hà Nội- 2014

2. Mục lục
Mở đầu 5
1 TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 8
1.1 Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Liên thông Affine và liên thông Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Tensor độ cong, độ cong Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA 22
2.1 Ước lượng chuẩn Lb1
cho gradient của hàm p-điều hòa . . . . . . . 22
2.2 Phương pháp lặp Moser và ước lượng gradient của các hàm p-điều
hòa. Các ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Kết luận 42
Tài liệu tham khảo 43
2

3. Lời cám ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn
Thạc Dũng, người đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt quá trình hoàn
thành luận văn tốt nghiệp. Qua đây tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ
của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán giải tích trường Đại học Khoa học Tự
nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô của Viện Toán, những người đã
giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Do mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và còn hạn chế về thời
gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong
nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Hà Nội, năm 2014
3

4. Danh mục ký hiệu
C∞ Tập hợp tất cả các hàm khả vi vô hạn.
Ck
0 Tập hợp tất cả các hàm khả vi cấp k có giá compact.
Wk,p Không gian Sobolev chứa các hàm và các đạo hàm yếu của nó tới bậc
k có chuẩn Lp hữu hạn, với p ≥ 1 cho trước.
Wk,p
0 Không gian định chuẩn là bao đóng của Ck
0 trong Wk,p.
Wk,p
loc Không gian các hàm khả tích địa phương trong Wk,p.
4

5. Mở đầu
Việc nghiên cứu các hàm điều hòa trên đa tạp Riemann là một trong những
đối tượng chính trong hình học vi phân. Việc nghiên cứu này là cần thiết vì lý
thuyết các hàm điều hòa có liên hệ chặt chẽ đến hình học và tôpô của đa tạp.
Một trong các bài toán được quan tâm trong lý thuyết này là tìm các ước lượng
gradient cho các hàm này. Trong bài báo nổi tiếng của mình, Cheng-Yau [12] đã
chứng minh ước lượng gradient cho hàm điều hòa dương trên đa tạp Riemann
như sau.
Định lý 0.1. ([12]) Cho M là một đa tạp Riemann đầy đủ n-chiều với Ric ≥
−(n − 1)κ, với κ ≥ 0 là một hằng số. Giả sử u là một hàm điều hòa dương trên
hình cầu trắc địa B(o, R). Khi đó
sup
B(o,R/2)
| u|
u
≤ Cn
1 + R
√
κ
R
(1)
trong đó Cn là một hằng số chỉ phụ thuộc vào n.
Điều quan trọng trong ước lượng của Cheng-Yau là vế phải của Định lý 0.1
chỉ phụ thuộc vào n, κ và R.
Có hai phần chính trong chứng minh của định lý trên. Phần quan trọng đầu
tiên là công thức Bochner được sử dụng để ước lượng cận dưới của toán tử
Laplace tác động lên | u|2 của một hàm điều hòa u bởi các số hạng chỉ phụ
thuộc vào cận dưới của độ cong Ricci. Phần quan trọng thứ hai là một kỹ thuật
thông minh về nguyên lý cực đại. Kỹ thuật này là nhân | u|2 với một hàm
cut-off được xây dựng bằng cách sử dụng hàm khoảng cách. Kết quả là, bất
đẳng thức vi phân mới liên quan đến Laplace của hàm khoảng cách. Như đã
biết, hàm khoảng cách trên đa tạp Riemann là Lipschitz đều và toán tử Laplace
tác động lên hàm khoảng cách có một cận trên chỉ phụ thuộc vào cận dưới của
tensor Ricci.
Cách tiếp cận của Cheng-Yau là rất hữu ích và một số kết quả quan trọng
5

6. của nhiều bài toán khác nhau được ảnh hưởng sâu sắc bởi định lý trên. Lấy ví
dụ, năm 1979, P.Li [4] thu được một ước lượng cận dưới chặt cho giá trị riêng
thứ nhất của toán tử Laplace trên một đa tạp, kết quả này sau đó được tổng
quát bởi Li-Yau [5]. Các kết quả tương tự cho phương trình nhiệt cũng thu được
bởi Li-Yau. Ngoài ra, S.Y.Cheng [10], H.I.Choi [3] đã chứng minh các ước lượng
gradient cho ánh xạ điều hòa,...
Mặt khác, các hàm p-điều hòa (p > 1) được xem là mở rộng tự nhiên của các
hàm điều hòa từ quan điểm biến phân. Nó đã được nghiên cứu rộng rãi vì có
nhiều đặc trưng và ứng dụng thú vị. So với lý thuyết hàm điều hòa, các nghiên
cứu về các hàm p-điều hòa nói chung là khó khăn hơn vì phương trình này mặc
dù là elliptic, nhưng là suy biến và các kết quả về tính chính quy là yếu hơn.
Gần đây, các hàm p-điều hòa được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán
học. Đặc biệt, năm 2007, R.Moser [11] đã thiết lập một liên hệ giữa các hàm
p-điều hòa và bài toán ngược cho dòng độ cong trung bình. Trong một bài báo
gần đây vào năm 2009, Kotschwar và Ni [2] đã chứng minh được nhiều kết quả
cho hàm p-điều hòa, một trong số đó là một ước lượng gradient địa phương cho
các hàm p-điều hòa với giả thiết rằng độ cong nhát cắt bị chặn hạn dưới. Đáng
chú ý là hằng số trong tính toán của họ không bị tăng vọt khi p → 1, dẫn đến
kết quả thú vị về bài toán ngược cho dòng độ cong trung bình. Phương pháp
chứng minh của họ là tương tự với phương pháp được phát triển bởi Cheng và
Yau năm 1975 cho các hàm điều hòa (tức là p = 2).
Kotschwar và Ni đã dự đoán rằng ước lượng của họ có thể giữ nguyên nếu
chỉ giả thiết về cận dưới của tensor Ricci. Năm 2011, X. D. Wang và L. Zhang
[13] đã chứng minh phỏng đoán của Kotschwar và Ni bằng cách thiết lập định
lý sau.
Định lý 0.2. Cho (Mn, g) là một đa tạp Riemann đầy đủ với Ric ≥ −(n − 1)k.
Giả sử v là một hàm p-điều hòa dương trong hình cầu B(o, R) ⊂ M. Khi đó, tồn
tại một hằng số Cp,n (chỉ phụ thuộc vào p và n) sao cho
| v|
v
≤
Cp,n(1 +
√
kR)
R
trên B(o, R/2).
Chú ý rằng khi p = 2, các hàm p-điều hòa chính là hàm điều hòa. Do đó
6

7. ước lượng gradient này có thể xem là tổng quát hóa của ước lượng gradient của
Cheng-Yau như đã đề cập đến trong phần đầu của lời giới thiệu.
Toàn bộ nội dung của luận văn này là để làm rõ cách chứng minh của định
lý kể trên của Wang-Zhang. Luận văn được viết lại dựa trên bài báo [13] và bao
gồm hai chương. Trong phần chương một, tôi nhắc lại các kiến thức cơ bản về
hình học vi phân và toán tử Laplace trên đa tạp Riemann. Trong chương hai,
tôi phân tích kỹ và trình bày một cách chi tiết các bước chứng minh của định lý
Wang-Zhang. Trong đó, chúng ta sử dụng một phiên bản của công thức Bochner
cho hàm p-điều hòa, công thức này được sử dụng cho toán tử tuyến tính hóa
của toán tử phi tuyến ∆p và được giới thiệu trong bài báo của Kotschwar-Ni.
Nhờ công thức này, chúng ta thu được một ước lượng chuẩn trong không gian
Lb1
của grandient của hàm p-điều hòa với b1 phù hợp. Phần tiếp theo là chứng
minh một ước lượng cận trên của chuẩn sup theo chuẩn Lb1
này bằng cách sử
dụng phép lặp Moser, kết quả là chứng minh được Định lý 0.2. Tôi cũng đưa
ra chứng minh của hai kết quả liên quan đến ước lượng gradient này. Kết quả
đầu tiên là định lý kiểu Harnack và kết quả thứ hai là định lý Liouville cho hàm
p-điều hòa.
7

8. Chương 1
TOÁN TỬ LAPLACE TRÊN ĐA
TẠP RIEMANN
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày lại một vài khái niệm cơ bản của hình
học vi phân. Đầu tiên, chúng ta nhắc lại các khái niệm đa tạp, đa tạp trơn, định
nghĩa đa tạp Riemann. Tiếp sau đó, chúng ta xây dựng một vài phép toán cơ
bản để đưa ra định nghĩa của toán tử Laplace. Cuối cùng, chúng ta giới thiệu
khái niệm độ cong Ricci và một vài tính chất tiêu biểu của các độ cong này.
1.1 Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann
A. Đa tạp trơn
Định nghĩa 1.1. Cho M là một không gian tôpô Hausdorff và có cơ sở đếm
được. Nó được gọi là một đa tạp tôpô n chiều nếu với mọi p ∈ M, tồn tại một bộ
ba {ϕ, U, V } trong đó U là một lân cận của p trong M, V là một tập con mở của
Rn, ϕ : U → V là một đồng phôi. Một bộ ba như vậy gọi là một bản đồ tại p.
Hai bản đồ {ϕ1, U1, V1} và {ϕ2, U2, V2} được gọi là tương thích nếu hàm chuyển
ϕ12 = ϕ2 ◦ ϕ−1
1 : ϕ1(U1 ∩ U2) → ϕ2(U1 ∩ U2)
là một đồng phôi. Chú ý rằng các tập ảnh ϕ1(U1 ∩ U2), ϕ2(U1 ∩ U2) là các tập mở
thuộc Rn.
Định nghĩa 1.2. Một tập A = {ϕα, Uα, Vα} trên M được gọi là một tập bản đồ
nếu các bản đồ của A đều tương thích với nhau và α Uα = M. Hai tập bản đồ
trên M được gọi là tương đương nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ trên
M.
8

9. Định nghĩa 1.3. Một đa tạp trơn n-chiều M là một đa tạp tôpô n-chiều được
trang bị một lớp tương đương các tập bản đồ sao cho các hàm chuyển là các hàm
trơn. Một lớp tương đương của một tập bản đồ trơn được gọi là một cấu trúc
trơn trên M.
Ví dụ 1.4. Một vài đa tạp trơn cùng với cấu trúc trơn
• Rn là một đa tạp trơn.
• Một tập con mở của đa tạp trơn cũng là một đa tạp trơn.
Ví dụ 1.5. Hình cầu Sn = {(x1, · · · , xn+1) ∈ Rn+1|x2
1 + · · · + x2
n+1 = 1} là một đa
tạp trơn. Cho U1 = Sn − {(0, · · · , 0, 1)} và U2 = Sn − {(0, · · · , 0, −1)}, ta xét các
phép chiếu nổi ϕi : Ui → Rn định nghĩa bởi
ϕ1(x) =
1
1 − xn+1
(x1, · · · , xn) ϕ2(x) =
1
1 + xn+1
(x1, · · · , xn).
Khi đó {ϕ1, U1, Rn}, {ϕ2, U2, Rn} tạo thành tập bản đồ trên Sn. Có thể tính toán
trực tiếp rằng ánh xạ chuyển ϕ12 là ánh xạ trơn. Do đó, hình cầu là một đa tạp
trơn.
Định nghĩa 1.6. Một ánh xạ f : M → N giữa hai đa tạp trơn được gọi là trơn
nếu với mỗi bản đồ {ϕα, Uα, Vα} bất kì của M và {ψβ, Xβ, Yβ} bất kì của N, khi
đó ánh xạ
ψβ ◦ f ◦ ϕ−1
α : ϕα(Uα ∩ f−1
(Xβ)) → ψβ(f(Uα) ∩ Xβ)
là trơn. Ta nói rằng f : M → N là một vi phôi nếu nó là song ánh và f, f−1 đều
là các ánh xạ trơn.
Khi N = R, ta sẽ gọi f là một hàm trơn giá trị thực. Tập hợp tất cả các hàm
trơn giá trị thực trên M được kí hiệu là C∞(M).
Bất kỳ ánh xạ trơn f : M → N đều cảm sinh một ánh xạ kéo-lùi
f∗
: C∞
(N) → C∞
(M), g → g ◦ f.
B. Vectơ tiếp xúc
Cho M là một đa tạp trơn n-chiều.
Định nghĩa 1.7. Một vectơ tiếp xúc tại một điểm p ∈ M là một ánh xạ tuyến
tính Xp : C∞(U) → R thỏa mãn quy tắc Leibnitz
Xp(fg) = f(p)Xp(g) + Xp(f)g(p).
9

10. Ở đây U là một lân cận của p như trong Định nghĩa 1.1.
Tập hợp tất cả các vectơ tiếp xúc của M tại p lập thành một không gian vectơ
và được gọi là không gian vectơ tiếp xúc của M tại p, ký hiệu là TpM. Không
gian đối ngẫu của TpM được gọi là không gian đối tiếp xúc của M tại p và ký
hiệu là T∗
p M. Cả hai không gian TpM và T∗
p M đều là không gian vectơ n-chiều.
Hơn nữa, người ta đã chỉ ra rằng cho {ϕ, U, V } là một bản đồ tại p với ϕ(p) = 0.
Khi đó các ánh xạ
∂i : C∞
(U) → R, f →
∂f ◦ ϕ−1
∂xi
(0), i = 1, 2, · · · , n
là các vectơ tiếp xúc tại p. Chúng độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở của
TpM. Để mô tả không gian đối tiếp xúc T∗
p M, chúng ta cần đưa ra định nghĩa
sau.
Định nghĩa 1.8. Cho f : M → N là một ánh xạ trơn. Khi đó, với mỗi p ∈ M,
vi phân của f là một ánh xạ tuyến tính dfp : TpM → Tf(p)N được định nghĩa bởi
dfp(Xp)(g) = Xp(g ◦ f), ∀Xp ∈ TpM, ∀g ∈ C∞
(N).
Trong trường hợp đặc biệt, f : M → R là một ánh xạ trơn, chúng ta có thể
đồng nhất Tf(p)R với R.
Khi đó ta có
Xp(f) = dfp(Xp).
Nói cách khác, dfp ∈ T∗
p M là một vectơ đối tiếp xúc tại p.
Cho {ϕ, U, V } là một bản đồ địa phương tại p. Từ bây giờ, chúng ta sẽ viết
ϕ = (x1, · · · , xn) với mỗi xk là một hàm tọa độ thứ k trên U và ký hiệu bởi
{U, x1, · · · , xn}. Khi đó, cơ sở đối ngẫu của {∂1, · · · , ∂n} trong T∗
p M là {dx1
p, · · · , dxn
p }
và
dfp = (∂1f)dx1
p + · · · + (∂nf)dxn
p .
Quy ước tổng Einstein: Nếu trong một biểu thức xuất hiện chỉ số trên và chỉ
số dưới tương tự nhau, khi đó, biểu thức sẽ được hiểu là tổng của tất cả các giá
trị có thể có của chỉ số đó (thường là từ 1 đến số chiều). Vì vậy, biểu thức trên
có thể viết lại thành dfp = ∂kfdxk
p.
10

11. Định nghĩa 1.9. Một trường vectơ X trên đa tạp trơn M là một phép tương
ứng mỗi điểm p ∈ M với một vectơ tiếp xúc Xp ∈ TpM. Nó được gọi là trơn nếu
với mỗi f ∈ C∞(M), hàm
Xf(p) = Xp(f)
là trơn trên M. Tập hợp các trường vectơ trơn trên M ký hiệu là Γ∞(TM).
C. Phân thớ vectơ
Định nghĩa 1.10. Cho E, M là các đa tạp trơn và π : E → M là một toàn ánh
trơn. Chúng ta nói rằng (π, E, M) là một phân thớ vectơ hạng k nếu với mọi
p ∈ M,
1. Ep = π−1(p) là một không gian vectơ k-chiều.
2. Tồn tại một lân cận mở U của p và vi phôi ΦU : π−1(U) → U × Rk sao cho
ΦU (π−1(p)) = {p} × Rk.
3. Nếu U, V là hai tập mở với p ∈ U ∩ V , và ΦU , ΦV là các vi phôi xác định như
trên, khi đó ánh xạ
gUV (p) = ΦU ◦ Φ−1
V : {p} × Rk
→ {p} × Rk
là tuyến tính và phụ thuộc trơn vào p ∈ U ∩ V
Chúng ta thường gọi E là không gian tổng, M là cơ sở, π−1(p) là một thớ trên
p, và ΦU là tầm thường địa phương. Một phân thớ vectơ hạng một thường được
gọi là phân thớ đường thẳng.
Ví dụ 1.11. Ta đặt TM = ∪pTpM là hợp rời của các không gian vectơ tiếp xúc.
Khi đó, với ánh xạ chiếu
π : TM → M, (p, Xp) → p,
TM là một phân thớ vectơ hạng n trên M. Chúng ta sẽ gọi TM là phân thớ
vectơ tiếp xúc trên M. Một ánh xạ tầm thường địa phương của TM cho bởi
Tϕ = (π, dϕ) : π−1
(U) → U × Rn
trong đó {ϕ, U, V } là một bản đồ địa phương của M.
Ví dụ 1.12. Phân thớ vectơ T∗M = ∪pT∗
p M cũng là một phân thớ vectơ hạng
n trên M. Nó là phân thớ đối ngẫu của TM.
11

12. Bây giờ, cho (π1, E1, M) và (π2, E2, M) là hai phân thớ vectơ hạng k1, k2 trên
M. Chúng ta xác định phân thớ từ tensor (π1 ⊗π2, E1 ⊗E2, M) là phân thớ vectơ
có hạng k1k2 trên M với thớ sau
(π1 ⊗ π2)−1
(p) = (E1)p ⊗ (E2)p = span{ei
1 ⊗ ej
2},
trong đó ei
1, ej
2 tương ứng là cơ sở của (E1)p và (E2)p, ei
1 ⊗ ej
2 có thể coi như một
ánh xạ song tuyến tính
ei
1 ⊗ ej
2 : E∗
1 × E∗
2 → R, (v1, v2) → ei
1(v1)ej
2(v2).
Định nghĩa 1.13. Một lát cắt trơn của phân thớ vectơ (π, E, M) là một ánh xạ
trơn s : M → E thỏa mãn π ◦ s = IdM . Tập hợp các lát cắt trơn của E được ký
hiệu là Γ∞(E).
D. Gradient
Định nghĩa 1.14. Cho M là một đa tạp trơn n-chiều. Một metric Riemann g
trên đa tạp M là một ánh xạ cho tương ứng với mỗi p ∈ M, một tích vô hướng
gp(., .) = ., . p trên TpM mà phụ thuộc trơn vào p. Cặp (M, g) khi đó được gọi là
một đa tạp Riemann. Người ta thường ký hiệu g(., .) = ., . .
Ví dụ, tích vô hướng chuẩn tắc trên Rn định nghĩa một metric Riemann g0 trên
Rn với g0 = ei, ej = δij.
Ta có thể mô tả một cấu trúc metric g sử dụng tọa độ địa phương như sau:
Cho U, x1, . . . , xm là một hệ tọa độ địa phương và {∂1, . . . , ∂m} là trường véctơ
tọa độ tương ứng. Ta ký hiệu:
gij(p) = ∂i, ∂j p
Với bất kỳ véctơ trơn X = Xi∂i và Y = Y j∂j trên U ta có
Xp, Yp p = Xi
(p)Y j
(p) ∂i, ∂j p = gij(p)Xi
(p)Y j
(p)
Ta có thể viết g = gijdxi ⊗ dxj, hoặc gọn hơn là g = gijdxidxj.
Dễ thấy, gij có các tính chất sau
• gij(p) là trơn với mọi p ∈ M, với mọi i, j.
• gij = gji, ma trận (gij(p)) là đối xứng với mọi p.
• Ma trận (gij(p)) xác định dương với mọi p.
12

13. Chú ý rằng, ma trận (gij) không suy biến và ta ký hiệu (gij) là ma trận nghịch
đảo của (gij).
Cho (M, g) là một đa tạp Riemann. Ta có một phép đẳng cấu giữa các trường
vectơ trên M và các dạng vi phân trên M
: Γ∞
(TM) → Γ∞
(T∗
M), (X)(Y ) := g(X, Y ).
Trong tọa độ địa phương, nếu ta ký hiệu X = Xi∂i và cho Y = ∂j với mỗi j ta có
(X)(∂j) = g(X, ∂j) = gijXi
.
Vì vậy
(Xi
∂i) = gijXi
dxj
Ta ký hiệu ánh xạ ngược của bởi : Γ∞(T∗M) → Γ∞(TM). Khi đó
(widxi
) = gij
wi∂j,
với (gij) là ma trận nghịch đảo của (gij) , và xác định theo từng điểm và
cảm sinh trên T∗M một tích vô hướng
w, w p := gp( w, w ).
Giả sử f là một hàm trơn trên M. Khi đó df là một dạng vi phân trên M.
Định nghĩa 1.15. Vectơ gradient của f là f = (df).
Định nghĩa trên là tương đương với mọi X ∈ Γ(TM)
g( f, X) = Xf.
Trong tọa độ địa phương, ta có
f = gij
∂if∂j.
E. Toán tử divergence
Giả sử X là một trường vectơ trơn trên M. xét hệ tọa độ (U, x1, · · · , xn) trên M,
phần tử
dVol =
√
Gdx1
∧ · · · ∧ dxn
là một dạng vi phân dương trên U, trong đó G = det(gij) và dx1 ∧ · · · ∧ dxn là độ
đo Lebesgue trên Rn.
Cho w là một n-dạng vi phân w = fdx1 ∧ ... ∧ dxn, xét ánh xạ
ιX : ∧n
(M) → ∧n−1
(M).
13

14. xác định bởi
(ιXw)(Y1, . . . Yn−1) = w(X, Y1, . . . , Yn−1)p
với Y1, . . . Yn−1 ∈ TpM với mọi p ∈ M.
Định nghĩa 1.16. Toán tử divergence của X là hàm div(X) trên M định nghĩa
bởi
(divX)dV ol = d {ιXdV ol} .
Giả sử X =
n
i=1
Xi∂i, dễ dàng tính toán được,
(ιXdV ol)(Y1, ..., Yn−1)
=
√
G
X1 dx1(Y1) · · · dx1(Yn−1)
X2 dx2(Y1) · · · dx2(Yn−1)
...
...
...
...
Xn dxn(Y1) · · · dxn(Yn−1)
=
√
G



X1
dx2(Y1) · · · dx2(Yn−1)
...
...
...
dxn(Y1) · · · dxn(Yn−1)
− X2
dx1(Y1) · · · dx1(Yn−1)
...
...
...
dxn(Y1) · · · dxn(Yn−1)
+ ...




= Xi
√
G(−1)i−1
dx1
∧ ...dxi... ∧ dxn
(Y1, · · · Yn−1).
Do đó
(divX)dV ol = d{Xi
√
G(−1)i−1
dx1
∧ ...dxi... ∧ dxn
} = ∂i(Xi
√
G)dx1
∧ ... ∧ dxn
.
Vậy
divX =
1
√
G
∂i(Xi
√
G).
Trên đa tạp Riemann (M, g), ta có định lý divergence sau đây.
Định lý 1.17. (xem [14, 15]) Cho X là một trường vectơ trơn với giá compact
trên đa tạp Riemann (M, g), khi đó
M
div(X)dV ol = 0.
F. Toán tử Laplace
Cho hàm trơn f trên đa tạp Riemann (M, g), toán tử Laplace trên M được xác
định bởi
∆f = div( f),
14

15. nghĩa là
∆f = div(gij
∂if∂j) =
1
√
G
∂i(
√
Ggij
∂jf).
Toán tử Laplace có thể viết gọn lại như sau
∆ =
1
√
G
∂i(
√
Ggij
∂j).
Từ định lý divergence ta có thể dễ dàng chứng minh định lý sau.
Định lý 1.18. (Công thức Green I)
Giả sử f và h là các hàm trơn trên M, có giá compact. Khi đó
M
f∆hdV ol = −
M
g( f, h)dV ol =
M
h∆fdV ol.
Cho C0
c (M) là không gian các hàm liên tục, có giá compact trên M.
Định nghĩa 1.19. Với mọi 1 ≤ p < ∞, ta định nghĩa chuẩn Lp trên không gian
C∞
c như sau
f Lp =
M
|f|p
dV ol
1/p
.
Không gian C0
c (M) cùng với chuẩn Lp trên lập thành không gian Lp(M).
Trong trường hợp p = 2, ta có định nghĩa tích vô hướng trên L2(M)
f1, f2 L2 :=
M
f1f2dV ol.
Bổ đề 1.20. Với M compact, toán tử Laplace ∆ là toán tử tự liên hợp trên
L2(M).
Bổ đề 1.21. Với mọi f ∈ C∞
c (M), M
∆fdV ol = 0.
1.2 Liên thông Affine và liên thông Levi-Civita
A. Liên thông tuyến tính
Cho M là một đa tạp trơn.
Định nghĩa 1.22. Một liên thông tuyến tính trên M là một ánh xạ song
tuyến tính
: Γ∞
(TM) × Γ∞
(TM) → Γ∞
(TM), (X, Y ) → XY
thỏa mãn với mọi X, Y ∈ Γ∞(TM) và với mọi f ∈ C∞(M)
15

16. • fXY = f XY .
• X(fY ) = f XY + (Xf)Y .
Trường vectơ XY được gọi là đạo hàm hiệp biến của Y theo X (đối với liên
thông ).
Ví dụ 1.23. Cho M = Rm. Khi đó, đạo hàm theo hướng cho ta một liên thông
tuyến tính. Chính xác hơn, nếu X = Xi∂i và Y = Y j∂j, khi đó ta có
XY = Xi∂i
(Y j
∂j) = Xi
∂i(Y j
)∂j.
B. Liên thông Affine
Định nghĩa 1.24. Một liên thông Affine trên M là một ánh xạ tuyến tính
: Γ∞
(TM) → Γ∞
(T∗
M ⊗ TM).
thỏa mãn điều kiện, với mọi X ∈ Γ∞(TM) và với mọi f ∈ C∞(M)
(fX) = df ⊗ X + f X.
Sử dụng tính chất đối ngẫu của cặp T∗M và TM, tạo ra một ánh xạ (vẫn
ký hiệu là )
: Γ∞
(TM) × Γ∞
(TM) → Γ∞
(TM)
thỏa mãn với bất kỳ X, Y ∈ Γ∞(TM)
XY = X, Y ∈ Γ∞
(TM)
trong đó ·, · được định nghĩa để sao cho X, ω ⊗ Y = ω(X)Y .
Sử dụng liên thông Affine để có thể xác định toán tử độ cong sau
R(X, Y ) := X Y − Y X − [X,Y ] : Γ∞
(TM) → Γ∞
(TM),
trong đó [X, Y ] = XY − Y X.
C. Liên thông Levi-Civita
Cho (M, g) là một đa tạp Riemann. Nhắc lại rằng một liên thông tuyến tính
là tương thích với metric g nếu g = 0, nghĩa là với mọi X, Y, Z ∈ Γ(TM),
X Y, Z = XY, Z + Y, XZ .
16

17. Cho là một liên thông tuyến tính trên M. Ta nhận thấy
T(X, Y ) = XY − Y X − [X, Y ]
là một (1, 2) − tensor, nghĩa là T(fX, Y ) = fT(X, Y ) và T(X, fY ) = fT(X, Y )
Định nghĩa 1.25. Chúng ta gọi T là tensor xoắn của . Nếu T = 0, chúng ta
gọi là liên thông xoắn tự do, hay là một liên thông đối xứng.
Cho (U, x1, · · · , xm) là một bản đồ địa phương, khi đó tồn tại hàm Γk
ij trên U
thỏa mãn
∂i
∂j = Γk
ij∂k.
Hàm Γk
ij được gọi là ký hiệu Christoffel của đối với bản đồ trên.
Mệnh đề 1.26. là một liên thông xoắn tự do nếu và chỉ nếu Γk
ij = Γk
ji với
mọi i, j.
Chứng minh. Nếu là một xoắn tự do, khi đó với i, j bất kỳ
T(∂i, ∂j) = ∂i
∂j − ∂j
∂i − [∂i, ∂j] = Γk
ij∂k − Γk
ji∂k = 0.
Do đó, Γk
ij = Γk
ji.
Ngược lại, nếu Γk
ij = Γk
ji, khi đó ta suy ra T(∂i, ∂j) = 0. Từ T là một tensor,
chúng ta kết luận T(X, Y ) = 0 với mọi X, Y . Vậy là một xoắn tự do.
Nhận xét 1.27. Đặc biệt, chúng ta thấy rằng điều kiện đối xứng "Γk
ij = Γk
ji
với mọi i, j" là độc lập với việc chọn tọa độ địa phương.
Bây giờ, giả sử (M, g) là một đa tạp Riemann.
Định nghĩa 1.28. Một liên thông trên M được gọi là một liên thông Levi-
Civita (còn gọi là liên thông Riemann) nếu nó là một xoắn tự do và tương thích
với g.
Định lý 1.29 (Định lý cơ bản của hình học Riemann). Trên mỗi đa tạp Riemann
(M, g), có duy nhất một liên thông Levi-Civita.
Chứng minh. Đầu tiên, chúng ta giả sử rằng tồn tại liên thông Levi-Civita. Khi
17

18. đó
XY, Z = X( Y, Z ) − Y, XZ
= X( Y, Z ) − Y, ZX − Y, [X, Z]
= X( Y, Z ) − Z( Y, X ) + ZY, X − Y, [X, Z]
= X( Y, Z ) − Z( Y, X ) + Y Z, X + [Z, Y ], X − Y, [X, Z]
= X( Y, Z ) − Z( Y, X ) + Y ( Z, X )
− Z, Y X + [Z, Y ], X − Y, [X, Z]
= X( Y, Z ) − Z( Y, X ) + Y ( Z, X ) − Z, XY
− Z, [Y, X] + [Z, Y ], X − Y, [X, Z] .
Từ đó suy ra XY phải là một vectơ thỏa mãn
2 XY, Z = X( Y, Z ) − Z( Y, X ) + Y ( Z, X )
− Z, [Y, X] + [Z, Y ], X − Y, [X, Z] , ∀Z
Tính duy nhất được chứng minh.
Để chứng minh sự tồn tại, chỉ cần kiểm tra XY được xác định theo công thức
trên có thỏa mãn các điều kiện liên thông Levi-Civita. Rõ ràng, đây là một liên
thông tuyến tính, tương thích với metric g trên M. Để chứng minh là một xoắn
tự do, chúng ta lấy X = ∂i, Y = ∂j, Z = ∂k. Sau đó đồng nhất với đẳng thức trên
ta được
2Γl
ijglk = ∂igjk − ∂kgij + ∂jgki.
Nói cách khác
2Γl
ij = glk
(∂jgki + ∂igjk − ∂kgij).
Vậy, liên thông Levi-Civita là liên thông tuyến tính đối xứng duy nhất tương
thích với g.
1.3 Tensor độ cong, độ cong Ricci
Cho (M, g) là một đa tạp Riemann với là liên thông Levi-Civita. Ta xác định
một ánh xạ
R : Γ(TM) × Γ(TM) × Γ(TM) → Γ(TM), (X, Y, Z) → R(X, Y )Z
18

19. bởi công thức
R(X, Y )Z := − X Y Z + Y XZ + [X,Y ]Z.
Bổ đề 1.30. R là một trường C∞ tensor kiểu (1, 3)
Chứng minh. Rõ ràng, R là tuyến tính với mỗi biến. Hơn nữa, với bất kỳ f ∈
C∞(M)
R(fX, Y )Z = −f X Y Z + Y (f XZ) + (fX)Y −Y (fX)Z
= f(− X Y Z + Y XZ + [X,Y ]Z) + (Y f) XZ − (Y f) XZ
= fR(X, Y )Z.
Tương tự, ta có
R(X, fY )Z = R(X, Y )(fZ) = fR(X, Y )Z.
R(X, Y )Z(p) chỉ phụ thuộc vào Xp, Yp, Zp. Các ánh xạ sau đây cũng tương tự
như vậy, được ký hiệu là R.
R : Γ(TM) × Γ(TM) × Γ(TM) × Γ(TM) → R,
cho bởi
R(X, Y, Z, W) = g(R(X, Y )Z, W)
là một trường C∞ tensor kiểu (0, 4).
Định nghĩa 1.31. Cả hai tensor R trên được gọi là tensor độ cong của (M, g).
Tại mỗi bản đồ địa phương chúng ta có thể biểu thị R(∂i, ∂j)∂k) = Rl
ijk∂l. Khi
đó với các trường vectơ X, Y, Z tùy ý, ta có
R(X, Y )Z = Xi
Y j
Zk
Rl
ijk∂l.
Tương tự như vậy, chúng ta có thể viết ra các thành phần của tensor R kiểu
(0, 4)
Rijkl = g(R(∂i, ∂j)∂k, ∂l) = gslRs
ijk.
Mệnh đề 1.32. Tensor độ cong R có các tính chất sau
19

20. (a) R(X, Y )Z = −R(Y, X)Z.
(b) (Đồng nhất thức Bianchi thứ nhất) R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0.
(c) R(X, Y, Z, W) = −R(X, Y, W, Z).
(d) R(X, Y, Z, W) = R(Z, W, X, Y ).
Chứng minh. .
(a) Dễ dàng thấy được
R(X, Y )Z = − X Y Z + Y XZ + [X,Y ]Z
= −(− Y XZ + X Y Z + [Y,X]Z)
= −R(Y, X)Z.
(b) Ta có
R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y
= X Y Z + Y XZ + [X,Y ]Z − Y ZX + Z Y X + [Y,Z]X
− Z XY + X ZY + [Z,X]Y
= − X[Y, Z] − Y [Z, X] − Z[X, Y ] + [X,Y ]Z + [Y,Z]X + [Z,X]Y
= −[X, [Y, Z]] − [Y, [Z, X]] − [Z, [X, Y ]]
= 0.
(c) Ta có
X(Y ( Z, W )) = X( Y Z, W + Z, Y W )
= X Y Z, W + Y Z, XW + XZ, Y W + Z, X Y W .
Tương tự như vậy, ta có
Y (X( Z, W )) = Y XZ, W + XZ, Y W + Y Z, XW + Z, Y XW .
Hơn nữa, ta lại có
[X, Y ]( Z, W ) = [X,Y ]Z, W + Z, [X,Y ]W
Lấy phương trình thứ nhất trừ cho phương trình thứ hai và áp dụng phương
trình thứ ba ta thu được
0 = X Y Z − Y XZ − [X,Y ]Z, W + Z, X Y W − Y XW − [X,Y ]W
= R(X, Y, Z, W) − R(X, Y, W, Z).
20

21. Ta suy ra (c).
(d) Từ (b) ta có
R(X, Y, Z, W) + R(Y, Z, X, W) + R(Z, X, Y, W) = 0
R(Y, Z, W, X) + R(Z, W, Y, X) + R(W, Y, Z, X) = 0
R(Z, W, X, Y ) + R(W, X, Z, Y ) + R(X, Z, W, Y ) = 0
R(W, X, Y, Z) + R(X, Y, W, Z) + R(Y, W, X, Z) = 0.
Cộng hai vế lại và sử dụng (a), (c), ta suy ra
R(Z, X, Y, W) + R(W, Y, Z, X) = 0.
Nhận xét 1.33. Sử dụng tọa độ địa phương, các đồng nhất thức trên có thể
viết lại thành
(a) Rl
ijk = −Rl
jik (hoặc Rijkl = −Rjikl).
(b) Rl
ijk + Rl
jki + Rl
kij = 0 (hoặc Rijkl + Rjkil + Rkijl = 0).
(c) Rijkl = −Rijlk.
(d) Rijkl = Rklij.
Định nghĩa 1.34. (Độ cong Ricci) Ánh xạ
Ricp(Xp, Yp) := Tr(Zp → R(Xp, Zp)Yp),
xác định một tensor kiểu (0, 2), được gọi là tensor Ricci.
Chọn một cơ sở trực chuẩn {ei} của TpM. Khi đó
Ricp(Xp, Yp) =
r
R(Xp, er, Yp, er).
Đặc biệt, chúng ta thấy rằng tensor Ricci là tensor đối xứng kiểu (0, 2).
Ric(X, Y ) = Ric(Y, X).
21

22. Chương 2
ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO
CÁC HÀM p-ĐIỀU HÒA
Trong chương này, chúng ta sẽ chứng minh một ước lượng gradient cho các hàm
p-điều hòa dương trên một đa tạp Riemann với độ cong Ricci bị chặn dưới đồng
thời đưa ra hai áp dụng của kết quả này. Áp dụng thứ nhất là một định lý dạng
Harnack và áp dụng thứ hai là một định lý kiểu Liouville cho các hàm p-điều
hòa dương. Trong mục đầu tiên, chúng ta sẽ xây dựng các công thức tính toán
liên quan đến tích phân của hàm p-điều hòa dương, công thức này được trình
bày trong Bổ đề 2.5. Nhờ bổ đề này chúng ta chứng minh được một ước lượng
cho chuẩn Lb1
của hàm p-điều hòa dương trong Bổ đề 2.7. Trong mục 2, chúng
ta sẽ sử dụng phương pháp lặp Moser để ước lượng chuẩn sup của hàm p-điều
hòa thông qua chuẩn Lb1
xét trong Bổ đề 2.7. Các định lý Harnack và Liouville
cũng lần lượt được chứng minh trong mục này.
2.1 Ước lượng chuẩn Lb1
cho gradient của hàm p-điều hòa
Cho (M, g) là một đa tạp Riemann và Ω ⊂ M là một tập mở. Một hàm v ∈
W1,p
loc (Ω) là p-điều hòa nếu
∆pv := div | v|p−2
v = 0
theo nghĩa yếu, tức là với mọi tập mở U ∈ Ω
U
| v|p−2
v, ξ = 0
với mọi ξ ∈ W1,p
o (Ω). Ta có bổ đề tính toán đơn giản sau.
22

23. Bổ đề 2.1. Nếu v là một hàm p-điều hòa dương. Đặt u = −(p − 1)logv. Khi đó
u thỏa mãn phương trình
div | u|p−2
· u = | u|p
.
Chứng minh. Từ định nghĩa hàm u ta có
u =
−(p − 1)
v
· v.
Dễ dàng thấy rằng
| u| = (p − 1) ·
| v|
v
.
Trong trường hợp v là hàm trơn đến cấp hai, ta chứng minh trực tiếp như sau.
| u|p−2
= (p − 1)p−2
·
| v|
v
p−2
= (p − 1)p−2
·
vp−2 · | v|p−2
− | v|p−2
· (p − 2) · vp−3 · v
v2(p−2)
=
(p − 1)p−2
vp−1
· v · | v|p−2
− (p − 2) · | v|p−2
· v .
Từ đó, ta tính được
| u|p−2
· u =
−(p − 1)p−1
vp
· v · | v|p−2
· v − (p − 2) · | v|p−2
· | v|2
.
Mặc khác,
∆u = −(p − 1) ·
v · ∆v − | v|2
v2
=
−(p − 1)
v2
· v · ∆v − | v|2
.
Nhân cả hai vế của biểu thức trên với hàm h = | u|p−2, ta nhận được
h · ∆u =
−(p − 1)p−1
vp
· | v|p−2
· v · ∆v − | v|2
.
Từ các tính toán ở trên và áp dụng công thức cơ bản
div (h · u) = h · u + h · ∆u,
23

24. ta có
div | u|p−2
· u = | u|p−2
· u + | u|p−2
· ∆u
=
−(p − 1)p−1
vp
· v · | v|p−2
· v − (p − 2) · | v|p−2
· | v|2
+
−(p − 1)p−1
vp
· | v|p−2
· v · ∆v − | v|2
=
−(p − 1)p−1
vp
· v · | v|p−2
· v + | v|p−2
· ∆v
+
(p − 1)p−1
vp
· (p − 2) · | v|p−2
· | v|2
+ | v|p−2
· | v|2
.
Chú ý rằng do v là một hàm p-điều hòa nên v thỏa mãn
div | v|p−2
v = 0,
điều này tương đương với,
| v|p−2
· v + | v|p−2
· ∆v = 0.
Do đó
div | u|p−2
· u =
(p − 1)p−1
vp
· (p − 2) · | v|p−2
· | v|2
+ | v|p−2
· | v|2
=
(p − 1)p
vp
· | v|p
= | u|p
.
Trong trường hợp v không khả vi đến cấp hai, v là hàm p-điều hòa theo nghĩa
yếu, ta cần chứng minh rằng với mọi ϕ ∈ C∞
0 (M), ta có
M
div | u|p−2
· u φ =
M
| u|p
φ. (theo nghĩa yếu)
Theo Định lý 1.18, ta cần chứng minh
−
M
| u|p−2
u, φ =
M
| u|p
φ.
Ta có các tính toán sau
−
M
| u|p−2
u, φ = −
M
(p − 1)p−2 | v|p−2
vp−2
−
p − 1
v
v, φ
= (p − 1)p−1
M
| v|p−2
v, v−(p−1)
φ
= (p − 1)p−1
M
| v|p−2
v, (v−(p−1)
φ)
− (p − 1)p−1
M
| v|p−1
v, φ (v−(p−1)
) . (a)
24

25. Ở đây ta đã sử dụng công thức
(v−(p−1)
φ) = v−(p−1)
φ + φ (v−(p−1)
).
Do v ∈ W1,p, v là hàm p-điều hòa, chọn ψ = v−(p−1)φ ∈ C∞
0 (M), ta có
M
| v|p−2
v, ψ = 0.
Hay là
M
| v|p−2
v, (v−(p−1)
φ) = 0. (b)
Mặt khác, ta có
(p − 1)p−1
M
| v|p−2
v, φ (v−(p−1)
) = −(p − 1)p−1
M
φ| v|p−2
v, (p − 1)v−p
v
= −(p − 1)p
M
| v|p−2
v, v v−p
φ
= −(p − 1)p
M
| v|p
vp
φ
= −
M
| u|p
φ. (c)
Từ (a), (b), (c) ta suy ra
−
M
| u|p−2
u, φ =
M
| u|p
φ.
Ta có điều phải chứng minh.
Bây giờ, ta đặt f = | u|2
, giả sử rằng f = 0, ta định nghĩa toán tử tuyến tính
hóa của toán tử phi tuyến ∆p như sau
L (ψ) = div fp/2−1
A ( ψ) − pfp/2−1
u, ψ ,
trong đó
A = id + (p − 2)
u ⊗ u
| u|2
.
Trong [2], B. Kotschwar và L.Ni đã chứng minh rằng toán tử tuyến tính hóa L
thỏa mãn công thức dạng Bochner sau đây.
Bổ đề 2.2 (Xem [2]).
L (f) = 2fp/2−1
· D2
u
2
+ Ric ( u, u) +
p
2
− 1 · | f|2
· fp/2−2
.
25

26. Nhận xét 2.3. Bổ đề 2.2 thỏa mãn với các giá trị {x : f(x) > 0}. Từ ước
lượng gradient trong [6], người ta biết rằng hàm f thỏa mãn tính chính quy
f = | u|2 ∈ Cα(Ω) với α > 0 và f ∈ W1,β
loc (Ω) với β > 1.
Tại mỗi điểm p ∈ M, xét hệ tọa độ trực chuẩn địa phương {ei} sao cho
e1 = u/ | u|. Từ Bổ đề 2.2 ta suy ra
(p − 1)u11 +
n
i=2
uii = f.
Ta có
D2
u
2
=
1≤i,j≤n
u2
ij
≥ u2
11 + 2
n
i=2
u2
1i +
n
i=2
u2
ii
≥ u2
11 + 2
n
i=2
u2
1i +
1
n − 1
n
i=2
uii
2
.
Ở đây ta đã sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz trong bất đẳng thức cuối
cùng. Kết hợp công thức này với phương trình của hàm u ở trên, ta có đánh giá
D2
u
2
≥ u2
11 + 2
n
i=2
u2
1i +
1
n − 1
(f − (p − 1)u11)2
=
1
n − 1
f2
−
2(p − 1)
n − 1
fu11 + 1 +
(p − 1)2
n − 1
u2
11 + 2
n
i=2
u2
1i
≥
1
n − 1
f2
−
2(p − 1)
n − 1
fu11 + a0
n
i=1
u2
1i, (2.1)
trong đó a0 = 1 + min (p−1)2
n−1 , 1 > 1. Mặt khác, ta có các đồng nhất thức sau
2fu11 = u, f ,
n
i=1
u2
1i =
1
4
| f|2
f
.
Thay vào (2.1), ta được
D2
u
2
≥
1
n − 1
f2
−
(p − 1)
n − 1
u, f +
a0
4
| f|2
f
. (2.2)
Do p ∈ M là tùy ý, ta có (2.2) đúng với mọi p ∈ M sao cho f(p) > 0. Sử dụng
công thức này, chúng ta đi chứng minh bổ đề tính toán sau đây.
26

27. Bổ đề 2.4. Cho M là một đa tạp Riemann đầy đủ với Ric ≥ −(n − 1)κ, trong
đó hằng số κ ≥ 0 . Giả sử v là một hàm p-điều hòa dương, với p > 1 và u =
−(p − 1)logv. Đặt f = | u|2
. Khi đó, với mọi b > 1 và với mọi hàm η ∈ C∞
0 (Ω),
ta có
ba1
Ω
fp/2−1
fb−1
| f|2
η2
+ 2(p − 2)
Ω
fp/2−2+b
u, f η u, η
+ 2
Ω
fp/2−1+b
η f, η + p
Ω
fp/2−1+b
u, f η2
+
2
n − 1 Ω
fp/2+1+b
η2
≤ 2(n − 1)κ
Ω
fp/2+b
η2
+
2(p − 1)
n − 1 Ω
fp/2−1+b
u, f η2
, (2.3)
trong đó a1 = min(1, p − 1).
Chứng minh. Nhờ Bổ đề 2.2, bất đẳng thức (2.2) và giả thiết về độ cong Ricci,
chúng ta có đánh giá
L(f) ≥ − 2(n − 1)κfp/2
+ 2fp/2−1
·
1
n − 1
f2
−
p − 1
n − 1
u, f +
a0
4
| f|2
f
+
p
2
− 1 | f|2
fp/2−2
= − 2(n − 1)κfp/2
+
p + a0
2
− 1 | f|2
fp/2−2
+
2
n − 1
fp/2+1
−
2(p − 1)
n − 1
u, f fp/2−1
≥ − 2(n − 1)κfp/2
+
2
n − 1
fp/2+1
−
2(p − 1)
n − 1
u, f fp/2−1
. (2.4)
Chú ý rằng bất đẳng thức (2.4) thỏa mãn tại mọi điểm p ∈ M sao cho giá trị
f(p) là dương chặt. Để xử lý trường hợp hàm f có thể triệt tiêu, chúng ta đặt
K = {x ∈ Ω : f(x) = 0} và xây dựng hàm ψ là hàm không âm có giá compact
trên Ω K. Ta nhân thêm ψ rồi lấy tích phân hai vế biểu thức (2.4), và áp dụng
công thức định lý Stoke,
Ω
ψ div( φ) = −
Ω
ψ, φ ,
với mọi hàm φ ∈ C1(Ω), ta được
Ω
ψ div fp/2−1
f + fp/2−2
(p − 2) u, f u −
Ω
pfp/2−1
u, f ψ
= −
Ω
fp/2−1
f + fp/2−2
(p − 2) u, f u, ψ − p
Ω
fp/2−1
u, f ψ
≥ −2(n − 1)κ
Ω
fp/2
ψ +
2
n − 1 Ω
fp/2+1
ψ −
2(p − 1)
n − 1 Ω
fp/2−1
u, f ψ.
27

28. Điều này suy ra rằng
Ω
fp/2−1
f + fp/2−2
(p − 2) u, f u, ψ
+ p
Ω
fp/2−1
u, f ψ +
2
n − 1 Ω
fp/2+1
ψ
≤ 2(n − 1)κ
Ω
fp/2
ψ +
2(p − 1)
n − 1 Ω
fp/2−1
u, f ψ. (2.5)
Với mọi > 0, xác định hàm không âm
f = (f − )+
= max{0, f − }
và đặt ψ = fbη2 với η là hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω như trong
giả thiết. Chú ý là nếu f = 0 thì ψ = 0. Do đó, ψ ∈ C0(Ω K). Dễ dàng thấy rằng
ψ = b · fb−1
· f · η2
+ 2fb
· η · η.
Thay vào (2.5), ta có
Ω
fp/2−1
f + (p − 2)fp/2−2
u, f u · bfb−1
fη2
+ 2fb
η η
+ p
Ω
fp/2−1
u, f fb
η2
+
2
n − 1 Ω
fp/2+1
fb
η2
≤ 2(n − 1)κ
Ω
fp/2
fb
η2
+
2(p − 1)
n − 1 Ω
fp/2−1
u, f fb
η2
.
Điều này tương đương với
b
Ω
fp/2−1
fb−1
| f|2
+ (p − 2)fp/2−2
u, f 2
fb−1
η2
+ 2(p − 2)
Ω
fp/2−2
u, f fb
η u, η + 2
Ω
fp/2−1
fb
η f, η
+ p
Ω
fp/2−1
u, f fb
η2
+
2
n − 1 Ω
fp/2+1
fb
η2
≤ 2(n − 1)κ
Ω
fp/2
fb
η2
+
2(p − 1)
n − 1 Ω
fp/2−1
u, f fb
η2
. (2.6)
Chúng ta nhận xét rằng, với mọi p > 1 thì
fp/2−1
fb−1
| f|2
+ (p − 2)fp/2−2
u, f 2
fb−1
≥ a1fp/2−1
fb−1
| f|2
. (2.7)
Thật vậy, nếu p ≥ 2 thì a1 = 1 và
(p − 2)fp/2−2
u, f 2
fb−1
≥ 0
28

29. nên (2.7) được thỏa mãn. Giả sử rằng p ∈ (1, 2), khi đó, a1 = p − 1, ta có
| u, f |2
≤ (| u| · | f|)2
= | u|2
· | f|2
= f · | f|2
.
Do f dương chặt trên Ω K, chia hai vế của bất đẳng thức trên cho f, ta nhận
được
| u, f |2
f
≤ | f|2
.
Điều này dẫn tới
fp/2−2
u, f 2
fb−1
≤ fp/2−1
fb−1
| f|2
.
Vì vậy ta có
fp/2−1
fb−1
| f|2
+ (p − 2)fp/2−2
u, f 2
fb−1
≥ fp/2−1
fb−1
| f|2
+ (p − 2)fp/2−1
fb−1
| f|2
= (p − 1)fp/2−1
fb−1
| f|2
.
Thay (2.7) vào (2.6) và cho → 0 ta thu được
ba1
Ω
fp/2−1
fb−1
| f|2
η2
+ 2(p − 2)
Ω
fp/2−2+b
u, f η u, η
+ 2
Ω
fp/2−1+b
η f, η + p
Ω
fp/2−1+b
u, f η2
+
2
n − 1 Ω
fp/2+1+b
η2
≤ 2(n − 1)κ
Ω
fp/2+b
η2
+
2(p − 1)
n − 1 Ω
fp/2−1+b
u, f η2
.
Đây chính là công thức (2.3). Bổ đề được chứng minh.
Từ Bổ đề 2.4, ta có kết quả sau.
Bổ đề 2.5. Cho M là một đa tạp Riemann đầy đủ với Ric ≥ −(n − 1)κ. Giả
sử rằng v là một hàm p-điều hòa dương, với p > 1 và u = −(p − 1)logv. Đặt
f = | u|2
. Khi đó, với mọi b >> 1 và với η ∈ C∞
0 (Ω) là hàm không âm, ta có
Ω
| (fp/4+b/2
η)|2
+ d1
Ω
fp/2+1+b
η2
≤ κd2
Ω
fp/2+b
η2
+ a7
Ω
fb+p/2
| η|2
,
trong đó d1 ∼ b, d2 ∼ b còn a7 là một hằng số chỉ phụ thuộc vào n và p. Ở đây
ký hiệu d ∼ b có nghĩa là d1 có thể so sánh được với b, nói một cách cụ thể hơn,
tồn tại c1, c2 > 0 sao cho c1.b ≤ d1 ≤ c2.b.
29

30. Chứng minh. Bất đẳng thức (2.3) có thể được viết lại dưới dạng
ba1
Ω
fp/2+b−2
| f|2
η2
+
2
n − 1 Ω
fp/2+1+b
η2
≤ 2(n − 1)κ
Ω
fp/2+b
η2
+
2(p − 1)
n − 1 Ω
fp/2−1+b
u, f η2
− 2(p − 2)
Ω
fp/2−2+b
u, f η u, η − 2
Ω
fp/2−1+b
η f, η
− p
Ω
fp/2−1+b
u, f η2
.
Từ bất đẳng thức Schwatz,
−| u| · | f| ≤ u, f ≤ | u|.| f|,
ta có các bất đẳng thức sau
1.
2(p − 1)
n − 1 Ω
fp/2−1+b
u, f η2
≤
2(p − 1)
n − 1 Ω
fp/2−1+b
| u|| f|η2
,
2.
−2(p − 2)
Ω
fp/2−2+b
u, f η u, η ≤ 2|p − 2|
Ω
fp/2−2+b
| u|2
| f|| η|η,
3.
−2
Ω
fp/2−1+b
η f, η ≤ 2
Ω
fp/2−1+b
η| f|| η|,
4.
−p
Ω
fp/2−1+b
u, f η2
≤ p
Ω
fp/2−1+b
| u|| f|η2
.
Thay các bất đẳng thức này vào dạng thức ở trên của bất đẳng thức (2.3), ta
có
ba1
Ω
fp/2+b−2
| f|2
η2
+
2
n − 1 Ω
fp/2+1+b
η2
≤ 2(n − 1)κ
Ω
fp/2+b
η2
+
2(p − 1)
n − 1 Ω
fp/2−1+b
| u|| f|η2
+ 2|p − 2|
Ω
fp/2−2+b
| u|2
| f|| η|η + 2
Ω
fp/2−1+b
η| f|| η|
+ p
Ω
fp/2−1+b
| u|| f|η2
.
30

31. Chú ý rằng f = | u|2, thu gọn các hạng tử đồng dạng ở vế phải của bất phương
trình trên, ta thấy rằng tồn tại các số a2, a3 > 0 chỉ phụ thuộc vào n và p sao cho
ba1
Ω
fp/2+b−2
| f|2
η2
+
2
n − 1 Ω
fp/2+1+b
η2
≤ 2(n − 1)κ
Ω
fp/2+b
η2
+ a2
Ω
f
p−1
2
+b
| f|η2
+ a3
Ω
fp/2−1+b
| f|| η|η. (2.8)
Sau này ta sẽ luôn sử dụng các ký hiệu a4, a5, . . . để chỉ các số dương chỉ phụ
thuộc vào n và p.
Xét R3 là phần tử thứ ba trong vế phải của (2.8). Ta có
a3fp/2−1+b
| f|| η|η ≤
a1b
4
fp/2+b−2
| f|2
η2
+
a4
b
| η|2
fb+p/2
.
Thay vào R3 ta được
|R3| ≤
a1b
4 Ω
fp/2+b−2
| f|2
η2
+
a4
b Ω
| η|2
fb+p/2
,
với a4 > 0. Tương tự, ta có
|R2| ≤
a1b
4 Ω
fp/2+b−2
| f|2
η2
+
a5
b Ω
fb+p/2+1
η2
,
ở đây a5 > 0. Thay các bất đẳng thức này vào (2.8), ta nhận được
a1b
2 Ω
fp/2+b−2
| f|2
η2
+
2
n − 1 Ω
fp/2+1+b
η2
≤
Ω
2(n − 1)κη2
+
a4
b
| η|2
fp/2+b
+
a5
b Ω
fb+p/2+1
η2
. (2.9)
Với mọi giá trị b > (n − 1)a5, ta có
a5
b
<
1
n − 1
.
Do vậy, từ (2.9), ta nhận được
a1b
2 Ω
fp/2+b−2
| f|2
η2
+
1
n − 1 Ω
fp/2+1+b
η2
≤ 2(n − 1)κ
Ω
η2
fp/2+b
+
a4
b Ω
fb+p/2
| η|2
. (2.10)
Mặt khác, ta có tính toán sau
fp/4+b/2
η =
p
4
+
b
2
fp/4+b/2−1
η f + fp/4+b/2
η.
31

32. Do đó,
| (fp/4+b/2
η)|2
=
p
4
+
b
2
2
fp/2+b−2
η2
| f|2
+ fp/2+b
| η|2
+ 2
p
4
+
b
2
fp/2+b−1
η f, η .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
2
p
4
+
b
2
fp/2+b−1
η f, η ≤ 2
p
4
+
b
2
fp/2+b−1
η| f| · | η|
p
4
+
b
2
2
fp/2+b−2
η2
| f|2
+ fp/2+b
| η|2
.
Điều này suy ra rằng
| (fp/4+b/2
η)|2
≤ 2
p
4
+
b
2
2
fp/2+b−2
η2
| f|2
+ 2fp/2+b
| η|2
.
Lấy tích phân hai vế và thực hiện biến đổi sơ cấp ta nhận được
a1b
p
2 + b
2
Ω
| (fp/4+b/2
η)|2
≤
a1b
2 Ω
fp/2+b−2
η2
| f|2
+ 2
a1b
p
2 + b
2
Ω
fp/2+b
| η|2
.
Kết hợp với bất đẳng thức (2.10), ta có
a1b
p
2 + b
2
Ω
| (fp/4+b/2
η)|2
− 2
a1b
p
2 + b
2
Ω
fp/2+b
| η|2
+
1
n − 1 Ω
fp/2+1+b
η2
≤ 2(n − 1)κ
Ω
fp/2+b
η2
+
a4
b Ω
fb+p/2
| η|2
.
Biến đổi tiếp, ta thu được
Ω
| (fp/4+b/2
η)|2
+
p
2 + b
2
a1b
1
n − 1 Ω
fp/2+1+b
η2
≤ 2(n − 1)κ
p
2 + b
2
a1b Ω
fp/2+b
η2
+
p
2 + b
2
a1b
a4
b
+ 2
a1b
p
2 + b
2
Ω
fb+p/2
| η|2
.
Bất đẳng thức ở trên có thể viết lại được dưới dạng
Ω
| (fp/4+b/2
η)|2
+ d1
Ω
fp/2+1+b
η2
≤ κd2
Ω
fp/2+b
η2
+ a7
Ω
fb+p/2
| η|2
(2.11)
trong đó b >> 1, và
d1 =
p
2 + b
2
a1b
1
n − 1
và d2 =
2(n − 1)
a1b
p
2
+ b
2
.
32

33. Dễ dàng thấy rằng
lim
b→∞
d1
b
=
1
a1(n − 1)
= 0 và lim
b→∞
d2
b
=
2(n − 1)
a1
= 0.
Vì thế, d1 ∼ b, d2 ∼ b. Kết hợp điều này với bất đẳng thức (2.11), ta có điều phải
chứng minh.
Chúng ta cần bất đẳng thức Sobolev sau đây.
Định lý 2.6 ([8], Định lý 3.1). Cho (M, g) là một đa tạp Riemann đầy đủ với
Ric ≥ −(n − 1)κ, với κ ≥ 0. Cho n > 2, khi đó tồn tại C chỉ phụ thuộc vào n sao
cho với mọi hình cầu B ⊂ M bán kính R và thể tích V , với f ∈ C∞
0 (B) ta có
B
|f|2q
1/q
≤ eC(1+
√
κR)
V −2/n
R2
B
| f|2
+ R−2
f2
trong đó q = n/(n − 2). Với n = 2 thì bất đẳng thức thỏa mãn với mọi giá trị
q > 2.
Bây giờ, ta giả sử Ω = B(o, R). Từ Định lý (2.6) ta có
Ω
f
n(p/2+b)
n−2 η
2n
n−2
n−2
n
≤ ec0(1+
√
κR)
V −2/n
R2
Ω
| (fp/4+b/2
η)|2
+
Ω
fp/2+b
η2
(2.12)
trong đó c0(n, p) > 0. Đặt b0 = c1(n, p)(1 +
√
κR) với c1(n, p) đủ lớn sao cho
b0 thỏa mãn điều kiện b0 > max{(n − 1)a5, 1}. Nhân cả hai vế của (2.11) với
ec0(1+
√
κR)V −2/nR2, ta suy ra
ec0(1+
√
κR)
V −2/n
R2
Ω
| (fp/4+b/2
η)|2
+ d1ec0(1+
√
κR)
V −2/n
R2
Ω
fp/2+1+b
η2
≤ κd2ec0(1+
√
κR)
V −2/n
R2
Ω
fp/2+b
η2
+ a7ec0(1+
√
κR)
V −2/n
R2
Ω
fb+p/2
| η|2
.
Chú ý rằng tồn tại c2(n, p) sao cho c0(1 +
√
κR) = c2(n, p)b0, từ bất đẳng thức
trên, ta nhận được
ec2b0
V −2/n
R2
Ω
| (fp/4+b/2
η)|2
+ d1ec2b0
V −2/n
R2
Ω
fp/2+1+b
η2
≤ κd2ec2b0
V −2/n
R2
Ω
fp/2+b
η2
+ a7ec2b0
V −2/n
R2
Ω
fb+p/2
| η|2
.
33

34. Cộng hai vế với ec2b0
V −2/n
Ω
fp/2+bη2 ta suy ra
ec2b0
V −2/n
R2
Ω
| (fp/4+b/2
η)|2
+ ec2b0
V −2/n
Ω
fp/2+b
η2
+ d1ec2b0
V −2/n
R2
Ω
fp/2+1+b
η2
≤ κd2ec2b0
V −2/n
R2
Ω
fp/2+b
η2
+ ec2b0
V −2/n
Ω
fp/2+b
η2
+ a7ec2b0
V −2/n
R2
Ω
fb+p/2
| η|2
.
Áp dụng (2.12) và điều kiện b, b0 > 1, ta thu được
Ω
f
n(p/2+b)
n−2 η
2n
n−2
n−2
n
+ d1ec2b0
V −2/n
R2
Ω
fp/2+1+b
η2
≤ (κR2
d2 + bb2
0)ec2b0
V −2/n
Ω
fp/2+b
η2
+ a7ec2b0
V −2/n
R2
Ω
fb+p/2
| η|2
.
Chú ý rằng κR2 = (b0
c1
− 1)2 ≤ b2
0
c2
1
, cùng với tính chất d1 ∼ b, d2 ∼ b, ta thấy tồn
tại các số a8, a9, a10 sao cho
Ω
f
n(p/2+b)
n−2 η
2n
n−2
n−2
n
+ a8bec2b0
V −2/n
R2
Ω
fp/2+1+b
η2
≤ a9b2
0bec2b0
V −2/n
Ω
fp/2+b
η2
+ a10ec2b0
V −2/n
R2
Ω
fb+p/2
| η|2
. (2.13)
Phần còn lại của mục này là để chứng minh một uớc lượng chuẩn Lb1
của f.
Bổ đề 2.7. Đặt b1 = (b0 + p
2) n
n−2. Khi đó tồn tại c3(n, p) > 0 sao cho
f Lb1 (B3R/4)≤ c3
b2
0
R2
V 1/b1
. (2.14)
Chứng minh. Trong (2.13), ta chọn hàm trơn η ∈ C∞
0 (BR) sao cho 0 ≤ η ≤ 1 và
đặt b = b0. Gọi Li, Ri, i = 1, 2 lần lượt là số hạng thứ i ở vế trái, tương ứng vế
phải của (2.13), chúng ta sẽ so sánh các số hạng này.
Nếu f > a11b2
0R−2 với a11 = 2a9
a8
thì
1
2
a8R2
f > a9b2
0,
do đó
1
2
a8R2
fp/2+1+b0
> a9b2
0fp/2+b0
.
34

35. Ta chia Ω thành hai phần, W = {f ≤ a11b2
0R−2} và Ω W. Khi đó ta có
R1 = a9b3
0ec2b0
V −2/n
Ω
fp/2+b0
η2
= a9b3
0ec2b0
V −2/n
W
fp/2+b0
η2
+ a9b3
0ec2b0
V −2/n
ΩW
fp/2+b0
η2
.
Dựa vào đánh giá trên ta có các bất đẳng thức sau
a9b3
0ec2b0
V −2/n
ΩW
fp/2+b0
η2
≤
1
2
ec2b0
V −2/n
a8b0R2
Ω
fp/2+1+b0
=
L2
2
,
a9b3
0ec2b0
V −2/n
W
fp/2+b0
η2
≤ a9b3
0ec2b0
V −2/n
W
(a11b2
0R−2
)p/2+b0
η2
.
Hơn nữa
a9b3
0ec2b0
V −2/n
W
(a11b2
0R−2
)p/2+b0
η2
= a9a
p/2+b0
11 b3
0ec2b0
V −2/n b0
R
p+2b0
Ω
η2
≤ ab0
12b3
0
b0
R
p+2b0
ec2b0
V −2/n
V.
Suy ra
a9b3
0ec2b0
V −2/n
W
fp/2+b0
η2
≤ ab0
12b3
0
b0
R
p+2b0
ec2b0
V −2/n
V.
Thay lại vào R1 ta được
R1 ≤ ab0
12b3
0
b0
R
p+2b0
ec2b0
V 1−2/n
+
L2
2
.
Từ (2.13), với b = b0, áp dụng đánh giá trên với R1 ta suy ra
Ω
f
n(p/2+b0)
n−2 η
2n
n−2
n−2
n
+
a8
2
b0ec2b0
V −2/n
R2
Ω
fp/2+1+b0
η2
≤ ab0
12b3
0
b0
R
p+2b0
ec2b0
V 1−2/n
+ a10ec2b0
V −2/n
R2
Ω
fb0+p/2
| η|2
. (2.15)
Bây giờ, ta chọn η để làm trội R2. Cho η1 ∈ C∞
0 (BR) thỏa mãn
0 ≤ η1 ≤ 1, η1 ≡ 1 trong B3R/4, | η1| ≤ C(n)/R.
Đặt η = ηm
1 trong đó m = b0 + p
2 + 1. Ta có
R2
| η|2
= R2
| ηm
1 |2
= R2
m2
η
2(m−1)
1 | η1|2
≤ R2
(b0 +
p
2
+ 1)2
η
2(m−1)
1
C2(n)
R2
≤ a13b2
0η
2b0+p
b0+p/2+1
. (2.16)
35

36. Áp dụng bất đẳng thức (2.16) cho R2 của (2.15) ta có
R2 = a10R2
Ω
| η|2
fp/2+b0
≤ a10a13b2
0
Ω
fb0+p/2
η
2b0+p
b0+p/2+1
.
Áp dụng bất đẳng thức Holder f · g ≤ f p · g q cho vế phải của bất đẳng
thức trên với
p =
b0 + p/2 + 1
b0 + p/2
,
q = b0 + p/2 + 1.
Ta suy ra
a10a13b2
0
Ω
fb0+p/2
η
2b0+p
b0+p/2+1
≤ a14b2
0
Ω
fb0+p/2
η
2b0+p
b0+p/2+1
b0+p/2+1
b0+p/2
b0+p/2
b0+p/2+1
·
Ω
dV
1
b0+p/2+1
= a14b2
0
Ω
fb0+p/2+1
η2
b0+p/2
b0+p/2+1
· V
1
b0+p/2+1
.
Sau đó, ta áp dụng bất đẳng thức Young x · y ≤ xp
p + yq
q cho vế phải, trong đó
x = (
a8b0R2
2
)
b0+p/2
b0+p/2+1
Ω
fb0+p/2+1
η2
b0+p/2
b0+p/2+1
.
y =
a14b2
0
(a8b0R2
2 )
b0+p/2
b0+p/2+1
V
1
b0+p/2+1
,
ta suy ra
a10R2
Ω
| η|2
fp/2+b0
≤ a14b2
0
Ω
fb0+p/2+1
η2
b0+p/2
b0+p/2+1
· V
1
b0+p/2+1
≤
a8b0R2
2
b0 + p/2
b0 + p/2 + 1 Ω
fb0+p/2+1
η2
+
a
b0+p/2+1
14 b
b0+p/2+2
0
(a8
2 )b0+p/2R2b0+p
1
b0 + p/2 + 1
V
≤
a8b0
2
R2
Ω
fb0+p/2+1
η2
+ a
b0+p/2
15
b
b0+p/2+2
0
R2b0+p
V.
Vậy từ (2.15), thay ước lượng R2 vào ta có
B3R/4
f
(b0+p/2)n
n−2
n−2
n
≤ ab0
12b3
0
b0
R
2b0+p
ec2b0
V 1−2/n
+ a
b0+p/2
15
b
b0+p/2+2
0
R2b0+p
ec2b0
V 1−2/n
≤ a
b0+p/2
16 ec2b0
V 1−2/n
b3
0
b0
R
2b0+p
. (2.17)
36

37. Lấy mũ 1
b0+p/2
cả hai vế bất đẳng thức trên ta được
B3R/4
f
(b0+p/2)n
n−2
n−2
n(b0+p/2)
≤ a
b0
b0+p/2
16 e
c2
b0
b0+p/2
b
3
b0+p/2
0 (
b0
R
)
2b0+p
b0+p/2
V
n−2
n(b0+p/2)
Thay b1 = (b0 + p/2) n
n−2, bất đẳng thức trên tương đương
B3R/4
fb1
1/b1
≤ a17V
1
b1
b2
0
R2
.
Tức là
f Lb1 (B3R/4)≤ a17V
1
b1
b2
0
R2
.
Bổ đề 2.7 được chứng minh.
2.2 Phương pháp lặp Moser và ước lượng gradient của các
hàm p-điều hòa. Các ứng dụng
Định lý 2.8. Cho (M, g) là một đa tạp Riemann đầy đủ với Ric ≥ −(n−1)κ, với
hằng số κ ≥ 0. Giả sử v là một hàm p-điều hòa dương trong hình cầu B(o, R) ⊂ M.
Khi đó, tồn tại một hằng số Cp,n sao cho
| v|
v
≤
Cp,n(1 +
√
kR)
R
,
trên B(o, R/2).
Chứng minh. Do phần tử thứ hai của vế trái của biểu thức (2.13) là không âm,
việc bớt đi phần tử này không làm đổi chiều bất đẳng thức, vì vậy ta có
Ω
f
n(p/2+b)
n−2 η
2n
n−2
n−2
n
≤ a9b2
0bec2b0
V −2/n
Ω
fp/2+b
η2
+ a10ec2b0
V −2/n
R2
Ω
| η|2
fp/2+b
≤ a17b2
0bec2b0
V −2/n
Ω
fp/2+b
η2
+ a17ec2b0
V −2/n
R2
Ω
| η|2
fp/2+b
= a17
ec2b0
V 2/n
Ω
(b2
0bη2
+ R2
| η|2
)fp/2+b
. (2.18)
Áp dụng kỹ thuật lặp Moser, ta đặt
bl+1 = bl
n
n − 2
, Ωl = B 0,
R
2
+
R
4l
, l = 1, 2, · · · ,
37

38. và chọn ηl ∈ C∞
0 (Ω) sao cho 0 ≤ ηl ≤ 1 và
ηl ≡ 1 trong Ωl+1, ηl ≡ 0 trong Ω Ωl, | ηl| ≤
4l
R
.
Từ (2.18) bằng cách đặt b + p/2 = bl, η = ηl rồi lấy mũ 1
b+p/2
hai vế ta được
Ωl+1
fbl+1
1
bl+1
≤ a17
ec2b0
V 2/n
1
bl
Ωl
(b2
0bη2
l + R2
| ηl|2
)fbl
1
bl
≤ a17
ec2b0
V 2/n
1
bl
Ωl
(b2
0bl + R2
| ηl|2
)fbl
1
bl
,
ở đây ta đã sử dụng các tính chất ηl ≤ 1, bη2
l < b + p/2 = bl.
Do | ηl| ≤ 4l
R nên ta suy ra
f Lbl+1 (Ωl+1)≤ (a17
ec2b0
V 2/n
)
1
bl (b2
0bl + 16l
)
1
bl f Lbl (Ωl) . (2.19)
Với l = 1, 2, ..., ta có
f Lb2 (Ω2) ≤ a17
ec2b0
V 2/n
1
b1
(b2
0b1 + 16)
1
b1 f Lb1 (Ω1)
f Lb3 (Ω3) ≤ a17
ec2b0
V 2/n
1
b2
(b2
0b2 + 162
)
1
b2 f Lb2 (Ω2)
≤ a17
ec2b0
V 2/n
1
b1
+ 1
b2
(b2
0b2 + 162
)
1
b2 (b2
0b1 + 16)
1
b1 f Lb1 (Ω1)
= a17
ec2b0
V 2/n
1
b1
+ 1
b2
2
k=1
b3
0(
n
n − 2
)k
+ 16k
1
bk
f Lb1 (Ω1) .
Lặp lại quá trình trên l lần và cho l → ∞, chú ý rằng ∞
l=1
1
bl
là tổng cấp số
nhân lùi vô hạn công bội n−2
n nên ta có
∞
l=1
1
bl
=
n
2b1
,
từ đó ta nhận được
f L∞(BR/2)
≤ (a18
ec2b0
V 2/n
)
n
2b1
∞
l=1
b3
0(
n
n − 2
)l
+ 16l
1
bl
f Lb1 (B3R/4) .
38

39. Mặt khác ta lại có biến đổi sau, với chú ý là b0 > 1,
∞
l=1
b3
0(
n
n − 2
)l
+ 16l
1
bl
≤
∞
l=1
b
3
b1
0 (
n
n − 2
)l
+ 16l
1
bl
< b
3n
2b1
0
∞
l=1
2.16l
1
bl
= b
3n
2b1
0 2
∞
l=1
1
bl 16
∞
l=1
l
bl < ∞.
Vì vậy ta thu được
f L∞(BR/2)≤ a19
e
nc2b0
2b1
V 1/b1
b
3n
2b1
0 f Lb1 (B3R/4) . (2.20)
Sử dụng Bổ đề (2.7) áp dụng cho chuẩn Lb1
của f trong (2.20) ta suy ra được
bất đẳng thức sau
f L∞(BR/2) ≤ a19
e
nc2b0(n−2)
2b0n
V 1/b1
b
3n(n−2)
2b0n
0 c3
b2
0
R2
V 1/b1
≤ a20
b2
0
R2
. (2.21)
trong đó f = | u|2 = (p−1)2 | v|2
v2 và b0 = Cp,n(1+
√
κR). Cuối cùng ta nhận được
| v|
v
≤
Cp,n(1 +
√
kR)
R
.
Đó là điều phải chứng minh.
Một hệ quả trực tiếp của Định lý (2.8) là bất đẳng thức Harnack sau.
Định lý 2.9. Cho (Mn, g) là một đa tạp Rieman đầy đủ với Ric ≥ −(n − 1)κ,
với κ ≥ 0. Giả sử v là một hàm p-điều hòa dương trong hình cầu B(o, R) ⊂ M,
khi đó, tồn tại một hằng số Cp,n (chỉ phụ thuộc vào p và n) sao cho với mọi
x, y ∈ B(o, R/2)
v(x)/v(y) ≤ eCp,n(1+
√
kR)
Hệ quả là nếu Ric ≥ 0 thì tồn tại hằng số Cp,n không đổi sao cho
sup
B(o,R/2)
v ≤ Cp,n inf
B(o,R/2)
v.
39

40. Chứng minh. Với mọi x, y ∈ B(o, R/2), gọi γ(s) là đường trắc địa giữa x và y,
γ : [0, 1] → M, γ(0) = y, γ(1) = x. Ta có
ln
v(x)
v(y)
= ln(v(x)) − ln(v(y))
= ln (v(γ(1))) − ln (v(γ(0)))
=
1
0
dln(v(γ(s)))
ds
ds.
Mặt khác, ta lại có
dlnv(γ(s))
ds
=
v(γ(s)) · ˙γ(s)
v(γ(s))
≤
| v(γ(s))| · |˙γ|
v(γ(s))
≤
Cp,n(1 +
√
κ R)
R
|˙γ|.
Sử dụng ước lượng gradient trong Định lý 2.8 và bất đẳng thức trên ta suy ra
ln
v(x)
v(y)
1
0
|˙γ|.
Cp,n(1 +
√
κ R)
R
ds.
=
Cp,n(1 +
√
κ R)
R
dist(x, y)
≤ Cp,n(1 +
√
κ R).
Hệ quả là
v(x)/v(y) ≤ eCp,n(1+
√
kR)
.
Khi Ric ≥ 0, ta có thể đặt k = 0, nhân hai vế của bất đẳng thức trên với v(y),
rồi lấy inf theo y, sau đó lấy sup theo x với y, x ∈ B(o, R/2) ta thu được bất đẳng
thức Harnack
sup
B(o,R/2)
v ≤ Cp,n inf
B(o,R/2)
v.
Ta có điều phải chứng minh.
Chú ý là định lý này đã được chứng minh bởi Rigoli, Salvatori, và Vignati
trong [9]. Trong thực tế, họ đã chứng minh được một kết quả tốt hơn, kết quả
này nói rằng Định lý 2.9 được giữ nguyên khi chúng ta chỉ đòi hỏi một giả thiết
về công thức so sánh thể tích tăng gấp đôi và một bất đẳng thức Poincaré yếu.
Một ứng dụng khác của Định lý 2.8 là định lý Liouville sau.
Định lý 2.10. Cho u là một hàm p-điều hòa bị chặn trên hoặc dưới trên một
đa tạp Riemann đầy đủ với tensor Ricci không âm, khi đó u là hàm hằng.
40

41. Chứng minh. Ta có thể giả thiết u là hàm bị chặn dưới. Trường hợp u là hàm
bị chặn trên thì ta đưa về trường hợp hàm bị chặn dưới bằng cách xét hàm −u.
Giả sử u ≥ C với C là hằng số nào đó. Thay vì xét hàm p-điều hòa u ta có thể
xét hàm p-điều hòa u − (C − 1). Khi đó ta có thể giả sử u ≥ 1. Với mỗi x ∈ M cố
định, xét hình cầu tâm o bán kính R, với R đủ lớn sao cho x ∈ B(o, R), từ Định
lý 2.8, ta có
| u(x)| ≤ Cp,n
u(x)
R
.
Cho R → +∞, ta nhận được | u(x)| = 0. Do vậy u(x) = 0, vì x là tùy ý, ta có
u(x) = 0 trên M. Do đó u là hàm hằng.
41

42. Kết luận
Trong luận văn này, tác giả đã trình bày lại một cách chi tiết, rõ ràng các bước
chứng minh và các kết quả chính trong bài báo của Xiaodong Wang và Leizhang
(Tài liệu tham khảo số [13]). Các kết quả chính là
1. Chứng minh một ước lượng gradient cho hàm p-điều hòa dương trên một
đa tạp Riemann với độ cong Ricci bị chặn dưới.
2. Chứng minh hai hệ quả của ước lượng gradient. Đó là các định lý Harack
và định lý Liouville cho hàm p-điều hòa.
42

43. Tài liệu tham khảo
[1] Đỗ Ngọc Diệp(2010), Hình học vi phân, NXB ĐHQG, Hà Nội.
[2] B. Kotschwar, L.Ni, "Local gradient estimates of p-harmonic functions, 1/H-
flow, and an entropy formula", Ann, Sci, Éc, Norm, Supér. (4) 42 (2009),
no. 1, 1-36.
[3] H.I.Choi, On the Liouville theorem for harmonic maps. Proc. Amer. Math.
Soc. 85 (1982), no. 1, 91 - 94.
[4] P.Li, A lower bound for the first eigenvalues of the Laplacian on a compact
manifold. Indiana Univ. Math. J. 28 (1979), no. 6, 1013-1019.
[5] P.Li, S.T.Yau, Estimate of the first eigenvalues of a compact Riemannian
manifold. Geometry of the Laplace operator (Proc. Sympos. Pure Math.,
Univ. Hawaii, Honolulu, Hawaii, 1979), pp. 205-239, Proc. Sympos. Pure
Math., XXXVI, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1980.
[6] P. Tolksdorf, "Regularity for a more general class of quasilinear elliptic
equations", J.Differential Equation 51 (1984), no. 1,126-150.
[7] I. Holopainen, Volume growth, Green’s function, and parobolicity of ends.
Duke Math. Journal 97 (1999), 319-346.
[8] L. Saloff-Coste, "Uniformly elliptic operators on Riemann manifolds",
J.Differential Geom. 36 (1992), no. 2,417-450.
[9] M. Rigoli, M. Salvatori, and M. Vignati, A note on p-subharmonic function
on complete manifolds. Manuscripta Math. 92 (1997), 339-359.
[10] S.Y.Cheng, Liouville theorem for harmonic maps. Geometry of the Laplace
operator (Proc. Sympos. Pure Math., Univ, Hawaii, Honolulu, Hawaii,
1979), pp. 147-151, Proc. Sympos. Pure Math., XXXVI, Amer. Math. Soc.,
Providence, R.I., 1980.
43

44. [11] R. Moser, The inverse mean curvature flow and p-harmonic functions. J.Eur.
Math. Soc. 9 (2007), 77-83.
[12] R. Schoen, S.T. Yau, Lectures on Differential Geometry. International Press,
Boston, 1994.
[13] Xiaodong Wang, Lei Zhang(2011), "Local gradient estimate for p-harmonic
functions on Riemann manifolds", Comm. Anal. Geom. 19 (2011), no. 4,
759-771.
[14] Zuoqin Wang(2012), "Notes on Differential Geometry", Lecture notes,
http://www-personal.umich.edu/∼wangzuoq/.
[15] Zuoqin Wang(2013), "Notes on Smooth Manifolds", Lecture notes,
http://www-personal.umich.edu/∼wangzuoq/.
44