HAY

1. 1
(i) Các chứng minh trong [150], Mệnh đề 1.5 và Hệ quả 1.6, hoặc trong [295],
Chương 1, §3, Định lý 1 và 2 có thể được sử dụng cho bất kỳ trường cơ sở nào.
Phát biểu cuối cùng được suy ra từ phương trình I(V ) =
Tp
i=1 I (Vi).
(ii) Sử dụng chứng minh trong [150], Hệ quả 1.4. Đối với phát biểu về chiều,
chúng tôi chỉ đọc giả đến [228], Chương 5, §14.
(iii) Có một phép đồng cấu chính tắc P(V ) ⊗R P(W) → P(V × W), và
chúng ta có thể chỉ ra rằng đó là một đẳng cấu, như trong [295], Chương. 1, 5
2,2, Ví dụ 4. Thực tế là tích của các tập đại số bất khả quy là bất khả quy đã
được chứng minh trong [295], Chương. 1, §3, Định lý 3. Phát biểu về số chiều
của tích có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các thành phần bất khả
quy và bằng cách sử dụng bổ đề chuẩn hóa của E. Noether, như trong [295],
Chương. 1, §6, 1, Ví dụ 4.
Bây giờ chúng ta trở lại với các tập hợp nửa đại số.
Mênh đề 2.8.4. Gọi U là tập con bán đại số mở khác rỗng của Rn
Khi đó
dim(U) = n.
Chứng minh. Ta chứng minh kết quả bằng quy nạp trên n. Nếu n = 1, thì
U là vô hạn (nó chứa một khoảng mở) và do đó, I(U) = {0}. Bây giờ chúng ta
giả sử n > 1 và kết quả đúng với n − 1. Khi đó U chứa tập mở U′
×] a, b [, với
U′
là tập con bán đại số mở của Rn−1
. Đặt P (X′
, Xn) = Qd (X′
) Xd
n + · · · +
Q0 (X′
) (trong đó X′
= (X1, . . . , Xn−1) ) là một đa thức trong I(U). Với mọi
x′
∈ U′
ta có P (x′
, Xn) ∈ I(|a, b|) và, do đó, P (x′
, Xn) hoàn toàn bằng 0.
Do đó, theo quy nạp, Qd = · · · = Q0 = 0, cho thấy I(U) = {0}. Do đó,
P(U) = R [X1, . . . , Xn], và số chiều của R [X1, . . . , Xn] là n (xem Định lý 2.8
.3 (ii)).
Mệnh đề 2.8.5.

2. 2
(i) Cho A =
Sp
i=1 Ai là hợp hữu hạn của các tập hợp nửa đại số. Sau đó
dim(A) = max (dim (A1) , . . . , dim (Ap)) .
(ii) Cho A và B là hai tập hợp nửa đại số. Sau đó
dim(A × B) = dim(A) + dim(B)
Chứng minh. (i) Ta có I(A) =
TP
i=1 I (Ai).
(ii) Điều này suy ra từ Định lý 2.8 .3 (iii) và từ
closZar(A) × closaar(B) = closar(A × B).
Để biểu thị phần bao hàm khác, đặt P(X, Y ) ∈ I(A × B). Khi đó P(x, Y ) ∈
I(B) với mọi x ∈ A, và do đó, với mọi y ∈ closzar(B), P(x, y) = 0. Điều này
cho thấy rằng A × closar(B) ⊂ closZar(A × B). Bằng cách hoán đổi A và B,
chúng ta kết luận rằng cosZar(A) × cosZar(B) ⊂ cosZar(A × B).
Mệnh đề 2.8.6. Gọi A là tập con bán đại số của Rn+1
và Π : Rn+1
→ Rn
phép chiếu lên không gian của tọa độ n đầu tiên. Khi đó, dim(Π(A)) ≤ dim(A).
Chứng minh. Theo Mệnh đề 2.8.2 và Định lý 2.8 .3 (i), chúng ta có thể giả
sử rằng A là một tập đại số bất khả quy. Khi đó B = closZar(Π(A)) cũng là bất
khả quy: nếu B = F1 ∪ F2, trong đó F1 và F2 là đại số, sau đó
A = A ∩ Π−1
(F1)
∪ A ∩ Π−1
(F2)
và do đó A ⊂ Π−1
(F1) hoặc A ⊂ Π−1
(F2). Do đó B ⊂ F1 hoặc B ⊂ F2. Phép
chiếu Π tạo ra một phép đồng cấu nội suy Π∗
: P(B) → P(A) và do đó, một
phép đồng cấu nội suy K(B) → K(A). Mệnh đề bây giờ được chứng minh bằng
cách sử dụng Định lý 2.8.3. Mệnh đề 2.8.7. Cho A ⊂ Rn
là một tập hợp bán
đại số và f : A → Rp
là một ánh xạ bán đại số có đồ thị là G(f) ⊂ Rn+p
. Sau
đó dim(A) = dim(G(f))

3. 3
Chứng minh Đầu tiên chúng ta chứng minh kết quả cho p = 1. Theo Bổ đề
2.6.3, tồn tại một số hữu hạn các tập hợp bán đại số Ai có hợp là A, và các đa
thức Pi(X, Y ), sao cho, với mọi x trong Ai, Pi(x, Y ) không đồng nhất bằng 0
và Pi(x, f(x)) = 0. Chúng tôi sửa một i và chọn một thành phần bất khả quy
V của bao hàm (Ai). Chắc chắn, V ∩ Ai ̸= ∅, và do đó, tồn tại x ∈ V sao cho
Pi(x, Y ) khác 0. Do đó, Z (Pi) ∩ (V × R) hoàn toàn nằm trong V × R. Vì, theo
Định lý 2.8 .3 (iii), tập hợp V ×R là bất khả quy đối với số nguyên dim(V )+1,
nên ta có
dim Graph f|Ai∩V
≤ dim (Z (Pi) ∩ (V × R))
dim(V ) + 1 ≤ dim (Ai) + 1
Tổng các bất đẳng thức này cho tất cả các thành phần bất khả quy của tất
cả các đóng Zarar (Ai) và sử dụng Mệnh đề 2.8.5(i), nhận được:
dim(G(f)) ≤ dim(A)
Bất đẳng thức theo hướng ngược lại xuất phát từ Mệnh đề 2.8.6.
Kết quả cho một p tùy ý được chứng minh bằng quy nạp. Đối với p 1, chúng
tôi giả sử kết quả đúng với p − 1. Chúng ta có f = (f′
, fp) với f′
: A → Rp−1
và fp : A → R. Xác định B = Graph (f′
) ⊂ Rn+p−1
và g : B → R theo
g (x, y′
) = fp(x). Khi đó G(f) = Graph(g) và dim(Graph(g)) = dim(B) theo
kết quả cho p = 1 đô la. Bằng quy nạp, ta thu được dim(B) = dim(A).
Here is the Vietnamese translation of the text you provided:
Định lý 2.8.8. Cho A là một tập con bán đại số và f : A → Rp
là một ánh
xạ bán đại số. Khi đó dim(A) ≥ dim(f(A))¹[1]. Nếu f là một song ánh từ A
lên f(A), thì dim(A) = dim(f(A)).
Chứng minh. Chiếu của đồ thị f lên Rp
là f(A); do đó, dim(A) ≥ dim(f(A)),
theo Mệnh đề 2.8.7 và 2.8.6. Phát biểu thứ hai là rõ ràng.

4. 4
Hệ quả 2.8.9. Nếu A =
Sp
i=1 Ai là một hợp của các tập bán đại số học
hữu hạn, trong đó mỗi Ai là đồng phẳng bán đại số học với một hypercube mở
]0, 1[di
, thì dim(A) = max (d1, . . . , dp).
Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 2.8.4, 2.8.5 (i) và Định lý 2.8.8.
Bây giờ chúng ta giới thiệu một khái niệm về chiều cục bộ.
Mệnh đề 2.8.10. Cho A ⊂ Rn
là một tập bán đại số học và x là một điểm
thuộc A. Tồn tại một vùng lân cận bán đại số học U của x trong A, sao cho đối
với bất kỳ vùng lân cận bán đại số học khác U′
của x trong A mà nằm trong
U, ta có dim(U) = dim (U′
).
Chứng minh. Họ các iđêan I(U) của R[X], với U là một lân cận bán đại số
của x trong A, tạo thành một hệ có hướng xét về mặt bao hàm. Họ này đứng
yên vì R[X] là noetherian.
Định nghĩa 2.8.11. Gọi A ⊂ Rn
là một tập hợp nửa đại số và x là một
điểm của A. Thứ nguyên cục bộ của A tại x, ký hiệu là dim (Ax), là dim(U),
trong đó U như trong Mệnh đề 2.8. 10.
Mệnh đề 2.8.12. Cho A là một tập hợp bán đại số của các chiều d. Khi đó
A(d)
= {x ∈ A | dim (Ax) = d} là tập con nửa đại số đóng khác rỗng của A.
Chứng minh. Sử dụng phép phân tích trong Định lý 2.3.6. Tập A là hợp hữu
hạn của các tập bán đại số Ai, mỗi tập bán đại số đồng dạng với ] 0, 1
di
. Gọi
A′
là bao đóng trong A của hợp của Ai sao cho di = d (có các Ai như vậy, vì
d = max (di ), theo Hệ quả 2.8.9). Tất nhiên, A′
⊂ A(d)
. Nếu x /
∈ A′
, thì tồn tại
một lân cận mở U của x, sao cho Ai ∩ U ̸= ∅ ngụ ý di d, do đó x /
∈ A(d)
. Do
đó A(d)
= A′
.
Mệnh đề 2.8.13. Cho A ⊂ Rn
là một tập hợp nửa đại số. Sau đó
dim(clos(A)A) dim(A).
Chứng minh. Giả sử V là một thành phần bất khả quy của cosZar(A). Khi

5. 5
đó V là bao đóng Zariski của V ∩ A. Vì vậy, chúng ta có thể giả định rằng
closZar(A) là bất khả quy. Chúng ta cũng có thể cho rằng
A = {x ∈ Rn
| P(x) = 0, Q1(x) 0, . . . Qm(x) 0} .
Khi đó cos(A)A được chứa trong cosZar(A)∩
Sm
i=1 {x ∈ Rn
midQi(x) = 0}, là
một tập hợp đại số nằm trong cosZar(A) và do đó có số chiều nhỏ hơn dim(A),
vì closZar(A) là bất khả quy.
Chúng ta kết thúc phần này với kết quả sau hợp lệ trên R.
Mệnh đề 2.8.14. Giả sử A ⊂ Rn
là một tập hợp bán đại số là một C∞
đa
tạp con của Rn
có chiều d. Khi đó, dim(A) = d.
Chứng minh. Gọi x ∈ A và Tx(A) là không gian tiếp tuyến của A tại x.
Phép chiếu trực giao A → Tx(A) là một ánh xạ bán đại số và ánh xạ song ánh
trong một lân cận bán đại số mở của x trong A lên một tập con bán đại số
mở của Tx(A). Vì Tx(A) là một không gian vectơ của dimension d, dim (Ax) =
dim (Tx(A)) = d, theo Định lý 2.8.8 và Mệnh đề 2.8.4. Theo Mệnh đề 2.8.12,
dim(A) = max ({dim (Ax) | x ∈ A}) = d
2.9 Một số phân tích về Trường đóng thực
Chúng ta có thể sao chép cho một trường thực đóng tùy ý R các khái niệm
thông thường về vi phân trên R. Chúng ta sẽ chỉ làm điều này cho các hàm bán
đại số. Đối với các hàm một biến, Định lý 2.5.8 ngụ ý rằng một hàm nửa đại số
liên tục trên một khoảng đóng và bị chặn thì bị chặn và đạt các giới hạn của
nó. Do đó định lý Rolle và định lý giá trị trung bình có giá trị đối với các hàm
liên tục nửa đại số. Chúng ta có thể tiến hành các công cụ phái sinh bậc cao
hơn theo quan điểm:
Mệnh đề 2.9.1. Cho f :]a, b[→ R là một hàm bán đại số khả vi trên khoảng
]a, b[.. Khi đó đạo hàm của nó f′
là một hàm bán đại số.

6. 6
Chứng minh. Mô tả đồ thị của f′
bằng công thức bậc nhất của ngôn ngữ
trường có thứ tự với các tham số trong R và sử dụng Mệnh đề 2.2.4. Ngoài ra,
nếu f khả vi liên tục, chúng ta thấy rằng f′
(x) = h̄(x, x), trong đó h̄ là phần
mở rộng liên tục của h : (x, y) 7→ (f(x) − f(y))/(x − y) thành đường chéo và
đồ thị của h̄, là bao đóng của đồ thị của h in ]a, b
2
× R, là bán đại số theo
Mệnh đề 2.2.2.
Tính khả vi của các hàm bán đại số của một số biến hoạt động theo cách
thông thường.
Kí hiệu 2.9.2. Gọi U là tập con bán đại số mở của Rn
và B là tập con bán
đại số của Rp
. Kí hiệu Sk
(U, B), cho k = 0, . . . , ∞, tập hợp các ánh xạ bán đại
số từ U đến B của lớp Ck
(nghĩa là tất cả các đạo hàm riêng theo thứ tự k đều
tồn tại và liên tục). Kí hiệu Sk
(U) vành các hàm bán đại số từ U đến R của
lớp Ck
.
Ta có định lý Taylor ở dạng sau: Cho U ⊂ Rn
là một lân cận bán đại số mở
của gốc tọa độ 0, f ∈ Sk
(U), cho k ∈ N. Gọi Φ(x) là khai triển Taylor của f
tại 0 lên tới k. Khi đó, với mỗi ϵ ∈ R, ϵ 0, tồn tại δ ∈ R, δ 0, sao cho
∥x∥ δ ⇒ |f(x) − Φ(x)| ϵ∥x∥k
.
Trường hợp k = ∞ có tầm quan trọng đặc biệt.
Định nghĩa 2.9.3. Một hàm Nash từ tập con bán đại số mở U của Rn
đến
R là một hàm bán đại số của lớp C∞
. Vòng các hàm Nash trên U được ký hiệu
là N(U).
Do đó, hai ký hiệu N(U) và S∞
(U) biểu thị cùng một đối tượng.
Ví dụ 2.9.4. Chúng ta đã gặp các hàm Nash trong phần trước. Một hàm
trong A (Rn
; U) (Định nghĩa 2.7.4) là Nash trên U. Một ví dụ điển hình về hàm
Nash trên R là
√
1 + x2. Tất nhiên, nói chung, các hàm Nash không thể được
biểu diễn dưới dạng tập hợp của các phép toán, + − ×, /, n
√
.

7. 7
Mệnh đề 2.9.5. Đặt NRn,0 = limN N (Bn(0, r)) là vòng germ của Nash hàm
tại gốc của Rn
. Phép đồng cấu NRn,0 → R [[X1, . . . , Xn]] gửi germ đến chuỗi
Taylor của nó là ánh xạ chèn.
Chứng minh. Đặt f ∈ NRn,0 và giả sử chuỗi Taylor của nó bằng không. Khi
đó, với mọi số nguyên p, limx→0 f(x)/∥x∥p
= 0. Đặt g(r) = sup({|f(x)| | ∥x∥ ≤
r}). Hàm g là hàm bán đại số và không triệt tiêu trên khoảng ]0, ϵ[, nếu f khác
không. Theo Hệ quả 2.6.7, trừ khi f bằng 0, tồn tại một số nguyên p và một
hằng số c ∈ R sao cho rp
≤ cg(r) với r đủ nhỏ. Nhân của ánh xạ đồng nhất vì
thế giảm xuống thành germ không.
Chúng ta sẽ xem xét một định lý hàm ẩn và giải thích chứng minh một cách
chi tiết, mặc dù nó theo sát chứng minh cổ điển.
Cho một ánh xạ tuyến tính F : Rn
→ Rp
, ký hiệu là
∥F∥ = sup
∥F(x)∥ | x ∈ Sn−1
,
tồn tại vì x 7→ ∥F(x)∥ là tập bán đại số liên tục và Sn−1
là tập bán đại số đóng
và bị chặn.
Mệnh đề 2.9.6. Gọi x và y là hai điểm của Rn
, U một tập con bán đại số
mở của Rn
chứa đoạn [x, y], và gọi f ∈ S1
(U, Rp
). Khi đó
∥f(x) − f(y)∥ ≤ M∥x − y∥,
trong đó M = sup ({∥dfz∥ | z ∈ [x, y]}).
Chứng minh. Xác định g(t) = f((1−t)x+ty) cho t ∈ [0, 1]. Sau đó ∥g′
(t)∥ ≤
M∥x − y∥ cho t ∈ [0, 1]. Đặt ϵ ∈ R, ϵ 0 và xác định
Aϵ = {t ∈ [0, 1] | ∥g(t) − g(0)∥ ≤ M∥x − y∥t + ϵt}.
Đây là tập con bán đại số đóng của [0, 1] chứa 0. Nó chứa một khoảng cực đại
[0, t0]. Giả sử t0 ̸= 1. Chúng ta có
∥g (t0) − g(0)∥ ≤ M∥x − y∥t0 + ϵt0.

8. 8
Vì ∥g′
(t0)∥ ≤ M∥x − y∥, chúng ta có thể tìm µ 0 trong R sao cho, nếu
t0 t t0 + µ,
∥g(t) − g (t0)∥ ≤ M∥x − y∥ (t − t0) + ϵ (t − t0) .
Vì vậy, với t0 t t0 + µ, chúng ta có
∥g(t) − g(0)∥ ≤ M∥x − y∥t + ϵt,
điều này mâu thuẫn với giá trị tối đa của t0. Do đó, 1 ∈ Aϵ với mọi ϵ, suy ra
kết luận của mệnh đề.
∥g(t) − g (t0)∥ ≤ M∥x − y∥ (t − t0) + ϵ (t − t0) .
Vì vậy, với t0 t t0 + µ, chúng ta có
∥g(t) − g(0)∥ ≤ M∥x − y∥t + ϵt,
điều này mâu thuẫn với giá trị tối đa của t0. Do đó, 1 ∈ Aϵ với mọi ϵ, suy ra
kết luận của mệnh đề.
Mệnh đề 2.9.7. Cho U′
là một lân cận semi đại số mở tại gốc 0 của Rn
, f ∈
Sk
(U′
, Rn
) , k ≥ 1. Giả sử f(0) = 0 và df0 : Rn
→ Rn
khả nghịch. Khi đó, tồn
tại các lân cận semi đại số mở U và V của 0 trong Rn
, U ⊂ U′
, sao cho f|U là
một đồng cấu trên V và (f|U )−1
∈ Sk
(V, U).
Chứng minh. Chúng ta có thể cho rằng df0 là Id nhận dạng của Rn
(bằng cách
kết hợp f với (df0)−1
. Lấy g = f− Id. Khi đó dg0 = 0, và có ϵ1 0 sao cho
∥dgx∥ ≤ 1
2 if x ∈ Bn (0, ϵ1). Theo Mệnh đề 2.9.6, nếu x, y ∈ Bn (0, ϵ1), thì
∥f(x) − f(y) − (x − y)∥ ≤
1
2
∥x − y∥,
và như vậy
1
2
∥x − y∥ ≤ ∥f(x) − f(y)∥ ≤
3
2
∥x − y∥.

9. 9
Điều này ngụ ý rằng f là một đơn ánh trên Bn (0, ϵ1). Chúng ta có thể tìm thấy
ϵ2 ϵ1 với dfx khả nghịch cho x ∈ Bn (0, ϵ2).
Chúng ta sẽ chứng minh f (Bn (0, ϵ2)) ⊃ Bn (0, ϵ2/4). Chọn y0
với y0
ϵ2/4 và xác định h(x) = f(x) − y0 2
. Sau đó, h đạt giá trị nhỏ nhất trên
B̄n (0, ϵ2) và không đạt giá trị nhỏ nhất trên biên Sn−1
(0, ϵ2). Thật vậy, nếu
∥x∥ = ϵ2, thì ∥f(x)∥ ≥ ϵ2/2 và h(x) (ϵ2/4)2
h(0). Giá trị nhỏ nhất này
đạt được tại điểm x0
∈ Bn (0, ϵ2). Khi đó ta có, với i = 1, . . . , n,
∂h
∂xi
x0
= 0, i.e.
n
X
j=1
fj x0
− y0
j
∂fj
∂xi
x0
= 0.
Vì dfx0 khả nghịch nên ta có f x0
= y0
.
Chúng tôi xác định V = Bn (0, ϵ2/4) , U = f−1
(V ) ∩ Bn (0, ϵ2). Ánh xạ f−1
là liên tục, bởi vì f−1
(x) − f−1
(y) ≤ 2∥x − y∥ cho x, y ∈ V , và ta dễ dàng
nhận được d f−1
x
= dff−1(x)
−1
.
Hệ quả 2.9.8 (Định lý hàm ẩn). Gọi x0
, y0
∈ Rn+p
, và gọi f1, . . . , fp
là các hàm semi đại số của lớp Ck
trên một lân cận mở của x0
, y0
, sao cho
fj x0
, y0
= 0 với j = 1, ldots, p và ma trận
∂fj
∂yi
x0
, y0
là khả nghịch. Khi đó, tồn tại một lân cận semi đại số mở U (tương ứng V )
của x0
(tương ứng y0
) trong Rn
(tương ứng Rp
) và ánh xạ φ ∈ Sk
(U, V ), sao
cho φ x0
= y0
và
f1(x, y) = · · · = fp(x, y) = 0 ⇔ y = φ(x)
với mọi (x, y) ∈ U × V .
Chứng minh. Áp dụng định lý hàm ngược 2.9 .7 cho ánh xạ (x, y) 7→ (x, f(x, y)).

10. 10
Vì vậy, chúng tôi có tất cả các công cụ cần thiết để phát triển hình học vi
phân semi đại số. Khái niệm về dị hình Nash giữa các tập con semi đại số mở
của Rn
được định nghĩa theo cách dễ hiểu.
Định nghĩa 2.9.9. Tập con semi đại số M của Rn
được gọi là đa tạp con
Nash của Rn
chiều d nếu, với mọi điểm x của M, tồn tại một phép đổi Nash φ từ
một lân cận nửa đại số mở Ω của gốc tọa độ trong Rn
vào một lân cận semi đại số
mở Ω′
của x trong Rn
sao cho φ(0) = x và φ Rd
× {0}
∩ Ω
= M ∩Ω snguynt
.
Gọi M là một đa tạp con Nash của Rn
. Một ánh xạ f : M → Rp
là một ánh
xạ Nash nếu nó là semi đại số và với mọi φ như trên, f ◦ φ|Rd∩Ω là một ánh xạ
Nash. Chúng ta kí hiệu N(M) là vòng tròn các hàm Nash từ M đến R. Hai đa
tạp con Nash M và M′
được gọi là dị hình Nash nếu tồn tại một ánh xạ song
ánh f : M → M′
, sao cho f và f−1
là Nash.
Việc nghiên cứu các đối tượng này sẽ được phát triển trong Chương 8. Sau
đó, chúng ta sẽ chỉ ra rằng trong trường hợp R = R, các hàm Nash trùng với
các hàm giải tích thỏa mãn một phương trình đại số.
Mệnh đề 2.9.10. Cho S ⊂ Rn
là một tập hợp semi đại số. Khi đó S là
hợp rời rạc của một số hữu hạn các đa tạp con Nash Mi, mỗi Nash dị hình với
hypercube mở ]0, 1 [dim (Mi).
Chứng minh. Chúng ta tiến hành bằng quy nạp trên n, giới thiệu người đọc
đến chứng minh của Định lý 2.3.6. Kết quả là hiển nhiên đối với n = 1. Giả sử
rằng nó đúng cho n. Sau đó, chia các đa thức P1(X, Y ), . . . , Ps(X, Y ) (trong
đó X = (X1, . . . , Xn) ), theo quy nạp, chúng ta có thể giả sử rằng Ai của phân
vùng Rn
là các đa tạp con Nash, Nash khác hình với ]0, 1|di
. Chúng ta cũng có
thể giả định rằng họ P1, . . . , Ps là ổn định trong đạo hàm đối với Y , sao cho
mỗi số không ξi,j trên Ai là một gốc đơn của một trong P1, . . . , Ps. Do đó, theo
định lý hàm ẩn 2.9.8, mọi ξi,j đều là một hàm Nash trên Ai. Từ đó suy ra đồ

11. 11
thị của ξi,j và các lát cắt ]ξi,j, ξi,j+1 [là các đa tạp con Nash, Nash dị hình với
Ai và Ai×] 0, 1 tương ứng.
Ghi chú tham khảo. Theo kiến thức của chúng tôi, nghiên cứu có hệ thống
đầu tiên về các tập và ánh xạ bán đại số được thực hiện bởi H. Brakhage [67].
Ông gọi chúng là Elementarmengen và Elementarabbildungen và ông phát
triển lý thuyết trên một trường đóng thực tế tùy ý. Thật không may, luận án
tiến sĩ của Brakhage không bao giờ được xuất bản và vẫn còn là bí mật đối với
cộng đồng toán học. Chúng tôi rất biết ơn G.-M. Greuel đã cung cấp cho chúng
tôi một bản sao của luận án này sau khi xuất bản phiên bản tiếng Pháp của
cuốn sách này.
Sự phát triển thực tế của lý thuyết tập semi đại số (cũng như lý thuyết tập
semi phân tích) bắt đầu với S. Lojasiewicz [215]. Sự mở rộng của một số kết
quả đã được biết trên R đến trường hợp của một trường đóng thực tế tùy ý có
thể được tìm thấy trong [76, 108]. Hình cười của Ví dụ 2.1.5 b) được lấy từ [76].
Trong [215], Lojasiewicz cũng đề cập đến các tập semi đại số cục bộ. Khía cạnh
logic của nguyên tắc Tarski-Seidenberg chỉ được đề cập qua loa ở đây (Định
nghĩa 2.2.3 và Mệnh đề 2.2.4); nó đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển
của lý thuyết mô hình, là một ví dụ về loại bỏ quantifier [275]. Phương pháp
slicing (Định lý 2.3.1) được sử dụng dưới một hình thức nào đó trong bất kỳ
nghiên cứu nào về tập semi đại số, ví dụ như trong [215, 87]. Nó cũng xuất hiện
trong thuật toán phân tích đại số trụ của Collins [88]. Một số bài viết về khía
cạnh thuật toán và một danh mục tham khảo có thể được tìm thấy trong [11].
Trước Lojasiewicz, Whitney [338] đã chứng minh rằng sự khác biệt của hai tập
đại số thực có một số thành phần liên thông hữu hạn. Mệnh đề 2.5.4 được gọi là
định lý Thom trong [215]. Định lý lựa chọn đường cong (Định lý 2.5.5) là một
phiên bản semi đại số của các câu phát biểu trong [74] và [233]. Bất đẳng thức

12. 12
của Lojasiewicz (Hệ quả 2.6.7) được sử dụng lần đầu trong các bài toán chia
một phân phối bởi một hàm [214, 166]. Bằng chứng của định lý Tietze-Urysohn
bán đại số được lấy từ [251]. Các định lý về phân chia tập đóng semi đại số
được đưa ra bởi Mostowski [238] (bằng chứng của anh ta về phiên bản tương
đối đã hoàn thành trong [43]). Đối với những tiến bộ gần đây liên quan đến
vấn đề phân chia tập semi đại số bằng dấu của đa thức, xem [3]. Định lý về
tính chất hữu hạn 2.7.2, phiên bản cục bộ của nó có thể được tìm thấy trong
[215], đã được chứng minh bởi nhiều cách khác nhau [43, 99, 111, 265], bao gồm
một chứng minh về tính logic [118]. Xử lý về chiều trong Phần 8 gần giống với
[108]. Chứng minh của định lý hàm ẩn cho một trường đóng thực tế tùy ý có
thể được tìm thấy trong [76].
Nhiều kết quả được trình bày trong chương này áp dụng rộng rãi hơn cho
các tập và hàm xác định trong cấu trúc o-minimal [119]. Điều này bao gồm các
tập và hàm xác định bằng hàm mũ [341].