Tài liệu tham khảo trường điện từ

CHƯƠNG 1 :
MỞ ĐẦU
1.CÁC ĐẠI LƯỢNG VÉC TƠ ĐẶC TRƯNG CHO TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
1.1. VÔ HƯỚNG VÀ VECTƠ
Nhiều đại lượng vật lý như diện tích S ,khối lượng m, nhiệt độ T,điện trở R…hoàn toàn
xác định bởi trị số của chúng .Những đại lượng này gọi là đại lượng vô hướng .Các đại
lượng khác như vận tốc v , lực F ,cường độ điện trường E ,cảm ứng từ B …chỉ được
xác định hoàn toàn nếu biết trị số và cả hướng của chúng. Đó là những Đại lượng vectơ .
Một hàm toán học hoặc một phát hoạ bằng đồ thị dùng để mô tả sự thay đổi của một đại
lượng trong một miền cho trước được coi là sự thể hiện một Trường của đại lượng này
trong miền đã cho .Tuỳ thuộc lượng là Vô hướng hay Vectơ ,tương ứng ta có Trường vô
hướng hay Trường Vectơ.
Đối với Trường vectơ không chỉ cần mô tả trị số vectơ mà cả hướng của vectơ thay đổi
như thế nào theo vị trí trong không gian .Một cách tiện lợi ,có thể mô tả quy luật biến đổi
các thành phần của một vectơ thay vì mô tả chính vectơ đó.Chẳng hạn ,có thể biểu diễn
vectơ A (x,y,z,t) dạng :
A(x,y,z,t) = A x (x,y,z,t)i x + A y (x,y,z,t)i y + A z (x,y,z,t)i z .
( xi , yi , zi là các vec tơ đơn vị ).Như vậy,ta đã đưa bài toán mô tả trường vec tơ A về bài
toán mô tả các trường vô hướng của các thành phần A x , A y , A z .
Phát hoạ bằng đồ thị thể hiện một trường vectơ là các đường cong có hướng gọi là đường
sức .Tại mỗi điểm trên đường sức,vec tơ đặc trưng cho đại lượng khảo sát tiếp xúc với
đường sức tại điểm đó,chiều của đường sức là chiều của vec tơ ,mật độ ( mau, thưa ) của
đường sức dùng để chỉ sự thay đổi trị số của vec tơ .
1.2. HỆ TOẠ ĐỘ
Các đại lượng điện từ ,trong trường hợp tổng quát ,là các hàm vị trí và thời gian .Nếu là
đại lượng vectơ ,hướng của chúng có thể thay đổi trong không gian.Để xác định vị trí và
hướng trong không gian ,người ta dùng Hệ toạ độ .Có nhiều hệ toạ độ khác nhau,khi giải
bài toán trường điện từ ta cần chọn hệ toạ độ thích hợp : Hệ toạ độ Descartes,Hệ toạ độ
trụ hoặc Hệ toạ độ cầu.Để xác định các mặt toạ độ trong không gian ,cần chọn một điểm
chuẩn làm gốc toạ độ ,thường đó cũng là gốc toạ độ của hệ toạ độ Descartes gắn hệ toạ
độ cong ,tiện lợi cho việc so sánh 2 hệ toạ độ .
Gọi dl1 , dl 2 , dl3 là những yếu tố dài trên các đường toạ độ u1 , u 2 , u3 ; vì yếu tố dài
trên đường toạ độ không nhất thiết bằng độ tăng vi phân của toạ độ tương ứng nên có thể
viết : dl1 = h1 du1
dl 2 = h 2 du 2
dl 3 = h3 du3
Trong đó hệ số h1 , h 2 , h3 gọi là hệ số Larmor (hay còn gọi là hệ số metric).

Toạ độ Vec tơ đơn vị Hệ số Larmor
u1 u 2 u 3 1i 2i 3i h1 h 2 h 3
Hệ toạ độ
Descartes
∞− <x < ∞ ∞− < y < ∞ ∞− < z < ∞
xi yi zi 1 1 1
Hệ toạ độ
trụ
0 ≤ R < ∞ 0 ≤ φ < 2π ∞− < z < ∞
Ri φi zi 1 R 1
Hệ toạ độ
cầu
0 ≤ r < ∞ 0 ≤ θ < π 0 ≤ φ < 2π
ri θi φi 1 r r.sinθ
Vec tơ dịch chuyển :
Yếu tố diện tích :
d 1S = ± h 2 h 3 du 2 du3 1i .
d 2S = ± h3 h1 du3 du1 . 2i .
d 3S = ± h1 h 2 du1 du 2 . 3i .
Yếu tố thể tích :
1.3. PHÉP TÍNH VEC TƠ :
A = A1 1i + A 2 2i + A3 3i .
A1 , A 2 , A 3 Là các thành phần hình chiếu của A dọc theo 1i , 2i , 3i .
A = (A 2
1 + A 2
2 + A 2
3 ) 2
1
Hai vec tơ bằng nhau : A = B ; nếu iA = iB , i = 1,2,3 .
Cộng và trừ vec tơ :
A ± B = ( A1 ± B1 ). 1i + ( A 2 ± B 2 ). 2i + (A 3 + B3 ). 3i .
Nhân chia một vec tơ cho một vô hướng :
dl = h1 du1 . 1i + h 2 du 2 . 2i + h3 du3 . 3i
dV = dl1 . dl 2 . dl3 = h1 h2h 3 du1 du 2 du3

m A = mA1 . 1i + mA 2 . 2i + mA 3 . 3i .
m
A
=
m
A1
. 1i +
m
A2
. 2i +
m
A2
. 3i
Tích vô hướng:
A. B = ( 1A 1i + 2A 2i + 3A 3i )( 1B 1i + 2B 2i + 3B 3i )
= 1A 1B + 22BA + 33BA
Tích vectơ:
A B× =( +11iA 22iA + 33iA ) 11( iB× 3322 iBiB ++ )
=( 312212311312332 )()() iBABAiBABAiBABA −+−+−
A B× =
321
321
321
BBB
AAA
iii
Độ tăng vi phân của từ điểm P(x,y,z) tới điểm Q(x + dx, y + dy, z + dz):
df dz
z
f
dy
y
f
dx
x
f
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
Tương tự độ tăng vi phân của hàm vectơ ),,( zyxA từ điểm P(x,y,z) tới điểm lân cận
Q :),,( dzzdyydxx +++
d dz
z
A
dy
y
A
dx
x
A
A
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
1.4.TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH PHÂN MẶT, TÍCH PHÂN THỂ TÍCH:
1.4.1 Tích phân đường.
Gọi ),,( zyxF là hàm của vị trí xác định trong miền không gian bao gồm đường cong C
nối 2 điểm P và Q. Chia đường cong C thành những đoạn nhỏ 21,dldl … có thể coi la
thẳng và hàm ),,( zyxF không đổi trên mỗi đoạn này.
Theo định nghĩa , tích phân đường của hàm F theo đường C bằng:
dlFdlF
C
i
n
i
n ∫∑ =
∞→
lim
Nếu F là lực thì tích phân đường sẽ là công của lực theo đường C:
A= dlF
C
∫
Đường C có thể là đường kín, khi đó dlF
C
∫ là lưu số của F theo C
1.4.2 Tích phân mặt.

Nếu biết mật độ thông lượng của một đại lượng vật lý nào đó tại mọi điểm trên mặt
S, ta dùng tích phân mặt để xác định thông lượng của đại lượng này gửi qua mặt S cho
trước. Chẳng hạn, nếu biết mật độ dòng J tại mọi điểm trên mặt S, ta tính được cường
độ dòng chảy qua mặt S bằng cách: Chia S thành những yếu tố diện tích 321 ,, dSdSdS ,coi
J không đổi trên mỗi yếu tố diện tích này, cường độ dòng I bằng tích phân mặt:
I= lim
n
I i
n
i S
J dS J dS
→∞
=∑ ∫
Tích phân mặt là tích phân 2 lớp vì yếu tố diện tích dS là tích của 2 yếu tố dài.
Nếu S là mặt kín ta có:
I=
S
J dS∫
Chiều dS thường chọn hướng ra ngoài thể tích V bao bởi mặt kín S.
1.4.3 Tích phân thể tích.
Nếu biết mật độ khối của một đại lượng vật lý trong một thể tích nào đó ta dùng
tích phân thể tích xác định đại lượng này trong thể tích V đã cho. Chẳng hạn nếu biết mật
độ điện tích khối ),,( zyxρ hoặc ),,( zR αρ hoặc ),,( αθρ r ta có thể tính diện tích q trong
thể tích V.
Chia thể tích V thành những yếu tố thể tích d 1V ,d 2V … coi mật độ điện tích khối ρ
trong mỗi yếu tố thể tích này không đổi, điện tích q trong thể V tính theo tích phân thể
tích:
q= ∫∑ =
∞→
V
ii
n
dvdV ρρlim
Tích phân thể tích là tích phân 3 lớp vì dv là tích của 3 yếu tố dài.
Ví dụ:Điện tích phân bố trong hình cầu bán kính a, tâm ở gốc tọa độ cầu, với mật độ điện
tích khối:
r
r 0
),,(
ρ
αθρ = với const=0ρ .Hãy xác định điện tích trong hình cầu ?
Giải:
q=
2
20
0 0 0
sin
a
V r
dv r drd d
r
π π
θ α
ρ
ρ θ θ α
= = =
=∫ ∫ ∫ ∫
q=2 2
0aπρ
1.5 CÁC TOÁN TỬ VECTƠ
Toán tử del: x y zi i i
x y z
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
Gradient: 1 2 3
1 1 2 3 3
1 1 1
. . .
2
f f f
f i i i
h u h u h u
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂
Div A: 2 3 1 3 1 2 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1
. ( ) ( ) ( )A h h A h h A h h A
h h h u u u
 ∂ ∂ ∂
∇ = + + 
∂ ∂ ∂ 

Rot A :
1 1
1 2 3 1
1 1
1
×A=
h h h
h i
u
h A
∂
∇
∂
2 2
2
2 2
h i
u
h A
∂
∂
3 3
3
3 3
h i
u
h A
∂
∂
Toán tử Laplace: 2 3 3 1 1 2
1 2 3 1 1 1 2 2 2 3
1
3 3
h h h h h hf f f
f
h h h u h u u h u u h u
    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
∆ = + +      
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂     
.( × ) . ×A-A. ×B
. ×A=0
× 0
× ×A= ( . )
A B B
f
A A
∇ = ∇ ∇
∇ ∇
∇ ∇ =
∇ ∇ ∇ ∇ − ∆
Định lý Gauss :
S
AdS∫ = .
V
divA dV∫ hay . ( ) ( )
V S
A r dV A r dS∇ =∫ ∫
Định lý Stokes: =∫ ∫C S
Adl rotAdS hay ×A(r) A(r)
S C
dS dl∇ =∫ ∫
1.6. CÁC VECTƠ ĐẶC TRƯNG CHO TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
Các quá trình Điện Từ được mô tả toán học thông qua 4 vectơ đặc trưng cho
Trường Điện Từ : vectơ cường độ điện trường E , vectơ cảm ứng điện D , vectơ cảm
ứng từ B và vectơ cường độ trường từ H .
Các vectơ này nói chung là các hàm của tọa độ và thời gian , chúng liên hệ với
nhau và liên hệ với điện tích cũng như dòng điện theo những quy luật xác định . Những
quy luật này được phát biểu dưới dạng các phương trình Maxwell và các phương trình
liên hệ .
1.6.1 Vectơ cường độ trường điện E và vectơ cảm ứng điện D .
Điện tích thử q đặt trong Trường Điện chịu tác dụng lực điện eF . Tại mỗi điểm
của Trường Điện , tỷ số ( /eF q ) là một đại lượng không đổi , được gọi là Cường độ
trường điện tại điểm đó :
eF
E
q
=
V
m
 
 
 
Khi đặt điện môi vàoTrường Điện , điện môi bị phân cực . Mức độ phân cực điện môi
được đặc trưng bởi vectơ phân cực điện P .

Vectơ phân cực điện P xác định trạng thái phân cực điện môi tại mỗi điểm ,chính là
moment dipole điện của một đơn vị thể tích điện môi bao quanh điểm đó .
0
lim
V
P
P
V∆ →
∆
=
∆ 2
c
m
 
 
 
P∆ : moment dipole điện của điện môi thể tích V∆ . Liên hệ với vectơ phân cực
điện P , vectơ cảm ứng điện D được định nghĩa bởi hệ thức :
0D E Pε= + 2
c
m
 
 
 
0ε là hằng số điện , trong hệ đơn vị SI :
9
0 (1/ 4 .9.10 )ε π=
F
m
 
 
 
Đối với môi trường tuyến tính đẳng hướng hoặc cường độ trường điện không quá
lớn , vectơ phân cực điện P tỷ lệ với cường độ trường điện E :
0 eP x Eε= ; xe là độ cảm điện của môi trường.
0
0
(1 )e
r
D x E
D E
ε
ε ε
= +
=
D Eε=
Với 1r exε = + là độ thẩm điện tương đối của môi trường.
0 rε ε ε=
F
m
 
 
 
là độ thẩm điện của môi trường .
Chất rε Chất rε
Không khí 1,0006 Đất khô 5
Giấy 2 – 3 Thủy tinh 5 – 10
Cao su 2 – 3,5 Mica 6
Polyethylen 2,26 Sứ 6
Thạch anh nóng chảy 3,8 Đất ẩm 10
Bakelite 4,9 Nước cất 81
1.6.2 Vectơ cảm ứng từ B và vectơ cường độ từ trường H .
Vectơ cảm ứng từ B được định nghĩa dựa trên lực từ mF tác dụng lên điện tích
thử q chuyển động với vận tốc v trong Trường Từ :
mF qv B= ×
sin( , )mF qBv v B=

Khi v vuông góc với B lực từ đạt cực đại , khi đó cảm ứng từ B tính qua lực từ
cực đại này :
(max)
.
m mF i
B
q v
×
= 2
Wb
m
 
 
 
(T)
mi : vectơ đơn vị .
B
v
mF
Khi đặt từ môi vào Trường Từ , từ môi bị phân cực . Mức độ phân cực từ môi
được đặc trưng bởi vectơ phân cực từ M . Vectơ phân cực từ xác định trạng thái phân
cực từ tại mỗi điểm của từ môi , chính là moment từ của một đơn vị thể tích từ môi bao
quanh điểm đó .
0
lim
V
m
M
V∆ →
∆
=
∆
A
m
 
 
 
m∆ là moment từ của từ môi thể tích V∆ .
Liên hệ với phân cực từ M , vectơ cường độ trường từ H được định nghĩa bởi hệ
thức :
0
B
H M
µ
= −
A
m
 
 
 
0µ là hằng số từ , trong hệ đơn vị SI :
7
0 4 .10µ π −
=
H
m
 
 
 
Đối với môi trường tuyến tính , đẳng hướng hoặc cường độ trường từ không quá
lớn , vectơ phân cực từ M liên hệ với vectơ cường độ trường từ H theo hệ thức :
.mM x H= ; mx là độ tự cảm của môi trường .
0
0
(1 )m
r
B x H
B H
µ
µ µ
= +
=
B Hµ=
Với 1r mxµ = + là độ từ thẩm tương đối của môi trường .
0 rµ µ µ=
H
m
 
 
 
là độ thẩm từ của môi trường .

Đối với tính chất Thuận từ và Nghịch từ độ cảm từ mx là hằng số (xem bảng
dưới) , đối với chất sắt từ mx phụ thuộc cảm ứng từ B .
Chất thuận từ mx Chất nghịch từ mx
Không khí 3,6.10-7 Nitrogen -0,50.10-5
Oxygen 2,1.10-6 Hydrogen -0,21.10-5
Nhôm 2,3.10-5
Thủy ngân -3,20.10-5
Tungsten 6,8.10-5 Bạc -2,60.10-5
Bạch kim 2,9.10-4 Đồng -0,98.10-5
Oxygen lỏng 3,5.10-3 Natri -0,24.10-5
1.6.3 Mật độ điện tích . Mật độ dòng điện
Ngoài khái niệm điện tích điểm , quan điểm vĩ mô chấp nhận hình thức phân bố điện tích
liên tục trong miền V , trên mặt S , trên đường C với mật độ điện tích khối ρ , mật độ
điện mặt σ , mật độ điện tích dài λ . Theo định nghĩa :
Mật độ điện tích khối
0
lim
V
q
V
ρ
∆ →
∆
=
∆
,
dv
dq
=ρ 3
c
m
 
 
 
Mật độ điện tích mặt
0
lim
S
q
S
σ
∆ →
∆
=
∆
,
ds
dq
=σ 2
c
m
 
 
 
Mật độ điện tích dài
0
lim
l
q
l
λ
∆ →
∆
=
∆
,
dq
dl
λ =
c
m
 
 
 
Trong đó q∆ là điện tích chứa trong thể tích V∆ , trên diện tích S∆ , trên yếu tố dài l∆ ,
khi V∆ , S∆ , l∆ co về một điểm .
Từ khái niệm mật độ điện tích , có thể tính điện tích q chứa trong thể tích V , trên
mặt S , trên đường C :
, ,V S C
q dq= ∫ với
dV
dq dS
dl
ρ
σ
λ


= 


Chú ý : Điện tích chỉ phân bố ngoài mặt vật dẫn với mật độ điện tích mặt σ (c/m2) ; mật
độ điện tích khối ρ trong vật dẫn bằng 0.
Cường độ dòng điện I chảy qua mặt S được định nghĩa :
0
lim
t
q
I
t∆ →
∆
=
∆
(A)
q∆ : Điện tích chuyển qua mặt S trong thời gian t∆ .
Mật độ dòng điện J là một vectơ , tại mỗi điểm có hướng chuyển động của điện
tích dương tại điểm đó , độ lớn bằng
0
lim
S
I
J
S∆ →
∆
=
∆ 2
A
m
 
 
 

I∆ : Cường độ dòng điện chảy qua S∆ đặt vuông góc với dòng điện .
Từ khái niệm mật độ dòng điện , có thể tính dòng điện chảy qua mặt S bất kỳ :
.
S
I J dS= ∫ (A)
Vectơ J liên quan đến sự chuyển động của các điện tích tự do gọi là vectơ mật độ
dòng dẫn . Theo định luật Ohm , J liên hệ với Cường độ điện trường E bởi hệ thức :
J Eγ=
γ : độ dẫn điện của môi trường (S/m) .
2. KHÁI NIỆM VỀ TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
2.1 KHÁI NIỆM CHUNG
Hiện tượng Điện Từ rất phổ biến và giữa vài trò cực kỳ quan trọng trong tự nhiên. Hầu
hết các hiện tượng xung quanh ta bao gồm các quá trình hóa học, sinh học … đều là kết
quả tương tác Điện Từ giữa các nguyên tử, phân tử.
Cho đến nay người ta biết có 4 dạng tương tác cơ bản trong tự nhiên: tương tác Điện Từ,
tương tác hấp dẫn, tương tác mạnh và tương tác yếu. Các tương tác khác đều có thể quy
về 4 dạng tương tác này. Tương tác Điện Từ giữa các hạt mang điện mạnh hơn rất nhiều
tương tác hấp dẫn giữa chúng (lực điện giữa 2 electron mạnh hơn lực hấp dẫn giữa chúng
gấp 1043 lần). Tương tác mạnh xảy ra trong phạm vi kích thước của hạt nhân(10-15 m).
Tương tác yếu xảy ra giữa các hạt cơ bản trong các quá trình chuyển hóa nhất định. Vì
vậy trong thực tế đời sống và kỹ thuật, tương tác Điện Từ giữ vai trò chủ yếu.Mỗi dạng
tương tác có một Trường tương ứng. Tương tác Điện Từ thông qua Trường Điện Từ. Mỗi
hạt hoặc vật mang điện tao ra một Trường Điện Từ, hạt hoặc vật mang điện thứ hai đặt
trong Trường này chịu tác dụng một lực điện từ. Hạt hoặc vật mang điện thứ hai cũng tạo
ra một Trường Điện Từ, trường này tác dụng lực điện từ lên hạt hoặc vật mang điện thứ
nhất. Kết quả: có sự tương tác Điện Từ giữa các hạt mang điện hoặc vật mang điện.
Trường Điện Từ là dạng vật chất bao quanh các điện tích đứng yên cũng như chuyển
động. Trường Điện Từ mang năng lượng xác định, năng lượng này có thể chuyển hoá
thành các dạng năng lượng khác như: năng lượng hoá học, nhiệt, chuyển động cơ học…
Khối lượng của Trường Điện Từ được xác định từ hệ thức Einstein:
E = mc2
E: năng lượng Trường Điện Từ
m: khối lượng Trường Điện Từ
c: vận tốc ánh sáng trong chân không.
Vì c2
rất lớn nên mật độ khối lượng của Trường Điện Từ rất nhỏ, thường người ta không
để ý đến đặc trưng khối lượng mà chỉ quan tâm đến đặc trưng năng lượng của nó.
Trong các thiết bị Vô tuyến điện, Kỹ thuật điện… có các quá trình biến đổi và truyền
năng lượng Điện Từ. Vì vậy việc nghiên cứu lý thuyết và các phương pháp tính Trường
Điện Từ cùng với việc khảo sát các quá trình năng lượng có ý nghĩa thực tế to lớn.
Trong Lý thuyết mạch, các thông số của mạch như điện trở R, điện cảm L, điện dung C…
coi như đã cho. Tuy nhiên, để tính những thông số này cần biết những khái niệm và cách
tính của Lý thuyết Trường Điện Từ.
2.2 NHỮNG ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ
2.1.1 ĐỊNH LUẬT GAUSS ĐỐI VỚI TRƯỜNG ĐIỆN

Định luật Gauss là một trong những định luật cơ bản của lý thuyết trường điện từ.
Thông lượng của các vectơ cảm ứng điện D gửi qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng các điện
tích tự do phân bố trong thể tích V bao bởi mặt S.
S
DdS q=∫
2.2.2 ĐỊNH LUẬT GAUSS ĐỐI VỚI TRƯỜNG TỪ
Thông lượng của các vectơ cảm ứng từ B gửi qua mặt kín S bất kỳ bằng 0.
. 0
S
B dS =∫
2.2.3 ĐỊNH LUẬT CẢM ỨNG ĐIỆN TỪ FARADAY
Định luật cảm ứng điện từ Faraday thiết lập mối liên hệ giữa trường từ biến đổi theo thời
gian và trường điện phân bố trong không gian do sự biến đổi của trường từ gây ra.
Sức điện động cảm ứng có giá trị bằng và ngược dấu với tốc độ biến thiên từ thông gửi
qua diện tích giới hạn bởi vòng dây .
C S
d
EdI BdS
dt
= −∫ ∫
2.2.4 ĐỊNH LUẬT LƯU SỐ AMPÈRE – MAXWELL
Định luật lưu số Ampère – Maxwell hay định luật dòng điện toàn phần , thiết lập
liên hệ giữa cường độ trường từ H và dòng điện toàn phần tạo nên trường từ .
Lưu số của vectơ cường độ trường từ H theo đường kín C tùy ý bằng tổng đại số cường
độ các dòng điện chảy qua diện tích bao bởi đường kín C .
C
H dI I= ∑∫
3 . HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL VÀ Ý NGHĨA CỦA NÓ
Trường điện từ biến thiên được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell :
rot = + (1)
rot = − (2)
div = 0 (3)
div = ρ (4)
Đối với môi trường đẳng hướng,tuyến tính các đại lượng đặc trưng cho trường
điện từ liên hệ với nhau qua các phương trình chất:
= ε , = µ , = γ
Hệ phương trình Maxwell có một ý nghĩa cơ bản và quan trọng trong lý thuyết
trường điện từ, nó mô tả đầy đủ quan hệ giữa các biến , , , ,E B D H J , mô tả dạng hình học

và những vùng tận cùng là những nơi có phân bố 0ρ < . Nó có thể chảy không liên tục,
không khép kín các nơi như vectơ B . Đó là dạng hình học của trường vectơ D .
3.3 Các phương trình Maxwell miêu tả quan hệ khăng khít giữa Trường và Môi
trường chất.
Nhìn chung sự gắn bó Trường-Chất thể hiện ở những hệ số của phương trình , , ,ε µ ρ γ là
những biến và thông số hành vi của trường. Với những hệ số khác nhau, sẻ có những
dạng phương trình khác nhau, và do dó quy luật tương tác của hệ cũng khác nhau.

CHƯƠNG 2:
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TĨNH
1. KHÁI NIỆM TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
Trường điện từ tĩnh là trường gắn với môi trường mang những điện tích phân bố
tĩnh. Trường Điện Từ tĩnh thoả mãn 2 diều kiện sau:
1) Các đại lượng điện từ E , ,D B , H , J …không thay đổi theo thời gian. Do đó đạo
hàm riêng theo thời gian các đại lượng này đều bằng không .
2) Không có sự chuyển động của các điện tích, nghĩa là không có dòng điện, mật độ
dòng J = 0.




=
=
0
0
Ddiv
Erot
ED ε=




=
=
0
0
Bdiv
Hrot
HB µ=
Vì lý do thông dụng và sự tương tự trong các mô tả toán học, giáo trình này chỉ khảo
sát Trường Điện tĩnh – đó là trường điện không thay đổi theo thời gian của các điện tích
đứng yên.
2.TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
Trường diện tĩnh là trường thế nên có thể dùng hàm thế vô hướng ϕ để mô tả Trường
điện tĩnh. Hàm thế vô hướng ϕ còn gọi là Thế điện ϕ , được định nghĩa:
E gradϕ= − 





m
V
Đó chính là nghiệm của phương trình : rot 0=E (vì rotgradϕ = 0)
Dấu trừ chứng tỏ quy ước chọn chiều của vectơ cường độ điện trường E là chiều
giảm của điện thế ϕ .
Để ý:
.Edl grad dlϕ= −
.grad dlϕ = ( )zyxzrx idzidyidxi
z
i
y
i
x
....... ++





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ ϕϕϕ
=
x∂
∂ϕ
dx+
y∂
∂ϕ
dy+
z∂
∂ϕ
dz= ϕd
ϕd =- dlE
Tích phân 2 vế ta có hiệu thế điện giữa hai điểm P và Q :
∫=−
Q
P
dlEQP )()( ϕϕ (V)
Năng lượng Trường điện tĩnh biểu diễn qua các vectơ đặc trưng cho trường điện bởi
hệ thức : W ∫=
V
e dVDE
2
1
(J)

Hoặc : We
2
21 1
2 2
q
CU
C
= =
Với C là điện dung của tu điện:
C =
q
U
= (F)
3.CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH
3.1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON-LAPLACE.
Phương trình vi phân đối với thế điện ϕ được dẫn ra từ phương trình Maxwell:
ρ=Ddiv
Thay ED ε= và E gradϕ= −
div( . )gradε ϕ ρ= −
Nếu miền khảo sát là môi trường đồng nhất( =ε const) thì:
div gradϕ ρ= − /ε
Hay ερϕ /−=∆ : phương trình Poisson
Với ∆ là toán tử Laplace, trong hệ toạ độ Descartes:
Δφ = ερ
ϕϕϕ
/2
2
2
2
2
2
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
zyx
Nếu trong miền khảo sát không có phân bố điện tích(ρ=0) :
Δφ = 0
Đó là phương trình Laplace.
Ví dụ 2-1:
Một tụ điện phẳng có bề dày d ( lấy theo chiều x) đặt dưới
điện áp U sao cho 0)0( =ϕ và Ud =)(ϕ .
Hãy tìm sự phân bố thế ϕ và cường độ trường trong tụ.
Giải:
Dùng tọa độ Descartes, do tụ phẳng nên phân bố thế ϕ chỉ
phụ thuộc vào tọa độ x, tức là các thành phần 0=
∂
∂
=
∂
∂
zy
. Phương
trình Laplace sẽ có dạng:
2
2
0
x
ϕ
ϕ
∂
∆ = =
∂
.
Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng 1 2C x Cϕ = + .
Vận dụng điều kiện bờ ở x = 0 và x = d. ta có hệ:
2
1 2
(0) 0
( )
C
d U C x C
ϕ
ϕ
= =

= = +
Hoặc là
d
U
C =1 và 2C = 0.

Kết quả sự phân bố thế ϕ trong tụ có dạng phương trình:
x
d
U
x =)(ϕ
Cường độ điện trường trong tụ sẽ là:
x x
U
E grad i i
x d
ϕ
ϕ
∂
= − = − = −
∂
Ví dụ 2-2:
Cũng bài toàn của ví dụ 2-1, với giả thiết giữa hai bản cực của tụ điện có phân bố
điện tích khối với mật độ nào đó.
Giải:
Sử dụng phương trình Poisson:
0
2
2
ε
ρϕ
−=
∂
∂
x
Ngiệm tổng quát của phương trình đó có dạng:
21
2
02
CxCx ++−=
ε
ρ
ϕ
Vận dụng điều kiện bờ ở x = 0 và x = d, sẽ có hệ:




++−=
=
21
2
0
2
2
0
CdCdU
C
ε
ρ
Giải hệ này sẽ được:
0
2
2
0
1
=
+=
C
d
d
U
C
ε
ρ
Do đó, sự phân bố thế trong tụ sẽ có dạng là:
x
d
d
U
x 





++−=
0
2
0 22 ε
ρ
ε
ρ
ϕ
Phân bố cường độ trường trong tụ sẽ là:






+−=
∂
∂
−== d
d
U
x
x
EE x
00 2ε
ρ
ε
ρϕ
Ví dụ 2 – 3:
Vẫn bài toán tụ điện phẳng (ví dụ 2 – 1), nhưng với giả thiết giữa hai bản cực của
tụ có hai lớp cách điện ( điện môi) có thông số ε1 và di, ε2 và d2.
Hãy tìm sự phân bố ϕ(x), E(x) ?
Giải :
Giả thiết trong hai miền 1 và 2 của tụ không có phân bố điện tích tự do, nên
phương trình Laplace và nghiệm tổng quát có dạng:
ϕ = C1 .x + C2.

Gọi sự phân bố thế trong mỗi miền là ϕ1 (x) và ϕ2(x) thì:
ϕ1 (x) = C11 . x + C12 ;
ϕ2 (x) = C21 .x + C22 ;
Trong đó 4 hằng tích phân Cik cần xác định theo điều kiện bờ tại x = 0; x = d1 + d2 = d ;
x = d1 như sau:
Tại x = 0 → C12 = 0
Tại x = d → C21 d + C22 = U
Tại x = d1 → C11 . ε 1 = C21 . ε 2
C11 . d1 + C12 = C21 . d1 + C22
Giải hệ phương trình này sẽ được các hằng tích phân Cik như sau:
C11 = U
1221
2
dd εε
ε
+
C12 = 0
C21 = U
2121
1
εε
ε
dd +
C22 = Ud1
1221
12
dd εε
εε
+
−
Sau khi thay các hằng Cik này vào các nghiệm sẽ được phân bố thế và cường độ
trường trong tụ.
3.2. PHƯƠNG PHÁP ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT GAUSS.
Khi điện trường thể hiện tính chất xuyên tâm hình cầu, hoặc đối xứng qua trục hình
trụ, thì có thể tránh được việc giải phương trình Laplace-Poisson (dạng vi phân) bằng
cách vận dụng ngay luật Gauss (dạng tích phân) để tính toán trường.
Đã biết rằng, với một điện tích điểm hoặc một vật dẫn hình cầu mang điện đặt
trong môi trường điện môi nhiều lớp hình cầu đồng tâm với vật dẫn, thì điện trường sẽ có

tính chất đối xứng xuyên tâm rõ rệt. Lúc đó, các lượng E, D, ϕ … chỉ sẽ phụ thuộc vào
khoảng cách R đến tâm cầu.
Còn đối với một trục mang điện hoặc một vật dẫn hình trụ tròn, thẳng, dài vô hạn đặt
trong môi trường điện môi nhiều lớp hình trụ đồng trục, thì điện trường sẽ đối xứng qua
trục và các đại lượng E, D, ϕ …sẽ chỉ phụ thuộc riêng khoảng cách r đến trục.
a. Điện trường đối xứng xuyên tâm hình cầu:
Ví dụ:
Hãy xác định điện trường của một điện tích điểm q?
Giải:
Các đại lượng E, D, ở đây chỉ có thành phần xuyên tâm là E=ER và D=DR. Vì vậy, lấy
một mặt cầu S bán kính R và áp dụng luật Gauss cho mặt cầu ấy thì:
2
. . .4 .r
s s s
D ds D ds D ds D R qπ= = = =∫ ∫ ∫
Do đó:
D(R) = Dr(R) = 2
4 R
q
π
E(R) = Er(R) = =
ε
)(RD
2
4 R
q
πε
Hàm thế ( )Rϕ với gốc lấy ở xa vô cùng (ϕ (∞ ) = 0 ) sẽ có dạng:
2
( ) ( ) ( ) . .
4 .
R
R R
q dR
R R E dR
R
ϕ ϕ ϕ
π ε
∞ ∞
= − ∞ = =∫ ∫
Nếu môi trường đồng chất tuyến tính, tức ở khắp nơi đều có ε =const thì tích phân sẽ cho
kết quả:
R
q
R
πε
ϕ
4
)( =
Ví dụ :
Điện tích Q phân bố đều trong thể tích hình cầu bán kính a đặt trong môi trường đồng
nhất đẳng hướng.Hãy xác định cường độ trường điện và thế điện bên trong và bên ngoài
quả cầu ?
Giải:
Vì trường điện có tính đối xứng cầu,ta chọn gốc tọa độ ở tâm quả cầu mang điện và vẽ
các mặt kín S1 và S2 là những mặt cầu đồng tâm với quả cầu mang điện.
Vectơ cảm ứng điện D trên mỗi mặt cầu này có giá trị không đổi và có phương vuông
góc với mặt cầu.
• Trường điện ngoài quả cầu (r > a)
2
2.
S
D dS Q=∫
2
2
2 2.4
S
D dS D r Qπ= =∫
Rút ra
2 2
4
Q
D
rπ
=

Ở trường này các đại lượng E, D, ϕ … chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r đến trục, và chỉ
có thành phần xuyên trục: E=Er và D=Dr .Để tính E(r) và D(r), hãy lấy một trụ tròn S có
bán kính r và chiều dài l đồng trục với vật dẫn .
Áp dụng luật Gauss cho mặt S ta có:
. . .2 .r
s s s
D ds D ds D ds D rl lπ λ= = = =∫ ∫ ∫ ( điện tích trong mặt S bằng .lλ )
D(r) = Dr(r) =
2 r
λ
π
và E(r) = Er(r) =
2 r
λ
πε
chọn 0( ) 0rϕ = thì :
0
0
0
1
( ) ( ) ( ) . . .
2
r r
r
r r
r r r E dr dr
r
λ
ϕ ϕ ϕ
π ε
= − = =∫ ∫
Trong trường hợp môi trường tuyến tính thì :
0
0( ) (ln ln ) ln .
2 2
r
r r r
r
λ λ
ϕ
πε πε
= − =
Ví dụ:
Hình trụ kim loại thiết diện tròn bán kính a , dài L mang điện tích Q đặt trong môi
trường đẳng hướng đồng nhất có ε =const.Xác định cường độ trường điện E và thế điện
ϕ bên trong và bên ngoài hình trụ.
Giải:
Cường độ trường điện bên trong hình trụ bằng không E =0 ; thế điện tại mọi điểm trên
hình trụ đều bằng nhau.Bên ngoài hình trụ trường có tính đối xứng.Cường độ trường điện
E bên ngoài hình trụ vuông góc với trục và có giá trị như nhau tại tất cả các điểm cách
đều trục.Chúng ta vẽ mặt kín S là mặt trụ cùng trục,thiết diện tròn bán kính r>a ,dài L,các
đáy là S1 và S2 .Áp dụng định luật Gauss ta có:
1 2bS S S S
DdS DdS DdS DdS Q= + + =∫ ∫ ∫ ∫
Vì ở đáy S1 và S2 vecto cảm ứng điện D và vecto dS vuông góc nên các tích phân lấy
theo hai đáy bằng không,do đó:
b bS S
DdS D dS Q= =∫ ∫
2D rL Qπ =
2
Q
D
rLπ
=
2
Q
E
rLπε
=
Hay
2
r
Q
D i
rLπ
=
2
r
Q
E i
rLπε
=
Nếu chúng ta chọn gốc thế điện tại điểm r b= , ( ) 0bϕ = thì thế điện tại r bằng:

( )
2
b b
r r
Qdr
r Edl
Lr
ϕ
πε
= =∫ ∫
( ) ln
2
Q b
r
L r
ϕ
πε
=
ta nhận thấy cường độ trường điện và thế điện chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r từ điểm
xét đến trục mà không phụ thuộc vào bán kính thiết diện a của hình trụ dẫn.Điều đó cho
phép khi nghiên cứu trường của hình trụ dẫn mang điện có thể thay thế bằng trục mang
điện.
Ví dụ:
Một dây cáp đồng trục có hai lớp cách điện với bán kính: lõi trong a1, đến bờ ngăn cách
hai lớp điện môi a2 và đến vỏ ngoài a3 được đặt dưới điện áp U. Hãy tìm sự phân bố ,E D
và điện dung C trên một đơn vị dài (l=1)của dây?
Giải:
Gọi q là điện tích trên một đơn vị dài của lõi dây cáp .
Do tính đối xứng qua trục mà các đại lượng D, E chỉ có thành phần bán kính và phụ
thuộc r. Áp dụng định luật Gauss ta có:
.
S
D dS q=∫
D1 =
2
q
rπ
E1 = 1
1 1
.
2
D q
rε πε
= 2
2
q
D
rπ
= E2 = 2
2 2
.
2
D q
rε πε
=
Suy ra:
U
3 32
21 1 2
1 3
1
( ) ( )
2
a aa
a a a
q dr dr
a a Edr
r r
ϕ ϕ
π ε ε
 
= − = = + 
  
∫ ∫ ∫ = 32
1 1 2 2
1 1
.ln .ln
2
aaq
a aπ ε ε
 
+ 
 
Điện dung trên một đơn vị dài:
C0 = 32
1 1 2 2
1 1
2 : ln ln
aaq
U a a
π
ε ε
 
= + 
 
1
32
0
1 2 2
1 1
2 : ln ln
aa
q C U U
a a
π
ε ε
 
= = + 
 
 
Thay giá trị của q vừa tính được theo U vào các biểu thức của E, D sẽ được lời giải theo
yêu cầu.

3.3 ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ CHỒNG TRƯỜNG
Thế điện gây bởi điện tích qi cho bởi hệ thức :
( )
4
i
i
q
r
r
ϕ
πε
=
Thế điện gây bởi hệ n điện tích điểm q1,q2,….qn theo nguyên lý chồng trường là
tổng đại số các thế điện gây bởi từng điện tích điểm riêng biệt:
1
1
( )
4
n
i
i i
q
r
r
ϕ
πε =
= ∑
Nếu điện tích phân bố liên tục trong một miền không gian hữu hạn thì ta chia điện tích
thành những thành phần vô cùng nhỏ,chúng được xem như những điện tích điểm,mỗi
điện tích vô cùng nhỏ này gây ra một thế điện tính theo hệ thức:
4
dq
d
r
ϕ
πε
=
Do đó thế điện gây bởi toàn thể điện tích phân bố liên tục bằng :
, ,
4V S C
dq
r
ϕ
πε
= ∫
Ví dụ: Điện tích Q phân bố liên tục đều trên vòng dây tròn mãnh bán kính bằng a.Xác
định thế và cường độ trường điện tại điểm P nằm trên trục z của vòng dây.
Giải:
Thế điện tại điểm P bằng:
( )
4 4C C
dq dl
P
r r
λ
ϕ
πε πε
= =∫ ∫
Ở đây :
.
2
Q
dq dl dl
a
λ
π
= =
2 2 1/2
( )r z a= +
2 2 1/2 2 2 1/2
( )
2 .4 ( ) 4 ( )C
Qdl Q
P
a z a z a
ϕ
π πε πε
→ = =
+ +∫
Trường có tính đối xứng trục và đối xứng với mặt phẳng chứa vòng dây mang điện.Do đó
thế điện tại những điểm nằm trên trục z chỉ phụ thuộc vào tọa độ z và vecto cường độ
trường điện E trên trục z chỉ có thành phần z:
2 2 3/2
4 ( )
z
Qz
E E
z z a
ϕ
πε
∂
= = − =
∂ +
3.4 PHƯƠNG PHÁP ẢNH ĐIỆN.
Khi các điện tích đặt gần biên giới của hai hay nhiều môi trường khác nhau,trên biên
giới này sẽ xuất hiện các điện tích cảm ứng( nếu đó là biên giới của hai môi trường điện

môi-vật dẫn),hoặc các điện tích phân cực (nếu đó là biên giới của hai môi trường điện
môi khác nhau).Khi tính trường điện phải kể đến các điện tích cảm ứng và các điện tích
phân cực này.Vì sự phân bố của chúng trong không gian không xác định dễ dàng nên
không tiện áp dụng nguyên lý chồng trường để tìm sự phân bố cường độ điện trường và
thế điện.Trong trường hợp này người ta áp dụng phương pháp ảnh điện để giải bài toán
trường điện tĩnh.
Nội dung phương pháp ảnh điện là tìm cách thay hai hay nhiều môi trường khác
nhau bằng một môi trường đồng nhất ,đồng thời đưa thêm vào môi trường đồng nhất
những điện tích mới sao cho cùng với điện tích ban đầu bảo đảm điều kiện biên như
trước. Do tính chất duy nhất nghiệm của bài toán bờ,nghiệm của bài toán thay thế cũng
là nghiệm của bài toán ban đầu cần tìm vì điều kiện biên vẫn như cũ,nhưng bài toán thay
thế xét trong môi trường đồng nhất nên đơn giản hơn bài toán ban đầu.Các điện tích đưa
thêm vào liên quan với các điện tích ban đầu theo một quy luật nào đó nên được gọi là
các điện tích ảnh của điện tích ban đầu,cũng chính vì thế phương pháp này được gọi là
phương pháp ảnh điện.
Trong thực tế, ta thường gặp là phải giải bài toán điện trường trong miền V1 thuộc môi
trường 1 giới hạn bởi bờ S tiếp giáp với miền V2 thuộc môi trường 2 với những điều kiện
hỗn hợp trên bờ S. Việc giải bài toán bờ thường là khó khăn. Trong một số trường hợp
khi bờ có những dạng hình học đơn giản (như phẳng, trụ, cầu), đặc biệt khi bờ S là bờ
dẫn, tức là mặt đẳng thế, thì có thể tìm cách đưa về một bài toán đơn giản hơn.
Nội dung của phương pháp được nêu ra ở đây là: tìm cách thay thế (bỏ) môi
trường 2 và lấp đầy miền V2 bằng môi trường 1 để toàn không gian là đồng chất. Sau đó,
tìm cách đưa thêm vào miền ấy một số điện tích phân bố như thế nào đó sao cho những
điện tích này cùng với những điện tích ban đầu đặt trong không gian đồng chất ấy vẫn
đảm bảo đúng những điều kiện bờ vốn có ở trên bờ S. Theo tính duy nhất của nghiệm bài
toán bờ, hàm thế tìm được như vậy cho miền V1 sẽ chính là nghiệm cần tìm cho miền
V1.Vì bài toán thay thế này có toàn không gian là đồng nhất, nên thường đơn giản hơn
bài toán ban đầu. Những điện tích mới đưa thêm vào môi trường đã bị thay bỏ thường
liên quan với những điện tích ban đầu theo những quy luật ban đầu. Do đó, phương pháp
này còn được gọi là phương pháp soi gương điện tích.
Thường gặp trong thực tế là điện trường của những điện tích đặt trong nữa không gian
điện môi V, nữa không gian còn lại là một môi trường rộng lớn. Bờ ngăn cách hai môi
trường là một mặt phẳng S. Ví dụ: Điện trường của những điện tích điểm, vật dẫn, đường
dây mang điện đặt trong không khí bên trên mặt đất.
Vậy tóm lại, để tính điện trường trong miền V, ta lấp đầy không gian bằng môi trường
điện môi và “soi gương” có đổi dấu các điện tích qua mặt S. Sau đó, chọn các phương
pháp tính thích hợp để tính trường trong miền V.
Ví dụ :
Có một điện tích điểm đặt trên mặt phẳng dẫn S một khoảng h.Hãy tìm phân bố cường độ
điện trường E và mật độ điện tích trên mặt phẳng dẫn S.
Giải:
Soi gương điện tích qua bờ , gắn với hệ đó một tọa độ trụ tròn có trục z trùng với đường
nối +q, -q và gốc tọa độ trên mặt S.

CHƯƠNG 3 :
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ DỪNG
1.KHÁI NIỆM
Trường điện từ dừng là trường điện từ trong đó các đại lượng đặc trưng cho trường không
phụ thuộc thời gian và có dòng điện không đổi với mật độ dòng J . Trong hệ phương
trình Maxwell, cho 0
t
∂
≡
∂
, ta được hệ phương trình đối với trường điện từ dừng:
rot H j=
0rotE =
0divB =
divD ρ=
0divJ divrotH= = ( chú ý 0divrot ≡ )
Với môi trường đẳng hướng, tuyến tính:
B Hµ=
D Eε=
J Eγ=
Có thể tách các phương trình trên thành hai nhóm độc lập nhau:
các phương trình rotH J= , 0divB = , B Hµ= mô tả trường từ dừng gây bởi dòng điện
dẫn không đổi theo thời gian.
các phương trình còn lại, mô tả trường điện dừng. Có thể chia trường điện dừng thành
hai loại:
Trường điện dừng trong môi trường dẫn có dòng điện không đổi được mô tả bởi các
phương trình:
0
0
rotE
divJ
 =

=
với J Eγ=
Trường điện dừng trong điện môi bao quanh môi trương dẫn mang dòng điện không đổi.
Các phương trình mô tả là:
0
0
rotE
divD
 =

=
với D Eε=
2.TRƯỜNG ĐIỆN DỪNG TRONG VẬT DẪN
2.1 Điều kiện duy trì trường điện từ trong vật dẫn .
Khi môi trường dẫn khép kín với các cực của một nguồn điện từ, thì trong vật dẫn
sẽ có một dòng điện chảy liên tục của các hạt mang điện. Đó là vì trường điện từ
đã tiếp năng lượng cho các hạt mang điện trái dấu chuyển động ngược chiều nhau,
chúng không tích tụ, không phân bố trường tĩnh, mà chảy khép kín qua nguồn tạo
thành một dòng chảy liên tục .

Qua đó , nhận thấy rằng phải có hai điều kiện để duy trì dòng điện một
chiều, tức là duy trì trường điện dừng trong vật dẫn. Đó là :
- Điều kiện bờ : Môi trường dẫn phải khép kín qua nguồn .
- Điều kiện nguồn : phải tồn tại nguồn có khả năng cung cấp năng lượng
một cách liên tục và không đổi truyền đến ( qua môi trường điện môi ) tiếp cho
các hạt mang điện tích tụ do thuộc kết cấu của môi trường dẫn.
2.2. Các tính chất của trường điện từ dừng .
Từ điều kiện tồn tại mà suy ra được các tính chất của trường điện dừng
trong vật dẫn .
- Tiêu tán năng lượng .
Sự tồn tại trường điện dừng trong vật dẫn thể hiện sự tác động lực và cung
cấp năng lượng cho các điện tích tự do chảy trong vật dẫn. Thường kèm theo quá
trình năng lượng tiêu tán biến thành nhiệt năng .
Công suất tiêu tán năng lượng trong một đơn vị thể tích của vật dẫn là :
p0 = EJ = γ E2
=
γ
2
J
0
V S L L S
P p dv EdlJdS Edl JdS UI= = = =∫ ∫∫ ∫ ∫ .
2 2
. . .
U
R
I
P U I R I GU
I
G
U

= 
→ = = =
=

-Tính chất thế .
Nếu chỉ khảo sát môi trường dẫn ( là nơi có dòng điện và tiêu tán ) mà
không xét đến nguồn ( là nơi có nhiều hiện tượng phức tạp khác ) thì hạt mang
điện luôn chảy thành dòng không đổi ( theo thời gian ) từ đầu này đến đầu kia .
Điều này nói lên tính chất thế của trường điện dừng trong vật dẫn và khả năng
biểu diễn của trường dừng trong vật dẫn và khả năng biểu diễn của trường điện đó
bằng một hàm thế vô hướng ϕ . về toán học, tính chất này được mô tả bởi phương
trình :
rot E = 0 hoặc E = - gradϕ .

Vì trường điện dừng trong điện môi bao quanh vật dẫn không khác về mặt
bản chất với trường điện tĩnh trong điện môi , nên khác về cơ bản , các quy luật ,
hiện tượng , phương trình và phương pháp tính cũng giống như trường điện tĩnh đã
khảo sát . vì vậy ,ở đây chỉ khảo sát trường điện dừng trong vật dẫn .
phương trình tổng quát của trường điện dừng viết cho thế ϕ là :
divgradϕ = ϕ∆ = 0
nội dung tính toán trường điện dừng thông qua hàm thế ϕ là giải bài toán bờ theo
phương trình laplace .
điều kiện bờ hỗn hợp trên mặt phân chia hai môi trường dẫn .
Từ phương trình rot E = 0 suy ra :
ττ 21 EE = hoặc
( ) ( )
τ
ϕ
τ
ϕ
∂
∂
=
∂
∂ ss 21
Từ phương trình div J = 0 suy ra :
J1n = J2n hoặc 1 1 2 2n nE Eγ γ=
hoặc
( ) ( )
2
2
1
1
γ
τ
ϕ
γ
τ
ϕ
∂
∂
=
∂
∂ ss
Sự tương tự giữa trường điện dừng trong môi trường dẫn với trường điện tĩnh
Trường điện dừng trong môi trường
dẫn
Trường điện tĩnh ở miền không có tdρ
0, , 0rotE E gradϕ ϕ= = − ∆ =
0divJ =
J Eγ=
S
I JdS= ∫
I
g
U
=
1 2( ) ( )S Sϕ ϕ=
1 2( ) ( )n nJ S J S=
1 2( ) ( )E S E Sτ τ=
0, , 0rotE E gradϕ ϕ= = − ∆ =
0divJ =
D Eγ=
S
Q DdS= ∫
Q
C
U
=
1 2( ) ( )S Sϕ ϕ=
1 2( ) ( )n nD S D S=
1 2( ) ( )E S E Sτ τ=

E E↔
ϕ ϕ↔
J D↔
γ ε↔
I Q↔
g C↔
So sánh các phương trình và điều kiện biên giữa, trường điện dừng trong môi trường dẫn
và trường điện tĩnh ở miền không có điện tích tự do ( 0tdρ = ) như ở bảng 1, ta thấy chung
tương tự nhau về mặt mô tả toán học.
Ta có thể rút ra nhận xét sau đây:
-Có thể áp dụng các phương pháp tính trường điện tĩnh để tính trường điện dừng.
-Biết nghiệm của một bài toán trường điện tĩnh có thể suy ra nghiệm của bài toán trường
điện dừng tương ứng bằng cách thực hiện phép đổi lần .
Ví dụ :
Tụ điện phẳng 2 lớp cách điện (điện môi thực) như hình vẽ. Diện tích mỗi bản cực là S.
Lớp cách điện 1 onsc tγ = dày d1, lớp cách điện 2 onsc tγ = dày d2. Đặt tụ điện dưới hiệu
điện thế U=const. Tìm phân bố của ,E J trong 2 lớp cách điện. Tính dòng điện rò chảy
qua tụ. Suy ra dòng điện dẫn rò, điện trở cách điện của tụ.
Giải:
x
d
E grad i
dx
ϕ
ϕ= − = −
Vậy xE Ei= với
d
E
dx
ϕ
= −
. xJ J i= với J Eγ=
Trong lớp 1γ :
1
1 10 0 ons
dJ
divJ J c t
dx
= ⇒ = ⇒ =
1
1
1
ons
J
E c t
γ
= =
Trong lớp 2γ :
2
2 20 0 ons
dJ
divJ J c t
dx
= ⇒ = ⇒ =
2
1
2
ons
J
E c t
γ
= =
Từ điều kiện biên 1 2n nJ J= suy ra 1 2J J J= =
Hiệu điện thế hai bản cực:
1 1 2
1
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
1 20
(0) ( )
d d d
d
J J
U d d E dx E dx E d E d d dϕ ϕ
γ γ
+
= − + = + = + = +∫ ∫

2
1
1 1 2 2 1
1
2
2 1 2 2 1
.
. .
.
. .
UD
E
d d
E
UD
E
d d
ε
ε ε ε
ε
ε ε ε

= = +
= 
 = =
 +
1 2
1 2 2 1
. .
. .
SQ
C
U d d
ε ε
ε ε
= =
+
Trong các biểu thức này nếu thay ε1 bởi γ1, ε2 bởi γ2, C bởi G, Q bởi I, D bởi J ta được
kết quả giống như trên
Trường hợp tụ điện phẳng 1 lớp cách điện tức γ1 = γ2 = γ , đặt d = d1+d2, ta suy ra
điện dẫn rò của tụ là:
.S
G
d
γ
=
Khi đó bài toán trường điện tĩnh tương ứng là tụ điện phẳng 1 lớp điện môi lý tưởng ε1=
ε2= ε, suy ra điện dung là:
.S
C
d
ε
=
ta có quan hệ sau đây:
C G
ε γ
=
Ví dụ
Cho biết điện dung của một tụ điện trụ tròn hai lớp cách điện (điện môi )
21 εε ≠ có bán kính lõi a1 đến bờ tiếp giáp hai điện môi a2 và đến bờ tiếp giáp điện
môi 2 với lõi a3 được biểu diễn như sau :
32
1 1 2 2
2
1 1
ln ln
l
C
aa
a a
π
ε ε
=
+
Thì có thể suy ra biểu thức điện trở cach điện của một dây cáp hai lớp cách
điện hoặc của chính tụ điện vừa nêu là :






+==
2
3
21
2
1
ln
1
ln
1
2
11
a
a
a
a
lg
R
γγπ
.
Trường hợp riêng : khi chỉ có một lớp cách điện đồng nhất γγγ == 21 , thì
suy ra điện trở cách điện là :

1
2
ln
2
1
a
a
l
R
πγ
= .
Trường điện quanh vật dẫn nối đất
Trong kỹ thuật người ta thường nối đất vỏ các động cơ, vỏ biến thế, điểm trung
tính của hệ ba pha… Để nối đất người ta nối bằng dây dẫn điện cần nối đất với vật dẫn
bằng kim loại chôn sâu trong đất gọi là điện cực nối đất. Kích thước và hình dạng điệ cực
tùy theo yêu cầu cụ thể kỹ thuật, Khi nối đất có dòng điện chạy từ điện cực vào đất tới 1
điện cực khác hoặc tới một điểm mà tại đó điện cực chạm đất. Như vậy dọc theo bề mặt
đất có dòng điện chảy, và do đất có điện trở nên giữa hai điểm trên bề mặt đất ở lân cận
điểm nối đất có 1 hiệu điện thế nào đó. Người ta định nghĩa điện áp bước Ub là hiệu điện
thế giữa hai điểm trên mặt đất cách nhau một khoảng bằng bước chân người (khoảng
0,8m). Trong kỹ thuật an toàn điện, cần chọn hệ thống nối đất sao cho điện áp bước Ub
không vượt quá giới hạn có thể gây nguy hiểm cho người.
Độ dẫn điện của điện cực rất lớn so với độ dẫn điện của đất, nên khi tính toán
trường điện trong đất, có thể xem bể mặt của điện cực là đẳng thế,
Nếu các điện cực đặt cách nhau rất xa thì khi tính toán trường điện quanh 1 điện
cực nối đất, có thể bỏ qua ảnh hưởng các điện cực khác xem như nó nằm cô lập trong môi
trường đất bán vô hạn, Điện trở nối đất Rđ của 1 điện cực được định nghĩa là tỷ số giữa
thế của điện cực nối đất so với miền xa vô cùng với dòng điện I chảy vào điện cực đất.
Để minh họa ta xét trường hợp đơn giản nhất cho điện cực nối đất là hình bán cầu,
bán kính a .
Phân bố của E , J trong đất thỏa mãn phương trình:
rot 0E =
div 0J =
và các điều kiện
- Bề mặt điện cực là đẳng thế (do độ dẫn điện cực rất lớn so với độ dẫn điện của
đất) nên các đường sức của E , J vuông góc với bề mặt điện cực ( hình bán cầu)
- Trên bề mặt tiếp giáp với không khí, E , J không có thành phần pháp tuyến chỉ
có thành phần tiếp tuyến. Chọn hệ tọa độ cầu, gốc 0 là tâm bán cầu như hình vẽ .

Do tính đối xứng, trường không phụ thuộc vào tọa độ φ , nghĩa là đối xứng quanh trục Z.
Ta thử tìm nghiệm E , J trong đất có dạng
. rE E i=
. . .r rJ E i E iγ= =
E, J chỉ phụ thuộc r
Dòng điện chảy vào điện cực có thể tính theo công thức:
án câu án câu
2
. . .2. .
b bS S
i J dS J dS J rπ= = =∫ ∫
Sbán cầu là
1
2
mặt cầu tâm 0 bán kính r (r≥a) như hình.
Suy ra:
2
2. .
i
J
rπ
=
22. . .
J i
E
rγ π γ
= =
Chọn ( ) 0ϕ ∞ =
Ta có ( ) .
2. . .r
i
r E dr
r
ϕ
π γ
∞
= =∫
Điện áp bước
Không khí
a
x
b
Sbáncầu
đất
Mθ

( ) ( )
( )
1 1 .
.
2. . 2. . .
b
i i b
U x x b
x x b x x b
ϕ ϕ
π γ π γ
 
= − + = − = 
+ + 
Với b= bước chân người= 0,8m
Điện áp bước cực đại khi x= a = bán kính điện cực.
( )
( )max
.
2. . .
b b
i b
U U x a
a a bπ γ
= = =
+
Điện trở nối đất:
( )
d
1
2. . .
a
R
i a
ϕ
π γ
= =
Áp dụng bằng số: a = 1,94m, i = 150A, 2
5.10 /S mγ −
= ( độ dẫn điện của đất),
b=0,8m. Ta được Ubmax= 50v. d 1,64R = Ω .
3.TRƯỜNG TỪ DỪNG
KHÁI NIỆM CHUNG
Trường tử dùng là trường từ gây bởi dòng điện không đổi theo thời gian , các đại lượng
đặc trưng như , ,J B H không thay đổi theo thời gian. Như đã trình bày, hệ phương trình
đối với trường từ dừng là:
, .
c
rotH J H dl i= = ∑∫
0, . 0
c
divB B dS= =∫
Với môi trường đẳng hướng tuyến tính ta có:
.B Hµ=
KHẢO SÁT TRƯỜNG TỪ DỪNG Ở MIỀN KHÔNG CÓ DÒNG DẪN
BẰNG THẾ TỪ VÔ HƯỚNG
Thế từ vô hướng φm
Ở miền không có dòng điện, trường từ dừng mô tả bởi phương trình:
rot 0=H
div 0=B
Vì rot 0=H nên suy ra H có thể biểu diễn qua gradient của một hàm vô hướng:
−=H gradφm
Phương trình Laplace đối với thế từ vô hướng.
Giả sử miền khảo sát không có dòng dẫn và μ= const, suy ra:
div 0
1
==





=Η Bdiv
B
div
µµ

gọi d là khoảng cách giữa 2 cực từ, S là điện tích bề mặt cực từ. ta có:
- Từ áp Hdu mmM =−= 21 ϕϕ
- Dòng từ HSSB 0. µφ ==
- Từ dẫn
d
S
u
g
M
M
0µφ
== .
-Năng lượng trường từ trong khe hở không khí:
22
02
1
2
1
2
1
2
1
... MMMM uguSdHdSHBW =Φ=== µ
Bài toán trường điện tĩnh tương ứng như hình b là bài toán tụ điện phẳng có:
-Hiệu điện thế dEu .21 =−= ϕϕ
-Điện tích ESSDQ ε== .
-Điện dung
d
S
u
Q
C
ε
==
-Năng lượng trường điện
22
2
1
2
1
2
1
...
2
1
CuQuSdEdSEDWE ==== ε
Bài toán trường điện dừng tương ưng như hình c có:
-Hiệu thế dEu .21 =−= ϕϕ
-Dòng điện ESSJI γ== .
-Điện dẫn rò
d
S
u
I
g
γ
==
-Công suất tiêu tán:
22
. guSdESdJEPtt === γ

KHẢO SÁT TRƯỜNG TỪ DỪNG DÙNG THẾ VECTƠ
Ở miền có dòng điện ta có : rot 0≠= JH ,nên không thể biểu diễn trường từ qua thế vô hướng
mϕ .Do đó người ta thường khảo sát trường từ dừng qua một đại lượng trung gian khác là thế
vectơ A ,sử dụng được ở miền có dòng điện cũng như ở miền không có dòng điện.
Theo giải tích vectơ ,divrot của một vectơ bất kỳ luôn bằng 0 do đó từ phương trình
div B =0 suy ra có thể biểu diễn B qua rot của một vectơ A .
rotB = A
A được gọi là thế từ véctơ
Đối với trường từ dừng người ta chọn điều kiện:
phương trình Laplace- Poisson đối với thế vecto A
Giả sử môi trường đồng nhất đẳng hướng tuyến tính có HB µ= với const=µ .
µ=Brot rot Jµ=Η
Thay rotB = A : rotrot JA µ=
Định nghĩa:
A rotrotA graddivA∆ = − +
Ta được: grad div JAA µ=∆−
vì div 0=A nên suy ra:
JA µ−=∆
gọi là phương trình Poisson đối với A
Ở nơi không có dòng dẫn 0=J và:
0=∆A
gọi là phương trình Laplace đối với A
Trong hệ tọa độ Descartes :
zzyyxx iAiAiAA .. ∆+∆+∆=∆
Với
=∆ xA 2
2
22
2
2
2
z
A
y
A
x
A xxx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
div 0=A

=∆ yA 2
2
22
2
2
2
z
A
y
A
x
A yyy
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∆ zA 2
2
22
2
2
2
z
A
y
A
x
A zzz
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
Trong đó zzyyxx iAiAiAA ... ++=
Trong hệ tọa độ descares, zzyyxx iJiJiJJ ... ++= nên có thể tách ra làm ba phương trình
đối với 3 thành phần:
xx JA µ−=∆
yy JA µ−=∆
zz JA µ−=∆
Sự tương tự giữa trường từ dừng song phẳng và trường điện tĩnh song phẳng
Có sự tương ứng giữa các đại lượng giữa hai loại trường : trường từ dừng song phẳng
khảo sát bằng thế véc tơ A =A. zi với trường điện tĩnh song phẳng khảo sát bằng thế vô
hướng ϕ.Ta thấy chúng tương tự nhau về mặt mô tả toán học.
A Jµ∆ = − ↔ ∆ϕ= -
1
ρ
ε
A↔ϕ
µ ↔
1
ε
J ↔ρ
Đã biết hàm thế φ thỏa mãn phương trình Laplace-Poisson có dạng:
4v
dv
r
ρ
ϕ
πε
= ∫
Một cách tương tự, khi thay ρ và ε bằng Ji và
1
µ
sẽ được công thức tính từ
thế Ai
4
i
i v
J dV
A
r
µ
π
= ∫ với i = x, y, z;
Và
4
i
v
J dV
A
r
µ
π
= ∫ .
Trong đó:

- Các tích phân lấy theo thể tích V của vật dẫn có dòng điện;
- r là khoảng cách từ vi phân JdV đến điểm khảo sát .
Khi điểm khảo sát ở xa dây dẫn sao cho khoảng cách r rất lớn so với kích
thước tiết diện ngang S của dây dẫn thì có:
4 4L S L
dl idl
A JdS
r r
µ µ
π π
= ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫
M
dA
JdV
Công thức này nêu rõ: từ thế vectơ dA gây ra bởi một nguyên tố dòng idl có chiều
song song với nguyên tố dòng tức là vuông góc với từ cảm dB do cùng nguyên tố
dòng ấy gây ra tại điểm khảo sát. Do vậy, đối với những dây thẳng, từ thế vectơ A
ở mọi điểm sẽ song song với chiều chảy của dòng điện và vuông góc với chiều của
từ cảm B
Ví dụ : Tính A , B , H gây bởi một trục thẳng dài vô hạn mang dòng điện i trong môi
trường đồng nhất vô hạn µ = const
Giải
Chọn hệ trục tọa độ trụ ,trùng với trục mang dòng .giả sử dòng điện chạy theo chiều
dương trục Z.Trường từ là song phẳng có :
A=A. zi
Do tính chất đối xứng A chỉ phụ thuộc vào r :
A =A(r)
⇒ B = rot A = -
dA
i
dr
α
Vậy B =B. iα
B =-
dA
dr
H = .
B
H iα
µ
=
Với B,H chỉ phụ thuộc r

với B,H chỉ phụ thuộc r.
Áp dụng định luật Ampère cho vòng tròn ( C ) trục z, bán kính r ta được:
. .2
2C
I
H dl H r I H
r
π
π
Σ
Σ= = → =∫
với IΣ là tổng đại số các dòng điện chạy xuyên qua diện tích giới hạn bởi ( C ).
Ta có:
Suy ra:
Mật độ năng lượng trường từ trong lõi, vỏ, từ môi là:
2 2
2 0
1 0 1 2 4
1
2 8
M
I r
W H
a
µ
µ
π
= = ;
2 2 2
2
3 0 3 0 2 2 2 2
1 1
1
2 2 4
M
I r b
W H
r c b
µ µ
π
 −
= = − 
− 
,
WM2 = 22
2
2
2
82
1
r
I
H
π
µ
µ = ;
Năng lượng trường từ ứng với mội đơn vị dài cáp:
WM = WM1 + WM3 + WM2

Với:
WM1 =
π
µ
π
16
2
2
11
I
rdrWdVw o
M
a
o
loi
M =∫=∫
lõi
W
a
bI
rdrwdVW
b
a
MM
tumoi
M ln
4
2.
2
222
π
µ
π∫∫ ===
W =3M 





−
−
−
−
=∫ 22
22
222
42
0
3
(4
3
ln
)(4
2.
bc
bc
b
c
bc
cI
rdrWM
c
b π
µ
π
Hệ số tự cảm ứng với 1 đơn vị dài :
L = trng
M
LL
I
W
+=2
2
Với hệ số tự cảm ngoài:
L
a
b
I
WM
ng .ln
2
2
2
2
π
µ
==
Hệ số tự cảm trong:
L
π
µ
π
µ
28
)(2 00
2
31
+=
+
=
I
WW MM
tr 





−
−
−
− 22
22
222
4
(4
3
ln
)( bc
bc
b
c
bc
c
4.LỰC TỪ VÀ NĂNG LƯỢNG TỪ
Khi những hạt mang điện chuyển động với vận tốc v trong từ trường B, chúng sẽ
chịu lực từ Lorentz : F qvxB= .Vậy lực từ tác dụng lên yếu tố dòng J dv là :
d dvJF = x B và lực từ tác dụng lên yếu tố dòng Idl là: BxlIdFd = .
Suy ra :
Lực từ tổng tác dụng lên dây dẫn là:
∫ ∫==
V V
BdVxJFdF )(
Lực từ tổng tác dụng lên vòng dây dẫn là:
∫ ∫==
C C
BxlIdFdF )(
Hãy khảo sát các yế tố căn bản là một đoạn dây có dòng điện I nằm trong từ
trường (trường gắn với bản thân dòng điện i hoặc do một nguồn nào đó). Mỗi một
vị trí phân bố dòng điện Jdv chịu một vi phân lực dF. Tổng các vi phân lực trên bề

mặt hợp thành một lực nén hoặc căng bề mặt đoạn dây và các lực bên trong dây sẽ
gây nên ứng suất trong dây
+i +i
a. Trường B đối xứng b. Trường B không đối xứng
Nếu phân bố từ trường là đối xứng trên tiết diện dây, như trường hợp một dây dài
thẳng, đơn độc, các vi phân lực dF sẽ đối xứng và triệt tiêu nhau, không tạo nên
hợp lực di chuyển dây. Nhưng nếu như từ trường phân bố không đối xứng ,ví dụ
trường hợp một đường dây 2 dây hay nhiều dây, các vi phân lực dF sẽ tạo thành
một hợp lực có xu hướng di chuyển dây theo một chiều nào đó
Nếu khảo sát một vòng dây (hoặc phức tạp hơn, như một hệ thống dây dẫn)
cũng vậy, vòng dây có thể chịu lực nén hoặc căn bề mặt, ứng suất, lực đẩy hoặc
moment quay…
Trường hợp đơn giản nhất là một vòng dây tròn phẳng có dòng điện I cố
định, với moment từ m = iS cố định. Từ trường gắn với bản thân dòng i là đối
xứng trên toàn bộ vòng dây. Do đó, không có hợp lực di chuyển dây, và dây chỉ
chịu lực căng, nén bề mặt và ứng suất
Nhưng cũng vòng dây có dòng điện i ấy, khi đặt trong từ trường ngoài có
cường độ B không đều với giả thiết B vuông gốc với mặt dây, thì mỗi đoạn vi
phân idl sẽ chịu những lực không đối xứng, sẽ tạo nên lực F muốn dịch chuyển
dây về phía có từ trường mạnh hơn. Nhưng với giả thiết từ trường B không vuông
gốc với mặt phẳng vòng dây, thì các vi phân lực dF sẽ không nằm trên mặt phẳng
vòng dây: do đó sẽ tạo nên một moment muốn làm xoay vòng dây đến vị trí sao
cho các vi phân lực dF nằm trên mặt phẳng vòng dây đó, tức là vòng dây vuông
gốc với từ trường và dòng điện i vuông gốc với từ trường B theo qui tắc vặn nút
chai thuận, tức là moment m = iS song song với B.
Có thể vận dụng những nhận xét về lực trên vòng dây có dòng i để phân
tích lực và moment do từ trường tác dụng lên các từ môi, coi từ môi là tập hợp
những vi phân moment từ dm = M.dv. Kết hợp những phân tích ở trên sẽ dễ dàng
thấy rằng: từ trường có xu hướng kéo những từ môi về phía cớ từ trường mạnh
hơn và muốn xoay cho các từ môi sao cho moment M song song với B. Nếu là từ
môi rắn và nếu lực không đều thì trong từ môi sẽ suất hiện ứng suất và những lực
bề mặt.
dF
B yếu B mạnh

So sánh với lực điện thì lực từ trường mạnh hơn, nên lực từ được sử dụng
trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật. Ví dụ, các lực và moment từ:
-Làm quay các máy điện
-Dùng để tiêu thụ tia điện tử trong các ống tia âm cực, trong các dao động
ký, truyền hình,radar…
-Dùng để gia tốc các hạt mang điện theo quỹ đạo tròn trong các máy gia tốc
tròn
-Để phân ly các chất đồng vị với nhau
Ta có mật độ năng lượng trường từ là:
Vậy năng lượng tổng của trường trong thể tích V bằng :
∫∫ ==
VV
MM BHdVdVwW
2
1
dV = dldS
∫∫∫∫ ==
SlL S
M BdSHdlBHdldSW
2
1
2
1
=
2
1
iψ
wM =
1
.
2
B H

CHƯƠNG 4:
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊN
1.KHAÙI NIEÄM VEÀ THEÁ VOÂ HÖÔÙNG ϕ VAØ THEÁ VECTÔ A
Trường điện từ (TĐT) biến thiên được mô tả bởi hệ phương trình
Maxwell :
rot = +
rot = −
div = 0
div = ρ
Đối với môi trường đẳng hướng,tuyến tính các đại lượng đặc trưng
cho trường điện từ liên hệ với nhau qua các phương trình chất:
= ε , = µ , = γ
Mật độ dòng điện và mật độ điện tích liên hệ nhau theo phương trình
liên tục:
div = −
Các phương trình Maxwell thể hiện rõ mối liên hệ chặt chẽ giữa
trường điện và trường từ:trường điện phụ thuộc vào trường từ qua sự biến
đổi của trường từ theo thời gian và trường từ phụ thuộc vào trường điện qua
biến đổi của trường điện theo thời gian.Đặc điểm này dẫn tới sự lan truyền
của trường điện từ biến thiên tạo thành sóng điện từ trong không gian.
Đặc tính sóng của trường điện từ biến thiên thể hiện rõ qua các hiện
tượng giao thoa, nhiễu xạ….của sóng điện từ.Sóng điện từ lan truyền với
vận tốc bằng vận tốc ánh sáng trong chân không. (c = 3.108
m/s)
Việc khảo sát một số bài toán trường điện từ biến thiên sẽ được tiện
lợi và đơn giản hơn rất nhiều nếu các đại lương đặc trưng cho trường điện từ

tuần hoàn không điều hòa có thể biểu diễn giải tích bởi chuỗi hay tích phân
Fourier như là sự xếp chồng của các quá trình điều hòa.
Cũng như trong lý thuyết mạch điện, để đơn giản hóa việc giải các bài
toán trường điện từ biến thiên điều hòa người ta thường sử dụng phương
pháp số phức, biểu diễn các đại lượng điều hòa bằng những số phức.
Biễu diễn số phức các đại lượng điều hòa:
Đối với trường điện từ biến thiên điều hòa ,tại mỗi điểm (x,y,z) ba
thành phần theo ba trục tọa độ của , , , , ….biến thiên theo qui
luật điều hòa.Ví dụ xét vectơ :
[ ]
[ ]
[ ]++
++
++=
),,(cos),,(
),,(cos),,(
),,(cos),,(),,,(
zyxtzyxEe
zyxtzyxEe
zyxtzyxEetzyxE
zzmz
yymy
xxmx
ψω
ψω
ψω
trong đó các biên độ , , và các pha ban đầu , , là
những hàm của tọa độ không gian, không phụ thuộc vào thời gian t.
là tần số góc của trường điện từ biến thiên điều hòa.
Chú ý rằng ở các điểm mà tại đó = = các thành phần (t),
(t), (t) biến thiên tỉ lệ nhau nên vectơ ở đó luôn có một phương trình
cố định :
(t) = cos( t + ψ)
Với = + +
không phụ thuộc thời gian t.

Tuy nhiên ở những điểm mà vì lệch pha nhau các
thành phần , , không tỉ lệ nhau, do đó sẽ không có phương cố định
mà có phương thay đổi,quay trong không gian.
Theo công thức Euler ( ,biểu thức
có thể viết lại ở dạng sau:
(x,y,z,t) = { }
Với Re ký hiệu “phần thực” của đại lượng phức.
Và (x,y,z) = + +
xác định bởi được gọi là vectơ biên độ phức cường độ trường điện.
Đối với các đại lượng vectơ điều hòa như , , , ta cũng định nghĩa
các vectơ biên độ phức tương ứng , , , một cách tương tự.
Đối với các đại lượng vô hướng như mật độ điện tích khối ρ(x,y,z,t) =
(x,y,z) cos ( t + ψ), ta cũng định nghĩa biên độ phức mật độ điện tích
khối ρ(x,y,z) = với ρ(x,y,z,t) = { }
Khi khảo sát trường điện từ biến thiên điều hòa, người ta biểu diễn các
đại lượng điều hòa bởi các vectơ biên độ phức hoặc biên độ phức tương ứng:
(x,y,z,t) (x.y.z)
(x,y,z,t) (x.y.z)
(x,y,z,t) =
{ (x,y,z) }

(x,y,z,t) (x.y.z)
(x,y,z,t) (x.y.z)
(x,y,z,t) (x.y.z)
ρ(x,y,z,t) (x.y.z)
……………………..
Tương tự như trong lý thuyết mạch điện, với cách biểu diễn như vậy,
các đạo hàm riêng theo thời gian sẽ tưng ứng với phép nhân với các biên độ
phức,ví dụ:
(x,y,z,t) i
(x,y,z,t) i (i ) = −
Các phương trình Maxwell dạng phức:
hệ phương trình Maxwell dạng phức như sau:
Trong đó các đạo hàm theo thời gian được thay tương ứng với phép
nhân i .
Tương tự, suy ra các phương trình chất dạng phức:
rot = + i
rot = −i
div = 0
div =

Và
D E
B H
J E
ε
µ
γ
=
=
=
ɺ ɺ
ɺ
ɺ ɺ
Trường hợp môi trường là đồng nhất ( μ = const, = const) có thể suy ra các
phương trình sau:
Trường điện từ biến thiên theo thời gian tạo nên sóng điện từ lan
truyền trong không gian.Tùy theo dạng các mặt đồng pha của sóng điện từ
mà ta có sóng điện từ phẳng, sóng trụ, hoặc sóng cầu …Sóng điện từ phẳng
là sóng điện từ có mặt đồng pha là mặt phẳng, phương truyền của sóng
phẳng ở mọi nơi đều vuông góc với một mặt phẳng xác định.Trong thực tế
không tồn tại sóng phẳng tuyệt đối theo định nghĩa trên.Các nguồn sóng có
kích thước bé tạo ra các song có mặt đồng pha là mặt cầu, các sóng này gọi
là sóng cầu.Thường thì ta chỉ khảo sát một phần rất nhỏ của không gian có
sóng điện từ và ở đủ xa nguồn.Trong trường hợp đó một phần không lớn của
mặt cầu có thể coi là phẳng cũng là đặc trưng chung của các sóng khác,nên
việc nghiên cứu sóng phẳng không đơn thuần là việc đơn giản hóa bài toán
mà còn hữu ích đối với việc khảo sát các quá trình sóng nói chung.
Sóng điện từ gọi là đơn sắc hay điều hòa nếu các vectơ cường độ
trường điện, trường từ biến đổi hình sin theo thời gian với một tần số ω xác
định.
Sóng phẳng gọi là sóng phẳng đồng nhất nếu vectơ , của sóng phụ
thuộc chỉ một tọa độ không gian khi chọn các hướng trục tọa độ thích
hợp.Chẳng hạn nếu chọn phương của trục Z là phương truyền sóng phẳng
đồng nhất thì :
= (z,t) ; = (z,t)
+ 2
με = 0
+ 2
με = 0

Vôùi giaû thieát vöøa neâu thì coù ; 0xE E
x y
• • ∂ ∂
= = =
∂ ∂
phöông trình truyeàn ñoái vôùi E
•
coù daïng:
22
2
2 2
x
x
d Ed E
E
dz dz
ω µε
••
•
= = − (*)
Kyù hieäu heä soá:
2 2 2
; i iω µε α β ω µε β− = Γ Γ = + = − = ,
Γ goïi laø heä soá truyeàn.
0α = goïi laø heä soá tắt
= ω goïi laø heä soá pha.
Phöông trình (*) coù nghieäm toång quaùt coù daïng laø toång cuûa
hai haøm muõ:
( ) ( ) ( ) ( )1 2, , , , exp expx xE x y z E x y z i A i z A i zβ β
• • • •
 
= = − +  
Vaän duïng phöông trình Maxwell 2, laáy rot E
•
seõ ñöôïc phaân
boá ( , , )H x y z
•
.
Vôùi ; 0xE E
x y
• • ∂ ∂
= = =
∂ ∂
seõ suy ra ñöôïc:
rot E 0 0
0 0
x y z
y x
x
i i i
i E i H
z z
E
ωµ
• • •
•
∂ ∂
= = = −
∂ ∂
;
hoaëc laø: 1 2exp( ) exp( )yi H i A z A zωµ
• • •
 
− = −Γ −Γ + Γ Γ  
Cuoái cuøng ta coù:
1 2
exp( ) exp( )y y
A A
H H i z z
i iωµ ωµ
• •
• •  
 = = −Γ − Γ
 Γ Γ
 
( H
•
chæ coù thaønh phaàn yH
•
.)
Vaäy coù theå phaân tích caùc soùng E
•
vaø H
•
thaønh toång, hieäu
cuûa soùng thuaän E
•
+
, H
•
+
vaø soùng ngöôïc E
•
−
,H
•
−
nhö sau:

x
y y
E i E E
E E
H i H H i
ξ ξ
• ••
+ −
• •
+ −• ••
+ −
 
= +  
  
 
   = + = −    
 
ξ laø kyù hieäu toång trôû soùng cuûa soùng phaúng, laø tyû soá cuûa E
•
+
vaø
H
•
+
.Ñaây laø “toång trôû” maø soùng E
•
+
(hoaëc E
•
−
) gaëp phaûi khi lan
truyeàn trong moâi tröôøng vaät chaát, noù ñaëc tröng cho phaûn öùng
cuûa moâi tröôøng vôùi soùng ñieän töø phaúng. Ñôn vò cuûa noù laø [Ohm].
Ñoái vôùi moâi tröôøng lyù töôûng thì ξ laø moät soá thöïc, khoâng phuï
thuoäc taàn soá:
µ
ξ
ε
= ; trong chaân khoâng [ ]0 120 377ξ = Π = Ω .
caùc aûnh E
•
+
vaø H
•
+
bieåu dieãn nhöõng soùng truyeàn thuaän
chieàu z vôùi bieân ñoä khoâng giaûm.
( )
( )
1
1
( , , ) ( , , , ) 2 cos
( , , ) ( , , , ) 2 cos
x
y
E x y z E x y z t i A t z
A
H x y z H x y z t i t z
ω β ψ
ω β ψ
ξ
•
+ +
•
+ +

↔ = − + 

↔ = − +

( )
Töông töï, E
•
−
vaø H
•
−
bieåu dieãn nhöõng soùng truyeàn ngöôïc
chieàu z.
Hình aûnh lan truyeàn soùng thuaän vaø ngöôïc trong ñieän moâi
ñöôïc bieåu dieãn nhö sau :

z
x
y
x
E
+
E
+
E
_
H
-
y
V
d
H
+
E
+
+
E
-
H
-
d
-
so´ng thuâ?n so´ng nguo?ca) b)
Ta rút ra một số kết luận về sóng phẳng đơn sắc lan truyền trong điện
môi lý tưởng:
-Sóng lan truyền trong điện môi lý tưởng có biên độ không bị tắt
dần, heä soá tắt α =0.
- heä soá pha baèng:
β ω µε=
-Vận tốc pha
( )
( )
,
,
z
E z t tz
v v
t E z t z
ω
β
∂ ∂∂
= = = =
∂ ∂ ∂
;
0 0
1
r r r r
c
v
ω
β µ µ ε ε µ ε
= = =
Trong chân không ε = = F/m ,μ = = 4π.10−7
H/m ,
v=300.000 km/s ; đó là vận tốc ánh sáng truyền trong chân không.
-Mật độ năng lượng trường điện bằng mật độ năng lượng
trường từ.
2 2 2 2 21 1 1 1
2 2 2 2
E MW E H H H W
µ
ε ε ξ ε µ
ε
= = = = =
- Vận tốc truyền năng lượng sóng điện từ bằng vận tốc pha của sóng.

Ngoài các đại lượng đặc trưng cho sóng như vận tốc pha,hệ số pha,
trở sóng … người ta còn định nghĩa các đại lượng: bước sóng ,vectơ sóng ...
Bước sóng λ (hoặc độ dài sóng ) là khoảng cách mà sóng lan truyền
được trong 1 chu kì:
= vpT = = (Vì ω = 2πf , vp = )
-Các vectơ và vuông góc với phương truyền và vuông góc với
nhau.
=
1
si
ξ
×
= ξ ( × )
trong đó :
β : hệ số pha ,
µ
ξ
ε
= : toång trôû soùng
là vectơ đơn vị chỉ phương chiều lan truyền của sóng phẳng.
4. SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG ĐƠN SẮC TRONG VẬT DẪN LÝ
TƯỞNG
Với sóng đơn sắc tần số ω truyền trong môi trường nếu:
γ ωε
tức | dẫn | | dịch |
thì khi khảo sát có thể bỏ qua dòng điện dịch và ta gọi môi trường là môi
trường dẫn tốt.Ví dụ kim loại ( γ 107
S/m) là môi trường dẫn tốt.
khaûo saùt tröôøng hôïp ñôn giaûn nhaát: khi trong vaät daãn coù moät
soùng phaúng truyeàn theo phöông z töùc laø E
•
phaûi phaân cöïc trong
maët phaúng x,y.

của trường điện từ và quan hệ giữa trường và môi trường chất ở mọi chế độ tĩnh, dừng
và biến thiên.
3.1. Hai phương trình Maxwell 1 và 2 mô tả mối quan hệ giữa hai mặt thể hiện điện
và từ của trường điện từ biến thiên.
Các mối quan hệ ấy đặc biệt gắn bó khăng khít với TĐT biến thiên và lỏng lẻo
hơn khi trường biến thiên chậm hoặc không đổi.
Thực vậy, đối với TĐT biến thiên, phương trình (1) nêu rõ : những vùng có điện
trường biến thiên, tức là có mật độ dòng điện
D
J
t
∂
+
∂
biến thiên thì ở đó có từ trường và
từ trường có tính chất xoáy ( vì 0rotH ≠ ). Mặt khác, phương trình (2) nêu rõ những
vùng có từ trường biến thiên ( 0
B
t
∂
≠
∂
) thì ở đó có điện trường và điện trường có tính chất
xoáy (vì 0rotE ≠ ) .
Vậy, hai phương trình đó nêu rõ từ trường và điện trường biến thiên luôn gắn bó
kèm theo nhau và luôn có tính chất xoáy.
Đối với trường điện từ dừng ( hiểu theo nghĩa là có dòng điện không đổi 0J ≠
và 0=
∂
∂
t
), phương trình (1) có vế phải bằng J nêu rõ từ trường vẫn phụ thuộc vào sự
phân bố dòng điện dẫn .Nhưng phương trình (2) có vế phải triệt tiêu, nêu rõ sự phân bố
điện trường và dòng điện không phụ thuộc từ trường nữa: mối quan hệ giữa điện và từ
bớt mật thiết. Đặc biệt vì 0rotE = , nên điện trường có tính chất thế, không có tính chất
xoáy nữa. Nhưng vì rotH J= , từ trường vẫn có tính chất xoáy ở những vùng có dòng
điện và chỉ có tính chất thế ở những vùng không có dòng điện.
Đối với TĐT tĩnh, tức là có 0=
∂
∂
t
, đồng thời 0J = nên các phương trình (1) và
(2) có dạng:
0rotH = và 0rotE =
Đó là trường của những nam châm vĩnh cửu và các vật mang điện tĩnh. Hai
phương trình này nêu rõ: trong hệ quy chiếu gắn với các vật đó, điện và từ hoàn toàn
không phụ thuộc vào nhau, đều không có tính chất xoáy mà chỉ có tính chất thế.
3.2 Hai phương trình Maxwell 3 và Maxwell 4 mô tả hình học của hai mặt thể hiện
điện trường và từ trường.
Thực vậy, phương trình Maxwell 3 dạng 0divB = nêu rõ : dòng vectơ từ cảm B luôn
chảy liên tục. Với mọi mặt kín S thì thông lượng vectơ B chảy ra và chảy vào luôn bằng
nhau, không có vùng nào là xuất phát hay tận cùng của vectơ B . Đó là dạng hình học của
trường vectơ từ cảm B .
Phương trình Maxwell 4 với: divD ρ= nêu lên một dạng hình học khác. Thông
lượng của vectơ D chảy qua một mặt kín S bằng lượng điện tích tự do bao trong mặt ấy.
Vậy đối với trường vectơ D có thể có những vùng xuất phát là vùng có phân bố 0ρ >

Do ñoù, soùng thuaän seõ coù daïng:
( )0 0exp 2 exp( )cos(cot )E E z i z E z zα β α β ψ
• •
+ + +
= − − ↔ − − +
Coøn toång trôû soùng laø moät soá phöùc argument
4
π
:
0
45
E E i i
iH H
ωµ ωµ ωµ
ξ
γγωµγ
• •
+ −
• •
+ −
= = = = =
Thaáy raèng vaän toác ôû ñaây phuï thuoäc tính chaát moâi tröôøng ( , )µ γ
vöøa phuï thuoäc vaøo taàn soá ω , neân goïi ñaây laø hieän töôïng taùn xaï
vaän toác theo taàn soá.
nhöõng phaàn naêng löôïng vaø tín hieäu ñaàu tieân truyeàn töø phía
nguoàn ñeán moät mieàn naøo ñoù trong vaät daãn, lan voùi vaän toác lôùn
nhaát öùng vôùi taàn soá cao nhaát trong phoå taàn vaø nhöõng phaàn chaäm
nhaát thì lan truyeàn vôùi vaän toác nhoû nhaát öùng vôùi taàn soá thaáp
nhaát; do ñoù tín hieäu bò meùo ñi.
0
0
ωµ µ
ξ ξ
γ ε
= =≪ .
Vôùi moãi taàn soá thì heä soá pha β cuõng lôùn hôn trong chaân
khoâng raát nhieàu ( 0β β≫ ).
do ñoù, böôùc soùng trong vaät daãn ngaén hôn trong chaân khoâng
raát nhieàu:
0
0
2 2π π
λ λ
β β
= =≪
Ví duï: ñoái vôùi ñoàng (Cu), ôû f = 50 Hz coù [ ]6 0
2,6.10 45ξ −
= Ω , coøn ôû f
= 0,5 MHz thì coù [ ]4
2,6.10ξ −
= Ω , vaø coøn trong chaân khoâng
[ ]0 120 377ξ = Π = Ω .
Beà saâu xuyeân thaáu Z0:
Do coù tieâu taùn maø soùng ñieän töø phaúng trong vaät daãn phaûi
taét, vaø ñaëc bieät taét nhanh; chæ caàn truyeàn qua moät böôùc soùng thì
bieân ñoä soùng ñaõ taét:

exp( ) exp( ) exp(2 ) 536αλ βλ π= = = laàn, coù theå coi gaàn ñuùng laø ñaõ
taét heát.
Trong kyõ thuaät ngöôøi ta thöôøng ño möùc ñoä taét baèng moät
löôïng ñöôïc goïi laø beà saâu xuyeân thaáu cuûa soùng, kí hieäu 0Z . Ñoù laø
khoaûng caùch laáy theo phöông truyeàn sao cho soùng truyeàn qua
khoaûng aáy (xuyeân vaøo vaät daãn) bieân ñoä seõ giaûm ñi e laàn.Theo
ñònh nghóa ñoù thì coù:
0exp( )z eα = hoaëc 0
1 2
2
z
λ
α π ωµγ
= = =
ta thaáy raèng: beà saâu xuyeân thaáu 0Z tuøy thuoäc vaøo moâi
tröôøng ( , )γ µ vaø caøng nhoû khi taàn soá ω caøng cao. Thoâng thöôøng
0Z coù giaù trò khoâng lôùn.
Ví duï: vôùi ñoàng (Cu) ôû f = 50Hz thì 0 9,4[ ]Z mm= , coøn ôû f =
0,5MHz thì 0Z = 0,094[mm]. Nhö vaäy, ôû taàn soá cao thì soùng ñieän
töø ñieàu hoøa trong thöïc teá chæ thaám vaøo moät lôùp moûng treân beà
maët vaät daãn vaø goïi hieän töôïng ñoù laø hieäu öùng maët ngoaøi.
Cuoái cuøng thaáy raèng: vì 0Z lieân heä tröïc tieáp vôùi α vaø β ,
neân noù phaûi lieân heä vôùi caùc thoâng soá soùng khaùc vaø coi 0Z nhö laø
moät thông soá đặc tröng ñeå qua noù bieåu dieãn caùc löôïng khaùc:
0
0
0
0.
1
(1 ) (1 );
1
(1 ) ;
;
2 2
2
f
j j j
z
j j
j
z
v z
z
α β α
ωµ α
ξ
γ γ γ
ω ω
ω
β α
π π
λ π
β α

Γ = + = + = + 

+
= = + = 


= = =


= = =

Vận tốc pha :
vp = =

Bước sóng :
Ta rút ra một số kết luận về sóng phẳng đơn sắc truyền trong môi
trường dẫn tốt :
- vuông góc với phương truyền.
-Ở cùng một tần số ,bước sóng trong môi trường dẫn rất nhỏ hơn bước
sóng trong điện môi.
Ví dụ
● Ở tần số f = 50Hz :
-Trong đồng ( H/m ,γ = 5,8.107
S/m), ta được
0,06m.
-Trong không khí ( F/m , μ ) ta được :
m
●Ở tần số f = 0,5 MHz : trong đồng = m, trong không khí =
600m.
-Sóng điện từ lan truyền trong môi trường dẫn tốt có biên độ bị tắt dần và
tắt rất nhanh , do sự hấp thụ năng lượng sóng của môi trường dẫn;ω,μ,γ
càng lớn, sóng bị tắt càng nhanh. Vì biên độ sóng giảm theo hướng
truyền với quy luật , nên trên khoảng cách bằng bước sóng biên
độ sóng giảm lần, và do đó năng lượng sóng
giảm = 28.104
lần.
-Năng lượng sóng điện từ chủ yếu tập trung ở dạng trường từ. Thật vậy :
Vì γ ω.ε ⇒
5. NAÊNG LÖÔÏNG ÑIEÄN TÖØ
Tröôøng ñieän töø vaø naêng löôïng ñieän töø coù khaû năng lan truyeàn
trong khoâng gian. Vì vaäy, hình thaønh moät doøng naêng löôïng ñieän
töø chaûy trong khoâng gian. Doøng naøy toûa ra töø caùc nguoàn ñieän töø
ñöa tích vaøo khoâng gian ñieän moâi, töø moâi xung quanh hoaëc chaûy

ngöôïc töø moâi tröôøng traû laïi nguoàn, doøng naøy chaûy vaøo caùc vaät
daãn thì bieán thaønh nhieät naêng Joule.
Döïa treân suy luaän ñoù maø Poynting ñaõ ra khaùi nieäm vectô
maät ñoä coâng suaát ñieän töø P , ñöôïc goïi laø vectô Poynting. Vectô ñoù
baèng coâng suaát ñieän töø chaûy qua moät ñôn vò dieän tích ñaët vuoâng
goùc vôùi doøng chaûy.Vậy khi khaûo saùt coâng suaát chaûy vaøo moät mặt
kín S naøo ñoù ta coù theå tính theo thoâng löôïng cuûa caùc vectô
Poynting chaûy qua mặt aáy.
. .v
S V
P P dS divP dv= − = −∫ ∫ ( v là thể tích bao
bôûi maët kín S)
Goïi coâng suaát tích luõy vaøo moät ñôn vò theå tích laøm taêng naêng
löôïng ñieän tröôøng vaø töø tröôøng laø EOp vaø MOp , coøn coâng suaát tieâu
taùn Joule trong moät ñôn vò theå tích laø JOp , thì coâng suaát toång
ñöa vaøo mieàn v laø:
0 ( )v EO MO JO
V V
P p dv p p p dv= = + +∫ ∫
Ngöôøi ta chöùng minh vaø cho bieát:
; ; .EO MO JO
D B
p E p H p E J
t t
∂ ∂
= = =
∂ ∂
söû duïng caùc phöông trình Maxwell (1) ; (2),suy ra :
EO MO JO
D B
p p p E J H ErotH HrotE
t t
 ∂ ∂
+ + = + + = −  ∂ ∂ 
Vaän duïng caùc pheùp tính giaûi tích vectô thì:
( )ErotH HrotE div E H− = − ×
0 ( ) . ;v
v v v
P p dV div E H dv divPdv= = − × = −∫ ∫ ∫
( )divP div E H= ×
Do ñoù, tìm ñöôïc bieåu thöùc cuûa vectô Poynting:
P E H= ×
Vậy, năng lượng của trường điện từ biến thiên lan truyền thành dòng
năng lượng với vectơ mật độ dòng công suất là vectơ Poynting:
= ×
và công suất của trường điện từ gửi qua mặt S bằng:

Tài liệu tham khảo trường điện từ

Tài liệu tham khảo trường điện từ

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Tài liệu tham khảo trường điện từ

Similar to Tài liệu tham khảo trường điện từ (20)

More from Cửa Hàng Vật Tư

More from Cửa Hàng Vật Tư (20)

Tài liệu tham khảo trường điện từ