Dokumen tersebut membahas tentang vektor matematika kelas 10, meliputi pengertian vektor, operasi vektor, panjang vektor, hasil kali skalar vektor, dan contoh penerapannya dalam GPS dan sistem navigasi pesawat.

1. MATEMATIKA KELAS 10
VEKTOR
By: Atika Faradilla

2. Vektor
A
B
C
D
Pengertian Vektor
Operasi pada Vektor
Panjang Vektor dan Vektor Satuan
Hasil Kali Skalar Dua Vektor

3. Besaran Skalar
Besaran yang hanya memiliki nilai
Contoh: Panjang, massa, waktu, dan suhu
Besaran Vektor
Besaran yang memiliki nilai dan arah
Contoh: gerak, gravitasi, medan magnet, kecepatan

4. “Evan berjalan dari arah barat ke timur (titik AB) sejauh 80 m. Lalu, ia berbalik arah
menuju barat lagi (titik BC) sejauh 30 m.”
Dari sini, kita bisa tahu kalau jarak yang ditempuh Evan adalah AB + BC = 80 m + 30 m
= 110 m. Bagaimana dengan perpindahannya? Perpindahan dapat diukur dari posisi awal
ke posisi akhir. Sehingga dapat disimpulkan perpindahannya adalah 80 m – 30 m = 50 m.
Jarak adalah panjang lintasan yang ditempuh suatu benda yang bergerak. Oleh
karena itu, jarak tidak dipengaruhi arah pergerakan benda. Maka, jarak merupakan
contoh besaran skalar.
Sedangkan, perpindahan merupakan perubahan kedudukan/posisi suatu benda,
sehingga memiliki arah. Oleh karena itu, perpindahan termasuk besaran vektor.
80 m
30 m
D
D

5. Pemanfaatan
Konsep Vektor
Saat menggunakan GPS (Global
Positioning System), kita akan
diberikan informasi mengenai jarak
dan arah ke tempat yang akan kita
tuju. Jarak dan arah adalah indikasi
utama pemanfaatan konsep vektor
pada aplikasi GPS.
Aplikasi GPS juga digunakan pada
sistem navigasi pesawat. Setiap
pesawat memiliki sistem ini untuk
mengarahkan penerbangan
sehingga pesawat tidak tersesat,
meski melakukan penerbangan di
malam hari.

6. Notasi Vektor
Vektor digambarkan sebagai anak
panah. Pangkal anak panah adalah
posisi benda sebelum proses
translasi atau pergeseran,
sedangkan ujung anak panah
adalah posisi benda setelah proses
pergeseran. Notasi vektor ditulis
dengan huruf kecil disertai tanda
anak panah diatas, sebagai contoh
𝑎. Selain itu, vektor juga dapat
dinyatakan dengan dua huruf
capital, sebagai contoh 𝐴𝐵.
3
2
1 Contoh:
𝑎 =
2
3
atau 𝐴𝐵 =
−3
4
1
Bentuk vektor kolom
Contoh:
𝑎 =( 2, 3) atau
𝐴𝐵 = (-3 ,4, 1)
Bentuk vektor baris
Contoh:
𝑎 = 2 𝑖 + 3 𝑗 atau
𝐴𝐵 = −3 𝑖 + 4 𝑗 + 𝑘
Bentuk vektor dengan
notasi 𝒊, 𝒋, 𝒌

7. Vektor di Bidang dan Ruang
Vektor di R-2 Vektor di R-3
Dinyatakan dalam
𝑣 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗
Atau
𝑣 =
𝑥
𝑦
(𝑥, 𝑦)
𝑣
𝑣
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
Dinyatakan dalam
𝑣 = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 𝑘
Atau
𝑣 =
𝑥
𝑦
𝑧

8. D
D Section Break

9. Operasi Aljabar pada Vektor
Contoh Soal
Diketahui 𝑎 =
3
−2𝑝
−1
, 𝑏 =
𝑝
6
3
, dan 𝑐 =
−3
3𝑞
2
.
Jika 𝑎 + 𝑏 = 𝑐, maka p − 𝑞 = ⋯
Jawab:
𝑎 + 𝑏 = 𝑐
3
−2𝑝
−1
+
𝑝
6
3
=
−3
3𝑞
2
3 + 𝑝
−2𝑝 + 6
−1 + 3
=
−3
3𝑞
2
→
Maka, 𝐩 − 𝒒 = −𝟔 − 𝟔 = −𝟏𝟐.
Penjumlahan dua vektor
3 + 𝑝 = −3 → 𝑝 = −6
−2𝑝 + 6 = 3𝑞
−2 −6 + 6 = 3𝑞
18 = 3𝑞 → 𝑞 = 6

10. Operasi Aljabar pada Vektor
Contoh Soal
Diketahui titik – titik A(3, -1, 2) dan B(1, 4, -2).
Tentukan vektor 𝐴𝐵.
Jawab:
𝐴𝐵 = 𝑏 − 𝑎
1
4
−2
−
3
−1
2
=
1 − 3
4 − −1
−2 − 2
=
−2
5
−4
Maka, 𝑨𝑩 =
−𝟐
𝟓
−𝟒
Pengurangan dua vektor

11. Operasi Aljabar pada Vektor
Contoh Soal
Diketahui 𝑎 =
2
−1
6
dan 𝑏 =
2
−1
4
.
Jika terdapat 𝑥 sehingga 𝑎 − 2 𝑥 = 3𝑏, maka 𝑥 = ⋯
Perkalian skalar dan vektor
Jawab: Misal: 𝑥 =
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑎 − 2 𝑥 = 𝑏
2
−1
6
− 2
𝑥1
𝑥2
𝑥3
= 3
2
−1
4
2
−1
6
−
2𝑥1
2𝑥2
2𝑥3
=
6
−3
12
→
2 − 2𝑥1 = 6 → −2𝑥1 = 4 → 𝑥1 = −2
−1 − 2𝑥2 = −3 → −2𝑥2 = −2 → 𝑥2 = 1
6 − 2𝑥3 = 12 → −2𝑥3 = 6 → 𝑥3 = −3
Maka: 𝒙 =
−𝟐
𝟏
𝟑

12. Diketahui 𝑎 =
3
4
5
dan 𝑏 =
−5
−3
−4
. Tentukan 𝑎 + 𝑏 .
Jawab:
𝑎 + 𝑏 =
3
4
5
+
−5
−3
−4
=
−2
1
1
𝑎 + 𝑏 = −2 2 + 12 + 12 = 6 satuan panjang
Tentukan vektor satuan dari vektor 𝑎 =
3
−4
.
Jawab:
Pertama, kita hitung pajang vektor 𝑎.
𝑎 = 32 + (−4)2= 9 + 16 = 25 = 5
Maka, vektor satuan dari 𝑎:
𝑢 =
𝑎
𝑎
=
1
5
3
−4
=
3
5
− 4
5
Panjang Vektor
Vektor Satuan
Contoh Soal
Contoh Soal
𝑎
𝑢

13. D
D Section Break

14. Hasil Kali Skalar Dua Vektor
• Misalkan 𝑎 =
𝑎1
𝑎2
dan 𝑏 =
𝑏1
𝑏2
dua vektor di bidang. Hasil kali skalar
dua vektor tersebut adalah sebagai berikut:
𝑎 . 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2
• Misalkan 𝑎 =
𝑎1
𝑎2
𝑎3
dan 𝑏 =
𝑏1
𝑏2
𝑏3
dua vektor di ruang. Hasil kali skalar
dua vektor tersebut adalah sebagai berikut:
𝑎 . 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
Hasil Kali Skalar (dot product)

15. Hasil Kali Skalar Dua Vektor
Jika 𝑎 = 2𝑖 + 3𝑗 + 𝑘 dan 𝑏 = 5𝑖 − 𝑗 + 4𝑘, maka hasil kali skalar 𝑎 . 𝑏
adalah…
Jawab:
𝑎 . 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
𝑎 . 𝑏 = 2 . 5 + 3 . −1 + 1 . 4
𝑎 . 𝑏 = 10 − 3 + 4 = 𝟏𝟏
Contoh Soal

16. Misalkan terdapat dua vektor 𝑎 dan 𝑏, maka:
𝑎 . 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos ∠( 𝑎, 𝑏)
Dengan 00
≤ ∠ 𝑎, 𝑏 ≤ 1800
.
Hasil kali skalar

17. Hasil Kali Skalar Dua Vektor
Tentukanlah perkalian titik antara vektor 𝑎 dan vektor 𝑏.
Contoh Soal
𝑏 = 4
Jawab:
𝑎 . 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos ∠( 𝑎, 𝑏)
𝑎 . 𝑏 = 6 . 4 cos 450
𝑎 . 𝑏 = 24 .
1
2
2 = 𝟏𝟐 𝟐
Contoh Soal
Tentukanlah besar sudut antara dua vektor berikut
𝑎 = −3𝑖 + 3𝑗 dan 𝑏 = −2𝑖 + 4𝑗 + 2𝑘.
Jawab:
Diketahui 𝑎 =
−3
3
0
dan 𝑏 =
−2
4
2
.
𝑎 . 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos ∠( 𝑎, 𝑏)
cos ∠ 𝑎, 𝑏 =
𝑎 . 𝑏
𝑎 𝑏
cos ∠ 𝑎, 𝑏 =
−3 −2 + 3 . 4 + 0 . 2
(−3)2+(3)2+02 . (−2)2+42 + 22
cos ∠ 𝑎, 𝑏 =
18
18 . 24
=
18
3 2 . 2 6
=
3
2 3
×
3
3
cos ∠ 𝑎, 𝑏 =
1
2
3 → ∠ 𝑎, 𝑏 = 𝟑𝟎 𝟎

18. Bonus Question
Diketahui titik – titik A(3, 2, 4), B(5, 1, 5), dan C(4, 3, 6).
Jika vektor 𝐴𝐵 = 𝑢 dan 𝐴𝐶 = 𝑣, sudut yang dibentuk
oleh 𝑢 dan 𝑣 adalah …

19. D
D
Thank you