Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Dosen Pembimbing :
Dr. BUDI SANTOSO
ELIKA KURNIADI, M.Sc
Kumpulan
Soal-Soal TRIGONOMETRI
dan
Pembahasannya
NOVI SURYANI
PE...
Trigonometri 2
DAFTAR ISI
Sinus dan Kosinus..................................................................................
Trigonometri 3
1. A dan B merupakan titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari titik C.
Besar sudut penglihatan...
Trigonometri 4
2. Pada segitiga ABC, sudut A nya sebesar 60 dan sudut B nya 45. Titik D terletak
diantara A dan B sehingga...
Trigonometri 5
3. Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya a = 7cm, b = 5cm, dan c =
3cm, maka nilai sin B adal...
Trigonometri 6
4. Suatu Kota dan pusat air terpisah oleh gunung akan dibuat saluran air lurus
menghubungkan kota dan pusat...
Trigonometri 7
3โˆš339
0,98
=
55
๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘…
๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘… =
53,9
3โˆš339
๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘… = 0,975
๐‘… = 77,16ยฐ
โžข Besar sudut pusat air
๐‘„๐‘…
๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘ƒ
=
๐‘ƒ๐‘…
๐‘†๐‘–๐‘›...
Trigonometri 8
5. Pada Segitiga ABC, AB = 6 cm, BC = 7cm, dan CA = 5cm. Panjang garis berat yang
ditarik dari C adalah.......
Trigonometri 9
1. ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ, maka nilai dari ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ = โ‹ฏ
Pembahasan :
๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ
(
๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ
...
Trigonometri 10
๐‘‹1,2 =
โˆ’๐‘ ยฑ โˆš๐‘2 โˆ’ 4๐‘Ž๐‘
2๐‘Ž
=
โˆ’(โˆ’1) ยฑ โˆš(โˆ’1)2 โˆ’ 4 . 1. (โˆ’1)
2.1
=
1 ยฑ โˆš5
2
=
1
2
ยฑ
1
2
โˆš5
Jadi, nilai dari ๐’•๐’‚๐’...
Trigonometri 11
๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ =
1
3
โˆš3
โžข Oleh karena itu :
๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ =
1
2
dan ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ =
1
2
โˆš3
โžข Maka :
๐‘ ๐‘–๐‘› 2๐‘ฅ = 2 ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ =
1
2
โˆš3...
Trigonometri 12
4. ๐‘๐‘œ๐‘ก 105 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 15 = โ‹ฏ
Pembahasan:
๐‘๐‘œ๐‘ก 105 โˆ™ ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 15 =
1
๐‘ก๐‘Ž๐‘› 105
๐‘ก๐‘Ž๐‘› 15
=
๐‘ก๐‘Ž๐‘› 15
๐‘ก๐‘Ž๐‘› 105
=
๐‘ก๐‘Ž๐‘›(60 โˆ’ 45)
๐‘ก๐‘Ž๐‘›(...
Trigonometri 13
5. ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ + ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ + ๐‘ ๐‘–๐‘›3
๐‘ฅ + ๐‘๐‘œ๐‘ 3
๐‘ฅ + ๐‘ ๐‘–๐‘›5
๐‘ฅ + ๐‘๐‘œ๐‘ 5
๐‘ฅ + โ‹ฏ =
Pembahasan :
โžข Dengan rumus jumlah geometri tak...
Trigonometri 14
6. ๐‘ ๐‘–๐‘›8
75 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 8
75 = โ‹ฏ
Pembahasan:
๐‘ ๐‘–๐‘›8
75 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 8
75
= (๐‘ ๐‘–๐‘›4
75 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 4
75)(๐‘ ๐‘–๐‘›4
75 + ๐‘๐‘œ๐‘ 4
75)
= ((๐‘ ๐‘–๐‘›2
7...
Trigonometri 15
1. Untuk โˆ’
3๐œ‹
2
< ๐‘ฅ < 2๐œ‹ , banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan (sin 2๐‘ฅ +
โˆš3 cos 2๐‘ฅ)
2
โˆ’ 5 = cos (
๐œ‹
...
Trigonometri 16
(2๐‘ฅ โˆ’ 30ยฐ) = 180ยฐ + ๐‘˜. 360ยฐ
(2๐‘ฅ โˆ’ 30ยฐ) = โˆ’180ยฐ + ๐‘˜. 360ยฐ
โ– 2๐‘ฅ = 210ยฐ + ๐‘˜. 360ยฐ
๐‘ฅ = 105ยฐ + ๐‘˜. 180ยฐ
๐’Œ = ๐ŸŽ โ†’ ...
Trigonometri 17
2. Himpunan penyelesian dari 2 cos2
๐ด โˆ’ cos ๐ด โˆ’ 1 = 0 untuk 0ยฐ โ‰ค ๐‘ฅ โ‰ค 360ยฐ ....
Pembahasan :
2 cos2
๐ด โˆ’ cos...
Trigonometri 18
3. Nilai terbesar x dalam 0 โ‰ค x โ‰ค 2ฯ€ sehingga cos (2x โˆ’
ฯ€
2
) = โˆš3 sin (2x โˆ’
ฯ€
2
) adalah
....
Pembahasan ...
Trigonometri 19
4. Selesaikan persamaan ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘›
๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘›
๐‘ฅ = 1 dimana n adalah bilangan asli !
Pembahasan :
โ– Untuk ๐‘› โ‰ฅ 1 ,...
Trigonometri 20
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2
๐‘ฅ = 2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2
๐‘ฅ dengan 0 โ‰ค ๐‘ฅ โ‰ค
180ยฐ !
Pembahasan :
๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ ...
Trigonometri 21
1. Diketahui โˆ† ABC dengan AB = 1 cm, BC = 2 cm, dan AC = k m. Jika ๐›ผ adalah sudut
ACB, maka nilai-nilai k ...
Trigonometri 22
โžข Buat garis bilangan
Himpunan k adalah ๐‘˜ < 0 atau
3
2
< ๐‘˜ < 2
Karena k adalah panjang salah satu sisi โˆ†, ...
Trigonometri 23
2. Nilai x yang memenuhi cos 3x >
1
2
untuk 0 โ‰ค x โ‰ค 180 adalah . . . .
Pembahasan :
cos 3x >
1
2
, 0 โ‰ค x โ‰ค...
Trigonometri 24
3. Tentukan penyelesaian dari โˆš2 ๐‘ ๐‘–๐‘›2
(๐‘ฅ +
๐œ‹
4
) + ๐‘ ๐‘–๐‘› (๐‘ฅ +
๐œ‹
4
) โˆ’ โˆš2 > 0 untuk 0 โ‰ค ๐‘ฅ โ‰ค
360
Pembahasan :
...
Trigonometri 25
4. Semua nilai ๐‘ฅ โˆˆ [0, 2๐œ‹]yang memenuhi pertidaksamaan sin ๐‘ฅ + 2 tan ๐‘ฅ < 0 adalah .
. . .
Pembahasan :
sin...
Trigonometri 26
1.
Jika, a= 4, b=6, c=3
Berapa luas segitiga ABC ?
Pembahasan :
โžขCari cosinus c
๐‘2
= ๐‘Ž2
+ ๐‘2
โˆ’ 2๐‘Ž๐‘ cos ๐‘
3...
Trigonometri 27
sin ๐‘ =
โˆš455
48
Luas segitiga ABC =
1
2
ร—๐‘Žร—๐‘ร— sin ๐‘
=
1
2
ร—4ร—6ร— sin
โˆš455
48
=
1
4
โˆš455
Jadi, luas segitiga...
Trigonometri 28
2. Perhatikan gambar di bawah ini!
8 12
13
Dengan โˆ  ๐‘† = 60โˆ˜
Berapa luas segitiga PQR?
Pembahasan :
โžข Cari ...
Trigonometri 29
โžข Dari hasil cos Q, kita peroleh sin Q dengan segitiga baru
13
X
11
๐‘‹2
= 132
โˆ’ 112
= 169 โˆ’ 121
= 48
๐‘ฅ = โˆš4...
Trigonometri 30
3. Perhatikan gambar dibawah ini!
4
Dengan โˆ  ๐ด = 45โˆ˜
, โˆ  ๐ต = 105โˆ˜
, โˆ  ๐ถ = 30โˆ˜
Berapa luas segitiga ABC?
Pe...
Trigonometri 31
๐ด๐ต
๐‘†๐‘–๐‘› ๐ถ
=
๐ต๐ถ
๐‘†๐‘–๐‘› 45
2(โˆš6 โˆ’ โˆš2)
sin 30
=
๐ต๐ถ
sin 45
2(โˆš6 โˆ’ โˆš2)
1
2
=
๐ต๐ถ
1
2 โˆš2
2โˆš2 (โˆš6 โˆ’ โˆš2) = ๐ต๐ถ
๐ต๐ถ = 2โˆš2 ...
Trigonometri 32
4. Diketahui sekeping keramik dipotong berbentuk segitiga sembarang dengan
panjang sisi-sisi 10 cm,13 cm d...
Trigonometri 33
1. Gambarlah grafik dari y = 2 sin x ( 1 โˆ’ sin2
๐‘ฅ) + sin ๐‘ฅ โˆ’ 2 sin3
๐‘ฅ
Penyelesaian:
๐‘ฆ = 2 sin ๐‘ฅ( 1 โˆ’ sin2
...
Trigonometri 34
2. Tuliskan persamaan sinus dan cosinus dari grafik berikut (perhatikan grafik pada
sumbu-x dan sumbu-y po...
Trigonometri 35
Maka fungsi cosinus dari grafik diatas adalah ๐‘ฆ = 3 cos
๐œ‹
2
๐‘ฅ + 2
โžข Fungsi Sinus
Pada kuadran IV ingat
sin...
Trigonometri 36
3. Gambarlah grafik dari ๐‘ฆ =
๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ (๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ+1)โˆ’2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ
๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅโˆ’๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ
Penyelesaian:
๐‘ฆ =
sin ๐‘ฅ (tan ๐‘ฅ + 1) ...
Trigonometri 37
4. Tentukan fungsi yang sesuai dari grafik berikut ini !
Penyelesaian:
Persamaan fungsi sinus ๐‘ฆ = ๐ด sin ๐‘˜(...
Trigonometri 38
๐‘˜ = 2,4 =
12
5
โžข ๐›ผ = 45ยฐ โˆ’ (75ยฐ โˆ’ 45ยฐ)
๐›ผ = 45ยฐ โˆ’ 30ยฐ
๐›ผ = 15ยฐ (Karena positif, maka bergeser ke kanan sehin...
Trigonometri 39
6. Tentukan fungsi yang sesuai dari grafik berikut ini
Penyelesaian:
Persamaan fungsi sinus ๐‘ฆ = ๐ด sin ๐‘˜(๐‘ฅ ...
Trigonometri 40
๐‘˜ = 1
โžข ๐›ผ = 0 โˆ’ (
๐œ‹
2
โˆ’ 0)
๐›ผ = โˆ’
๐œ‹
2
(Karena negatif, maka bergeser ke kiri maka tanda dipersamaannya
adal...
Trigonometri 41
1. Jika ๐‘ ๐‘–๐‘›16
๐‘Ž =
1
5
, maka
1
๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐‘Ž
+
1
1+๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘Ž
+
2
1+๐‘ ๐‘–๐‘›4 ๐‘Ž
+
4
1+๐‘ ๐‘–๐‘›8 ๐‘Ž
= โ‹ฏ
Penyelesaian:
1
๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐‘Ž
+
...
Trigonometri 42
2. Diketahui 9 cos2
๐‘ฅ + 3 sin(๐‘ฅ +
1
2
๐œ‹) โˆ’ 2 = 0 pada
1
2
๐œ‹ < ๐‘ฅ < ๐œ‹. Jika tan ๐‘ฅ =
1
๐‘
, maka
hitunglah nil...
Trigonometri 43
3. Jika dalam segitiga ABC berlaku 5 ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐ด + 12 ๐‘๐‘œ๐‘  ๐ต = 13 dan 5 cos ๐ด + 12 sin ๐ต =
6โˆš2. Maka nilai sin ๐ถ ...
Trigonometri 44
4. Berapa banyak solusi dari persamaan โˆšsin ๐‘ฅ + โˆš2
4
cos ๐‘ฅ = 0 untuk 0 < ๐‘ฅ < 2๐œ‹ ?
Penyelesaian:
โˆšsin ๐‘ฅ + โˆš...
Trigonometri 45
5. Tuliskan persamaan pada grafik berikut:
Penyelesaian:
Dari kurva diatas
โžข A = Amplitududo = 2
โžข Periode...
Trigonometri 46
1. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD . Panjang rusuk alas 6 cm, dan rusuk
tegak 12 cm . Tentukan ...
Trigonometri 47
2. Tentukan himpunan penyelesaian dari
2โˆ’sin ๐œƒ
cos ๐œƒ
โ‰ค
cos ๐œƒ
sin ๐œƒ
untuk 0 ห‚ ๐œƒ โ‰ค
๐œ‹
2
!
Penyelesaian :
Kuad...
Trigonometri 48
cos 105 tan 15 = โˆ’ tan2
15
= โˆ’(2 โˆ’ โˆš3)
2
= โˆ’(4 โˆ’ 4โˆš3 + 3)
= โˆ’7 + 4โˆš3
Jadi, nilai ๐’„๐’๐’” ๐Ÿ๐ŸŽ๐Ÿ“ ๐’•๐’‚๐’ ๐Ÿ๐Ÿ“ adalah โˆ’๐Ÿ• ...
Trigonometri 49
5. Jika sudut A dan B memenuhi system persamaan
2 tan A + tan B = 4
Tan A โ€“ 3 tan B = -
17
2
Carilah nilai...
Upcoming SlideShare
Loading in โ€ฆ5
×

Kumpulan Soal Trigonometri dan Pembahasannya

Semoga bermanfaat ya ;)

  • Login to see the comments

Kumpulan Soal Trigonometri dan Pembahasannya

  1. 1. Dosen Pembimbing : Dr. BUDI SANTOSO ELIKA KURNIADI, M.Sc Kumpulan Soal-Soal TRIGONOMETRI dan Pembahasannya NOVI SURYANI PENDIDIKAN MATEMATIKA 2015 UNIVERSITAS SRIWIJAYA PALEMBANG 2016
  2. 2. Trigonometri 2 DAFTAR ISI Sinus dan Kosinus......................................................................................................................................3 Jumlah dan Selish Dua Sudut.................................................................................................................9 Persamaan Trigonometri........................................................................................................................15 Pertidaksamaan Trigonometri .............................................................................................................21 Luas Segitiga dan Aplikasi Lainnya.....................................................................................................26 Grafik Fungsi Trigonometri ...................................................................................................................33 Pengayaan 1.................................................................................................................................................41 Pengayaan 2.................................................................................................................................................46
  3. 3. Trigonometri 3 1. A dan B merupakan titik-titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari titik C. Besar sudut penglihatan ACB adalah 45. Jika jarak CB = P meter dan CA = 2p2 meter, maka jarak terowongan dari A ke B adalah.... Pembahasan : A 2p โˆš2 C 45 p B Memakai Aturan Cos ๐ด๐ต2 = ๐ถ๐ด2 + ๐ถ๐ต2 - 2๐ถ๐ด . ๐ถ๐ต Cos 450 ๐ด๐ต2 = 8๐‘2 + ๐‘2 - 2. 2๐‘โˆš2 . ๐‘. 1 2 โˆš2 ๐ด๐ต2 = 9๐‘2 - 4๐‘2 ๐ด๐ต2 = 5๐‘2 ๐ด๐ต = ๐‘โˆš5 Jadi, jarak AB adalah ๐’‘โˆš๐Ÿ“ SINUS DAN KOSINUS
  4. 4. Trigonometri 4 2. Pada segitiga ABC, sudut A nya sebesar 60 dan sudut B nya 45. Titik D terletak diantara A dan B sehingga besar sudut ACD adalah 45. Jika AD = 2 cm, maka panjang BD adalah.... Pembahasan : C 45 30 ๐‘Ž 60 45 A 2 D ? B โžข Langkah awal mencari nilai ๐‘Ž ๐‘Ž sin 60 = 2 sin45 ๐‘Ž 1 2 โˆš3 = 2 1 2 โˆš2 ๐‘Ž = โˆš2 โžข Setelah itu panjang BD dapat dihitung menggunakan aturan sinus ๐ต๐ท sin 30 = ๐‘Ž sin 45 ๐ต๐ท = ๐‘Ž sin 30 sin 45 ๐ต๐ท = โˆš6 1 2 1 2 โˆš2 ๐ต๐ท = โˆš3 Jadi, panjang BD adalah โˆš๐Ÿ‘
  5. 5. Trigonometri 5 3. Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya a = 7cm, b = 5cm, dan c = 3cm, maka nilai sin B adalah.... Pembahasan : A 5 c b 3 B a C 7 โžข Langkah awal mencari nilai Cos B menggunakan aturan kosinus ๐‘2 = ๐‘Ž2 + ๐‘2 โˆ’ 2 ๐‘Ž๐‘ ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐ต 52 = 72 + 32 โˆ’ 2.7.3 ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐ต 25 = 58 โˆ’ 42 ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐ต ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐ต = 33 42 ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐ต = 11 14 Cos = ๐‘ ๐‘Ž ๐‘š๐‘– 14 x 11 ๐‘ฅ = โˆš142 โˆ’ 112 ๐‘ฅ = โˆš196 โˆ’ 121 ๐‘ฅ = 5โˆš3 Sin B = ๐‘‘๐‘’ ๐‘š๐‘– Maka, ๐‘†๐‘–๐‘› ๐ต = ๐‘‹ 14 = 5โˆš3 14 Jadi, nilai dari ๐‘บ๐’Š๐’ ๐‘ฉ adalah ๐Ÿ“โˆš๐Ÿ‘ ๐Ÿ๐Ÿ’
  6. 6. Trigonometri 6 4. Suatu Kota dan pusat air terpisah oleh gunung akan dibuat saluran air lurus menghubungkan kota dan pusat air dengan cara memuat terowongan. Untuk membuat garis lurus dari kota kepusat air dilakukan pengukuran dengan pusat titik Q. Jarak kota ke Q adalah 55 km dan jarak pusat air ke Q adalah 20 km dan susut di Q adalah 80 . Untuk menentukan garis lurus dari kota ke pusat. Kita cukup menghitung besar sudut di kota dan pusat air pada segitiga yang ada. Hitung lah besar sudut tersebut.. Pembahasan : Misal P : Kota R : Pusat Air P R 55 80 20 Q โžข Menghitung garis lurus dari kota ke pusat air menggunakan aturan kosinus ๐‘ƒ๐‘…2 = (๐‘ƒ๐‘„)2 + (๐‘…๐‘„)2 โˆ’ 2(๐‘ƒ๐‘„)(๐‘ƒ๐‘…) ๐ถ๐‘‚๐‘† ๐‘„ ๐‘ƒ๐‘…2 = (55)2 + (20)2 โˆ’ 2 (55)(20)๐ถ๐‘‚๐‘† 80 ๐‘ƒ๐‘…2 = 3025 + 400 โˆ’ 2200 (0,17) ๐‘ƒ๐‘…2 = 3051 ๐‘ƒ๐‘… = โˆš3051 ๐‘ƒ๐‘… = 3 โˆš339 โžข Menghitung besar sudut kota dan pusat air menggunakan aturan sinus Besar sudut kota ๐‘ƒ๐‘… ๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘„ = ๐‘ƒ๐‘„ ๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘… 3โˆš339 ๐‘†๐‘–๐‘› 80 = 55 ๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘…
  7. 7. Trigonometri 7 3โˆš339 0,98 = 55 ๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘… ๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘… = 53,9 3โˆš339 ๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘… = 0,975 ๐‘… = 77,16ยฐ โžข Besar sudut pusat air ๐‘„๐‘… ๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘ƒ = ๐‘ƒ๐‘… ๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘„ 20 ๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘ƒ = 3โˆš339 ๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘„ 20 ๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘ƒ = 3โˆš339 ๐‘†๐‘–๐‘› 80 20 ๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘ƒ = 3โˆš339 0,98 ๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘ƒ = 19,6 3โˆš339 ๐‘†๐‘–๐‘› ๐‘ƒ = 0,35 P = 20,49ยฐ Jadi, besar sudut pusaran air tersebut adalah 20,49ยฐ
  8. 8. Trigonometri 8 5. Pada Segitiga ABC, AB = 6 cm, BC = 7cm, dan CA = 5cm. Panjang garis berat yang ditarik dari C adalah........ Pembahasan : C b 5 ? a 7 3 3 A c 6 D B โžข Mencari Cos A menggunakan aturan kosinus ๐‘Ž2 = ๐‘2 + ๐‘2 โˆ’ 2๐‘๐‘ ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐ด 72 = 52 + 62 โˆ’ 2 .5 .6 ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐ด 49 = 25 + 36 โˆ’ 60 ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐ด1 60 ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐ด = 12 60 ๐ถ๐‘œ๐‘  ๐ด = 1 5 โžข Mencari garis berat menggunakan aturan kosinus ๐ถ๐ท2 = ๐ด๐ถ2 + ๐ด๐ท2 โˆ’ 2 (๐ด๐ถ)(๐ด๐ท)๐ถ๐‘œ๐‘  ๐ด = 52 + 32 โˆ’ 2 .5 .3 . 1 5 = 34 โˆ’ 6 ๐ถ๐ท2 = 28 ๐ถ๐ท = โˆš28 ๐ถ๐ท = 2โˆš7 Jadi, panjang CD adalah ๐Ÿโˆš๐Ÿ•
  9. 9. Trigonometri 9 1. ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ, maka nilai dari ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ = โ‹ฏ Pembahasan : ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ ( ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ ) ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ (1 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐‘ฅ) โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐‘ฅ = 1 2 ๐‘ ๐‘–๐‘› 2๐‘ฅ 1 โˆ’ 2 ๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐‘ฅ = 1 2 ๐‘ ๐‘–๐‘› 2๐‘ฅ โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘  2๐‘ฅ = 1 2 ๐‘ ๐‘–๐‘› 2๐‘ฅ ๐‘ ๐‘–๐‘› 2๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘  2๐‘ฅ = โˆ’2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 2๐‘ฅ = โˆ’2 2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ 1 โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ = โˆ’2 2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ = โˆ’2 + 2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ 2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ โˆ’ 2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ โˆ’ 2 = 0 ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ โˆ’ 1 = 0 Misal : ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ = ๐‘ƒ Maka : ๐‘ƒ2 โˆ’ ๐‘ƒ โˆ’ 1 = 0 JUMLAH DAN SELISIH SUDUT
  10. 10. Trigonometri 10 ๐‘‹1,2 = โˆ’๐‘ ยฑ โˆš๐‘2 โˆ’ 4๐‘Ž๐‘ 2๐‘Ž = โˆ’(โˆ’1) ยฑ โˆš(โˆ’1)2 โˆ’ 4 . 1. (โˆ’1) 2.1 = 1 ยฑ โˆš5 2 = 1 2 ยฑ 1 2 โˆš5 Jadi, nilai dari ๐’•๐’‚๐’ ๐’™ adalah ๐Ÿ ๐Ÿ ยฑ ๐Ÿ ๐Ÿ โˆš๐Ÿ“ 2. (1 โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ 22011) (1 โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ 22010)โ€ฆ (1 โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ 2 ) = 22011 โˆš3 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ 22011 maka ๐‘ ๐‘–๐‘› 2๐‘ฅ adalah ... Pembahasan : โžข Dari identitas ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 2๐‘ฅ = 2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ 1 โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ โžข Diperoleh 1 โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ = 2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 2๐‘ฅ โžข Sehingga (1 โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ 22011 ) (1 โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ 22010 ) โ€ฆ (1 โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ 2 ) = 22011 โˆš3 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ 22011 2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ 22011 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ 22010 โˆ™ 2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ 22010 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ 22009 โ€ฆ 2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ 2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ = 22011 โˆš3 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ 22011 22011 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ 22011 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ = 22011 โˆš3 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ 22011 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ = 22011 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ 22011 22011โˆš3 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ 22011
  11. 11. Trigonometri 11 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ = 1 3 โˆš3 โžข Oleh karena itu : ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ = 1 2 dan ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ = 1 2 โˆš3 โžข Maka : ๐‘ ๐‘–๐‘› 2๐‘ฅ = 2 ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ = 1 2 โˆš3 Jadi, nilai ๐’”๐’Š๐’ ๐Ÿ๐’™ adalah ๐Ÿ ๐’”๐’Š๐’ ๐’™ ๐’„๐’๐’” ๐’™ = ๐Ÿ ๐Ÿ โˆš๐Ÿ‘. 3. (๐‘๐‘œ๐‘  โˆ… โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐œƒ)2 + (๐‘ ๐‘–๐‘› โˆ… โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐œƒ)2 = 1, maka ๐‘ก๐‘Ž๐‘›(โˆ… + ๐œƒ) = โ‹ฏ Pembahasan: (๐‘๐‘œ๐‘  โˆ… + ๐‘๐‘œ๐‘  ๐œƒ)2 + (๐‘ ๐‘–๐‘› โˆ… + ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐œƒ)2 = 1 ๐‘๐‘œ๐‘ 2 โˆ… + 2 ๐‘๐‘œ๐‘  โˆ… ๐‘๐‘œ๐‘  ๐œƒ + ๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐œƒ + ๐‘ ๐‘–๐‘›2 โˆ… โˆ’ 2 ๐‘ ๐‘–๐‘› โˆ… ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐œƒ + ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐œƒ = 1 (๐‘๐‘œ๐‘ 2 โˆ… + ๐‘ ๐‘–๐‘›2 โˆ…) + (๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐œƒ + ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐œƒ) + 2๐‘๐‘œ๐‘ โˆ… ๐‘๐‘œ๐‘ ๐œƒ โˆ’ 2 ๐‘ ๐‘–๐‘› โˆ… ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐œƒ = 1 1 + 1 + 2 ๐‘๐‘œ๐‘  โˆ… ๐‘๐‘œ๐‘  ๐œƒ โˆ’ 2 ๐‘ ๐‘–๐‘› โˆ… ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐œƒ = 1 2(๐‘๐‘œ๐‘  โˆ… ๐‘๐‘œ๐‘  ๐œƒ โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘› โˆ… ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐œƒ) = โˆ’1 (๐‘๐‘œ๐‘  โˆ… ๐‘๐‘œ๐‘  ๐œƒ โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘› โˆ… ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐œƒ) = โˆ’ 1 2 ๐‘๐‘œ๐‘ (โˆ… + ๐œƒ) = โˆ’ 1 2 tan(โˆ… + ฮธ) = โˆš3 โˆ’1 = โˆ’โˆš3 Jadi, nilai ๐’•๐’‚๐’(โˆ… + ๐œฝ) adalah โˆ’โˆš๐Ÿ‘ 2 โˆš3 -1
  12. 12. Trigonometri 12 4. ๐‘๐‘œ๐‘ก 105 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 15 = โ‹ฏ Pembahasan: ๐‘๐‘œ๐‘ก 105 โˆ™ ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 15 = 1 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 105 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 15 = ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 15 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 105 = ๐‘ก๐‘Ž๐‘›(60 โˆ’ 45) ๐‘ก๐‘Ž๐‘›(60 + 45) = ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 60 โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 45 1 + ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 60 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 45 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 60 + ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 45 1 โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 60 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 45 = โˆš3 โˆ’ 1 1 + (โˆš3)(1) โˆš3 + 1 1 โˆ’ (โˆš3)(1) = (โˆš3 โˆ’ 1)(1 โˆ’ โˆš3) (โˆš3 + 1)(1 + โˆš3) = โˆš3 โˆ’ 3 โˆ’ 1 + โˆš3 โˆš3 + 3 + 1 + โˆš3 = 2โˆš3 โˆ’ 4 2โˆš3 + 4 = (2โˆš3 โˆ’ 4)(2โˆš3 โˆ’ 4) (2โˆš3 + 4)(2โˆš3 โˆ’ 4) = 12 โˆ’ 16โˆš3 + 16 12 โˆ’ 16 = 28 โˆ’ 16โˆš3 โˆ’4 = 4โˆš3 โˆ’ 7 Jadi, nilai dari ๐‘๐‘œ๐‘ก 105 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 15 adalah 4โˆš3 โˆ’ 7
  13. 13. Trigonometri 13 5. ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ + ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ + ๐‘ ๐‘–๐‘›3 ๐‘ฅ + ๐‘๐‘œ๐‘ 3 ๐‘ฅ + ๐‘ ๐‘–๐‘›5 ๐‘ฅ + ๐‘๐‘œ๐‘ 5 ๐‘ฅ + โ‹ฏ = Pembahasan : โžข Dengan rumus jumlah geometri tak hingga ๐‘†โˆž = ๐‘Ž 1โˆ’๐‘Ÿ ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ + ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ + ๐‘ ๐‘–๐‘›3 ๐‘ฅ + ๐‘๐‘œ๐‘ 3 ๐‘ฅ + ๐‘ ๐‘–๐‘›5 ๐‘ฅ + ๐‘๐‘œ๐‘ 5 ๐‘ฅ + โ‹ฏ = (๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ + ๐‘ ๐‘–๐‘›3 ๐‘ฅ + ๐‘ ๐‘–๐‘›5 ๐‘ฅ + โ‹ฏ ) + (๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ + ๐‘๐‘œ๐‘ 3 ๐‘ฅ + ๐‘๐‘œ๐‘ 5 ๐‘ฅ + โ‹ฏ) = ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ 1 โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘ฅ + ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ 1 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐‘ฅ + ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘–๐‘›3 ๐‘ฅ + ๐‘๐‘œ๐‘ 3 ๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘ฅ Jadi, nilai dari ๐’”๐’Š๐’ ๐’™ + ๐’„๐’๐’” ๐’™ + ๐’”๐’Š๐’ ๐Ÿ‘ ๐’™ + ๐’„๐’๐’” ๐Ÿ‘ ๐’™ + ๐’”๐’Š๐’ ๐Ÿ“ ๐’™ + ๐’„๐’๐’” ๐Ÿ“ ๐’™ + โ‹ฏ adalah ๐’”๐’Š๐’ ๐Ÿ‘ ๐’™ + ๐’„๐’๐’” ๐Ÿ‘ ๐’™ ๐’„๐’๐’” ๐Ÿ ๐’™ โˆ™ ๐’”๐’Š๐’ ๐Ÿ ๐’™
  14. 14. Trigonometri 14 6. ๐‘ ๐‘–๐‘›8 75 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 8 75 = โ‹ฏ Pembahasan: ๐‘ ๐‘–๐‘›8 75 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 8 75 = (๐‘ ๐‘–๐‘›4 75 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 4 75)(๐‘ ๐‘–๐‘›4 75 + ๐‘๐‘œ๐‘ 4 75) = ((๐‘ ๐‘–๐‘›2 75 โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘ 2 75)(๐‘ ๐‘–๐‘›2 75 + ๐‘๐‘œ๐‘ 2 75))((๐‘ ๐‘–๐‘›2 75 + ๐‘๐‘œ๐‘ 2 75)2 โˆ’ 2 ๐‘ ๐‘–๐‘›2 75 โˆ™ ๐‘๐‘œ๐‘ 2 75) = (โˆ’(๐‘๐‘œ๐‘ 2 75 โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘›2 75))(๐‘ ๐‘–๐‘›2 75 + ๐‘๐‘œ๐‘ 2 75) ((๐‘ ๐‘–๐‘›2 75 + ๐‘๐‘œ๐‘ 2 75)2 โˆ’ 1 2 (2 ๐‘ ๐‘–๐‘› 75 ๐‘๐‘œ๐‘  75)2 ) = (โˆ’ ๐‘๐‘œ๐‘  150)(1) (12 โˆ’ 1 2 (๐‘ ๐‘–๐‘› 150)2 ) = โˆ’ (โˆ’ 1 2 โˆš3) (1 โˆ’ 1 2 ( 1 2 ) 2 ) = 1 2 โˆš3 โˆ™ 7 8 = 7 16 โˆš3 Jadi, nilai dari ๐’”๐’Š๐’ ๐Ÿ– ๐Ÿ•๐Ÿ“ โˆ’ ๐’„๐’๐’” ๐Ÿ– ๐Ÿ•๐Ÿ“ adalah ๐Ÿ• ๐Ÿ๐Ÿ” โˆš๐Ÿ‘
  15. 15. Trigonometri 15 1. Untuk โˆ’ 3๐œ‹ 2 < ๐‘ฅ < 2๐œ‹ , banyaknya nilai x yang memenuhi persamaan (sin 2๐‘ฅ + โˆš3 cos 2๐‘ฅ) 2 โˆ’ 5 = cos ( ๐œ‹ 6 โˆ’ 2๐‘ฅ) adalah .... Pembahasan : (sin 2๐‘ฅ + โˆš3 cos 2๐‘ฅ)2 โˆ’ 5 = cos ( ๐œ‹ 6 โˆ’ 2๐‘ฅ) (sin 2๐‘ฅ + โˆš3 cos 2๐‘ฅ)2 โˆ’ 5 = cos ๐œ‹ 6 cos 2๐‘ฅ + sin ๐œ‹ 6 sin 2๐‘ฅ (sin 2๐‘ฅ + โˆš3 cos 2๐‘ฅ)2 โˆ’ 5 = 1 2 โˆš3 cos 2๐‘ฅ + 1 2 sin 2๐‘ฅ (sin 2๐‘ฅ + โˆš3 cos 2๐‘ฅ)2 โˆ’ 5 = 1 2 (โˆš3 cos 2๐‘ฅ + sin 2๐‘ฅ) Misalkan : ๐ฌ๐ข๐ง ๐Ÿ๐’™ + โˆš๐Ÿ‘ ๐œ๐จ๐ฌ ๐Ÿ๐’™ = ๐’‘ ๐‘2 + 1 2 ๐‘ โˆ’ 5 = 0 2๐‘2 + ๐‘ โˆ’ 10 = 0 (2๐‘ โˆ’ 5)(๐‘ + 2) = 0 ๐‘ = 5 2 ๐‘Ž๐‘ก๐‘Ž๐‘ข ๐‘ = โˆ’2 โ†“ ๐‘‡๐‘€ sin 2๐‘ฅ + โˆš3 cos 2๐‘ฅ = ๐‘ sin 2๐‘ฅ + โˆš3 cos 2๐‘ฅ = โˆ’2 2 cos(2๐‘ฅ โˆ’ 30ยฐ) = โˆ’2 cos(2๐‘ฅ โˆ’ 30ยฐ) = โˆ’1 cos(2๐‘ฅ โˆ’ 30ยฐ) = cos 180ยฐ (2๐‘ฅ โˆ’ 30ยฐ) = ยฑ 180ยฐ + ๐‘˜. 360ยฐ PERSAMAAN KUADRAT
  16. 16. Trigonometri 16 (2๐‘ฅ โˆ’ 30ยฐ) = 180ยฐ + ๐‘˜. 360ยฐ (2๐‘ฅ โˆ’ 30ยฐ) = โˆ’180ยฐ + ๐‘˜. 360ยฐ โ– 2๐‘ฅ = 210ยฐ + ๐‘˜. 360ยฐ ๐‘ฅ = 105ยฐ + ๐‘˜. 180ยฐ ๐’Œ = ๐ŸŽ โ†’ ๐‘ฅ = 105ยฐ ๐’Œ = ๐Ÿ โ†’ ๐‘ฅ = 285ยฐ โ– 2๐‘ฅ = โˆ’150ยฐ + ๐‘˜. 360ยฐ ๐‘ฅ = โˆ’75ยฐ + ๐‘˜. 180ยฐ ๐’Œ = ๐ŸŽ โ†’ ๐‘ฅ = โˆ’75ยฐ ๐’Œ = ๐Ÿ โ†’ ๐‘ฅ = 105ยฐ ๐’Œ = ๐Ÿ โ†’ ๐‘ฅ = 285ยฐ ๐’Œ = ๐Ÿ‘ โ†’ ๐‘ฅ = 465ยฐ Jadi, nilai yang x yang memenuhi adalah {โˆ’๐Ÿ•๐Ÿ“ยฐ, ๐Ÿ๐ŸŽ๐Ÿ“ยฐ, ๐Ÿ๐Ÿ–๐Ÿ“ยฐ} 2๐‘ฅ = 210ยฐ + ๐‘˜. 360ยฐ 2๐‘ฅ = โˆ’150ยฐ + ๐‘˜. 360ยฐ
  17. 17. Trigonometri 17 2. Himpunan penyelesian dari 2 cos2 ๐ด โˆ’ cos ๐ด โˆ’ 1 = 0 untuk 0ยฐ โ‰ค ๐‘ฅ โ‰ค 360ยฐ .... Pembahasan : 2 cos2 ๐ด โˆ’ cos ๐ด โˆ’ 1 = 0 Misal : cos ๐ด = ๐‘‹ Maka : 2๐‘ฅ2 โˆ’ ๐‘ฅ โˆ’ 1 = 0 (2๐‘ฅ + 1)(๐‘ฅ โˆ’ 1) = 0 (2๐‘ฅ + 1) = 0 ๐‘Ž๐‘ก๐‘Ž๐‘ข (๐‘ฅ โˆ’ 1) = 0 ๐‘ฅ = โˆ’ 1 2 ๐‘Ž๐‘ก๐‘Ž๐‘ข ๐‘ฅ = 1 โ†’ cos ๐ด = ๐‘ฅ cos ๐ด = โˆ’ 1 2 ๐‘Ž๐‘ก๐‘Ž๐‘ข cos ๐ด = 1 ๐”๐ง๐ญ๐ฎ๐ค ๐œ๐จ๐ฌ ๐‘จ = โˆ’ ๐Ÿ ๐Ÿ โ†’ ๐œ๐จ๐ฌ ๐‘จ = ๐œ๐จ๐ฌ ๐Ÿ๐Ÿ๐ŸŽยฐ ๐‘˜ = 0 โ†’ A = ยฑ 120ยฐ + 0.360ยฐ A = ยฑ 120ยฐ (๐ด = โˆ’120ยฐ ๐‘ก๐‘–๐‘‘๐‘Ž๐‘˜ ๐‘š๐‘’๐‘š๐‘’๐‘›๐‘ขโ„Ž๐‘–) ๐‘˜ = 1 โ†’ A = ยฑ 120ยฐ + 1.360ยฐ A = 240ยฐ ๐‘Ž๐‘ก๐‘Ž๐‘ข A = 480ยฐ(๐‘ก๐‘–๐‘‘๐‘Ž๐‘˜ ๐‘š๐‘’๐‘š๐‘’๐‘›๐‘ขโ„Ž๐‘–) ๐”๐ง๐ญ๐ฎ๐ค ๐œ๐จ๐ฌ ๐‘จ = ๐Ÿ โ†’ ๐œ๐จ๐ฌ ๐‘จ = ๐œ๐จ๐ฌ ๐ŸŽยฐ ๐‘˜ = 0 โ†’ A = ยฑ 0ยฐ + 0.360ยฐ A = 0ยฐ ๐‘˜ = 1 โ†’ A = ยฑ 0ยฐ + 1.360ยฐ A = 360ยฐ Jadi, HP {๐ŸŽยฐ, ๐Ÿ๐Ÿ๐ŸŽยฐ, ๐Ÿ๐Ÿ’๐ŸŽยฐ, ๐Ÿ‘๐Ÿ”๐ŸŽยฐ)
  18. 18. Trigonometri 18 3. Nilai terbesar x dalam 0 โ‰ค x โ‰ค 2ฯ€ sehingga cos (2x โˆ’ ฯ€ 2 ) = โˆš3 sin (2x โˆ’ ฯ€ 2 ) adalah .... Pembahasan : ๐‘๐‘œ๐‘  (2๐‘ฅ โˆ’ ๐œ‹ 2 ) = โˆš3 ๐‘ ๐‘–๐‘› (2๐‘ฅ โˆ’ ๐œ‹ 2 ) ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ ๐‘–๐‘› (2๐‘ฅ โˆ’ ๐œ‹ 2 ) = โˆš3 ๐‘๐‘œ๐‘ก (2๐‘ฅ โˆ’ ๐œ‹ 2 ) = ๐‘๐‘œ๐‘ก ( ๐œ‹ 6 ) (2๐‘ฅ โˆ’ ๐œ‹ 2 ) = ๐œ‹ 6 + ๐‘˜. 180ยฐ 2๐‘ฅ = 4๐œ‹ 6 + ๐‘˜. 180ยฐ ๐‘ฅ = ๐œ‹ 3 + ๐‘˜. ๐œ‹ 2 ๐‘ฅ ๐‘š๐‘Ž๐‘˜๐‘  = 11 6 ๐œ‹ ๐‘˜ = 1 โ†’ ๐‘ฅ = 2๐œ‹+3๐œ‹ 6 = 5๐œ‹ 6 ๐‘˜ = 2 โ†’ ๐‘ฅ = 2๐œ‹ 3 + 2๐œ‹ 2 = 4๐œ‹ 3 ๐‘˜ = 3 โ†’ ๐‘ฅ = ๐œ‹ 3 + 3๐œ‹ 2 = 11๐œ‹ 6 ๐‘˜ = 4 โ†’ ๐‘ฅ = ๐œ‹ 3 + 4๐œ‹ 2 = 14๐œ‹ 6 Jadi , nilai terbesar x dari persamaan di atas adalah ๐Ÿ๐Ÿ๐… ๐Ÿ” : sin (2๐‘ฅ โˆ’ ๐œ‹ 2 )
  19. 19. Trigonometri 19 4. Selesaikan persamaan ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘› ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘› ๐‘ฅ = 1 dimana n adalah bilangan asli ! Pembahasan : โ– Untuk ๐‘› โ‰ฅ 1 , = |๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘› ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘› ๐‘ฅ| โ‰ค |๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘› ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘› ๐‘ฅ| โ‰ค |cos ๐‘› ๐‘ฅ| + |sin ๐‘› ๐‘ฅ| โ‰ค |cos2 ๐‘ฅ| + |sin2 ๐‘ฅ| = 1 โ– ๐‘ฅ โˆˆ {๐‘š๐œ‹ | ๐‘š โˆˆ ๐‘๐‘–๐‘™๐‘Ž๐‘›๐‘”๐‘Ž๐‘› ๐‘”๐‘’๐‘›๐‘Ž๐‘} โˆช {2๐‘š๐œ‹, 2๐‘š๐œ‹ โˆ’ ๐œ‹ 2 | ๐‘š โˆˆ ๐‘๐‘–๐‘™๐‘Ž๐‘›๐‘”๐‘Ž๐‘› ๐‘”๐‘Ž๐‘›๐‘—๐‘–๐‘™} โ– Untuk ๐‘› = 1 , 1 = cos ๐‘ฅ โˆ’ sin ๐‘ฅ = โˆš2 (๐‘ฅ โˆ’ ๐œ‹ 2 ) Sehingga , ๐’™ โˆˆ {๐Ÿ๐’Ž๐…, ๐Ÿ๐’Ž๐… โˆ’ ๐… ๐Ÿ | ๐’Ž โˆˆ ๐’} sin2 ๐‘ฅ = |sin ๐‘› ๐‘ฅ| cos2 ๐‘ฅ = |cos ๐‘› ๐‘ฅ|
  20. 20. Trigonometri 20 5. Tentukan himpunan penyelesaian dari ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ = 2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ dengan 0 โ‰ค ๐‘ฅ โ‰ค 180ยฐ ! Pembahasan : ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ = 2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ (1 โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ) = 2 tan ๐‘ฅ 2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ 1 โˆ’ ๐‘ก๐‘Ž๐‘›2 ๐‘ฅ = 1 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 2๐‘ฅ = 1 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 2๐‘ฅ = ๐‘ก๐‘Ž๐‘› 45ยฐ 2๐‘ฅ = 45ยฐ ๐‘ฅ = ๐›ผ + ๐‘˜. 180ยฐ 2๐‘ฅ = 45ยฐ + ๐‘˜. 180ยฐ ๐‘ฅ = 45ยฐ 2 + ๐‘˜. 90ยฐ ๐’Œ = ๐ŸŽ โ†’ ๐‘ฅ = 45ยฐ 2 = 22,5ยฐ ๐’Œ = ๐Ÿ โ†’ ๐‘ฅ = 45ยฐ 2 + 90ยฐ = 112,5ยฐ ๐’Œ = ๐Ÿ โ†’ ๐‘ฅ = 45ยฐ 2 + 180ยฐ = 202,5ยฐ Jadi, himpunan penyelesaian dari ๐’•๐’‚๐’ ๐’™ โˆ’ ๐’•๐’‚๐’ ๐Ÿ ๐’™ = ๐Ÿ ๐’•๐’‚๐’ ๐Ÿ ๐’™ dengan ๐ŸŽ โ‰ค ๐’™ โ‰ค ๐Ÿ๐Ÿ–๐ŸŽยฐ adalah {๐Ÿ๐Ÿ, ๐Ÿ“ยฐ ; ๐Ÿ๐Ÿ๐Ÿ, ๐Ÿ“ยฐ} : tan ๐‘ฅ
  21. 21. Trigonometri 21 1. Diketahui โˆ† ABC dengan AB = 1 cm, BC = 2 cm, dan AC = k m. Jika ๐›ผ adalah sudut ACB, maka nilai-nilai k yang memenuhi cos ๐›ผ < 7 8 adalah . . . . Pembahasan : ๐ด๐ต = 1 ๐ต๐ถ = 2 ๐ด๐ถ = ๐พ Gunakan aturan cosinus: ๐ด๐ต2 = ๐ด๐ถ2 + ๐ต๐ถ2 โˆ’ 2(๐ด๐ถ)(๐ต๐ถ) cos ๐›ผ 12 = ๐‘˜2 + 22 โˆ’ 2(๐‘˜)(2) cos ๐›ผ 4๐‘˜ cos ๐›ผ = ๐‘˜2 + 4 โˆ’ 1 4๐‘˜ cos ๐›ผ = ๐‘˜2 + 3 cos ๐›ผ = ๐‘˜2+3 4๐‘˜ cos ๐›ผ < 7 8 , maka ๐‘˜2+3 4๐‘˜ < 7 8 ๐‘˜2+3 ๐‘˜ < 7 2 ๐‘˜2+3 ๐‘˜ โˆ’ 7 2 < 0 2๐‘˜2โˆ’7๐‘˜+6 2๐‘˜ < 0 (2๐‘˜โˆ’3)(๐‘˜โˆ’2) 2๐‘˜ < 0 Nilai uji coba ๐‘˜ = 3 2 ; ๐‘˜ = 2; ๐‘‘๐‘Ž๐‘› ๐‘˜ = 0 PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
  22. 22. Trigonometri 22 โžข Buat garis bilangan Himpunan k adalah ๐‘˜ < 0 atau 3 2 < ๐‘˜ < 2 Karena k adalah panjang salah satu sisi โˆ†, maka nilai k harus lebih dari 0. Maka nilai yang memenuhi adalah ๐Ÿ‘ ๐Ÿ < ๐‘˜ < 2
  23. 23. Trigonometri 23 2. Nilai x yang memenuhi cos 3x > 1 2 untuk 0 โ‰ค x โ‰ค 180 adalah . . . . Pembahasan : cos 3x > 1 2 , 0 โ‰ค x โ‰ค 180 โžข Buat ke dalam bentuk persamaan cos 3๐‘ฅ = 1 2 cos 3๐‘ฅ = cos 60 โžข 3๐‘ฅ = 60ยฐ + ๐‘˜ . 360ยฐ ๐‘ฅ = 20ยฐ + ๐‘˜ . 360ยฐ ๐‘˜ = 0 ๐‘ฅ = 20 ๐‘˜ = 1 ๐‘ฅ = 100 ๐‘˜ = 2 ๐‘ฅ = 220(tidak memenuhi) โžข Buat garis bilangan Jadi, HP adalah ๐ŸŽ โ‰ค ๐ฑ < ๐Ÿ๐ŸŽ atau ๐ŸŽ < ๐‘ฅ < ๐Ÿ๐Ÿ’๐ŸŽ
  24. 24. Trigonometri 24 3. Tentukan penyelesaian dari โˆš2 ๐‘ ๐‘–๐‘›2 (๐‘ฅ + ๐œ‹ 4 ) + ๐‘ ๐‘–๐‘› (๐‘ฅ + ๐œ‹ 4 ) โˆ’ โˆš2 > 0 untuk 0 โ‰ค ๐‘ฅ โ‰ค 360 Pembahasan : โžข Buat ke dalam bentuk persamaan Misalkan ๐‘Ž = ๐‘ ๐‘–๐‘› (๐‘ฅ + ๐œ‹ 4 ) Maka, โˆš2 ๐‘Ž2 + ๐‘Ž โˆ’ 2 = 0 ๐‘Ž1,2 = โˆ’๐‘ยฑโˆš๐‘2โˆ’4๐‘Ž๐‘ 2๐‘Ž = โˆ’1ยฑโˆš12โˆ’4(โˆš2)(โˆš2) 2โˆš2 = โˆ’1ยฑโˆš9 2โˆš2 = โˆ’1ยฑ3 2โˆš2 , diasumsikan bahwa a adalah bilangan real Maka, ๐‘Ž = โˆ’1ยฑ3 2โˆš2 = 1 2 โˆš2 ๐‘ ๐‘–๐‘› (๐‘ฅ + ๐œ‹ 4 ) = 1 2 โˆš2 ๐‘ ๐‘–๐‘›(๐‘ฅ + 45) = sin 45 โžข ๐‘ฅ + 45 = 45 + ๐‘˜ . 360 ๐‘ฅ = 0 + ๐‘˜ . 360 ๐‘˜ = 0 ๐‘ฅ = 90 ๐‘˜ = 1 ๐‘ฅ = 450 (tidak memenuhi) โžข Buat garis bilangan HP = {0 โ‰ค x < 90}
  25. 25. Trigonometri 25 4. Semua nilai ๐‘ฅ โˆˆ [0, 2๐œ‹]yang memenuhi pertidaksamaan sin ๐‘ฅ + 2 tan ๐‘ฅ < 0 adalah . . . . Pembahasan : sin ๐‘ฅ + 2 tan ๐‘ฅ < 0 tan ๐‘ฅ cos ๐‘ฅ + 2 tan ๐‘ฅ < 0 tan ๐‘ฅ (cos ๐‘ฅ + 2) < 0 tan ๐‘ฅ < 0 Nilai tan negatif terletak pada kuadran II dan IV, maka nilai yang memenuhi adalah ๐… ๐Ÿ < ๐‘ฅ < ๐œ‹ atau ๐Ÿ‘ ๐Ÿ ๐… < ๐‘ฅ < 2๐… 5. Tentukan himpunan penyelesaian dari cos ๐‘ฅ โˆ’ โˆš3 sin ๐‘ฅ > 0 ! Pembahasan : โ€ข Buat ke dalam bentuk persamaan cos ๐‘ฅ โˆ’ โˆš3 sin ๐‘ฅ = 0 cos ๐‘ฅ = โˆš3 sin ๐‘ฅ cos ๐‘ฅ sin ๐‘ฅ = โˆš3 cot ๐‘ฅ = โˆš3 โ€ข ๐‘ฅ = 30 + ๐‘˜ . 360 ๐‘˜ = 0 ๐‘ฅ = 30 ๐‘˜ = 1 ๐‘ฅ = 210 ๐‘˜ = 2 ๐‘ฅ = 390 (tidak memenuhi) โ€ข Buat garis bilngan HP = {๐ŸŽ โ‰ค ๐’™ < 30 atau ๐Ÿ๐Ÿ๐ŸŽ < ๐‘ฅ โ‰ค 360}
  26. 26. Trigonometri 26 1. Jika, a= 4, b=6, c=3 Berapa luas segitiga ABC ? Pembahasan : โžขCari cosinus c ๐‘2 = ๐‘Ž2 + ๐‘2 โˆ’ 2๐‘Ž๐‘ cos ๐‘ 32 = 42 + 62 โˆ’ 2ร—4ร—6 cos ๐‘ 9 = 16 + 36 โˆ’ 48 cos ๐‘ 9 = 52 โˆ’ 48 cos ๐‘ 48 cos ๐‘ = 52 โˆ’ 9 48 cos ๐‘ = 43 cos ๐‘ = 43 48 โžขDari cos kita akan memperoleh sn c dengan segitiga baru p 48 43 ๐‘2 = 482 โˆ’ 432 ๐‘2 = 2304 โˆ’ 1849 ๐‘2 = 455 ๐‘ = โˆš455 LUAS SEGITIGA DAN APLIKASI LAINNYA C A B
  27. 27. Trigonometri 27 sin ๐‘ = โˆš455 48 Luas segitiga ABC = 1 2 ร—๐‘Žร—๐‘ร— sin ๐‘ = 1 2 ร—4ร—6ร— sin โˆš455 48 = 1 4 โˆš455 Jadi, luas segitiga tersebut adalah ๐Ÿ ๐Ÿ’ โˆš๐Ÿ’๐Ÿ“๐Ÿ“
  28. 28. Trigonometri 28 2. Perhatikan gambar di bawah ini! 8 12 13 Dengan โˆ  ๐‘† = 60โˆ˜ Berapa luas segitiga PQR? Pembahasan : โžข Cari panjang PR dengan aturan cosinus pada segitiga PRS ๐‘ƒ๐‘…2 = ๐‘†๐‘ƒ2 + ๐‘†๐‘…2 โˆ’ 2ร—๐‘†๐‘ƒร—๐‘†๐‘… cos 60โˆ˜ = 32 + 82 โˆ’ 2ร—3ร—8 cos 60โˆ˜ = 9 + 64 โˆ’ 48ร— 1 2 = 9 + 64 โˆ’ 24 = 49 ๐‘ƒ๐‘… = โˆš49 ๐‘ƒ๐‘… = 7 โžข Cari aturan dari cosinus Q dengan menggunakan aturan cosinus pada segitiga PQR ๐‘ƒ๐‘…2 = ๐‘„๐‘…2 + ๐‘ƒ๐‘„2 โˆ’ 2ร—๐‘„๐‘…ร—๐‘ƒ๐‘„ cos ๐‘„ 72 = 122 + 132 โˆ’ 2ร—12ร—13 cos ๐‘„ 49 = 144 + 169 โˆ’ 312 cos ๐‘„ 312 cos ๐‘„ = 313 โˆ’ 49 312 cos ๐‘„ = 264 cos ๐‘„ = 264 312 = 11 13 R S P Q
  29. 29. Trigonometri 29 โžข Dari hasil cos Q, kita peroleh sin Q dengan segitiga baru 13 X 11 ๐‘‹2 = 132 โˆ’ 112 = 169 โˆ’ 121 = 48 ๐‘ฅ = โˆš48 = 4โˆš3 Jadi, sin ๐‘„ = 4โˆš3 13 Luas segitiga PQR diperoleh dari sin B Luas segitiga PQR = 1 2 ร—12ร—13 sin ๐ต = 6ร—13ร— 4โˆš3 13 = 6ร—4โˆš3 = 24โˆš3 ๐‘๐‘š2 Jadi, luas segitiga PQR adalah ๐Ÿ๐Ÿ’โˆš๐Ÿ‘ ๐’„๐’Ž ๐Ÿ Q
  30. 30. Trigonometri 30 3. Perhatikan gambar dibawah ini! 4 Dengan โˆ  ๐ด = 45โˆ˜ , โˆ  ๐ต = 105โˆ˜ , โˆ  ๐ถ = 30โˆ˜ Berapa luas segitiga ABC? Pembahasan : ๐ด๐ถ sin ๐ต = ๐ด๐ต sin ๐ถ 4 sin 105 = ๐ด๐ต sin 30 4 โˆš6 + โˆš2 4 = ๐ด๐ต 1 2 4 ( 1 2 ) = ๐ด๐ต ( โˆš6 + โˆš2 4 ) 2 = ๐ด๐ต ( โˆš6 + โˆš2 4 ) 8 = ๐ด๐ต (โˆš6 + โˆš2) ๐ด๐ต = 8 (โˆš6 + โˆš2) ๐ด๐ต = 2 (โˆš6 + โˆš2) A B C
  31. 31. Trigonometri 31 ๐ด๐ต ๐‘†๐‘–๐‘› ๐ถ = ๐ต๐ถ ๐‘†๐‘–๐‘› 45 2(โˆš6 โˆ’ โˆš2) sin 30 = ๐ต๐ถ sin 45 2(โˆš6 โˆ’ โˆš2) 1 2 = ๐ต๐ถ 1 2 โˆš2 2โˆš2 (โˆš6 โˆ’ โˆš2) = ๐ต๐ถ ๐ต๐ถ = 2โˆš2 โˆ’ 4 ๐ต๐ถ = 4โˆš3 โˆ’ 4 ๐ต๐ถ = 4 (โˆš3 โˆ’ 1) Maka luas segitiga : L = 1 2 (๐ต๐ถ)(๐ด๐ต) sin ๐ต = 1 2 (4(โˆš3 โˆ’ 1)) (2(โˆš6 โˆ’ โˆš2)) ( โˆš6 + โˆš2 4 ) = (โˆš3 โˆ’ 1)(โˆš6 โˆ’ โˆš2)(โˆš6 + โˆš2) = (โˆš3 โˆ’ 1)(6 + โˆš12 โˆ’ โˆš12 โˆ’ 2) = (โˆš3 โˆ’ 1)4 Jadi luas segitiga tersebut adalah ๐Ÿ’(โˆš๐Ÿ‘ โˆ’ ๐Ÿ) NOTE : sin 105 = sin(180 โˆ’ 75) = sin 75 = sin(30 + 45) = sin 30 cos 45 + cos 30 sin 45 = ( 1 2 โˆ™ 1 2 โˆš2) + ( 1 2 โˆš3 โˆ™ 1 2 โˆš2) = 1 4 โˆš2 + 1 4 โˆš6 = โˆš2 + โˆš6 4
  32. 32. Trigonometri 32 4. Diketahui sekeping keramik dipotong berbentuk segitiga sembarang dengan panjang sisi-sisi 10 cm,13 cm dan 17 cm. Berapa luas permukaan keramik tersebut? Pembahasan : ๐‘† = 1 2 (๐ด + ๐ต + ๐ถ) = 1 2 (10 + 13 + 17) = 1 2 (40) = 20 Luas permukaan keramik =โˆš๐‘†(๐‘† โˆ’ ๐ด)(๐‘† โˆ’ ๐ต)(๐‘† โˆ’ ๐ถ) =โˆš20(20 โˆ’ 10)(20 โˆ’ 13)(20 โˆ’ 17) =โˆš4200 =64,807 CM2 Jadi , luas permukaan keramik adalah 64,807 CM2 5. Diketahui suatu luas segitiga 340 cm2 dengan sisi a = 10 cm, b = (3x+5) cm dan sudutnya 90โˆ˜ carilah nilai x tersebut? Pembahasan : 340 = 1 2 ร—10 (3๐‘ฅ + 5) sin 90โˆ˜ 340 = 5 (3๐‘ฅ + 5)ร—1 0 = 15๐‘ฅ + 25 โˆ’ 340 = 15๐‘ฅ โˆ’ 315 ๐‘ฅ = 21 340 = 1 2 ร—10(21ร—3 + 5) sin 90โˆ˜ 340 = 5(68) 340 = 340 Jadi, nilai x yang diperoleh adalah 21.
  33. 33. Trigonometri 33 1. Gambarlah grafik dari y = 2 sin x ( 1 โˆ’ sin2 ๐‘ฅ) + sin ๐‘ฅ โˆ’ 2 sin3 ๐‘ฅ Penyelesaian: ๐‘ฆ = 2 sin ๐‘ฅ( 1 โˆ’ sin2 ๐‘ฅ) + sin ๐‘ฅ โˆ’ 2 sin3 ๐‘ฅ ๐‘ฆ = 2 sin ๐‘ฅ cos2 ๐‘ฅ + sin ๐‘ฅ โˆ’ 2 sin3 ๐‘ฅ ๐‘ฆ = (2 sin ๐‘ฅ cos ๐‘ฅ ) cos ๐‘ฅ + (1 โˆ’ 2 ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘ฅ) sin ๐‘ฅ ๐‘ฆ = sin 2๐‘ฅ cos ๐‘ฅ + cos 2๐‘ฅ sin ๐‘ฅ ๐‘ฆ = sin( 2๐‘ฅ + ๐‘ฅ) ๐‘ฆ = sin 3๐‘ฅ GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI
  34. 34. Trigonometri 34 2. Tuliskan persamaan sinus dan cosinus dari grafik berikut (perhatikan grafik pada sumbu-x dan sumbu-y positif) Penyelesaian: โžข Untuk fungsi cosinus ๐‘ฆ = ๐ด cos ๐‘˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐›ผ) + ๐‘ โ€ข ๐‘€๐‘Ž๐‘ฅ = |๐ด| + ๐‘ 5 = ๐ด + ๐‘ ๐ด = 5 โˆ’ ๐‘ โ€ข ๐‘€๐‘–๐‘› = โˆ’|๐ด| + ๐‘ โˆ’1 = โˆ’๐ด + ๐‘ ๐ด = ๐‘ + 1 โ€ข ๐ด = ๐ด 5 โˆ’ ๐‘ = ๐‘ + 1 ๐’„ = ๐Ÿ |๐‘จ| = ๐Ÿ‘ โ€ข ๐‘ƒ๐‘’๐‘Ÿ๐‘–๐‘œ๐‘‘๐‘’ = 2๐œ‹ ๐‘˜ 4 = 2๐œ‹ ๐‘˜ ๐’Œ = ๐… ๐Ÿ โ€ข ๐›ผ = 2 โˆ’ (4 โˆ’ 2) ๐œถ = ๐ŸŽ
  35. 35. Trigonometri 35 Maka fungsi cosinus dari grafik diatas adalah ๐‘ฆ = 3 cos ๐œ‹ 2 ๐‘ฅ + 2 โžข Fungsi Sinus Pada kuadran IV ingat sin(270 + ๐‘ฅ) = โˆ’ cos ๐‘ฅ , 270 = 3 2 ๐œ‹ maka cos ๐‘ฅ = sin(๐‘ฅ โˆ’ 270) Sehingga ๐‘ฆ = 3 cos ๐œ‹ 2 ๐‘ฅ + 2 ๐‘ฆ = 3 sin( ๐œ‹ 2 ๐‘ฅ โˆ’ 3๐œ‹ 2 ) + 2 ๐‘ฆ = 3 sin ๐œ‹ 2 (๐‘ฅ โˆ’ 3) + 2 Jadi, persamaan sinus dan cosinus dari grafik diatas berturut-turut adalah ๐’š = ๐Ÿ‘ ๐ฌ๐ข๐ง ๐… ๐Ÿ (๐’™ โˆ’ ๐Ÿ‘) + ๐Ÿ dan ๐’š = ๐Ÿ‘ ๐œ๐จ๐ฌ ๐… ๐Ÿ ๐’™ + ๐Ÿ
  36. 36. Trigonometri 36 3. Gambarlah grafik dari ๐‘ฆ = ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ (๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ+1)โˆ’2 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐‘ฅ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅโˆ’๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ Penyelesaian: ๐‘ฆ = sin ๐‘ฅ (tan ๐‘ฅ + 1) โˆ’ 2 tan ๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ sin ๐‘ฅ โˆ’ cos ๐‘ฅ ๐‘ฆ = sin ๐‘ฅ tan ๐‘ฅ + sin ๐‘ฅ โˆ’ 2 tan ๐‘ฅ cos ๐‘ฅ sin ๐‘ฅ โˆ’ cos ๐‘ฅ ๐‘ฆ = ๐‘ ๐‘–๐‘›๐‘ฅ ( sin ๐‘ฅ cos ๐‘ฅ ) + sin ๐‘ฅ โˆ’ 2 ( sin ๐‘ฅ cos ๐‘ฅ ) cos ๐‘ฅ sin ๐‘ฅ โˆ’ cos ๐‘ฅ ๐‘ฆ = ( sin2 ๐‘ฅ cos ๐‘ฅ ) + sin ๐‘ฅ โˆ’ 2 ( sin ๐‘ฅ cos ๐‘ฅ ) cos ๐‘ฅ sin ๐‘ฅ โˆ’ cos ๐‘ฅ ๐‘ฆ = sin2 ๐‘ฅ + ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐‘ฅ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐‘ฅ โˆ’ 2 sin ๐‘ฅ cos ๐‘ฅ cos ๐‘ฅ sin ๐‘ฅ โˆ’ cos ๐‘ฅ ๐‘ฆ = sin2 ๐‘ฅ โˆ’ sin ๐‘ฅ cos ๐‘ฅ cos ๐‘ฅ sin ๐‘ฅ โˆ’ cos ๐‘ฅ ๐‘ฆ = sin2 ๐‘ฅ โˆ’ sin ๐‘ฅ cos ๐‘ฅ cos ๐‘ฅ (sin ๐‘ฅ โˆ’ cos ๐‘ฅ) ๐‘ฆ = sin ๐‘ฅ (sin ๐‘ฅ โˆ’ cos ๐‘ฅ) cos ๐‘ฅ (sin ๐‘ฅ โˆ’ cos ๐‘ฅ) ๐‘ฆ = sin ๐‘ฅ cos ๐‘ฅ ๐‘ฆ = tan ๐‘ฅ
  37. 37. Trigonometri 37 4. Tentukan fungsi yang sesuai dari grafik berikut ini ! Penyelesaian: Persamaan fungsi sinus ๐‘ฆ = ๐ด sin ๐‘˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐›ผ) + ๐‘ โžข ๐‘€๐‘Ž๐‘ฅ = |๐ด| + ๐‘ 2 = ๐ด + ๐‘ ๐ด = 2 โˆ’ ๐‘ โžข ๐‘€๐‘–๐‘› = โˆ’|๐ด| + ๐‘ โˆ’2 = โˆ’๐ด + ๐‘ ๐ด = ๐‘ + 2 โžข ๐ด = ๐ด 2 โˆ’ ๐‘ = ๐‘ + 2 ๐‘ = 0 |๐ด| = 2 โžข ๐‘ƒ๐‘’๐‘Ÿ๐‘–๐‘œ๐‘‘๐‘’ = 360ยฐ ๐‘˜ 135ยฐ + 15ยฐ = 360ยฐ ๐‘˜ 150ยฐ = 360ยฐ ๐‘˜
  38. 38. Trigonometri 38 ๐‘˜ = 2,4 = 12 5 โžข ๐›ผ = 45ยฐ โˆ’ (75ยฐ โˆ’ 45ยฐ) ๐›ผ = 45ยฐ โˆ’ 30ยฐ ๐›ผ = 15ยฐ (Karena positif, maka bergeser ke kanan sehingga tanda dipersamaannya adalah negatif) Jadi, persamaan fungsinya adalah ๐’š = ๐Ÿ ๐ฌ๐ข๐ง ๐Ÿ๐Ÿ ๐Ÿ“ (๐’™ + ๐Ÿ๐Ÿ“ยฐ) 5. Diketahui f(x) = โˆš2 cos 3๐‘ฅ + 1 jika nilai maksimum f(x) adalah a dan nilai minimum f(x) adalah b maka nilai a2 + b2 = โ€ฆ Penyelesaian: Nilai Maksimum = | a | + c = |โˆš2| + 1 Nilai Minimum = -| a | + c = โˆ’|โˆš2 | + 1 ๐‘Ž2 + ๐‘2 = (โˆš2 + 1) 2 + (โˆ’ โˆš2 + 1) 2 ๐‘Ž2 + ๐‘2 = 2 + 2โˆš2 + 1 + 2 โˆ’ 2โˆš2 + 1 ๐‘Ž2 + ๐‘2 = 6 Jadi, nilai ๐’‚ ๐Ÿ + ๐’ƒ ๐Ÿ = ๐Ÿ”
  39. 39. Trigonometri 39 6. Tentukan fungsi yang sesuai dari grafik berikut ini Penyelesaian: Persamaan fungsi sinus ๐‘ฆ = ๐ด sin ๐‘˜(๐‘ฅ โˆ’ ๐›ผ) + ๐‘ โžข ๐‘€๐‘Ž๐‘ฅ = |๐ด| + ๐‘ 2 = ๐ด + ๐‘ ๐ด = 2 โˆ’ ๐‘ โžข ๐‘€๐‘–๐‘› = โˆ’|๐ด| + ๐‘ โˆ’2 = โˆ’๐ด + ๐‘ ๐ด = ๐‘ + 2 โžข ๐ด = ๐ด 2 โˆ’ ๐‘ = ๐‘ + 2 ๐‘ = 0 |๐ด| = 2 โžข ๐‘ƒ๐‘’๐‘Ÿ๐‘–๐‘œ๐‘‘๐‘’ = 2๐œ‹ ๐‘˜ 3๐œ‹ 2 + ๐œ‹ 2 = 2๐œ‹ ๐‘˜ 2๐œ‹ = 2๐œ‹ ๐‘˜
  40. 40. Trigonometri 40 ๐‘˜ = 1 โžข ๐›ผ = 0 โˆ’ ( ๐œ‹ 2 โˆ’ 0) ๐›ผ = โˆ’ ๐œ‹ 2 (Karena negatif, maka bergeser ke kiri maka tanda dipersamaannya adalah positif) Jadi, persamaan fungsinya adalah ๐’š = ๐Ÿ ๐ฌ๐ข๐ง(๐’™ + ๐… ๐Ÿ )
  41. 41. Trigonometri 41 1. Jika ๐‘ ๐‘–๐‘›16 ๐‘Ž = 1 5 , maka 1 ๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐‘Ž + 1 1+๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘Ž + 2 1+๐‘ ๐‘–๐‘›4 ๐‘Ž + 4 1+๐‘ ๐‘–๐‘›8 ๐‘Ž = โ‹ฏ Penyelesaian: 1 ๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐‘Ž + 1 1 + ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘Ž = 1 1 โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘Ž + 1 1 + ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘Ž = (1 + ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘Ž) + (1 โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘Ž) (1 โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘Ž)(1 + ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘Ž) = 2 1 โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘›4 ๐‘Ž ( 1 ๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐‘Ž + 1 1 + ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘Ž ) + 2 1 + ๐‘ ๐‘–๐‘›4 ๐‘Ž = 2 1 โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘›4 ๐‘Ž + 2 1 + ๐‘ ๐‘–๐‘›4 ๐‘Ž = 2(1 + ๐‘ ๐‘–๐‘›4 ๐‘Ž) + 2(1 โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘›4 ๐‘Ž) (1 โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘›4 ๐‘Ž)(1 + ๐‘ ๐‘–๐‘›4 ๐‘Ž) = 4 1 โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘›8 ๐‘Ž ( 1 ๐‘๐‘œ๐‘ 2 ๐‘Ž + 1 1 + ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘Ž + 2 1 + ๐‘ ๐‘–๐‘›4 ๐‘Ž ) + 4 1 + ๐‘ ๐‘–๐‘›8 ๐‘Ž = 4 1 โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘›8 ๐‘Ž + 4 1 + ๐‘ ๐‘–๐‘›8 ๐‘Ž = 4(1 + ๐‘ ๐‘–๐‘›8 ๐‘Ž) + 4(1 โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘›8 ๐‘Ž) (1 โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘›8 ๐‘Ž)(1 + ๐‘ ๐‘–๐‘›8 ๐‘Ž) = 8 1 โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘›16 ๐‘Ž = 8 1 โˆ’ 1 5 = 8 4 5 = 10 Jadi, nilai ๐Ÿ ๐’„๐’๐’” ๐Ÿ ๐’‚ + ๐Ÿ ๐Ÿ+๐’”๐’Š๐’ ๐Ÿ ๐’‚ + ๐Ÿ ๐Ÿ+๐’”๐’Š๐’ ๐Ÿ’ ๐’‚ + ๐Ÿ’ ๐Ÿ+๐’”๐’Š๐’ ๐Ÿ– ๐’‚ adalah 10 PENGAYAAN 1
  42. 42. Trigonometri 42 2. Diketahui 9 cos2 ๐‘ฅ + 3 sin(๐‘ฅ + 1 2 ๐œ‹) โˆ’ 2 = 0 pada 1 2 ๐œ‹ < ๐‘ฅ < ๐œ‹. Jika tan ๐‘ฅ = 1 ๐‘ , maka hitunglah nilai p ! Penyelesaian: 9 cos2 ๐‘ฅ + 3 sin(๐‘ฅ + 1 2 ๐œ‹) โˆ’ 2 = 0 9 cos2 ๐‘ฅ + 3 cos ๐‘ฅ โˆ’ 2 = 0 (3 cos ๐‘ฅ โˆ’ 1)(3 cos ๐‘ฅ + 2) = 0 cos ๐‘ฅ = 1 3 โˆช cos ๐‘ฅ = โˆ’ 2 3 Karena 1 2 ๐œ‹ < ๐‘ฅ < ๐œ‹ maka yang memenuhi adalah cos ๐‘ฅ = โˆ’ 2 3 yang posisinya di kuadran III. tan ๐‘ฅ = ๐‘ ๐‘ tan ๐‘ฅ = โˆš5 โˆ’2 1 ๐‘ = โˆš5 โˆ’2 ๐‘ = โˆ’ 2 โˆš5 ๐‘ = โˆ’ 2 5 โˆš5 Jadi, nilai p yang diperoleh adalah ๐’‘ = โˆ’ ๐Ÿ ๐Ÿ“ โˆš๐Ÿ“
  43. 43. Trigonometri 43 3. Jika dalam segitiga ABC berlaku 5 ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐ด + 12 ๐‘๐‘œ๐‘  ๐ต = 13 dan 5 cos ๐ด + 12 sin ๐ต = 6โˆš2. Maka nilai sin ๐ถ = โ‹ฏ Penyelesaian: โ€ข (5 sin ๐ด + 12 cos ๐ต)2 = 132 25 sin2 ๐ด + 144 cos2 ๐ต + 120 sin ๐ด cos ๐ต = 169 โ€ข (5 cos ๐ด + 12 sin ๐ต)2 = (6โˆš2)2 25 cos2 ๐ด + 144 sin2 ๐ต + 120 cos ๐ด sin ๐ต = 72 โ€ข (25 sin2 ๐ด + 144 cos2 ๐ต + 120 sin ๐ด cos ๐ต) + (25 cos2 ๐ด + 144 sin2 ๐ต + 120 cos ๐ด sin ๐ต) = 169 + 72 25(sin2 ๐ด + cos2 ๐ด) + 144(cos2 ๐ต + sin2 ๐ต) + 120(sin ๐ด cos ๐ต + cos ๐ด) = 169 + 72 25(1) + 144(1) + 120 (sin(๐ด + ๐ต)) = 169 + 72 169 + 120 (sin(๐ด + ๐ต)) = 169 + 72 sin(๐ด + ๐ต) = 72 120 sin(๐ด + ๐ต) = 3 5 sin ๐ถ = sin(180 โˆ’ (๐ด + ๐ต)) sin ๐ถ = sin(๐ด + ๐ต) sin ๐ถ = 3 5 Jadi, nilai dari ๐‘บ๐’Š๐’ ๐‘ช adalah 3 5
  44. 44. Trigonometri 44 4. Berapa banyak solusi dari persamaan โˆšsin ๐‘ฅ + โˆš2 4 cos ๐‘ฅ = 0 untuk 0 < ๐‘ฅ < 2๐œ‹ ? Penyelesaian: โˆšsin ๐‘ฅ + โˆš2 4 cos x = 0 (โˆšsin ๐‘ฅ ) 2 = (โˆ’ โˆš2 4 cos x ) 2 sin ๐‘ฅ = โˆš2 ๐‘๐‘œ๐‘ฅ2 ๐‘ฅ sin ๐‘ฅ = โˆš2 (1 โˆ’ ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘ฅ) โˆš2 ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘ฅ + sin ๐‘ฅ โˆ’ โˆš2 = 0 2 ๐‘ ๐‘–๐‘›2 ๐‘ฅ + โˆš2 sin ๐‘ฅ โˆ’ 2 = 0 (2 sin ๐‘ฅ โˆ’ โˆš2) (sin ๐‘ฅ + 2) = 0 sin ๐‘ฅ = 1 2 โˆš2 atau sin ๐‘ฅ = โˆ’โˆš2 โžข Jadi, yang memenuhi adalah sin ๐‘ฅ = 1 2 โˆš2 sin ๐‘ฅ = 1 2 โˆš2 = 45ยฐ ๐‘ฅ = 45ยฐ + 360ยฐ k k = 0 ๏ƒจ๐‘ฅ = 45ยฐ ๐‘ฅ = (180ยฐ โˆ’ 45ยฐ) + 360ยฐ ๐‘˜ k = 0 ๏ƒจ ๐‘ฅ = 135ยฐ ๐‘ฅ = {45ยฐ, 135ยฐ} Jadi, ada 2 solusi. Tidak memenuhi karena sin ๐‘ฅ โ‰ค 1 (tanpa memperhatikan tanda)
  45. 45. Trigonometri 45 5. Tuliskan persamaan pada grafik berikut: Penyelesaian: Dari kurva diatas โžข A = Amplitududo = 2 โžข Periode dari 15ยฐ sampai 135ยฐ = 120ยฐ 120ยฐ = 360ยฐ ๐‘˜ k = 3 Persamaan kurva diatas adalah hasil dari kurva ๐’š = ๐Ÿ ๐ฌ๐ข๐ง ๐Ÿ‘๐’™ yang digeser kekanan sejauh 15ยฐ sehingga berubah menjadi ๐’š = ๐Ÿ ๐ฌ๐ข๐ง ๐Ÿ‘(๐’™ โˆ’ ๐Ÿ๐Ÿ“ยฐ) = ๐Ÿ ๐ฌ๐ข๐ง(๐Ÿ‘๐’™ โˆ’ ๐Ÿ’๐Ÿ“ยฐ) .
  46. 46. Trigonometri 46 1. Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD . Panjang rusuk alas 6 cm, dan rusuk tegak 12 cm . Tentukan nilai kosinus sudut antara TA dengan bidang alas ! Penyelesaian : โžข โˆ โ€˜ antara TA dan bidang alas adalah โˆ โ€˜ A โžข Lihat segitiga ACD A 6 D C 6 โžข Lihat segitiga TAC T 12 12 A ฮฑ C 6โˆš2 Jadi, nilai kosinus sudut antara TA dengan bidang alas adalah ๐Ÿ ๐Ÿ โˆš๐Ÿ ๐ด๐ถ = โˆš ๐ท๐ถ2 + ๐ท๐ด2 ๐ด๐ถ = โˆš62 + 62 ๐ด๐ถ = โˆš72 ๐ด๐ถ = 6 โˆš2 Gunakan aturan cosinus cos ฮฑ = ๐‘‡๐ด2+ ๐ด๐ถ2โˆ’ ๐‘‡๐ถ2 2 .๐‘‡๐ด . ๐ด๐ถ Cos ฮฑ = 122+ 6โˆš2 2 โˆ’ 122 2 .12 . 6โˆš2 Cos ฮฑ = 1 2 โˆš2 PENGAYAAN 2
  47. 47. Trigonometri 47 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2โˆ’sin ๐œƒ cos ๐œƒ โ‰ค cos ๐œƒ sin ๐œƒ untuk 0 ห‚ ๐œƒ โ‰ค ๐œ‹ 2 ! Penyelesaian : Kuadran I sin ฮธ (+) dan cos ฮธ (+) sehingga boleh dikali silang 2โˆ’sin ฮธ cosฮธ โ‰ค cos ฮธ sin ฮธ 2 sin ฮธ โˆ’ sin2 ฮธ โ‰ค cos2 ฮธ dengan sin ฮธ โ‰  0 dan cos ฮธ โ‰  0 2 sin ฮธ โ‰ค 1 Sin ฮธ โ‰ค 1 2 โˆด 0 < ๐œƒ โ‰ค ฯ€ 6 3. Tentukan nilai cos 105o tan 15o ! Penyelesaian : cos 105 = cos (180 + 15) = โˆ’ tan 15 tan 30 = tan 2 (15) 1 โˆš3 = 2 tan 15 1โˆ’tan2 15 1 โˆ’ tan2 15 = 2โˆš3 tan 15 0 = tan2 15 + 2โˆš3 tan 15 โˆ’ 1 tan 15 = โˆ’2โˆš3 โˆ“ โˆš12+4 2 = โˆ’2โˆš3 โˆ“4 2 tan 15 = 2 โˆ’ โˆš3
  48. 48. Trigonometri 48 cos 105 tan 15 = โˆ’ tan2 15 = โˆ’(2 โˆ’ โˆš3) 2 = โˆ’(4 โˆ’ 4โˆš3 + 3) = โˆ’7 + 4โˆš3 Jadi, nilai ๐’„๐’๐’” ๐Ÿ๐ŸŽ๐Ÿ“ ๐’•๐’‚๐’ ๐Ÿ๐Ÿ“ adalah โˆ’๐Ÿ• + ๐Ÿ’โˆš๐Ÿ‘ 4. Tentukan nilai cos (๐›ผ โˆ’ ๐›ฝ) jika sin ๐›ผ + sin ๐›ฝ = 2โˆš๐ด ๐‘‘๐‘Ž๐‘› cos ๐›ผ + cos ๐›ฝ = 2โˆš๐ต ! Penyelesaian : sin ๐›ผ + sin ๐›ฝ = 2โˆš๐ด sin2 ๐›ผ + sin2 ๐›ฝ + 2 ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐›ผ ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐›ฝ = 4๐ด. . (โˆ—) cos ๐›ผ + cos ๐›ฝ = 2โˆš๐ต cos2 ๐›ผ + cos2 ๐›ฝ + 2 ๐‘๐‘œ๐‘  ๐›ผ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐›ฝ = 4๐ต. . (โˆ—โˆ—)(โˆ—) + (โˆ—โˆ—) sin2 ๐›ผ + sin2 ๐›ฝ + 2 ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐›ผ ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐›ฝ = 4๐ด cos2 ๐›ผ + sin2 ๐›ฝ + 2 ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐›ผ ๐‘ ๐‘–๐‘› ๐›ฝ = 4๐ด cos2 ๐›ผ + cos2 ๐›ฝ + 2 cos ๐›ผ cos ๐›ฝ = 4B 1 + 1 + 2 (๐‘๐‘œ๐‘  ๐›ผ ๐‘๐‘œ๐‘  ๐›ฝ + sin ๐›ผ sin ๐›ฝ) = 4A + 4B 2 + 2 cos(๐›ผ โˆ’ ๐›ฝ) = 4A + 4B 1 + cos(๐›ผ โˆ’ ๐›ฝ) = 2๐ด + 2๐ต cos(๐›ผ โˆ’ ๐›ฝ) = 2๐ด + 2๐ต โˆ’ 1 Jadi, nilai cos (๐œถ โˆ’ ๐œท) adalah ๐Ÿ๐‘จ + ๐Ÿ๐‘ฉ โˆ’ ๐Ÿ
  49. 49. Trigonometri 49 5. Jika sudut A dan B memenuhi system persamaan 2 tan A + tan B = 4 Tan A โ€“ 3 tan B = - 17 2 Carilah nilai tan (2A + B) ! Penyelesaian : โžข Dengan metode eliminasi kita dapatkan : 2 tan ๐ด + tan ๐ต = 4 2 tan ๐ด โˆ’ 6 ๐‘ก๐‘Ž๐‘› ๐ต = โˆ’17 7 tan B = 21 โˆด tan B = 3 โˆด tan A = 1 2 โžข Nilai tan 2A dapat dicari dengan menggunakan rumus sudut ganda tan 2A = 2 tan ๐ด 1โˆ’tan2 ๐ด = 2 1โˆ’( 1 2 ) 2 โˆด tan 2๐ด = 4 3 Jadi nilai dari tan (2A+B) tan (2A + B) = tan 2๐ด+tan ๐ต 1โˆ’tan ๐ด .tan ๐ต = 1 3 +3 1โˆ’ 1 3 .3 โˆด ๐ญ๐š๐ง(๐Ÿ๐‘จ + ๐‘ฉ) = โˆ’ ๐Ÿ๐Ÿ‘ ๐Ÿ—

ร—