mtk kelas 12

1. L/O/G/O
TADRIS MATEMATIKA D/VI
Kelompok 8:
1. Hanipah (1414153121)
2. Meti Hamdiyanti (1414153128)
3. Muhammad Wildan H.F (1414153134)
VEKTOR

2. Pengertian Vektor
Operasi pada Vektor
Vektor di R-2
Vektor di R-3
Latihan Soal

3. PENGERTIAN VEKTOR
• Vektor adalah suatu besaran yang memiliki nilai dan
arah.
• Suatu vektor biasanya digambarkan dengan sebuah
garis yang salah satu ujungnya memiliki ujung panah
sebagai arahnya. Sedangkan nilainya diwakili oleh
panjang anak panah tersebut.

4. PENGERTIAN VEKTOR
Besar vektor
artinya panjang vektor
Arah vektor
artinya sudut yang dibentuk
dengan sumbu X positif
Vektor disajikan dalam bentuk
ruas garis berarah

5. A
B
ditulis vektor AB atau u
A disebut titik pangkal
B disebut titik ujung
u
45 X
Gambar Vektor

6. Notasi Penulisan Vektor
 Bentuk vektor kolom:









4
3
u












0
2
1
PQ
atau
 Bentuk vektor baris:
 
4
,
3
AB  atau  
0
,
3
,
2
v 

 Vektor ditulis dengan notasi:
i, j dan k
misal : a = 3i – 2j + 7k

7. Vektor Posisi
Vektor posisi
adalah
Vektor yang
titik pangkalnya O(0,0)

8. X
Y
O
Contoh:
A(4,1)
B(2,4)
Vektor posisi
titik A(4,1) adalah










1
4
a
OA
Vektor posisi titik B(2,4) adalah
j
i 4
2
b
OB 


a
b

9. Panjang vektor
Dilambangkan dengan
tanda ‘harga mutlak’

10. panjang vektor: 








2
1
a
a
a
atau a = a1i + a2j
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
2
2
2
1 a
a
a 


11. Contoh:
1. Panjang vektor: 








4
3
a
adalah 2
2
4
3
a 
 = 25 = 5
2. Panjang vektor: 2k
-
j
i
2 

v
adalah
2
2
2
)
2
(
1
2 



v
= 9 = 3

12. Vektor Satuan
adalah suatu vektor yang
panjangnya satu

13. Vektor satuan searah sumbu X,
sumbu Y , dan sumbu Z
berturut-turut
adalah vektor i , j dan k

































1
0
0
dan
0
1
0
,
0
0
1
k
j
i

14. Vektor Satuan
dari vektor a = a1i + a2j+ a3k
adalah
2
3
2
2
2
1
3
2
1
a
a
a
k
a
j
a
i
a
a
a
e
e a
a








15. Contoh: Vektor Satuan dari
vektor a = i - 2j+ 2k
adalah….
Jawab:
a
a
ea

2
2
2
2
)
2
(
1
2
2






k
j
i
ea

16. 2
2
2
2
)
2
(
1
2
2






k
j
i
ea
3
2
2 k
j
i
ea



k
j
i
ea 3
2
3
2
3
1




17. Sifat-sifat Operasi Vektor
• Untuk setiap vektor dan skalar k, m, n berlaku :
1.
a
.
b
b
.
a





)
c
b
(
a
c
)
b
a
(











b
k
a
k
)
b
a
(
k







a
0
a





0
)
a
(
a






a
n
a
m
a
)
n
m
(






)
a
m
(
n
)
a
n
(
m
a
)
mn
(





2.
3.
4.
5.
7.
6.

18. Kesamaan vektor
Penjumlahan vektor
Pengurangan vektor
Perkalian vektor dengan
bilangan real
OPERASI PADA VEKTOR

19. Kesamaan Vektor
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a = b , maka
a1 = b1
a2 = b2
dan
a3 = b3

20. Contoh
Diketahui:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
Jika a = b, maka x + y = ....

21. Jawab:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
a = b
1 = x - y
x = -2; disubstitusikan
1 = -2 – y;  y = -3
Jadi x + y = -2 + (-3) = -5

22. Penjumlahan Vektor
a
a
a
a
3
2
1











b
b
b
b
3
2
1











Misalkan: dan
Jika: a + b = c , maka vektor














3
3
2
2
1
1
c
b
a
b
a
b
a

23. Contoh
1
-
2p
-
3
a











3
6
p
b











Diketahui:
Jika a + b = c , maka p – q =....
dan
2
4q
5
-
c












24. 


























2
4
5
3
)
1
(
6
2
3
q
p
p
jawab: a + b = c
































2
4
5
3
6
p
1
-
2p
-
3
q

25. 

























2
4
5
3
)
1
(
6
2
3
q
p
p
3 + p = -5  p = -8
-2p + 6 = 4q
16 + 6 = 4q
22 = 4q  q = 5½;
Jadi p – q = -8 – 5½
= -13½

26. Pengurangan Vektor
Jika: a - b = c , maka
c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 -
b3)k
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k
dan
b = b1i + b2j + b3k

27. X
Y
O
A(4,1)
B(2,4)
a
b
Perhatikan gambar:








3
2
-
vektor posisi:
titik A(4,1) adalah:









1
4
a
titik B(2,4) adalah: 








4
2
b
vektor AB =

28. Jadi secara umum: a
b
AB 





















1
4
4
2
a
b








3
2
-









1
4
a 








4
2
b








3
2
-
AB

vektor AB =

29. Contoh 1
Jawab:
Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan
B(1,2,4). Tentukan komponen-
komponen vektor AB

































2
3
2
2
5
3
-
4
2
1
a
b
AB 














2
3
2
AB
Jadi

30. Contoh 2
Diketahui titik-titik P(-1,3,0)
dan Q(1,2,-2).
Tentukan panjang vektor PQ
(atau jarak P ke Q)

31. Jawab: P(1,2,-2)
Q(-1,3,0)
PQ = q – p =































2
1
2
2
-
2
1
-
0
3
1
-













2
2
1
p












0
3
1
q

32. 










2
1
2
PQ
2
2
2
2
1
)
2
(
PQ 



3
9
PQ
Jadi 


33. Perkalian Vektor dengan Bilangan
Real
a
a
a
a
3
2
1











Misalkan:
Jika: c = m.a, maka






















3
2
1
3
2
1
.
.
.
c
a
m
a
m
a
m
a
a
a
m
dan
m = bilangan real

34. Contoh
Diketahui:
Vektor x yang memenuhi
a – 2x = 3b adalah....
Jawab:
misal


































4
1
2
3
2
6
1
2
3
2
1
x
x
x
6
1
-
2
a











4
1
-
2
b











dan












x
3
2
1
x
x
x

35. 


































4
1
2
3
2
6
1
2
3
2
1
x
x
x


































12
3
6
2
2
2
6
1
2
3
2
1
x
x
x
2 – 2x1 = 6  -2x1 = 4  x1= -2
-1 – 2x2 = -3  -2x2 = -2  x2 = 1
6 – 2x3 = 12  -2x3 = 6  x3 = -3
Jadi
3
1
2
x
vektor














36. VEKTOR DI RUANG 2
Vektor di R2
adalah
vektor yang terletak di satu bidang
atau
Vektor yang hanya mempunyai
dua komponen yaitu x dan y

37. VEKTOR DI RUANG 2
OA
PA
OP 

O
j
X
A(x,y)
Y
OP = xi; OQ= yj
Jadi
OA =xi + yj
atau
a = xi + yj
a
x
i vektor satuan searah
sumbu X
j vektor satuan searah
sumbu Y
Q OA
OQ
OP 


38. VEKTOR DI RUANG 2
• Vektor diruang dimensi dua (R-2)
1. Misalkan k adalah sebarang skalar , maka:
2. Penjumlahan :
3. Pengurangan :
   
1 2 1 2
V V ,V W W ,W
 
   
1 2 1 2
.V V , V .W W ,W
k k k k k k
 
 
1 1 2 2
V W V W , V W
   
 
1 1 2 2
V W V W ,V W
   

39. VEKTOR DI RUANG 3
Vektor di R3
adalah Vektor yang terletak di
ruang dimensi tiga
atau
Vektor yang mempunyai
tiga komponen
yaitu x, y dan z

40. Misalkan koordinat titik T di R3
adalah (x, y, z) maka OP = xi;
OQ = yj dan OS = zk
X
Y
Z
T(x,y,z)
O
xi
yj
zk
P
Q
S

41. X
Y
Z
T(x,y,z)
O
t

P
Q
R(x,y)
S
xi
yj
zk
OP + PR = OR atau
OP + OQ = OR
OR + RT = OT atau
OP + OQ + OS = OT
Jadi
OT = xi + yj + zk
atau t = xi + yj + zk

42. VEKTOR DI RUANG 3
   
1 2 3 1 2 3
V V,V ,V W W,W ,W
 
1. Misalkan k adalah sebarang skalar ,
maka :
   
1 2 3 1 2 3
.V V, V , V .W W, W , W
k k k k k k k k
 
2. Penjumlahan :
 
1 1 2 2 3 3
V W V W ,V W ,V W
    
3. Pengurangan :
 
1 1 2 2 3 3
V W V W ,V W ,V W
    
Aturan tangan kanan :
Aturan tangan kiri:

43. Latihan Soal
1. Diketahui vektor a=(1,-1,0) dan b=(-
1,2,2). Tentukanlah besar sudut yang
dibentuk oleh vektor a dan vektor b!

44. 2. Diketahui vektor a=(1,-1,0) dan b=(-
1,2,2). Tentukanlah panjang proyeksi
vektor a pada vektor b!

45. 3. Diketahui vektor a=(1,-1,0) dan b=(-
1,2,2). Tentukan vektor proyeksi a pada
vektor b!

46. L/O/G/O
Thank You!