1. Perkalian titik memungkinkan pengalian dua vektor sehingga hasilnya merupakan skalar, bukan vektor. Perkalian titik didefinisikan sebagai jumlah dari perkalian komponen-komponen yang bersesuaian.

1. 1
1.3 PERKALIAN TITIK
Sejauh ini kita telah mempelajari tentang bagaimana menjumlakan dua vektor dan
mengalikan sebuah vektor dengan sebuah skalar. Pertanyaan yang kemudian
muncul adalah: apakah mungkin untuk mengalikan dua vektor sedemikian sehingga
hasil kalinya merupakan kuantitas yang berguna? Salah satu perkalian yang
dimaksud adalah perkalian titik, yang didefinisikan di bawah ini. Perkalian lainnya
adalah perkalian silang, yang akan kita diskusikan pada bagian berikutnya.
Definisi Jika 𝐚 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 dan 𝐛 = 〈𝑏1, 𝑏2, 𝑏3〉, maka perkalian titik dari
𝐚 dan 𝐛 adalah bilangan 𝐚 ∙ 𝐛 yang diberikan oleh
𝐚 ∙ 𝐛 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
Jadi, untuk menentukan hasil kali titik dari 𝐚 dan 𝐛, kita mengalikan
komponen-komponen yang bersesuaian dan menjumlahkannya. Hasilnya bukan
vektor. Hasilnya adalah sebuah bilangan riil, yaitu sebuah skalar. Untuk alasan
inilah, perkalian titik terkadang disebut perkalian skalar (atau inner product).
Meskipun definisi di atas diberikan untuk vektor-vektor tiga-dimensi, perkalian
titik dari vektor-vektor dua-dimensi didefinisikan dengan cara yang sama:
〈𝑎1, 𝑎2〉 ∙ 〈𝑏1, 𝑏2〉 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2
Contoh 1
〈2, 4〉 ∙ 〈3, −1〉 = 2(3) + 4(−1) = 2
〈−1, 7, 4〉 ∙ 〈6, 2, −
1
2
〉 = −1(6) + 7(2) + 4(−
1
2
) = 6
(𝑖 + 2𝑗 − 3𝑘) ∙ (2𝑗 − 𝑘) = 1(0) + 2(2) + (−3)(−1) = 7
□
Perkalian titik terikat dalam banyak hukum yang dipenui untuk perkalian
biasa dari bilangan-bilangan riil. Hukum-hukum ini dinyatakan dalam teorema
berikut.
SIFAT-SIFAT PERKALIAN TITIK Jika 𝐚, 𝐛, dan 𝐜 adalah vektor-
vektor dalam 𝑉𝑛 dan 𝑐 dan 𝑑 adalah skalar, maka
1. 𝐚 ∙ 𝐛 = |𝐚|2
2. 𝐚 ∙ 𝐛 = 𝐛 ∙ 𝐚
3. 𝐚 ∙ (𝐛 + 𝐜) = 𝐚 ∙ 𝐛 + 𝐚 ∙ 𝐜 4. (𝑐𝐚) ∙ 𝐛 = 𝑐(𝐚 ∙ 𝐛) = 𝐚 ∙ (𝑐𝐛)
5. 𝟎 ∙ 𝐚 = 0

2. 2
Pembuktian dapat dilakukan dengan menggunakan definisi perkalian titik dan
ditinggalkan kepada mahasiswa.
Sebuah interpretasi geometris dapat diberikan untuk perkalian titik 𝐚 ∙ 𝐛
dalam konteks sudut 𝜽 diantara 𝐚 dan 𝐛, yang didefiniskan sebagai sudut diantara
representasi dari 𝐚 dan 𝐛 yang dimulai dari titik asal, dimana 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. Dengan
kata lain, 𝜃 adalah sudut antara segmen garis 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ dalam Gambar 1. Catat
bahwa jika 𝐚 dan 𝐛 adalah vektor-vektor yang sejajar, maka 𝜃 = 0 atau 𝜃 = 𝜋.
Gambar 1
Rumus dalam teorema berikut ini digunakan oleh fisikawan sebagai definisi
dari perkalian titik.
TEOREMA Jika 𝜃 adalah sudut antara vektor-vektor 𝐚 dan 𝐛, maka
𝐚 ∙ 𝐛 = |𝐚||𝐛| cos 𝜃
Pembuktian dapat dilakukan dengan menggunakan Aturan Cosinus dan sifat-sifat
1, 2, dan 3 dari perkalian titik, dan ditinggalkan kepada mahasiswa.
Contoh 2
Jika vektor-vektor 𝐚 dan 𝐛 memiliki panjang 4 dan 6, dan sudut diantara
kedua vektor itu adalah 𝜋/3, tentukan 𝐚 ∙ 𝐛.
Penyelesaian
Dengan menggunakan teorema perkalian titik diatas, kita memiliki
𝐚 ∙ 𝐛 = |𝐚||𝐛| cos (
𝜋
3
) = 4 ∙ 6 ∙
1
2
= 12
□
Rumus dalam teorema diatas memungkinkan kita untuk mencari besar sudut
diantara dua vektor.
AKIBAT Jika 𝜃 adalah sudut antara vektor-vektor tak nol 𝐚 dan 𝐛, maka

3. 3
cos 𝜃 =
𝐚 ∙ 𝐛
|𝐚||𝐛|
Contoh 3
Tentukan besar sudut diantara vektor 𝐚 = 〈2, 2, −1〉 dan 𝐛 = 〈5, −3, 2〉.
Penyelesaian
Karena
|𝑎| = √22 + 22 + (−1)2 = 3 dan |𝑏| = √52 + (−3)2 + 22 = √38
dan karena
𝐚 ∙ 𝐛 = 2(5) + 2(−3) + (−1)(2) = 2
oleh akibat kita peroleh
cos 𝜃 =
𝐚 ∙ 𝐛
|𝐚||𝐛|
=
2
3√38
Jadi, sudut diantara 𝑎 dan 𝑏 adalah
𝜃 = cos−1
(
2
3√38
) ≈ 1.46 (atau 84°)
□
Dua vektor tak nol 𝐚 dan 𝐛 disebut tegak lurus atau ortogonal jika sudut
diantara kedua vektor tersebut adalah 𝜃 = 𝜋/2. Maka teorema diatas memberikan
𝐚 ∙ 𝐛 = |𝐚||𝐛| cos (
𝜋
2
) = 0
dan sebaliknya jika 𝐚 ∙ 𝐛 = 0, maka cos 𝜃 = 0, sehingga 𝜃 = 𝜋/2. Vektor nol 𝟎
dianggap tegak lurus pada semua vektor. Dengan demikian kita memiliki metode
yang berikut untuk menentukan apakah dua vektor saling tegak lurus atau tidak.
Dua vektor 𝐚 dan 𝐛 saling tegak lurus jika dan hanya jika 𝐚 ∙ 𝐛 = 0
Contoh 4
Perlihatkan bahwa 2𝐢 + 2𝐣 − 𝐤 tegak lurus terhadap 5𝐢 − 4𝐣 + 2𝐤.
Penyelesaian

4. 4
Karena
(2𝐢 + 2𝐣 − 𝐤) ∙ (5𝐢 − 4𝐣 + 2𝐤) = 2(5) + 2(−4) + (−1)(2) = 0
vektor-vektor ini saling tegak lurus.
□
Karena 𝜃 > 0 jika 0 ≤ 𝜃 < 𝜋/2 dan cos 𝜃 < 0 jika 𝜋/2 < 𝜃 ≤ 𝜋, kita
lihat bahwa 𝐚 ∙ 𝐛 adalah positif untuk 𝜃 < 𝜋/2 dan negatif untuk 𝜃 > 𝜋/2. Kita
dapat memikirkan 𝐚 ∙ 𝐛 sebagai pengukuran perpanjangan pada mana 𝐚 dan 𝐛
memiliki arah yang sama. Perkalian titik 𝐚 ∙ 𝐛 adalah positif jika 𝐚 dan 𝐛 memiliki
arah yang sama, 0 jika keduanya saling tegak lurus, dan negatif jika mereka
memiliki arah yang berlawanan. (lihat Gambar 2).
Gambar 2
Dalam kasus tertentu dimana 𝐚 dan 𝐛 memiliki arah yang sama, kita memiliki 𝜃 =
0, jadi cos 𝜃 = 1 dan
𝐚 ∙ 𝐛 = |𝐚||𝐛|
Jika 𝐚 dan 𝐛 memiliki arah yang berlawanan, maka 𝜃 = 𝜋, jadi cos 𝜃 = −1
dan 𝐚 ∙ 𝐛 = −|𝐚||𝐛|.
Sudut-sudut arah dari sebuah vektor tak nol 𝐚 adalah sudut-sudut 𝛼, 𝛽,
dan 𝛾 (dalam interval [0, 𝜋]) yang dibentuk oleh 𝐚 dengan sumbu-𝑥, sumbu-𝑦, dan
sumbu-𝑧 yang positif. (Lihat Gambar 3). Cosinus dari sudut-sudut arah ini, yaitu
cos 𝛼, cos 𝛽, dan cos 𝛾, disebut cosinus arah dari vektor 𝐚. Dengan menggunakan
akibat di atas, dengan 𝐛 digantikan oleh 𝐢, kita mendapatkan
cos 𝛼 =
𝐚 ∙ 𝐢
|𝐚||𝐢|
=
𝑎1
|𝐚|

5. 5
Gambar 3
Dengan cara yang sama, kita juga akan mendapatkan
cos 𝛽 =
𝑎2
|𝐚|
cos 𝛾 =
𝑎3
|𝐚|
Dengan mengkuadratkan dan menjumlahkan ketiga cosinus arah ini, kita dapatkan
cos2
𝛼 + cos2
𝛽 + cos2
𝛾 = 1
Kita juga bisa menuliskan
𝐚 = 〈𝑎1, 𝑎2, 𝑎3〉 = 〈|𝐚| cos 𝛼 , |𝐚| cos 𝛽 , |𝐚| cos 𝛾〉
= |𝐚|〈cos 𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾〉
Dengan demikian
1
|𝐚|
𝐚 = 〈cos 𝛼 , cos 𝛽 , cos 𝛾〉
yang berarti bahwa cosinus-cosinus arah dari 𝐚 adalah komponen-komponen vektor
satuan dalam arah 𝐚.
Gambar 4 di bawah ini memperlihatkan representasi 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗ dari dua
vektor 𝐚 dan 𝐛 dengan titik pangkal yang sama di 𝑃. Jika 𝑆 adalah titik potong garis
yang melalui 𝑅 dan tegak lurus pada garis yang mengandung 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ , maka vektor
dengan representasi 𝑃𝑆⃗⃗⃗⃗ disebut proyeksi vektor 𝐛 pada 𝐚 dan dinyatakan dengan
proy 𝑎 𝐛. Kita bisa saja membayangkan proyeksi vektor ini sebagai bayangan dari
𝐛.

6. 6
proyab proyab
Gambar 4
Proyeksi vektor
Proyeksi skalar dari 𝐛 pada 𝐚 (yang juga disebut sebagai komponen 𝐛
disepanjang a) didefinisikan sebagai besaran bertanda dari proyeksi vektor, yang
merupakan bilangan |𝐛| cos 𝜃, dimana 𝜃 adalah sudut diantara a dan b (Lihat
Gambar 5) yang dinotasikan dengan kompa b.
kompab
Gambar 5
Proyeksi skalar dari b pada a
Perhatikan bahwa besaran ini bernilai negatif jika
𝜋
2
< 𝜃 ≤ 𝜋. Persamaan
𝐚 ∙ 𝐛 = |𝐚||𝐛| cos 𝜃 = |𝐚|(|𝐛| cos 𝜃)
memperlihatkan bahwa perkalian titik dari a dan b dapat diinterpretasikan sebagai
panjang dari a dikali proyeksi skalar dari b pada a. Karena
|𝐛| cos 𝜃 =
𝐚 ∙ 𝐛
|𝐚|
=
𝐚
|𝐚|
∙ 𝐛
komponen dari b disepanjang a dapat dihitung dengan mengambil perkalian titik
dari b dengan vektor satuan dalam arah a. Dengan demikian,
Proyeksi skalar dari b pada a: kompa b =
𝐚∙𝐛
|𝐚|
Proyeksi vektor b pada a: proya b = (
𝐚∙𝐛
|𝐚|
)
𝐚
|𝐚|
=
𝐚∙𝐛
|𝐚|2
𝐚

7. 7
Perhatikan bahwa vektor proyeksi adalah proyeksi skalar dikali vektor satuan dalam
arah a.
Contoh 4
Tentukan proyeksi skalar dan proyeksi vektor dari 𝐛 = 〈1, 1, 2〉 pada 𝐚 =
〈−2, 3, 1〉.
Penyelesaian
Karena |𝐚| = √(−2)2 + 32 + 12 = √14, proyeksi skalar dari b pada a
adalah
kompa b =
𝐚∙𝐛
|𝐚|
=
(−2)(1)+3(1)+1(2)
√14
=
3
√14
proyeksi vektor adalah proyeksi skalar dikali vektor satuan dalam arah a:
proya b = (
𝐚∙𝐛
|𝐚|
)
𝐚
|𝐚|
=
3
√14
𝐚
|𝐚|
=
3
14
𝐚 = 〈−
3
7
,
9
14
,
3
14
〉
□
LATIHAN 1.3
1. Yang manakah dari beberapa ekspresi berikut ini yang memiliki keberartian
dan yang tidak memiliki keberartian? Jelaskan.
(a) (𝐚 ∙ 𝐛) ∙ 𝐜 (b) (𝐚 ∙ 𝐛)𝐜
(c) |𝐚|(𝐛 ∙ 𝐜) (d) 𝐚 ∙ (𝐛 + 𝐜)
(e) 𝐚 ∙ 𝐛 + 𝐜 (f) |𝐚| ∙ (𝐛 + 𝐜)
2. Tentukan perkalian titik dari dua vektor jika panjang keduanya adalah 6 dan
1
3
dan sudut diantara keduanya adalah
𝜋
4
.
3. Jika u adalah sebuah vektor satuan, tentukan 𝐮 ∙ 𝐯 dan 𝐮 ∙ 𝐰.
(a)
(b)

8. 8
4. Perlihatkan bahwa
(a) 𝐢 ∙ 𝐣 = 𝐣 ∙ 𝐤 = 𝐤 ∙ 𝐢 = 0
(b) 𝐢 ∙ 𝐢 = 𝐣 ∙ 𝐣 = 𝐤 ∙ 𝐤 = 1
5. Tentukan sudut antara vektor-vektor berikut. (Pertama sekali tentukan
persamaan eksak dan kemudian hampiri ke derajat terdekat)
(a) 𝐚 = 〈−8, 6〉 dan 𝐛 = 〈√7, 3〉
(b) 𝐚 = 〈√3, 1〉 dan 𝐛 = 〈0, 5〉
6. Tentukan apakah vektor-vektor berikut ini adalah orthogonal, sejajar, atau
tidak kedua-duanya.
(a) 𝐚 = 〈−5, 3, 7〉 dan 𝐛 = 〈6, −8, 2〉
(b) 𝐚 = 〈4, 6〉 dan 𝐛 = 〈−3, 2〉
(c) 𝐮 = −𝐢 + 2𝐣 + 5𝐤 dan 𝐯 = 3𝐢 + 4𝐣 − 𝐤
(d) 𝐮 = 〈𝑎, 𝑏, 𝑐〉 dan 𝐯 = 〈−𝑏, 𝑎, 0〉
7. Tentukan cosinus arah dan sudut arah dari vektor-vektor berikut.
(a) 〈3, 4, 5〉 (b) 〈1, −2, −1〉
(c) 2𝐢 + 3𝐣 − 6𝐤 (d) 2𝐢 − 𝐣 + 2𝐤
(e) 〈𝑐, 𝑐, 𝑐〉, dimana 𝑐 > 0