matematic

1. TRIGONOMETRI
Oleh :
Adi Candra Kusuma,S.Pd.Si.,M.Pd
Jurusan Teknik Elektro
Politeknik Negeri Malang
MATEMATIKA 1
/FACEBOOK
kusumacand candraraden45@gmail.com
082314803073

2. TUJUAN PEMBELAJARAN
Psikomotorik
Afektif/Sikap
Pengetahuan
1.Mahasiswa mampu
menjelaskan Perbandingan
Trigonometri Suatu Sudut pada
Segitiga Siku-siku
2.Mahasiswa mampu
menjelaskan Perbandingan
Trigonometri suatu Sudut di
Berbagai Kuadran
3.Mahasiswa mampu
menjelaskan Perbandingan
Trigonometri Sudut yang
Berelasi
4.Mahasiswa mampu
menjelaskan Menentukan
Koordinat kartesius dan
Koordinat Kutub
5.Mahasiswa mampu
menjelaskan Aturan sinus dan
cosinus dan Identitas
trigonometri
Mahasiswa memiliki
tanggungjawab dalam
menyelesaikan Tugas
KU : Mahasiswa mampu
berfikir kritis dalam
menyelesaikan masalah/
kasus yang diberikan
TRIGONOMETRI

3. Trigonometri
Trigonometri berasal dari bahasa Yunani yaitu trigonon
yang artinya tiga sudut dan metro artinya mengukur.
Oleh karena itu trigonometri adalah sebuah cabang dari
ilmu matematika yang berhadapan dengan sudut segi
tiga dan fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, dan
tangen. Sedangkan definisi dari trigonometri menurut
Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) adalah ilmu ukur
mengenai sudut dan sempadan dengan segitiga
(digunakan dalam astronomi).
Istilah trigonometri juga sering kali diartikan sebagai
ilmu ukur yang berhubungan dengan segitiga. Tetapi
masih belum jelas yang dimaksudkan apakah itu
segitiga sama kaki (siku-siku), segitiga sama sisi, atau
segitiga sembarang. Namun, biasanya yang dipakai
dalam perbandingan trigonometri adalah
menggunakan segitiga sama kaki atau siku-siku.
Dikatakan berhubungan dengan segitiga karena
sebenarnya trigonometri juga masih berkaitan
dengan geometri. Baik itu geometri bidang maupun
geometri ruang.

4. Trigonometri
Perbandingan Trigonometri Suatu Sudut pada Segitiga Siku-siku
Gambar di samping adalah segitiga siku-siku dengan titik
sudut sikunya di C. Panjang sisi di hadapan sudut A
adalah a, panjang sisi di hadapan sudut B adalah b, dan
panjang sisi di hadapan sudut C adalah 𝒄
Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut 
Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut 
Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa
1. 𝑠𝑖𝑛 𝛼 =
panjang sisi siku−siku di depan sudut A
panjang hipotenusa
=
𝑎
𝑐
2. 𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
panjang sisi siku−siku di dekat sudut A
panjang hipotenusa
=
𝑏
𝑐
3. tan 𝛼 =
panjang sisi siku−siku di depan sudut A
panjang sisi siku−siku di dekat sudut A
=
𝑎
𝑏
4. 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
panjang hipotenusa
panjang sisi siku−siku di depan sudut A
=
𝑐
𝑎
5. sec 𝛼 =
panjang hipotenusa
panjang sisi siku−siku di dekat sudut A
=
𝑐
𝑏
6. cot 𝛼 =
panjang sisi siku−siku di dekat sudut A
panjang sisi siku−siku di depan sudut A
=
𝑏
𝑎

5. Trigonometri
Contoh
Pada gambar di samping segitiga sikusiku ABC dengan panjang
a  24 dan c  25.
Tentukan keenam perbandingan trigonometri untuk .
Nilai b dihitung dengan teorema Pythagoras
𝑏 = 252 − 242
= 625 − 576
= 49 = 7
𝑠𝑖𝑛 𝛼 =
𝑎
𝑐
=
24
25
𝑐𝑠𝑐 𝛼 =
𝑐
𝑎
=
25
24
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
𝑏
𝑐
=
7
25
𝑠𝑒𝑐 𝛼 =
𝑐
𝑏
=
25
7
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝑎
𝑏
=
24
7
𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
𝑏
𝑎
=
7
24

6. Trigonometri
Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.
 0 30 45 60 90
sin  0
1
2
1
2
2
1
2
3 1
cos  1
1
2
3
1
2
2
1
2
0
tan  0
1
3
3
1 3 tak terdefinisi
1. sin 300
+ cos 450
=
1
2
+
1
2
2 =
1+ 2
2
2. sin 450 tan 600 + cos 450 cot 600 =
1
2
2 . 3 +
1
2
2.
1
3
3
=
1
2
6 +
1
6
6 =
4
6
6 =
2
3
6

7. Trigonometri
Perbandingan Trigonometri suatu Sudut di Berbagai Kuadran
sin 𝛼 =
𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑃
𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑂𝑃
=
𝑦
𝑟
cos 𝛼 =
𝑎𝑏𝑠𝑖𝑠 𝑃
𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑂𝑃
=
𝑥
𝑟
tan 𝛼 =
𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑃
𝑎𝑏𝑠𝑖𝑠 𝑃
=
𝑦
𝑥
csc 𝛼 =
𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑂𝑃
𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑃
=
𝑟
𝑦
sec 𝛼 =
𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑂𝑃
𝑎𝑏𝑠𝑖𝑠 𝑃
=
𝑟
𝑥
𝑐𝑜𝑡 𝛼 =
𝑎𝑏𝑠𝑖𝑠 𝑃
𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 𝑃
=
𝑥
𝑦
𝑂𝑃 = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟 dan 𝑟 > 0
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
sin 𝛼
cos 𝛼
dan cot 𝛼 =
cos 𝛼
sin 𝛼
, sec 𝛼 =
1
cos 𝛼
dan csc 𝛼 =
1
sin 𝛼

8. Kuadran Trigonometri
Perbandingan
Trigonometri
Kuadran
I II III IV
𝑠𝑖𝑛 + + - -
𝑐𝑜𝑠 + - - +
𝑡𝑎𝑛 + - + -
𝑐𝑠𝑐 + + - -
𝑠𝑒𝑐 + - - +
𝑐𝑜𝑡 + - + -

9. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi
sin 900
− 𝛼 = cos 𝛼 𝑐𝑠𝑐 900
− 𝛼 = sec 𝛼
cos 900
− 𝛼 = sin 𝛼 𝑠𝑒𝑐 900
− 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼
tan 900
− 𝛼 = cot 𝛼 𝑐𝑜𝑡 900
− 𝛼 = tan 𝛼
sin 1800
− 𝛼 = sin 𝛼 𝑐𝑠𝑐 1800
− 𝛼 = csc𝛼
cos 1800
− 𝛼 = −cos 𝛼 s𝑒𝑐 1800
− 𝛼 = −𝑠𝑒𝑐 𝛼
tan 1800
− 𝛼 = −tan 𝛼 𝑐𝑜𝑡 1800
− 𝛼 = −cot 𝛼
sin 1800
+ 𝛼 = −sin 𝛼 𝑐𝑠𝑐 1800
+ 𝛼 = −csc 𝛼
cos 1800
+ 𝛼 = −cos 𝛼 𝑠𝑒𝑐 1800
+ 𝛼 = −𝑠𝑒𝑐 𝛼
tan 1800
+ 𝛼 = tan 𝛼 𝑐𝑜𝑡 1800
+ 𝛼 = cot 𝛼
sin 3600
− 𝛼 = −sin 𝛼 𝑐𝑠𝑐 3600
− 𝛼 = −csc 𝛼
cos 3600
− 𝛼 = cos 𝛼 s𝑒𝑐 3600
− 𝛼 = 𝑠𝑒𝑐 𝛼
tan 3600
− 𝛼 = −tan 𝛼 𝑐𝑜𝑡 3600
− 𝛼 = −cot 𝛼
Kuadran I
Kuadran II
Kuadran IV
Kuadran III

10. sin −𝛼 = −sin 𝛼 𝑐𝑠𝑐 −𝛼 = −csc 𝛼
cos −𝛼 = cos 𝛼 𝑠𝑒𝑐 −𝛼 = 𝑠𝑒𝑐 𝛼
tan −𝛼 = − tan 𝛼 𝑐𝑜𝑡 −𝛼 = −cot 𝛼
Sudut Negatif
tentukan nilai dari sin 1200 − cos 2100 − sec(−600) + cosec 1500?
Jawab
sin 1200 − cos 2100 − sec(− 600) + cosec 1500
= sin 1800 − 600 − cos 1800 + 300 − sec 600 + 𝑐𝑠𝑐 1800 − 300
= sin 600
+ cos 300
− sec 600
+ cosec 300
=
1
2
3 +
1
2
3 − 2 + 2
= 3
Sudut diatas 360
tentukan nilai dari sin 9000 − cos 15000?
Jawab
sin 9000 − cos 15000
= sin(1800 + 2. 3600) − cos (600 + 4. 3600)
= sin 1800
− cos 600
= 0 −
1
2
= −
1
2

11. Menentukan Koordinat kartesius dan Koordinat Kutub
Koordinat kartesius Koordinat kutub
Hubungan Koordinat Kartesius dan Koordinat kutub
sin 𝜃 =
𝑦
𝑟
↔ 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃
cos 𝜃 =
𝑥
𝑟
↔ 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃

12. Contoh
Nyatakan titik-titik berikut ini kedalam koordinat kutub titik
(4,-4) dan (− 3,-1)
Jawab
Untuk titik (4,-4) berarti x= 4 dan y = -4
𝑟 = 42 + −42= 16 + 16 = 32 = 16.2 = 4 2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan
𝑦
𝑥
= 𝑎𝑟𝑐 tan −
4
4
= arctan −1 = 3150
Maka koordinat kutub untuk titik (4,-4) adalah (𝟒 𝟐, 𝟑𝟏𝟓𝟎
)
Untuk titik (− 3,-1) berarti x= − 3 dan y = -1
𝑟 = (− 3)2+(−12) = 3 + 1 = 4 = 2
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan
𝑦
𝑥
= 𝑎𝑟𝑐 tan
−1
− 3
= arctan(
1
3
3) = 2100
Maka koordinat kutub untuk titik (− 3,-1)) adalah (𝟐, 𝟐𝟏𝟎𝟎)
Koordinat kutub = (r, 𝜃)
Koordinat kartesius = (x, y)
Contoh
Nyatakan titik-titik berikut ini kedalam koordinat
kartesius titik (6, 1200
) dan (4 2, 3300
)
Jawab
Untuk titik (6, 1200
) berarti r= 6 dan 𝜃 = 1200
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃= 6 cos 1200
= 6. -1/2 = -3
y= 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃= 6 sin 1200= 6.
1
2
3 = 2 3
Maka koordinat kartesius titik (𝟔, 𝟏𝟐𝟎𝟎) adalah (-3, 2 𝟑)
Untuk titik (4 2, 3300) berarti r= 4 2 dan 𝜃 = 3300
𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃=4 2cos 3300
= 4 2.
1
2
3 = 2 6
y= 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃=4 2 sin 3300= 4 2. -
1
2
= -2 2
Maka koordinat kartesius titik (4 2, 3300 )adalah (2 𝟔, -2 𝟐)

13. ATURAN SINUS DAN ATURAN KOSINUS
Aturan Sinus :
𝒂
𝐬𝐢𝐧 𝑨
=
𝒃
𝐬𝐢𝐧 𝑩
=
𝒄
𝐬𝐢𝐧 𝑪
𝒂𝟐
= 𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐
- 2bc cos A
𝒃𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝒄𝟐
- 2ac cos B
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 - 2ab cos C
Aturan cosinus

14. ATURAN SINUS
Contoh
Diketahui segitiga ABC dengan ∠ A = 38° , ∠ B = 64° dan sisi
b = 5. Hitunglah :
•∠ C
•Panjang sisi a dan c
a) ∠ C = 180° - (∠ A + ∠ B)
= 180° - (38° + 64°)
= 180°
- 102°
∠ C = 78°
Panjang sisi a:
𝒂
𝐬𝐢𝐧 𝑨
=
𝒃
𝐬𝐢𝐧 𝑩
a =
𝒃
𝐬𝐢𝐧 𝑩
x sin A
a =
𝟓
𝐬𝐢𝐧 𝟔𝟒° x sin 38°
a =
𝟓
𝟎,𝟖𝟗𝟖𝟖
x 0,6157
a = 3,4
Panjang sisi c:
𝒃
𝐬𝐢𝐧 𝑩
=
𝒄
𝐬𝐢𝐧 𝑪
c =
𝒃
𝐬𝐢𝐧 𝑩
x sin C
c =
𝟓
𝐬𝐢𝐧 𝟔𝟒° x sin 78°
c =
𝟓
𝟎,𝟖𝟗𝟖𝟖
x 0,9871
c = 5,4

15. ATURAN KOSINUS
Diketahui segitiga ABC dengan sisi b = 5, sisi c = 6 dan ∠ A =
52°, Hitunglah panjang sisi a:
Jawab :
aturan kosinus pada segitiga ABC
adalah :
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 - 2bc cos A
𝑎2
= 52
+ 62
– (2 x 5 x 6 x cos 52°)
𝑎2
= 25 + 36 – (60 x 0,6157)
𝑎2
= 61 – 36,9
𝑎2 = 24,1
a = 24,1
a = 4,91
Diketahui segitiga ABC dengan sisi a = 7 , sisi b = 8
dan sisi c = 9. Hitunglah besar sudut A
Besar sudut A, dari rumus
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
- 2bc cos A
cos A =
𝑏2+ 𝑐2− 𝑎2
2𝑏𝑐
cos A =
82+ 92− 72
2.8.9
cos A =
64+ 81− 49
144
cos A =
96
144
cos A = 0,6666
A = 48,2°

16. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Dari persamaan diatas diperoleh
1. 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝛼
2. 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼
3.
𝑠𝑖𝑛2𝛼
𝑠𝑖𝑛2𝛼
+
𝑐𝑜𝑠2𝛼
𝑠𝑖𝑛2𝛼
=
1
𝑠𝑖𝑛2𝛼
↔ 1 + 𝑐𝑜𝑡2
𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
𝛼
4.
𝑠𝑖𝑛2𝛼
𝑐𝑜𝑠2𝛼
+
𝑐𝑜𝑠2𝛼
𝑐𝑜𝑠2𝛼
=
1
𝑐𝑜𝑠2𝛼
↔ 𝑡𝑎𝑛2𝛼 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2𝛼

17. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Tunjukan bahwa tan 𝛼 + cot 𝛼 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 = cot 𝛼
tan 𝛼 + cot 𝛼 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 =
sin 𝛼
cos 𝛼
+
cos 𝛼
sin 𝛼
𝑐𝑜𝑠2
𝛼
=(
sin 𝛼.sin 𝛼+cos 𝛼 cos 𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼
) 𝑐𝑜𝑠2𝛼
=(
𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼
sin 𝛼 cos 𝛼
) 𝑐𝑜𝑠2𝛼
=
1
sin 𝛼 cos 𝛼
𝑐𝑜𝑠2
𝛼
=
cos 𝛼
sin 𝛼
= cot 𝛼
T𝑢𝑛𝑗𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎ℎ𝑤𝑎
𝑐𝑜𝑠4𝛼−𝑠𝑖𝑛4𝛼
1−𝑡𝑎𝑛4𝛼
= 𝑐𝑜𝑠4
𝛼
𝑐𝑜𝑠4
𝛼 − 𝑠𝑖𝑛4
𝛼
1 − 𝑡𝑎𝑛4𝛼
=
(𝑐𝑜𝑠2
𝛼 + 𝑠𝑖𝑛2
𝛼)(𝑐𝑜𝑠2
𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2
𝛼)
(1 + 𝑡𝑎𝑛2𝛼)(1 − 𝑡𝑎𝑛2𝛼)
=
1. (𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼)
𝑠𝑒𝑐2𝛼 (1 −
𝑠𝑖𝑛2𝛼
𝑐𝑜𝑠2𝛼
)
=
(𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼)
1
𝑐𝑜𝑠2𝛼
(
𝑐𝑜𝑠2𝛼
𝑐𝑜𝑠2𝛼
−
𝑠𝑖𝑛2𝛼
𝑐𝑜𝑠2𝛼
)
=
(𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼)
1
𝑐𝑜𝑠2𝛼
(
𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2𝛼
𝑐𝑜𝑠2𝛼
)
=
(𝑐𝑜𝑠2𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼)
1
𝑐𝑜𝑠4𝛼
(𝑐𝑜𝑠2𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼)
=
(𝑐𝑜𝑠2𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼)
(𝑐𝑜𝑠2𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼)
𝑐𝑜𝑠4
𝛼
= 𝑐𝑜𝑠4
𝛼

18. Kelompok 3
Kelompok 2
Kelompok 4
Kelompok 1
DISKUSI KELOMPOK
Perhatikan LKM

19. KESIMPULAN
Dapat Dilihat Di alamat
https://lmsslc.polinema.ac.id/cou
rse/view.php?id=2948
TUGAS
Trigonometri berasal dari bahasa
Yunani yaitu trigonon yang artinya tiga
sudut dan metro artinya mengukur.
Oleh karena itu trigonometri adalah
sebuah cabang dari ilmu matematika
yang berhadapan dengan sudut segi
tiga dan fungsi trigonometri seperti
sinus, cosinus, dan tangen.
ISI MATERI
Perbandingan
Trigonometri
Kuadran
I II III IV
𝑠𝑖𝑛 + + - -
𝑐𝑜𝑠 + - - +
𝑡𝑎𝑛 + - + -
𝑐𝑠𝑐 + + - -
𝑠𝑒𝑐 + - - +
𝑐𝑜𝑡 + - + -
Aturan Sinus :
𝒂
𝐬𝐢𝐧 𝑨
=
𝒃
𝐬𝐢𝐧 𝑩
=
𝒄
𝐬𝐢𝐧 𝑪
𝒂𝟐
= 𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐
- 2bc cos A
𝒃𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝒄𝟐
- 2ac cos B
𝒄𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
- 2ab cos C

20. THANK YOU