Materi matematika tentang Vektor tiga dimensi

1. VEKTOR TIGA DIMENSI
2.1

2. Vektor
Contoh:
Jika diketahui titik 𝑎 = (8, 3, −2) dan
𝑏 = (−5, −8, 12), maka vektor 𝐴𝐵
adalah …
Jawab:
𝐴𝐵 = 𝑏 − 𝑎
= −5, −8, 12 − 8, 3, −2
= ((−5) − 8, (−8) − 3, 12 − −2 )
= −13, −11, 14
= −13𝑖 − 11𝑗 + 14𝑘

3. PANJANG VEKTOR
Panjang vektor di 𝑅3
Misal diketahui vektor 𝑢 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), maka berlaku:
Misal diketahui titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) dan titik
B(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2)
|𝑢| = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
|𝐴𝐵| = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)2+ 𝑧2 − 𝑧1
2

4. Contoh:
Jika vektor 𝑎 = (1, 4, −8), maka
Panjang vektor 𝑎 adalah…
Jawab:
|𝑎| = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
= 12 + 42 + −82
= 1 + 16 + 64
= 81
= 9

5. 2.3 OPERASI MATEMATIK VEKTOR
2.3.1 JUMLAH DAN SELISIH VEKTOR
Contoh:
Diketahui titik A(1, -3, 2) dan B(4, 2, -1),
tentukan:
a. A + B
b. A – B
Jawab:
a. A + B =(1, −3, 2) + (4, 2, -1)
= 1 + 4, −3 + 2, 2 + (−1)
= (5, −1 , 1)
= 5𝑖 − 𝑗 + 𝑘
b. A + B = (1, −3, 2) + (4, 2, −1)
= 1 − 4, −3 − 2, 2 − (−1)
= −3, −5 , 3
= −3𝑖 − 5𝑗 + 3𝑘

6. Contoh :
Diketahui vektor 𝑣 = (1, -3, 2) dan 𝑤 = (4, 2, 1). Tentukan
a. 𝑣 ∙ 𝑤
b. 3 𝑤
Jawaban :
2.3.2 PERKALIAN VEKTOR
a. 𝑣 ∙ 𝑤 = (1, −3, 2) ∙ (4, 2, 1)
= 1 ∙ 4 + −3 ∙ 2 + 2 ∙ 1
= 4 + −6 + 2
= 0
b. 3𝑤 = 3 4, 2, 1
= 3 4 , 3 2 , 3 1
= (12, 6, 3)

7. Panjang Proyeksi dan Proyeksi Vektor
Panjang proyeksi vektor/proyeksi skalar = hasilnya bilangan
Panjang proyeksi vektor 𝑎 pada 𝑏 adalah 𝑐
Panjang proyeksi vektor 𝑏 pada 𝑎 adalah 𝑑
Proyeksi vektor atau orthogonal
vektor 𝑎 pada 𝑏 adalah 𝑐 = hasilnya
vektor
𝑐 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑏
2 × 𝑏
𝑐 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑏
𝑑 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑎

8. Contoh:
Tentukan Panjang proyeksi orthogonal