pengertian dan contoh vektor

1. VEKTOR
MATEMATIKA SMK
By: Zulfan A. R

2. Skalar adalah besaran yang
mempunyai besar saja tetapi
tidak mempunyai arah.
Vektor adalah besaran yang
mempunyai besar dan arah.

3. Contoh:
Vektor:
1. Kecepatan
2. Gaya
3. Perpindahan
4. Percepatan
Skalar:
1. Tinggi Badan
2. Jumlah Siswa
dalam kelas
3. Panjang sebuah
meja
4. Volume bangun
Ruang

4. Vektor adalah ruas garis yang berarah
A
B
Vektor u diwakili Vektor AB = AB
A : Titik Pangkal / titik tangkap
B : Titik Ujung / Terminus
u
Secara geometri:

5. Jenis–jenis vektor
1. Vektor Baris :
2. Vektor Kolom :
3. Vektor Basis : AB = xi + yj
4. Vektor Polar (kutub) : AB = ( r, θ)
y)(x,AB =






=
y
x
AB

6. Tentukanlah vektor-vektor yang
diwakili oleh AB,CD,EF,dan GH
A
D
E
F
C
H
G
B

7. Jawab:
Vektor AB = a
Vektor CD = - c
Vektor EF = d
Vektor GH = - e

8. VEKTOR PADA BIDANG KARTESIUS
Vektor AB dalam
bentuk pasangan
Bilangan
AB =
SB Y
O
A (X1,Y1)
B ( X2, Y2)






−
−
12
12
YY
XX






y
x
y2
y1
x1 x2
AB =
SB X

9. BESAR VEKTOR PADA
BIDANG KARTESIUS
Besar Vektor AB = AB
SB Y
O
A (X1,Y1)
B ( X2, Y2)
2
12
2
12 )y(y)x(xAB −+−=
22
yxAB +=
atau
y2
y1
X1 X2 SB Y

10. Diketahui A( 2,1), B( 6,4).
Tentukanlah: a. Vektor AB
b. Besar Vektor AB






=





−
−
=
3
4
14
26
AB
525916341)(42)(6AB
y1)(y2x1)(x2AB
2222
22
==+=+=−+−=
−+−=
Jawab :
Contoh:

11. Latihan:
Tentukanlah Vektor dan Besar Vektor dari
gambar berikut :
o Sb x
Sb y
A
B
C
D
E
G
F

12. Jawab:
Vektor OA = 231833yx 2222
==+=+
Vektor BC = 2952yx 2222
=+=+
Coba tentukan yang lainnya

13. VEKTOR SATUAN
Vektor yang panjangnya satu satuan
a
a
e 

=ˆ

14. Tentukanlah Vektor Satuan dari a
i
j
a
a = 3i + 4j
Sb x
Sb y
3
4
0

15. a = 3i + 4j
Jawab:
2 2
3i 4jˆ
3 4
+
= =
+


a
e
a
= + = + = =
= + = +


2 2
a 3 4 9 16 25 5
1 3 4
e (3i 4j) i j
5 5 5

16. OPERASI VEKTOR
1. Penjumlahan
2. Pengurangan
3. Perkalian

17. Penjumlahan Vektor secara Grafis
a
b
a + b

18. Pengurangan Vektor secara Grafis
b
a
a
a+(-b) = a - b
-b

19. Perkalian Skalar dengan Vektor
a
- 3a
2a

20. Penjumlahan Vektor secara Analitis
Cosθba2baba
)θCos(180ba2baba
)θCos(180ba2baba
22
o
22
o
222



++=+
−−+=+
−−+=+
a
b
(a+b)
θ 1800- θ
a
b

21. Pengurangan Vektor secara Analitis
Cosθba2baba
Cosθba2baba
Cosθba2baba
22
22
222



−+=−
−+=−
−+=−
a b
(a-b)
a
-b
θ

22. Contoh :
badanbaHitunglah
60b)(a,besar4bdan6a o


−+
=∠==
Jawab :
4
6
60

23. 762452ba
)
2
1
2.6.4.(1636ba
602.6.4.Cos46ba
Cosθba2baba
o22
22
=+=+
++=+
++=+
++=+





24. 72282452ba
)
2
1
2.6.4.(1636ba
02.6.4.Cos646ba
Cosθba2baba
o22
22
==−=−
−+=−
−+=−
−+=−





25. 1. Diketahui a = 3i + j , b = i – 2j
Tentukanlah :
a. Vektor Satuan a
b. Vektor Satuan 2b
c. Vektor Satuan ( a – 2b)
Latihan:

26. badanbaHitunglah
120b)(a,besar5bdan8a o


−+
=∠==2
3
badanbaHitunglah
90b)(a,besar5bdan12a o


−+
=∠==
8
5 120
12
5
90

27. badanbaHitunglah
150b)(a,besar4bdan6a o


−+
=∠==4.
150o
a
b

28. badanbaHitunglah
180)b,a(besar6bdan8a o


−+
=∠==
badanbaHitunglah
135b)(a,besar4bdan8a o


−+
=∠==5.
6

29. PERKALIAN SKALAR DUA
VEKTOR
( Dot Product)

30. Perkalian Skalar Dua Vektor
Definisi :
θCosbaba

=.
a
bθ

31. Tentukanlah perkalian skalar vektor
a dan b
Jawab :
a = 4
45o
b = 6
θCosbab.a

=
2122
2
1
24.b.a ==

0
4.6.Cos45b.a =

Contoh:

32. Jika a = x1i + y1j + z1k
b = x2i + y2j + z2k
a.b = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2
Maka Perkalian Skalar a dan b adalah :

33. Bukti :
a.b = (x1i+y1j+z1k).(x2i +y2j +z2k)
= x1.x2.i.i + x1.y2.i.j + x1.z2.i.k +
y1.x2.j.i + y1.y2.j.j + y1.z2.j.k +
z1.x2.k.i + z1.y2.k.j + z1.z2.k.k
= x1.x2. 1 + x1.y2. 0 + x1.z2. 0 +
y1.x2. 0 + y1.y2. 1 + y1.x2. 0 +
z1.x2. 0 + z1.y2. 0 + z1.x2. 1
a.b = x1.x2. + y1.y2. + z1.z2.

34. Keterangan :
i.i = 1.1. Cos oo
= 1.1.=1
j.j = 1.1. Cos oo
= 1.1.=1
k.k= 1.1. Cos oo
= 1.1.=1
i.j = 1.1. Cos 90o
= 1.0 = 0
i.k = 1.1. Cos 90o
= 1.0 = 0
j.k = 1.1. Cos 90o
= 1.0 = 0

35. Diketahui a = 2i + 4j + 6k dan
b = 3i – 5j + 8k
Tentukan perkalian skalar a dan b
Jawab :
a.b = 2.3 + 4.(-5) + 6.8
a.b = 6 – 20 + 48
a.b = 34.
Contoh:

36. Perkalian Silang Dua Vektor
( CROSS PRODUCT )

37. Perkalian Silang Dua Vektor
e.Sinbabxa ˆθ

=
Definisi : a x b
a
b
=eˆ Vektor satuan yang tegak lurus a dan b
ê
θ

38. Jika a = x1i + y1j + z1k
b = x2i + y2j + z2k
Maka Perkalian Silang Vektor a dan b adalah :
a x b = (y1.z2.- z1.y2.)i - (x1.z2. - z1.x2) j +
(x1.y2 - y1.x2) k
Atau secara determinan matrik sebagai berikut
222
111
zyx
zyx
kji
bxa =


39. Bukti:
a x b = (x1i+y1j+z1k) x (x2i +y2j +z2k)
= x1.x2. ixi + x1.y2. ixj + x1.z2. ixk +
y1.x2. jxi + y1.y2. jxj + y1.z2. jxk +
z1.x2. kxi + z1.y2. kxj + z1.z2. kxk
= x1.x2. 0 + x1.y2. k + x1.z2. (-j) +
y1.x2. (-k) + y1.y2. 0 + y1.z2. i +
z1.x2. j + z1.y2. (-i) + z1.x2. 0

40. a x b = x1.y2. k + x1.z2. (-j) + y1.x2. (-k) +
y1.z2. i + z1.x2. j + z1.y2. (-i)
= x1.y2. k + y1.x2. (-k) + x1.z2. (-j) +
z1.x2. j + y1.z2. i + z1.y2. (-i)
= y1.z2. i + z1.y2. (-i) +
x1.z2. (-j) + z1.x2. j +
x1.y2. k + y1.x2. (-k)

41. a x b = (y1.z2.- z1.y2.)i - (x1.z2. - z1.x2) j + (x1.y2 - y1.x2) k
222
111
zyx
zyx
kji
bxa =


42. Keterangan :
i x i = 1.1. Sin oo .
e = 1.0 .e = 0
j x j = 1.1. Sin oo .
e = 1.0.e =0
k x k= 1.1. Sin oo .
e = 1.0.e =0
i x j = 1.1. Sin 90o
.k = 1. k = k
k x i = 1.1. Sin 90o
.j= 1. j = j
j x k = 1.1. Sin 90o
. i = 1. i = i
j x i = 1.1. Sin 90o
(.-k)= 1.( -k )= -k
i x k = 1.1. Sin 90o
.(-j)= 1. (-j )= -j
k x j = 1.1. Sin 90o
. (-i )= 1. (-i ) = -i
i
j
k
e

43. Diketahui a = 2i + j – 4k ,
b = 5i – 6j + 3k
Tentukan a x b
Jawab:
365
412
−
−=
kji
bxa

= (1.3 - (-4)(-6))i - ( 2.3 - (-4).5)j + (2.(-6) - 1.5)k
= ( 3 - 24) i - ( 6 + 20 ) j + (-12 - 5) k
= -21i - 26j - 17k
Contoh :

44. Luas Jajargenjang
eSin iθbabxa ˆ

=
a
b
h
Definisi Perkalian Silang
Luas Jajargenjang adalah
= alas x tinggi
= a x h
= a . b Sin
Jadi Luas Jajargenjang = Besar Vektor Perkalian
Silang Dua Vektor
Luas Jajargenjang = a x b
Ø
Ø