Dokumen tersebut membahas tentang proyeksi skalar dan vektor suatu vektor pada vektor lainnya. Proyeksi skalar adalah panjang vektor proyeksi, sedangkan proyeksi vektor memiliki besar dan arah yang sama dengan vektor acuan. Rumus proyeksi skalar dan vektor dijelaskan beserta contoh perhitungannya.

1. Proyeksi Suatu Vektor pada
Vektor Lainnya
Matematika Peminatan SMA Kelas X
Ana Sugiyarti

2. Proyeksi Skalar Suatu Vektor pada vektor
Lainnya
Pada gambar berikut diberikan vektor posisi 𝑂𝐴 = 𝑎 dan 𝑂𝐵 =
𝑏.
Bagaimana dengan proyeksi vektor 𝑎 pada 𝑏?
Dari ujung A ditarik garis tegak lurus 𝑂𝐵 sampai memotong
vektor 𝑂𝐵. Misalkan titik potong ini adalah C, proyeksi vektor
𝑎 pada 𝑏 ditulis 𝑎 𝑏, adalah vektor 𝑂𝐶.
O
A
B
C
𝑎
𝑏
𝑎 𝑏
θ
Ana Sugiyarti

3. Bagaimana dengan proyeksi vektor 𝑏 pada 𝑎?
Dari ujung B ditarik garis tegak lurus 𝑂𝐴 sampai memotong
vektor 𝑂𝐴. Misalkan titik potong ini adalah D, proyeksi vektor
𝑏 pada 𝑎 ditulis 𝑏 𝑎, adalah vektor 𝑂𝐷.
O
A
B
D
𝑎
𝑏
𝑏 𝑎
θ
Ana Sugiyarti

4. O
A
B
C
𝑎
𝑏
𝑎 𝑏
θ
Perhatikan gambar di samping,
proyeksi vektor 𝑎 pada vektor 𝑏
adalah 𝑂𝐶 atau 𝑎 𝑏.
Panjang vektor ini, yaitu 𝑂𝐶 atau
𝑎 𝑏 disebut proyeksi skalar vektor 𝑎
pada vektor 𝑏.
Dari gambar diperoleh 𝑎 𝑏 = 𝑎 cos 𝜃
Dari rumus perkalian skalar
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos 𝜃
maka
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 𝑎 cos 𝜃
⇔ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 𝑎 𝑏
⇔ 𝑎 𝑏 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑏
Ana Sugiyarti

5. Proyeksi Skalar
 Proyeksi skalar vektor 𝑎 pada vektor 𝑏 :
 Proyeksi skalar vektor 𝑏 pada vektor 𝑎 :
Karena proyeksi skalar merupakan panjang vektor proyeksi
maka nilainya selalu positif.
𝒂 𝒃
=
𝒂 ∙ 𝒃
𝒃
𝒃 𝒂 =
𝒂 ∙ 𝒃
𝒂
Ana Sugiyarti

6. Proyeksi Vektor Suatu Vektor pada Vektor
Lainnya
Perhatikan kembali gambar proyeksi vektor 𝑎 𝑏 memiliki besar
𝑎 𝑏 , yaitu sama dengan proyeksi skalar dan searah vektor 𝑏.
Oleh karena itu,
𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑏
dengan 𝑏 adalah vektor satuan dalam arah 𝑏, sehingga
𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑏 ⟺ 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏
𝑏
𝑏
⟺ 𝑎 𝑏 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑏
∙
𝑏
𝑏
⟺ 𝑎 𝑏 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑏
2 ∙ 𝑏
O
A
B
C
𝑎
𝑏
𝑎 𝑏
θ
Ana Sugiyarti

7. Proyeksi Vektor
 Proyeksi vektor 𝑎 pada vektor 𝑏 :
 Proyeksi vektor 𝑏 pada vektor 𝑎 :
𝑎 𝑏 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑏
2 ∙ 𝑏
𝑏 𝑎 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑎 2
∙ 𝑎
Ana Sugiyarti

8. Contoh
Diberikan 𝑎 = 3 𝑖 + 𝑗 + 3 𝑘 dan 𝑏 = 𝑖 − 2 𝑗 + 𝑘. Tentukan :
a. Proyeksi skalar 𝑎 pada 𝑏
b. Proyeksi vektor 𝑏 pada 𝑎
Penyelesaian
𝑎 ∙ 𝑏 =
3
1
3
∙
1
−2
1
= 3 ∙ 1 + 1 ∙ −2 + 3 ∙ 1 = 3 − 2 + 3 = 4
𝑎 = 32 + 12 + 32 = 9 + 1 + 9 = 19
𝑏 = 12 + (−2)2+12 = 1 + 4 + 1 = 6
a. Proyeksi skalar 𝑎 pada 𝑏
𝑎 𝑏 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑏
=
4
6
=
4
6
∙
6
6
=
4 6
6
=
2
3
6
Ana Sugiyarti

9. Penyelesaian
𝑎 ∙ 𝑏 =
3
1
3
∙
1
−2
1
= 3 ∙ 1 + 1 ∙ −2 + 3 ∙ 1 = 3 − 2 + 3 = 4
𝑎 = 32 + 12 + 32 = 9 + 1 + 9 = 19
𝑏 = 12 + (−2)2+12 = 1 + 4 + 1 = 6
b. Proyeksi vektor 𝑏 pada 𝑎
𝑏 𝑎 =
𝑎 ∙ 𝑏
𝑎 2
∙ 𝑎 =
4
19
2 ∙ 𝑎 =
4
19
3 𝑖 + 𝑗 + 3 𝑘
=
12
19
𝑖 +
4
19
𝑗 +
12
19
𝑘
Ana Sugiyarti

10. Contoh
Diketahui koordinat titik A(0, 1, 3), B(5, -2, 4) dan C(3, 4, 2).
Tentukan proyeksi vektor 𝐴𝐵 pada 𝐵𝐶.
Penyelesaian
𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 =
5
−2
4
−
0
1
3
=
5
−3
1
𝐵𝐶 = 𝑂𝐶 − 𝑂𝐵 =
3
4
2
−
5
−2
4
=
−2
6
−2
𝐴𝐵 ∙ 𝐵𝐶 =
5
−3
1
∙
−2
6
−2
= 5 ∙ −2 + −3 ∙ 6 + 1 ∙ −2
= −10 − 18 − 2 = −30
𝐵𝐶 = (−2)2+62 + (−2)2= 4 + 36 + 4 = 44
Ana Sugiyarti

11. Penyelesaian
proyeksi vektor 𝐴𝐵 pada 𝐵𝐶
𝐴𝐵 𝐵𝐶 =
𝐴𝐵 ∙ 𝐵𝐶
𝐵𝐶
2 ∙ 𝐵𝐶 =
−30
44
2 ∙
−2
6
−2
=
−30
44
∙
−2
6
−2
=
−15
22
∙
−2
6
−2
=
15
11
−
45
11
15
11
=
15
11
𝑖 −
45
11
𝑗 +
15
11
𝑘
Ana Sugiyarti

12. Contoh
Diketahui panjang proyeksi 𝑎 =
2
−2
4
pada 𝑏 =
4
2
𝑝
adalah
Tentukan nilai p.
Penyelesaian
𝑎 ∙ 𝑏 =
2
−2
4
∙
4
2
𝑝
= 4 ∙ 2 + −2 ∙ 2 + 4 ∙ 𝑝 = 8 − 4 + 4𝑝
= 4 + 4𝑝 = 4 1 + 𝑝
𝑏 = 42 + 22 + 𝑝2 = 16 + 4 + 𝑝2 = 20 + 𝑝2
Panjang proyeksi 𝑎 pada 𝑏 : 𝑎 𝑏 =
8
5
5
Ana Sugiyarti

13. Penyelesaian
𝑎 ∙ 𝑏
𝑏
=
8
5
5
⟺
4 1 + 𝑝
20 + 𝑝2
=
8
5
5
⟺
1 + 𝑝
20 + 𝑝2
=
2
5
⟺
1 + 𝑝 2
20 + 𝑝2
=
4
5
⟺ 5 1 + 𝑝 2 = 4 20 + 𝑝2
⟺ 5 1 + 2𝑝 + 𝑝2 = 80 + 4𝑝2
⟺ 5 + 10𝑝 + 5𝑝2 = 80 + 4𝑝2
Kedua ruas dikuadratkan
Ana Sugiyarti

14. Penyelesaian
⟺ 𝑝2 + 10𝑝 − 75 = 0
⟺ 𝑝 + 15 𝑝 − 5 = 0
⟺ 𝑝 = −15 atau 𝑝 = 5
Jadi, himpunan penyelesaian adalah {-15, 5}
Ana Sugiyarti