Recommended
More Related Content
Similar to Vektor (1).ppsx
Similar to Vektor (1).ppsx (20)
Vektor (1).ppsx
- 1. Vektor Lalu Sahrul Hudha, S.Si., M.Si.
- 2. • Berdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian yaitu besaran skalar dan besaran vektor • Besaran skalar adalah besaran yang memiliki nilai dan tidak memiliki arah, Contoh: panjang, massa, waktu, temperatur, frekuensi, daya, dan usaha. • Besaran vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Contoh: perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, momen gaya, momentum, luas, impuls dan berat. • Vektor adalah obyek geometri yang memiliki besar dan arah • Operasi besaran skalar berbeda dengan dengan operasi vektor. • Operasi vektor dapat didekati menggunakan pendekatan grafis dan pendekatan analitis Besaran skalar dan Besaran Vektor
- 3. • Secara grafis, sebuah vektor disimbolkan oleh sebuah anak panah • Panjang anak panah menunjukkan besar vektor dan mata panah menunjukkan arah vektor • Cara penulisan besaran vektor 𝐅 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐹 • Cara penulisan nilai vektor 𝐹 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐹 • Cara menggambar vektor Representasi grasfis sebuah vektor 𝐹 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎𝑝 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘 𝑢𝑗𝑢𝑛𝑔 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑎𝑟𝑎ℎ 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 𝐴𝐵 𝐵𝐴 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑢ℎ𝑖 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑚𝑎𝑡 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑑𝑒𝑘𝑎𝑡𝑖 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑚𝑎𝑡 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔
- 4. • Sebuah vektor dalam sistem koordinat kartesian dinyatakan dalam komponen-komponenya disebut representasi analitis vektor. • Vektor digunakan untuk menentukan arah gerak partikel dalam garis (satu dimensi), bidang (dua dimensi) dan ruang (tiga dimensi). • Sebuah vektor direpresentasikan secara analitis menggunakan notasi vektor satuan. Representasi analitis sebuah vektor
- 5. Komponen vektor dua dimensi 𝑥 −𝑥 −𝑦 𝑦 𝐹 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝜃 𝐹𝑥 𝐹 = cos 𝜃 𝐹𝑦 𝐹 = sin 𝜃 𝐹𝑥 = 𝐹 ∙ cos 𝜃 𝐹𝑦 = 𝐹 ∙ sin 𝜃 𝐹 = 𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑦 2 tan 𝜃 = 𝐹𝑦 𝐹𝑥 𝜃 = tan−1 𝐹𝑦 𝐹𝑥
- 6. Komponen vektor dua dimensi
- 7. Komponen vektor tiga dimensi 𝑥 𝑦 𝑧 𝐹 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 𝛼 𝛽 𝜃 𝐹𝑥 𝐹 = cos 𝛽 𝐹𝑦 𝐹 = cos 𝜃 𝐹𝑥 = 𝐹 ∙ cos 𝛽 𝐹𝑦 = 𝐹 ∙ cos 𝜃 𝐹𝑧 𝐹 = cos 𝛼 𝐹𝑧 = 𝐹 ∙ cos 𝛼 𝐹 = 𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑦 2 + 𝐹𝑧 2 tan 𝛼 = 𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑦 2 𝐹𝑧 tan 𝛽 = 𝐹𝑦 2 + 𝐹𝑧 2 𝐹𝑥 tan 𝜃 = 𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑧 2 𝐹𝑦
- 8. • Vektor satuan adalah vektor bernilai satu satuan • Simbol vektor satuan adalah sebuah topi (^) • Vektor satuan 𝐹 adalah 𝐹 (dibaca F topi) • Vektor satuan A adalah perbandingan vektor A dengan besarnya. 𝐹 = 𝐹 𝐹 • Vektor satuan tidak memiliki satuan. • Vektor satuan 𝐹 menunjukkan arah vektor 𝐹 • Koordinat • kartesian memiliki tiga vektor satuan 𝑖, 𝑗, dan 𝑘 saling tegak lurus Vektor Satuan
- 9. • 𝑖 atau 𝑥 : vektor satuan searah sumbu x • 𝑗 atau 𝑦 : vektor satuan searah sumbu y • 𝑘 atau 𝑧 : vektor satuan searah sumbu z Vektor Satuan 𝑥 −𝑥 −𝑦 𝑦 𝐹 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝜃 𝑥 𝑦 𝑧 𝐹 𝐹𝑥 𝐹𝑦 𝐹𝑧 𝛼 𝛽 𝜃 𝑖 𝑗 𝑖 𝑗 𝑘 𝐹 = 𝐹𝑥𝑖 + 𝐹𝑦𝑗 𝐹 = 𝐹𝑥𝑖 + 𝐹𝑦𝑗 + 𝐹𝑧𝑘
- 10. • Sebuah objek dilempar dengan kecepatan 10 m/s membentuk sudut 600 terhadap sumbu x positif. Tuliskanlah kecepatan awal benda dalam vektor satuan 𝑖 dan 𝑗 . Contoh Soal
- 11. • Sebuah partikel memiliki vektor posisi 𝑟 = 𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘 . Tentukanlah vektor satuan dari vektor 𝑟. Contoh Soal
- 12. • Penjumlahan vektor 𝐴 dan 𝐵 disebut resultan vektor, simbolnya 𝑅 • 𝑅 = 𝐴 + 𝐵 • Jumlah besar vektor 𝐴 dan 𝐵 tidak sama dengan besar vektor 𝑅 . • 𝑅 ≠ 𝐴 + 𝐵 Penjumlahan Vektor Secara Grafis
- 13. Metode Poligon 𝑹 = 𝑨 + 𝑩 𝑨 𝑩 −𝑩 𝑨 −𝑩 𝑹 = 𝑨 − 𝑩
- 14. • Sifat Komutatif • 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 • Sifat Asosiatif • 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 • Pengurangan Vektor Sifat penjumlah vektor 𝑹 = 𝑨 + 𝑩 𝑨 𝑩 𝑩 𝑨 𝑹 = 𝑩 + 𝑨 𝑨 −𝑩 𝑹 = 𝑨 − 𝑩
- 15. PEMBAHASAN SOAL Gambarlah sebuah bidang jajargenjang PQRS dengan ketentuan: T adalah titik tengah PQ dan titik O adalah perpotongan diagonal PR dan QS. Jika 𝑃𝑄 = 𝑢 dan 𝑃𝑆 = 𝑣. Nyatakan vektor 𝑄𝑆 dalam vektor 𝑢 dan 𝑣. 𝑃 𝑄 𝑅 𝑆 𝑇 𝑂 𝑢 𝑣 𝑄𝑆 = ⋯ ? 𝑢 + 𝑄𝑆 = 𝑣 𝑄𝑆 = 𝑣 − 𝑢 Operasi Penjumlahan Vektor pangkal ujung
- 16. PEMBAHASAN SOAL Gambarlah sebuah bidang jajargenjang PQRS dengan ketentuan: T adalah titik tengah PQ dan titik O adalah perpotongan diagonal PR dan QS. Jika 𝑃𝑄 = 𝑢 dan 𝑃𝑆 = 𝑣. Nyatakan vektor 𝑅𝑇 dalam vektor 𝑢 dan 𝑣. 𝑃 𝑄 𝑅 𝑆 𝑇 𝑂 𝑢 𝑣 𝑅𝑇 = 𝑅𝑄 + 𝑄𝑇 𝑅𝑇 = −𝑣 + −1 2𝑢 Operasi Penjumlahan Vektor menggunakan metode poligon pangkal ujung 𝑄𝑇 𝑅𝑄= −𝑣 = − 1 2 𝑢
- 17. PEMBAHASAN SOAL Gambarlah sebuah bidang jajargenjang PQRS dengan ketentuan: T adalah titik tengah PQ dan titik O adalah perpotongan diagonal PR dan QS. Jika 𝑃𝑄 = 𝑢 dan 𝑃𝑆 = 𝑣. Nyatakan vektor 𝑇𝑆 dalam vektor 𝑢 dan 𝑣. 𝑃 𝑄 𝑅 𝑆 𝑇 𝑂 𝑢 𝑣 𝑇𝑆 = ⋯ ? 𝑃𝑇 + 𝑇𝑆 = 𝑣 1 2𝑢 + 𝑇𝑆 = 𝑣 𝑇𝑆 = 𝑣 − 1 2 𝑢 Operasi Penjumlahan Vektor menggunakan metode poligon pangkal ujung 𝑃𝑇 = 1 2 𝑢
- 19. Metode Jajar Genjang 𝑨 𝑩 𝜃 𝛼 𝛽 𝑅 = 𝐴2 + 𝐵2 + 2 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ cos 𝜃 𝑅 sin 180° − 𝜃 = 𝐴 sin 𝛼 = 𝐵 sin 𝛽
- 20. • 𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 + 𝐵𝑧 𝑘 • 𝐴 − 𝐵 = 𝐴𝑥 − 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 − 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 − 𝐵𝑧 𝑘 • Langkah penjumlahan vektor dengan metode analitis • Uraikan komponen vektor dalam komponen-komponen skalarnya. • 𝐹1 −> 𝐹1𝑥, 𝐹1𝑦 𝐹2 −> 𝐹2𝑥, 𝐹2𝑦 𝐹3 −> 𝐹3𝑥, 𝐹3𝑦 • Jumlahkan semua komponen vektor pada sumbu yang sama • 𝑅𝑥 = 𝐹1𝑥 + 𝐹2𝑥 + 𝐹3𝑥 𝑅𝑦 = 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑦 + 𝐹3𝑦 • Menghitung Resultan vektor • 𝑅 = 𝑅𝑥 2 + 𝑅𝑦 2 • Menghitung arah resultan vektor • 𝛼 = tan−1 𝑅𝑦 𝑅𝑥 Penjumlahan vektor cara analitis
- 21. PEMBAHASAN SOAL Perhatikan gambar tiga buah vektor berikut: Dari diagram vektor di atas, besar resultan ketiga vektor tersebut adalah .... A. 3 N B. 5 N C. 5√3 N D. 10 N E. 10√3 N 30° 60° 10 N 5 N 5 N 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝑥 −𝑥 −𝑦 𝑦 Langkah-Langkah: 1. Gambarkan komponen vektor dalam arah sumbu x dan y 2. Jabarkan komponen gaya tersebut 3. Hitung resultan gaya pada sumbu-x dan sumbu-y 4. Hitung resultan gaya total 𝐹2𝑥 𝐹2𝑦 𝐹3𝑥 𝐹3𝑦 𝐹1 = 5 𝐹2𝑥 𝐹3𝑥 𝐹2𝑦 𝐹3𝑦 = 𝐹2 ∙ sin 30° = 𝐹3 ∙ cos 60° = 𝐹2 ∙ cos 30° = 𝐹3 ∙ sin 60° = 10 ∙ 0,5 = 5 N = 5 ∙ 0,5 = 2,5 N = 10 ∙ 1 2 3 = 5 3 N = 5 ∙ 1 2 3 = 2,5 3 N Sumbu-x Sumbu-y 𝐹𝑅 = ⋯ ?
- 22. PEMBAHASAN SOAL Perhatikan gambar tiga buah vektor berikut: Dari diagram vektor di atas, besar resultan ketiga vektor tersebut adalah .... A. 3 N B. 5 N C. 5√3 N D. 10 N E. 10√3 N 30° 60° 10 N 5 N 5 N 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝑥 −𝑥 −𝑦 𝑦 Langkah-Langkah: 1. Gambarkan komponen vektor dalam arah sumbu x dan y 2. Jabarkan komponen gaya tersebut 3. Hitung resultan gaya pada sumbu-x dan sumbu-y 4. Hitung resultan gaya total 𝐹2𝑥 𝐹2𝑦 𝐹3𝑥 𝐹3𝑦 𝐹𝑅 = ⋯ ? 𝐹1 = 5 𝐹2𝑥 𝐹3𝑥 𝐹2𝑦 𝐹3𝑦 = 5 N = 2,5 N = 5 3 N = 2,5 3 N Sumbu-x Sumbu-y Σ𝐹𝑥 = 𝐹2𝑥 + 𝐹3𝑥 − 𝐹1 Σ𝐹𝑥 = 5 + 2,5 − 5 Σ𝐹𝑥 = 2,5 Σ𝐹𝑦 = 𝐹2𝑦 − 𝐹3𝑦 Σ𝐹𝑦 = 5 3 − 2,5 3 Σ𝐹𝑦 = 2,5 3
- 23. PEMBAHASAN SOAL Perhatikan gambar tiga buah vektor berikut: Dari diagram vektor di atas, besar resultan ketiga vektor tersebut adalah .... A. 3 N B. 5 N C. 5√3 N D. 10 N E. 10√3 N 30° 60° 10 N 5 N 5 N 𝐹1 𝐹2 𝐹3 𝑥 −𝑥 −𝑦 𝑦 Langkah-Langkah: 1. Gambarkan komponen vektor dalam arah sumbu x dan y 2. Jabarkan komponen gaya tersebut 3. Hitung resultan gaya pada sumbu-x dan sumbu-y 4. Hitung resultan gaya total 𝐹2𝑥 𝐹2𝑦 𝐹3𝑥 𝐹3𝑦 𝐹𝑅 = ⋯ ? 𝐹1 = 5 𝐹2𝑥 𝐹3𝑥 𝐹2𝑦 𝐹3𝑦 = 5 N = 2,5 N = 5 3 N = 2,5 3 N Sumbu-x Sumbu-y Σ𝐹𝑥 = 2,5 Σ𝐹𝑦 = 2,5 3 𝐹𝑅 = Σ𝐹𝑥 2 + Σ𝐹𝑦 2 𝐹𝑅 = 2,5 2 + 2,5 3 2 𝐹𝑅 = 6,25 + 6,25 ∙ 3 𝐹𝑅 = 6,25 + 18,75 𝐹𝑅 = 25 𝐹𝑅 = 5 N
- 24. PEMBAHASAN SOAL Tiga vektor dituliskan dalam persamaan berikut. 𝑎 = 15𝑖 + 3𝑗 𝑏 = 2𝑖 + 17𝑗 𝑐 = 3𝑖 + 5𝑗 Gambarkan ketiga vektor dan hitung resultannya! Menghitung Vektor Resultan 𝑟 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑟 = 15𝑖 + 3𝑗 + 2𝑖 + 17𝑗 + 3𝑖 + 5𝑗 𝑟 = 15𝑖 + 2𝑖 + 3𝑖 + 3𝑗 + 17𝑗 + 5𝑗 Menghitung Besar Resultan Vektor 𝑟 = 202 + 252 𝑟 = 400 + 625 1025 32,01 20𝑖 + 25𝑗 𝑟 = ⋯ ? Menggambar vektor! 𝒂 𝒃 𝒄
- 25. PEMBAHASAN SOAL Tiga vektor percepatan dituliskan dalam vektor- vektor berikut. 𝑎1 = −10𝑗 m s2 𝑎2 = 8𝑖 − 6𝑗 m s2 𝑎3 = −3𝑖 + 4𝑗 m s2 a. Gambarkan vektor resultan percepatan dalam vektor satuannya. b. Tentukan nilai resultan percepatannya. Menghitung Vektor Resultan 𝑎𝑅 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 𝑎𝑅 = −10𝑗 + 8𝑖 − 6𝑗 + −3𝑖 + 4𝑗 𝑎𝑅 = 8𝑖 − 3𝑖 − 10𝑗 − 6𝑗 + 4𝑗 𝑎𝑅 = 5𝑖 − 12𝑗 a. 𝑎𝑅 = ⋯ ? b. 𝑎𝑅 = ⋯ ? 5𝑖 − 12𝑗
- 26. PEMBAHASAN SOAL Tiga vektor percepatan dituliskan dalam vektor- vektor berikut. 𝑎1 = −10𝑗 m s2 𝑎2 = 8𝑖 − 6𝑗 m s2 𝑎3 = −3𝑖 + 4𝑗 m s2 a. Gambarkan vektor resultan percepatan dalam vektor satuannya. b. Tentukan nilai resultan percepatannya. +𝑥 −𝑥 +𝑦 −𝑦 𝑎𝑅 𝑎𝑥 = 5 m s2 𝑎𝑦 = −12 m s2 𝑎𝑅 = 𝑎𝑥 2 + 𝑎𝑦 2 𝑎𝑅 = 52 + −12 2 𝑎𝑅 = 25 + 144 𝑎𝑅 = 169 𝑎𝑅 = 13 m s2 a. 𝑎𝑅 = ⋯ ? b. 𝑎𝑅 = ⋯ ? 5𝑖 − 12𝑗 13 m s2
- 27. PEMBAHASAN SOAL Perhatikan posisi titik pada koordinat cartesius berikut! -3 -2 -1 -2 -1 (-3,-2) (x,y) Menentukan vektor 𝑟 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 𝑟 = −3𝑖 − 2𝑗 satuan 𝑟 = −3𝑖 − 2𝑗 ∙ 0,5 m 𝑟 = −3 ∙ 0,5𝑖 − 2 ∙ 0,5𝑗 m Menghitung besar vektor r 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑟 = −1,5 2 + −1,0 2 𝑟 = 2,25 + 1 Jika 1 kotak mewakili 0,5 meter, nyatakan posisi titik dalam vektor satuan, besar dan arahnya r adalah... A. 3,25 m dan 33,69° B. 3,25 m dan 213,69° C. 4,50 m dan 213,82° D. 4,50 m dan 30° E. 5,25 m dan 240,50° Ditanya: 𝑟 = ⋯ ? 𝜃 = ⋯ ? Diketahui: 1 kotak = 0,5 m 𝜃 = 180° + 𝛼 𝜃 = 180° + tan−1 𝑦 𝑥 𝜃 = 180° + tan−1(0,67) 𝜃 = 180° + 33,69° 𝛼 = 213,69° −2 −3 −1,5𝑖 − 1,0𝑗 m 3,25 m Menghitung arah vektor