1. 3.2.2 Vektor-VektorTak Sejajar
Vektortak sejajar
Karena dua vektortidak sejajar, jadi konstanta (gradien) keduavektoradalah berbeda.
Jika ox+ py = 0, jadi ox= -py, dan bisa dinyatakan bahwa o = p = 0.
Mencermati aturan vektor-vektortaksejajar
Diberikan πββ = 5πββ +4πββ , πββ =3πββ β πββ , dan πβββ = hπββ + (h+k+3) πββ dengan h dan k konstanta serta πββ dan πββ dua vektor
tidak saling sejajar . jika w = 2u - 3v,hitunglah nilai h dan k.
Pembahasan :
πβββ = 2π’β β 3πββ
hπβββ +(h+k+3)πβββ = 2(5πβββ + 4πββ )- 3(3πββ -πββ )
=10πββ +8πββ -9πββ +3πββ
hπββ +(h+k+3) πββ = πββ +11πββ
berdasarkan kesamaan kooefisien, di peroleh :
.. . h = 1 dan h+k+3 = 11
K=11-1-3
.. . K=7
Jadi,nilai h=1 dan k=7
3. Karena πβββ dan πββ tidaksejajar,maka:
ππ
π+π
=
π
π+π
6m + 6mn = 8n + 8nm
2mn - 6m + 8n = 0
mn β 3m + 4n = 0 β¦β¦β¦β¦β¦(2)
dan
π
π+π
=
π
π+π
8 + 8n = 2 + 2n
m = 4n+3β¦β¦β¦β¦β¦β¦(3)
subtitusi (3) ke(2) , di peroleh:
(4n + 3)n β 3(4n + 3) + 4n= 0
4n2 β 5n β 9 = 0
(4n β 9)(n+ 1) = 0
Dari persamaan(1), 1 + n β 0 β 4n β 9 = 0
n = 2
π
π
dari persamaan(3), di peroleh:
m = 4(2
π
π
) + 3 = 12
jadi,nilai m = 12dan n=2
π
π
.
Contoh 13.
Vector posisi A, B, dan C relatifterhadaptitikpusat O masing β masingadalah 2pβββββββ , 3qββββ , dan 4pββββ +
9qββββ sedemikian sehinggaAPβββββ 2
3
ABββββββ .
Tuliskan OPββββββ dalam bentuk pβββ dan qβ .titik Qβββ sedemikian sehingga OQβββββ = Ξ» hingga OQβββββ
= Ξ». OPββββββ dengan Ξ» > 1 . ππ¦ππ‘ππππ OQββββββ dan BQββββββ dalam bentuk pβ ,qβ , dan Ξ».Deberikan BQβββββ
= ΞΌ. BC , carilah nilai Ξ»,ΞΌ, dan rasio BQ ;QC .
Pembahasan
APβββββ =
2
3
ABβββββ
3(OPβββββ β OAβββββ ) = 2(OBβββββ β OAβββββ )
3 OPβββββ = 2 OBβββββ + OAβββββ = 6q + 2p
OPβββββ =
2
3
OBβββββ + OAβββββ
OQβββββ = Ξ» OPβββββ
=
2
3
Ξ» pβ + 2Ξ» qβ
BQβββββ = OQβββββ β OBβββββ
=
2
3
Ξ» pβ + 2Ξ» qβ β 3 qβ
BQβββββ =
2
3
Ξ» pβ + (2Ξ» β 3)qβ β¦ .. (1)
BCβββββ = OCβββββ β OBβββββ
= 4 pβ + 9 qβ β 3 qβ
BQβββββ = ΞΌ BCβββββ
β BQβββββ = 4ΞΌ pβ + 6ΞΌ .β¦.. (2)
O
B
B
4 π + 9 π
P
A
O
O
C
4. Kesamaan (1) dan (2) untuk BQβββββ ,diperoleh βΆ
2
3
Ξ» = 4ΞΌ
β Ξ» = 6ΞΌ β¦ β¦(3)
dan 2Ξ» β 3 = 4ΞΌ p + 6ΞΌ q
β 2Ξ» β 6ΞΌ = 3 β¦. .. (4)
Subsitusikan (3)ke (4), diperoleh :
12ΞΌ β 6ΞΌ = 3
ΞΌ =
1
2
Ξ» = 6(
1
2
) = 3
β΄ BQβββββ =
1
2
BCββββββ dan BQβββββ = QCβββββ
β΄ BQββββββ :QCβββββ = 1 = 1
3.3. AljabarVektor
3.3.1. Vektordi bidang (R2)dan Ruang (R3)
A. Vektorduabidang(R2 )
1. VektorKolom
PerhatikansebuahbidangdengankoordinatCartesius. VektorPQβββββ pada gambar di samping
menunjukkan perpindahan sebuah mobil dari titik P menuju titik Q. Perpindahan titik P menuju titik Q
menunjukkan 4 sataun ke kanan dan 3 satuan ke atas.
Penulisan vectorpadagambar 3.14, dapatditulissecarakolomsebagaiberikut:
PQβββββ = (
4
3
)
(
4
3
)disebut vectorkolom. 4 dan 3 merupakan komponen dari vector (
4
3
).
2. Panjangsebuah vectorkolom
Panjangsebuah vectorkolomaβ = (
u
v
)dinotasikan oleh |aβ |, ditentukan oleh
|aβ | =βu2 + v2
(Berdasarkanteorema Pythagoras)
3. Vektorsatuandalam vectorkolom
Padapembahasansebelumnya, vectorsatuandariaβ didefinisikan oleh:
eaβ =
aβ
|aβ |
atau aΜ
Dalam vector kolom,jikaaβ = (
u
v
), maka aΜ =
1
βu2+v2
. (
u
v
).
4. Sifat-sifatoperasi vectorkolom
Jikaaβ =(x1
y1
)dan bβ (x1
y1
), maka:
(i) aβ + bβ = (x1
y1
) + (x2
y2
) = (x1 +
y1 +
x2
y2
)
(ii) aβ - bβ = (x1
y1
) - (x2
y2
) = (x1 β
y1 β
x2
y2
)
(iii) aβ =aβ β x1 = x1 dan y1 = y2
(iv) kaββββ =k(x1
y1
) = (kx1
ky1
) dengan k sebuah konstanta
5. Vektor-vektordi R2 dalam bentuk Cartesian
Y
Y
Y
O
Y
4
Y
Y
Q
Y
P
Y
π
Y
3
Y
Gambar
3.14
O
π
u
Y
5. Perhatikangambar 3.16 di samping. Koordinat-koordinatdarititik-titik A(4,3), B(-2,2),I(1,0),
dan J(0,1)merupakantitikujungdari vector-vektorposisiOA, OB,OI, dan OJ terhadaptitik O(0,0).
Vektor-vektorposisiiniditulissebagai vector-vektorkolom:
OAββββββ = aβ = (
4
3
), OBββββββ = bβββ (
β2
2
), OIβββββ = iβ = (
1
0
), dan OJβββββ = (
0
1
).
PerhatikanOIβββββ dan OJβββββ mempunyai panjang 1 satuan, iβ dan jβ sejajar terhadap sumbu X dan
sumbu Y. iβ danjβ disebut vectorsatuan (vectorbasis R2 ) dalam arah positip dari sumbu X dan sumbu Y.
Sembarang vector R2 dapat dinyatakan dalam bentuk iβββ danjβ , seperti:
OBββββββ , dan
OBββββββ = (
β2
2
)= -2(
1
0
) + 2(
0
1
) = -2 iβ + 2jβ
Secaraumum, jika p sebuahtitik (x,y)dan O(0,0),maka vector OPββββββ dapat ditulis sebagai:
(i) vectorkolom:
OPβββββ = Pββ = (
x
y
)
(ii) Kombinasi linear daridua vectorsatuan:
OPββββββ = (
x
y
) = x(
1
0
) + y(
0
1
)= x iβ + yjβ
(iii) Panjang vectorOP:
OPββββββ =|(
x
y
)| = |x iβ + y jβ | = βx2 + y2
Contoh 14.
Jikaaββ = 5iβ + 4jβ , bβββ = 2iβ - jβ , dan cββ , = 4jβ + 7jβ . Tuliskan (i) dalam bentuk iβ dan jβ , dan (ii) sebagai vector
kolom setiap setiap vectorberikut.
a. (i) aββ + bβββ b. 3bβββ + 2cββ c. 2aββ - cββ
Pembahasan:
a. (i) aββ + bβββ = (5iβ + 4jβ ) + (2iβ - jβ ) = 7iβ + 3jβ
(ii) aββ + bβββ = (7
3
)
b. (i) 3bβββ + 2bβββ = 3 (2iβ -jβ )+ 2(4iβ + 7j) = 14i+ 11jβ
(ii) 3bβββ + 2c = (14
11
)
c. (i) 2aββ - cββ = 2 (5iβ + 4jββββ ) - (4iβ + 7j) = 6i+ jβ
(ii) 2aββ - cββ ) = (6
1
)
Contoh 15.
KoordinattitikP(1,2),Q(7,3) dan R(4,7). Carilahkoordinattitik S apabila PQRS sebahjajargenjang,
Pembahasan :
MisalkantitikS(h,k).
ππββββββββ (
1
2
) , ππ βββββ (7
3
), ππ βββββ = (
4
7
), πππ ππβββββ = (
β
π
)
Karena PQRS sebuahjajargenjang, ππβββββ = ππ βββββ
ππβββββ = ππββββββ β ππβββββ = (
7
3
) β(
1
2
) = (
6
1
)
ππ = ππ β ππ = (
4
7
) β (
β
π
) = (
4 β β
7 β π
)
β΄ (
4 β β
7 β π
) = (
6
1
)
4 β h = 6 dan 7 β k = 1
h = -2 dan k = 6
jadi, koordinattitikS(-2,6).