Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk definisi vektor, representasi vektor, operasi-operasi vektor seperti penjumlahan dan perkalian skalar vektor, serta komponen-komponen vektor dalam sistem koordinat kartesius.
Contoh PPT Seminar Proposal Teknik Informatika.pptx
ย
1.2 Vektor di R3
1. 1
1.2 VEKTOR
Istilah vektor digunakan untuk mengindikasikan suatu kuantitas (seperti
perpindahan atau kecepatan atau juga gaya) yang memiliki besar dan juga arah.
Sebuah vektor sering direpresentasikan oleh sebuah panah atau segmen garis
berarah. Panjang panah merepresentasikan besar vektor dan ujung panah menunjuk
pada arah vektor. Kita nyatakan sebuah vektor dengan huruf bercetak tebal (๐ฏ) atau
dengan meletakkan panah diatas huruf (๐ฃโ).
Sebagai contoh, andarikan sebuah partikel bergerak sepanjang sebuah
segmen garis dari titik ๐ด ke titik ๐ต. Vektor perpindahan ๐ฏ, sebagaimana yang
diperlihatkan dalam Gambar 1, memiliki titik asal ๐ด (ekor) dan titik ujung ๐ต
(kepala) dan kita mengindikasikan hal ini dengan menuliskan ๐ฏ = ๐ด๐ตโโโโโโ. Catat bahwa
vektor ๐ฎ = ๐ถ๐ทโโโโโโ memiliki panjang dan arah yang sama dengan ๐ฏ meskipun berada
posisi yang berbeda. Kita katakan bahwa ๐ฎ dan ๐ฏ adalah ekivalen (atau sama) dan
kita tuliskan ๐ฎ = ๐ฏ. Vektor nol, dinotasikan dengan ๐, memiliki panjang 0. Hanya
vektor nol inilah vektor satu-satunya yang tidak memiliki arah tertentu.
Gambar 1
Vektor-vektor yang ekivalen
Andaikan sebuah partikel bergerak dari ๐ด ke ๐ต, jadi vektor perpindahannya adalah
๐ด๐ตโโโโโโ. Kemudian partikel tersebut merubah arah dan bergerak dari ๐ต ke ๐ถ, dengan
vektor perpindahan ๐ต๐ถโโโโโโ sebagaimana dalam Gambar 2.
Gambar 2
2. 2
Efek kombinasi dari perpindahan ini adalah bahwa partikel tersebut telah
bergerak dari ๐ด ke ๐ถ. Vektor perpindahan yang dihasilkan ๐ด๐ถโโโโโโ disebut jumlah dari
๐ด๐ตโโโโโโ dan ๐ต๐ถโโโโโโ dan kita tuliskan
๐ด๐ถโโโโโโ = ๐ด๐ตโโโโโโ + ๐ต๐ถโโโโโโ
Secara umum, jika kita mulai dengan vektor-vektor ๐ฎ dan ๐ฏ, pertama kita
menggerakkan ๐ฏ sedemikan sehingga ekornya bertemu dengan kepala dari ๐ฎ dan
definisikan penjumlahan ๐ฎ dan ๐ฏ sebagai berikut.
Definisi Jika ๐ฎ dan ๐ฏ adalah vektor-vektor yang ditempatkan sedemikian
sehingga titik asalah dari ๐ฏ berada pada titik ujung dari ๐ฎ, maka jumlah ๐ฎ + ๐ฏ
adalah vektor dari titik asal ๐ฎ ke titik ujung ๐ฏ.
Definisi penjumlahan vektor diilustrasikan dalam Gambar 3. Anda dapat
melihat mengapa definisi ini terkadang disebut Aturan Segitiga.
Gambar 3
Aturan Segitiga
Gambar 4
Aturan Jajar-genjang
Dalam Gambar 4, kita mulai dengan vektor-vektor yang sama, ๐ฎ dan ๐ฏ
sebagaimana dalam Gambar 3 dan kita gambarkan duplikasi dari ๐ฏ dengan titik asal
yang sama dengan ๐ฎ. Dengan melengkapkan gambar menjadi sebuah jajar-genjang,
kita lihat bahwa ๐ฎ + ๐ฏ = ๐ฏ + ๐ฎ. Hal ini tentunya memberikan cara lain dalam
membangun penjumlahan: Jika kita tempatkan ๐ฎ dan ๐ฏ sehingga kedua vektor ini
mulai dari titik yang sama, maka ๐ฎ + ๐ฏ terletak disepanjang diagonal dengan ๐ฎ dan
๐ฏ sebagai sisi-sisinya. (Ini disebut Aturan Jajar-genjang)
Adalah mungkin untuk mengalikan sebuah vektor dengan sebuah bilangan
riil ๐. (dalam konteks ini kita sebut bilangan riil ๐ sebagai sebuah skalar untuk
membedakannya dari vektor). Sebagai contoh, kita mau bahwa 2๐ฏ merupakan
vektor yang sama dengan ๐ฏ + ๐ฏ, yang memiliki arah yang sama dengan ๐ฏ tetapi dua
kali lebih panjang. Secara umum, kita kalikan sebuah vektor dengan sebuah skalar
sebagai berikut.
3. 3
DEFINISI PERKALIAN SKALAR Jika ๐ adalah skalar dan ๐ฏ adalah
vektor, maka perkalian skalar ๐๐ฏ adalah vektor yang panjangnya adalah |๐|
kali panjang ๐ฏ dan yang arahnya sama dengan arah ๐ฏ jika ๐ > 0 dan berlawanan
dengan arah ๐ฏ jika ๐ < 0. Jika ๐ = 0 atau ๐ฏ = ๐, maka ๐๐ฏ = ๐.
Definisi di atas diilustrasikan dalam Gambar 5. Kita lihat bahwa bilangan-
bilangan riil bekerja seperti sebagai faktor penskala; itu mengapa bilangan-bilangan
ini disebut skalar.
Gambar 5
Kelipatan skalar dari ๐ฏ
Catat bahwa dua vektor tak-nol adalah sejajar jika vektor yang satu adalah
kelipatan skalar dari vektor yang lainnya. Secara khusus, vektor โ๐ฏ = (โ1)๐ฏ
memiliki panjang yang sama dengan ๐ฏ tetapi berlawan arah dengan ๐ฃ. Kita sebut
yang demikian sebagai negatif dari ๐ฃ.
Kita maksudkan selisih dua vektor, ๐ฎ โ ๐ฏ sebagai
๐ฎ โ ๐ฏ = ๐ฎ + (โ๐ฏ)
Jadi kita dapat membentuk ๐ฎ โ ๐ฏ dengan pertama sekali menggambar
negatif dari ๐ฏ, yaitu โ๐ฏ, dan kemudian menambahkannya kepada ๐ฎ dengan
menerapkan Hukum Jajar-genjang sebagaimana dalam Gambar 6(a). Secara
alternatif, karena ๐ฏ + (๐ฎ โ ๐ฏ) = ๐ฎ, vektor ๐ฎ โ ๐ฏ, ketika ditambahkan kepada ๐ฏ,
memberikan ๐ฎ. Jadi kita dapat membentuk ๐ฎ โ ๐ฏ sebagaimana dalam Gambar 6(b)
dengan menerapkan Aturan Segitiga.
4. 4
Gambar 6(a)
Menggambar ๐ฎ โ ๐ฏ dengan Aturan
Jajar-genjang
Gambar 6(b)
Menggambar ๐ฎ โ ๐ฏ dengan
Aturan Segitiga
Jika kita tempatkan titik asal vektor ๐ pada titik asal dari sebuah sistem
koordinat Cartesius, maka titik ujung ๐ memiliki koordinat dalam bentuk (๐1, ๐2)
pada sistem koordinat dua-dimensi atau (๐1, ๐2, ๐3) pada sistem koordinat tiga-
dimensi (lihat Gambar 7). Koordinat-koordinat ini disebut komponen dari ๐ dan
kita tuliskan
๐ = โฉ๐1, ๐2โช atau ๐ = โฉ๐1, ๐2, ๐3โช
Gambar 7
Kita menggunakan notasi โฉ๐1, ๐2โช untuk pasangan terurut yang mengacu kepada
sebuah vektor sehingga dapat dibedakan dari pasangan terurut (๐1, ๐2) yang
mengacu kepada sebuah titik pada bidang.
Sebagai contoh, vektor-vektor yang terlihat dalam Gambar 8 semuanya
ekivalen dengan vektor ๐๐โโโโโโ = โฉ3, 2โช yang titik ujungnya adalah ๐(3, 2). Kesamaan
diantara vektor-vektor itu adalah bahwa titik ujung dicapai dari titik asala dengan
suatu perpindahan tiga unit ke kanan dan dua unit ke atas. Kita dapat memikirkan
semua vektor geometris ini sebagai representasi dari vektor aljabar ๐ = โฉ3, 2โช.
Representasi khusus ๐๐โโโโโโ dari titik asal ke titik ๐(3, 2) disebut vektor posisi dari
titik ๐.
5. 5
Gambar 8
Representasi vektor ๐ = โฉ3, 2โช
Dalam tiga-dimensi, vektor ๐ = ๐๐โโโโโโ = โฉ๐1, ๐2, ๐3โช adalah vektor posisi dari
titik ๐(๐1, ๐2, ๐3). (Lihat Gambar 9). Perhatikan representasi lain ๐ด๐ตโโโโโโ dari ๐, dimana
titik pangkalnya adalah ๐ด(๐ฅ1, ๐ฆ1, ๐ง1) dan titik ujungnya adalah ๐ต(๐ฅ2, ๐ฆ2, ๐ง2). Maka
haruslah ๐ฅ1 + ๐1 = ๐ฅ2, ๐ฆ1 + ๐2 = ๐ฆ2 dan ๐ง1 + ๐3 = ๐ง2 dan dengan demikian ๐1 =
๐ฅ2 โ ๐ฅ1, ๐2 = ๐ฆ2 โ ๐ฆ1, dan ๐3 = ๐ง2 โ ๐ง1. Jadi,
Diberikan titik ๐ด(๐ฅ1, ๐ฆ1, ๐ง1) dan titik ๐ต(๐ฅ2, ๐ฆ2, ๐ง2), vektor ๐ dengan
representasi ๐ด๐ตโโโโโโ adalah
๐ = โฉ๐ฅ2 โ ๐ฅ1, ๐ฆ2 โ ๐ฆ1, ๐ง2 โ ๐ง1โช
vektor posisi P
Gambar 9
Representasi vektor ๐ = โฉ๐1, ๐2, ๐3โช
Contoh 1
Tentukan vektor yang direpresentasikan oleh segmen garis berarah dengan
titik pangkal ๐ด(2, โ3, 4) dan titik ujung ๐ต(โ2, 1, 1).
6. 6
Penyelesaian
Vektor yang berhubungan dengan ๐ด๐ตโโโโโโ adalah
๐ = โฉโ2 โ 2, 1 โ (โ3), 1 โ 4โช = โฉโ4, 4, โ3โช
โก
Besar atau panjang dari vektor ๐ฏ adalah panjang dari sebarang
representasinya dan dinotasikan dengan simbol |๐ฏ| atau โ๐ฏโ. Dengan menggunakan
rumus jarak untuk menghitung panjang segmen ๐๐, kita peroleh rumus berikut.
Panjang vektor dua-dimensi ๐ = โฉ๐1, ๐2โช adalah
|๐| = โ๐1
2
+ ๐2
2
Panjang vektor tiga- dimensi ๐ = โฉ๐1, ๐2, ๐3โช adalah
|๐| = โ๐1
2
+ ๐2
2
+ ๐3
2
Untuk mengetahui bagaimana menjumlahkan vektor-vektor secara aljabar,
perhatikan Gambar 10 bahwa jika ๐ = โฉ๐1, ๐2โช dan ๐ = โฉ๐1, ๐2โช, maka jumlahnya
adalah ๐ + ๐ = โฉ๐1 + ๐1, ๐2 + ๐2โช. Dengan kata lain, untuk menjumlahkan vektor-
vektor kita menjumlahkan komponen-komponennya. Dengan cara yang sama,
untuk mengurangkan vektor-vektor kita kurangkan komponen-komponennya.
Gambar 10
Dari segitiga-segitiga yang sebangun dalam Gambar 11, kita lihat bahwa
komponen-komponen dari ๐๐ adalah ๐๐1 dan ๐๐2. Jadi, untuk mengalikan sebuah
vektor dengan sebuah skalar kita mengalikan setiap komponennya dengan skalar
itu.
8. 8
Kita nyatakan himpunan semua vektor dimensi-dua dengan ๐2 dan
himpunan semua vektor dimensi-tiga dengan ๐3. Secara umum, kita akan perlu
memperhatikan himpunan ๐๐ dari semua vektor ๐-dimensi. Suatu vektor ๐-dimensi
adalah suatu ๐-pasangan terurut:
๐ = โฉ๐1, ๐2, โฆ , ๐ ๐โช
SIFAT-SIFAT VEKTOR Jika ๐, ๐, dan ๐ adalah vektor-vektor dalam
๐๐ dan ๐ dan ๐ adalah skalar, maka
1. ๐ + ๐ = ๐ + ๐ 2. ๐ + (๐ + ๐) = (๐ + ๐) + ๐
3. ๐ + ๐ = ๐ 4. ๐ + (โ๐) = ๐
5. ๐(๐ + ๐) = ๐๐ + ๐๐ 6. (๐ + ๐)๐ = ๐๐ + ๐๐
7. (๐๐)๐ = ๐(๐๐) 8. 1๐ = ๐
Kedelapan sifat vektor ini dapat diverifikasi secara geometris maupun
secara aljabar. Sebagai contoh, kita dapat melihat bahwa Sifat 2 (hukum assosiatif)
adalah benar dengan memperhatikan Gambar 12 dan menerapkan Aturan Segitiga
beberapa kali. Vektor ๐๐โกโโโโโ diperoleh baik dengan pertama membangun ๐ + ๐ dan
kemudian menambahkan ๐ ataupun dengan menambahkan ๐ dengan vektor ๐ + ๐.
Gambar 12
Tiga vektor dalam ๐3 memiliki aturan yang khusus. Diberikan
๐ข = โฉ1, 0, 0โช ๐ฃ = โฉ0, 1, 0โช ๐ค = โฉ0, 0, 1โช
Vektor-vektor ๐ข, ๐ฃ, dan ๐ค ini disebut vektor basis. Vektor-vektor basis memiliki
panjang 1 dan mengarah pada arah sumbu-๐ฅ, sumbu-๐ฆ, dan sumbu-๐ง yang positif.
Dengan cara yang sama, dalam dua-dimensi kita definisikan ๐ข = โฉ1, 0โช dan ๐ฃ =
โฉ0, 1โช. (Lihat Gambar 13)
9. 9
Gambar 13
Vektor basis dalam ๐2 dan ๐3
Jika ๐ = โฉ๐1, ๐2, ๐3โช, maka kita dapat menuliskan
๐ = โฉ๐1, ๐2, ๐3โช = โฉ๐1, 0, 0โช + โฉ0, ๐2, 0โช + โฉ0, 0, ๐3โช
= ๐1โฉ1, 0, 0โช + ๐2โฉ0, 1, 0โช + ๐3โฉ0, 0, 1โช
๐ = ๐1 ๐ข + ๐2 ๐ฃ + ๐3 ๐ค
Jadi, sebarang vektor dalam ๐3 dapat diekspresikan dalam suku-suku ๐ข, ๐ฃ, dan ๐ค.
Sebagai contoh,
โฉ1, โ2, 6โช = ๐ข โ 2๐ฃ + 6๐ค
Dengan cara yang sama, dalam dua-dimensi, kita dapat menuliskan
๐ = โฉ๐1, ๐2โช = ๐1 ๐ข + ๐2 ๐ฃ
Perhatikan Gambar 14 untuk interpretasi geometris dari ekspresi-ekspresi diatas
dan bandingkan dengan Gambar 13.
Gambar 14
Contoh 3
Jika ๐ = ๐ข + 2๐ฃ โ 3๐ค dan ๐ = 4๐ข + 7๐ค, ekspresikan vektor 2๐ + 3๐ dalam
suku- suku ๐ข, ๐ฃ, dan ๐ค.
10. 10
Penyelesaian
Dengan menggunakan Sifat-sifat vektor nomor 1, 2, 5, 6, dan 7, kita
memiliki
2๐ + 3๐ = 2(๐ข + 2๐ฃ โ 3๐ค) + 3(4๐ข + 7๐ค)
= 2๐ข + 4๐ฃ โ 6๐ค + 12๐ข + 21๐ค = 14๐ข + 4๐ฃ + 15๐ค
โก
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1. Sebagai contoh, ๐ข, ๐ฃ, dan
๐ค semuanya adalah vektor-vektor satuan. Secara umum, jika ๐ โ ๐, maka vektor
satuan yang memiliki arah yang sama dengan ๐ adalah
๐ฎ =
1
|๐|
๐ =
๐
|๐|
Untuk memverifikasi ini, kita misalkan ๐ = 1/|๐|. Maka ๐ฎ = ๐๐ dan ๐ adalah
skalar positif, sehinggu ๐ฎ memiliki arah yang sama dengan ๐. Juga
|๐ฎ| = |๐๐| = |๐||๐| =
1
|๐|
|๐| = 1
Contoh 4
Tentukan vektor satuan yang searah dengan vektor 2๐ข โ ๐ฃ โ 2๐ค.
Penyelesaian
Vektor yang diberikan memiliki panjang
|2๐ข โ ๐ฃ โ ๐ค| = โ22 + (โ1)2 + (โ2)2 = โ9 = 3
Jadi, vektor satuan dengan arah yang sama adalah
1
3
(2๐ข โ ๐ฃ โ 2๐ค) =
2
3
๐ข โ
1
3
๐ฃ โ
2
3
๐ค
โก
LATIHAN 1.2
1. Jelaskan mengenai hubungan antara titik (4, 7) dan vektor โฉ4, 7โช. Ilustrasikan
dengan sketsa gambar.
2. Sebutkan semua vektor yang sama dalam jajar-genjang berikut.
11. 11
3. Tuliskan setiap kombinasi vektor-vektor berikut sebagai satu vektor tunggal.
(a) ๐๐โโโโโโ + ๐๐ โโโโโโ (b) ๐ ๐โโโโโโ + ๐๐โโโโโ
(c) ๐๐โโโโโโ โ ๐๐โโโโโ (d) ๐ ๐โโโโโโ + ๐๐โโโโโ + ๐๐โโโโโโ
4. Gunakan vektor-vektor dalam gambar berikut untuk menggambarkan vektor-
vektor
(a) ๐ + ๐ (b) ๐ โ ๐
(c) 2๐ (d) โ
1
2
๐
(e) 2๐ + ๐ (f) ๐ โ 3๐
5. Tentukan vektor ๐ dengan representasi yang diberikan oleh segmen garis
berarah ๐ด๐ตโโโโโโ. Gambarkan ๐ด๐ตโโโโโโ dan representasi yang ekivalen yang dimulai dari
titik asal.
(a) ๐ด(2, 3), ๐ต(โ2, 1) (b) ๐ด(โ2, โ2), ๐ต(5, 3)
(c) ๐ด(โ1, 3), ๐ต(2, 2) (d) ๐ด(2, 1), ๐ต(0, 6)
6. Tentukan ๐ + ๐, 2๐ + 3๐, |๐|, dan |๐ โ ๐| dan ilustrasikan secara geometris.
(a) ๐ = โฉ5, โ12โช, ๐ = โฉโ3, โ6โช
(b) ๐ = 4๐ข + ๐ฃ, ๐ = ๐ข โ 2๐ฃ
(c) ๐ = 2๐ข โ 4๐ฃ + 4๐ค, ๐ = 2๐ฃ โ ๐ค
7. Tentukan vektor satuan yang memiliki arah yang sama dengan vektor-vektor
(a) โ3๐ข + 7๐ฃ dan (b) โฉโ4, 2, 4โช