1. การเขียนประโยคเกี่ยวกับจานวนให้เป็นประโยคที่ใช้ สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์
มาแล้ว เช่น ประโยค สามเท่าของจานวนจานวนหนึ่งเท่ากับหก เขียนได้เป็น 3x = 6 และ
ประโยค สองเท่าของจานวนจานวนหนึ่งมากกว่าสี่อยู่เจ็ด เขียนได้เป็น 2x – 4 = 7
นอกจากนี้ยังเคยรู้จักสัญลักษณ์ต่อไปนี้
< แทนความสัมพันธ์ น้อยกว่า หรือไม่ถึง
> แทนความสัมพันธ์ มากกว่า หรือเกิน
และ ≠ แทนความสัมพันธ์ ไม่เท่ากับ หรือไม่เท่ากัน
นอกจากสัญลักษณ์ดังกล่าวแล้ว เรายังใช้สัญลักษณ์ ≤ แทนความสัมพันธ์น้อยกว่าหรือ
เท่ากับ สัญลักษณ์ ≥ แทนความสัมพันธ์ที่มากกว่าหรือเท่ากับ เช่น
x ≤ 2 อ่านว่า x น้อยกว่าหรือเท่ากับ 2
หมายถึง x < 2 หรือ x = 2
อีกนัยหนึ่งคือ x ไม่เกิน 2
และ a ≥ b อ่านว่า a มากกว่าหรือเท่ากับ b
หมายถึง a > b หรือ a = b
อีกนัยหนึ่งคือ a ไม่น้อยกว่า b

2. ในแต่ละอสมการอาจจะมีตัวเป็นหรือไม่มีตัวแปรก็ได้ ถ้าอสมการมีตัวแปร ตัวแปร
นั้นจะแทนจานวน ในกรณีที่ไม่ระบุเงื่อนไขของตัวแปร ให้ถือว่าตัวแปรนั้นแทนจานวน
จริงใดๆ
จากประโยคสัญลักษณ์ที่ใช้ในทางคณิตศาสตร์ข้างต้น ประโยคในข้อที่ 1 เป็น
ตัวอย่างของอสมการที่ไม่มีตัวแปร ส่วนประโยคในข้อ 2 ถึงข้อ 6 เป็นตัวอย่างของ
อสมการที่มีตัวเป็น อสมการดังกล่าวจึงเป็นตัวอย่างของ อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตัวอย่างอื่นๆ ของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว เช่น
อสมการที่มีตัวแปรอาจเป็นจริงหรือไม่เป็นจริงขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปร เช่น
อสมการ x – 2 < 5 เป็นจริง เมื่อแทน x ด้วย 4 หรือ แทน x ด้วย -3 และไม่เป็นจริงเมื่อ
แทน x ด้วย 10 เรียกจานวนที่แทน x ในอสมการ x – 2 < 5 แล้วทาให้ x – 2 < 5 เป็นจริง
ว่า คาตอบของอสมการ x – 2 < 5

3. อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว อาจมีคาตอบได้หายลักษณะ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
จงหาคาตอบของอสมการ a ≠ 30
วิธีทา เนื่องจาก เมื่อแทน a ด้วยจานวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 30 ใน a ≠ 30
จะได้อสมการเป็นจริง
ดังนั้น คาตอบของสมการ a ≠ 30 คือจานวนจริงทุกจานวนยกเว้น 30
ตอบ จานวนจริงทุกจานวนยกเว้น 30
จงหาคาตอบของอสมการ x ≥ 7
วิธีทา เนื่องจาก เมื่อแทน x ด้วยจานวนจริงใดๆ ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 7 ใน X ≥ 7
แล้วจะได้อสมการที่เป็นจริง
ดังนั้น คาตอบของอสมการ x ≥ 7 คือ จานวนจริงทุกจานวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ 7
ตอบ จานวนจริงทุกจานวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ 7
จงหาคาตอบของอสมการ m + 1 < m + 2
วิธีทา เนื่องจากเมื่อแทน m ด้วยจานวนจริงใดๆ ใน m + 1 < m + 2 แล้วจะได้อสมการ
ที่เป็นจริงเสมอ
ดังนั้น คาตอบของอสมการ m + 1 < m + 2 คือจานวนจริงทุกจานวน
ตอบ จานวนจริงทุกจานวน

4. จงหาคาตอบของอสมการ z - 2 > z
วิธีทา เนื่องจากไม่มีจานวนจริงใดแทน z ใน z - 2 > z แล้วทาให้อสมการเป็นจริง
ดังนั้น ไม่มีจานวนจริงใดเป็นคาตอบของอสมการ z - 2 > z
ตอบ ไม่มีจานวนจริงใดเป็นคาตอบ
ตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นถึงอสมการ 3 แบบ ตามลักษณะคาตอบดังนี้
1) อสมการที่มีจานวนจริงบางจานวนเป็นคาตอบ เช่น อสมการในตัวอย่างที่ 1 และ
ตัวอย่างที่ 2
2) อสมการที่มีจานวนจริงทุกจานวนเป็นคาตอบ เช่น อสมการในตัวอย่างที่ 3
3) อสมการที่ไม่มีจานวนจริงใดเป็นคาตอบ เช่น อสมการในตัวอย่างที่ 4
คาตอบของอสมการ อาจแสดงให้เห็นโดยใช้กราฟบนเส้นจานวนแสดงจานวนจริงที่เป็น
คาตอบ ดังตัวอย่าง
1) กราฟแสดงคาตอบของอสมการ m > 2 เป็นดังนี้
กราฟข้างต้นแสดงจานวนจริงทุกจานวนที่มากกว่า 2 ซึ่งเป็นคาตอบของ m < 2 เนื่องจาก
2 ไม่ใช่คาตอบ จะเขียนวงกลมเล็กๆ ล้อมรอบจุดที่แทน 2 ไว้ เพื่อแสดงให้เห็นว่ากราฟ
ไม่รวมจุดที่แทน 2
2) กราฟแสดงคาตอบของสมการ w ≤ 3 เป็นดังนี้
กราฟข้างต้นแสดงจานวนจริงทุกจานวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 3 ซึ่งเป็นคาตอบของ w
≤3
เนื่องจาก 3 เป็นคาตอบ จะเขียนรูปวงกลมทึบเล็กๆ ทับบนจุดที่แทน 3 ไว้ เพื่อ
แสดงให้เห็นว่ากราฟรวมจุดที่แทน 3

5. 3) กราฟแสดงคาตอบของอสมการ -2 < x ≤ 5 เป็นดังนี้
กราฟข้างต้นแสดงจานวนจริงทุกจานวนที่มีค่ามากกว่า -2 แต่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 5 ซึ่ง
เป็นคาตอบของ -2 < x ≤ 5
เนื่องจาก -2 ไม่ใช่คาตอบ จะเขียนวงกลมเล็กๆ ล้อมรอบจุดที่แทน -2 ไว้ เพื่อแสดง
ว่ากราฟไม่รวมจุดที่แทน -2 และเนื่องจาก -5 เป็นคาตอบจพเขียนรูปวงกลมทึบเล็กๆ ทับ
จุดที่แทน 5 ไว้ เพื่อแสกงว่ากราฟรวมจุดที่แทน 5
4) กราฟแสดงคาตอบของอสมการ y ≠ -1
กราฟข้างต้นแสดงจานวนจริงทุกจานวนยกเว้น -1 ซึ่งเป็นคาตอบของ y ≠ -1
เนื่องจาก -1 ไม่ใช่คาตอบ จะเขียนวงกลมเล็กๆ ล้อมรอบจุดที่แทน -1 ไว้ เพื่อแสดง
ว่ากราฟไม่รวมจุดที่แทน -1
การแก้อสมการ คือ การหาคาตอบของสมการ ที่ผ่านมาเราแก้สมการโดยลองแทน
ค่าตัวแปรในอสมการ แต่อาจจะไม่สะดวกเมื่ออสมการมีความซับซ้อน เช่น เมื่อต้องการ
แก้อสมการ เราจะพบว่า เป็นการยากที่จะหาคาตอบของอสมการนี้โดยการลองแทน
ค่าตัวแปร
เพื่อความรวดเร็วในการแก้อสมการ เราจะใช้สมบัติการไม่เท่ากันในการหาคาตอบ
ได้แก่ สมบัติการบวกของการไม่เท่ากันและสมบัติการคูณของการไม่เท่ากัน

6. ตัวอย่าง ถ้า 10 < 12 แล้ว 10 + 5 < 12 + 5
หรือ 15 < 17
ถ้า 25 ≤ 30 แล้ว 25 + 10 ≤ 30 + 10
หรือ 35 ≤ 40
เนื่องจาก a < b มีความหมายเช่นเดียวกับ b > a และ a ≤ b มีความหมายเช่นเดียวกับ
b ≥ a ด้วยดังนี้
1. x - 4 < 20
นา 4 มาบวกทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ x - 4 + 4 < 20 + 4
ดังนั้น x < 24
2. x + 15 > 10
นา -15 มาบวกทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ x + 15 + (-15) > 10 + (-15)
x + 15 - 15 > 10 - 15
ดังนั้น x > -5

7. 3. 30 + x ≤ 12
นา -30 มาบวกทั้งสองข้างของอสมการ
จะได้ 30 + x – 30 ≤ 12 - 30
ดังนั้น x ≤ -18
4. x - 12 ≥ -4
นา 12 มาบวกทั้งสองข้างอสมการ
จะได้ x - 12 + 12 ≥ -4 + 12
ดังนั้น x ≥ 8
จากตัวอย่างข้างต้น เราใช้สมบัติการบวกของการไม่เท่ากัน ทาให้อสมการสุดท้าย
อยู่ในรูป x < c, x ≤ c หรือ x ≥ c ซึ่งคาตอบทุกคาตอบของอสมการสุดท้ายเป็นคอตอบ
ของอสมการแรก และคาตอบทุกคาตอบของอสมการแรกเป็นคาตอบของอสมการ
สุดท้าย ในกรณีนี้เรากล่าวว่า อสมการแรกสมมูล กับอสมการสุดท้าย และเมื่อสามารถ
หาอสมการที่สมมูลกับอสมการที่ต้องการหาคาตอบโดยการคานวณในแต่ ละขั้นตอน
ถูกต้องแล้วก็ไม่จาเป็นต้องตรวจคาตอบ
จากตัวอย่างข้างต้นจะได้อสมการที่สมมูลกันดังนี้
x - 4 < 20 สมมูลกับ x < 24
x + 15 > 10 สมมูลกับ x > -5
30 + x ≤ 12 สมมูลกับ x ≤ -18
x - 12 ≥ -4 สมมูลกับ x ≥ 8
อสมการบางอสมการไม่สามารถใช้สมบัติการบวกของการไม่ เท่ากันเพียงอย่าง
เดียวในการหาคาตอบ เช่น 8x > 24 ในกรณีเช่นนี้ต้องใช้สมบัติการคูรของการไม่เท่ากัน
จึงจะสามารถหาคาตอบได้

8. ตัวอย่าง
1. ถ้า 5< 7 แล้ว 5 x 2 < 7 x 2 จะได้ 10 < 14
2. ถ้า 12 ≤ 15 แล้ว 12 x 3 ≤ 15 x 3 จะได้ 36 ≤ 45
3. ถ้า 20 < 30 แล้ว 20 x (-4) > 30 x (-14) จะได้ -80 > -120
4. ถ้า 100 ≤ 200 แล้ว 100 x (-5) ≥ 200 > (-5) จะได้ -500 ≥ -1,000
และเนื่องจาก a < b มีความหมายเช่นเดียวกับ b > a และ a ≤ b มีความหมาย
เช่นเดียวกับ b > b และ a ≥ b ด้วยดังนี้
เนื่องจากการหารด้วย c เมื่อ c ≠ 0 คือการคูณด้วย เราจึงใช้สมบัติการคูณของการ
ไม่เท่ากันในการแก้อสมการที่อยู่ในรูป cx < b หรือ cx ≤ b เมื่อ c และ b เป็นค่าคงตัว
และ c ≠ 0
สาหรับการแก้อสมการที่มีเครื่องหมาย ≠ เช่น x - 6 ≠ 28 และ 7x + 4 ≠ 25 เราจะ
ไม่ใช้สมบัติการบวกของการไม่เท่ากันและสมบัติการคูณของการไม่เท่ากัน แต่จะแก้
สมการเพื่อหาคาตอบ ซึ่งจะได้คาตอบของอสมการที่มีเครื่องหมาย ≠ เป็นจานวนทุก
จานวนยกเว้นจานวนที่เป็นคาตอบของสมการ

9. ในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวก็สามารถทาได้ โดยมี
ขั้นตอนดังนี้
ขั้นที่ 1 วิเคราะห์โจทย์เพื่อหาว่าโจทย์กาหนดอะไรมาให้และให้หาอะไร
ขั้นที่ 2 กาหนดตัวแปรแทนสิ่งที่โจทย์ให้หาหรือแทนสิ่งที่เกี่ยวข้องกับสิ่งที่โจทย์ให้หา
ขั้นที่ 3 เขียนอสมการตามเงื่อนไขในโจทย์
ขั้นที่ 4 แก้อสมการเพื่อหาคาตอบตามที่โจทย์ต้องการ
ขั้นที่ 5 ตรวจสอบคาตอบที่ได้กับเงื่อนไขในโจทย์
ปัน ซื้อน้าดื่มขวดมาขาย 200 ขวด เป็นเงิน 1,200 บาท ขายน้า
ขวดเล็กราคาขวดละ 5 บาท ขายน้าขวดกลางราคาขวดละ 8 บาท เมื่อขายหมดได้กาไร
มากกว่า 250 บาท อยากทราบว่าปันซื้อน้าขวดเล็กมาขายอย่างมากกี่ขวด

10. ตรวจสอบ
ถ้าปันซื้อน้าขวดเล็กมาขายอย่างมาก 49 ขวด จะต้องซื้อน้าขวดกลางมาขายอย่าง
น้อย 200 - 49 =.151 ขวด
ขายน้าขวดเล็ก 49 ขวด เป็นเงิน 5 x 49 = 245 บาท
ขายน้าขวดกลาง 151 ขวด เป็นเงิน 8 x 151 = 1,208 บาท
ขายน้าทั้งหมดได้เงิน 245 + 1,208 = 1,453 บาท
คิดเป็นกาไร 1,453 - 1,200= 253 บาท
กาไร 253 มากกว่า 250 บาท ซึ่งเป็นไปจริงตามเงื่อนไขที่โจทย์กาหนด
ดังนั้น ปันซื้อน้าขวดเล็กมาขายอย่างมาก 49 ขวด
ตอบ 49 ขวด
พิม มีเงินสะสมอยู่จานวนหนึ่ง วันหนึ่งพ่อของพิมให้เงินพิม
เป็นพิเศษ 600 บาท วันรุ่งขึ้นพิมซื้ออาหารให้แมวและนกที่เลี้ยงไว้เป็นเงิน 420 บาท พิม
รู้ว่ายังเหลือเงินอยู่ไม่น้อยกว่าครึ่งของเงินของพิมและเงินที่พ่อให้ รวมกัน จงหาว่า
เดิมพิมมีเงินสะสมอยู่อย่างน้อยกี่บาท

11. ตรวจสอบ
ถ้าพิมมีเงินสะสมอยู่อย่างน้อย 240 บาท
เมื่อรวมกับเงินที่พ่อให้ 600 บาท พิมจะมีเงินรวมกันอย่างน้อย 260 + 600 = 860 บาท
หลังจากซื้ออาหารให้แมวและนก 420 บาท
จะเหลือเงินอีกอย่างน้อย 840 – 450 = 420 บาท เงิน 420 บาทไม่น้อยกว่า 1/2 ของ 840
บาท ซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์
ดังนั้น พิมมีเงินสะสมอยู่อย่างน้อย 240บาท
ตอบ 240 บาท
EX แก้วอ่านหนังสือเล่มหนึ่ง วันแรกอ่านได้ 2/5 เล่ม วันต่อมาอ่านได้อีก 25 หน้า
รวมสองวันอ่านได้มากกว่า ครึ่งเล่มจงหาว่าหนังสือเล่มนี้มีจานวนหน้าอย่างมากกี่หน้า
วิธทำ
ี ื ้
จำกโจทย์ ให ้ x แทนจำนวนหน ้ำของหนั งสอทังหมดเรำสำมำรถเขียนเป็ น
อสมกำรได ้ดังนี้

12. EXปัญญามีเหรียญบาท และเหรียญห้าบาท อยู่ในกระป๋องออมสินจานวนหนึ่ง เมื่อ
เหรียญเต็มกระป๋อง เขาเทออกมานับพบว่า มีเหรียญ บาทมากกว่า เหรียญ ห้าบาทอยู่ 12
เหรียญ นับเป็นจานวนเงินทั้งหมด ไม่น้อยกว่า 300 บาทจงหาว่า มีเหรียญห้าบาทอยู่อย่าง
น้อยกี่เหรียญ
วิธีทา จากโจทย์ มีเหรียญ 2 ชนิดคือ เหรียญ 1 บาท และ 5 บาท เหรียญทั้งสอง เมื่อเอา
จานวนเหรียญ มาคูณกับค่าของเหรียญ ต้องมีค่าไม่น้อยกว่า คือ มากกว่าหรือเท่ากับ
300 เราให้ x แทนจานวนเหรียญ ได้ อสมการ ดังนี้
ดังนั้นเราจะได้ว่า
เหรียญ 1 บาท = 48 + 12 x 1 = 60 บาท
เหรียญ 5 บาท = 48 x 5 = 240 บาท

13. EX ถ้าสองเท่าของจานวนเต็มบวกจานวนหนึ่งมากกว่า 20 อยู่ไม่ถึง 6 จานวนดังกล่าว
เป็นจานวนใดได้บ้าง
วิธีทา จากโจทย์ ให้ x แทนจานวนเต็มบวก ได้สมการดังนี้
จานวนเต็มบวก ที่มีค่าน้อยกว่า 13
คือ 12 , 10 , 8 , 6 , 4 , 2
EX แม่ค้าต้องการบรรจุมะม่วงใส่ลัง ลังพลาสติกเปล่าแต่ละใบหนัก 2.5 กิโลกรัม
มะม่วงขนาดใกล้เคียงกันแต่ละผลหนัก0.3 กิโลกรัม เพื่อเป็นการประหยัดค่าใช้จ่ายใน
การขนส่ง ต้องการบรรจุมะม่วงให้มากที่สุด แต่ต้องไม่หนักมากจนเกินไปจนเป็นปัญหา
ในการเคลื่อนย้าย จากประสบการณ์แม่ค้าพบว่าถ้าจะให้คุ้มค่าขนส่งโดยมะม่วงไม่
เสียหาย ต้องบรรจุมะม่วงให้แต่ละลังมีน้าหนักรวมกัน อย่างน้อยลังละ 19 กิโลกรัมแต่
ไม่เกิน 25 กิโลกรัมจงหาว่าแม่ค้า ควรบรรจุมะม่วงใส่ลังอย่างน้อยลังละอย่างมากลังละกี่
ผล

14. วิธีทา
ถ้าจะให้คุ้มค่าขนส่งโดยมะม่วงไม่ เสียหาย ต้องบรรจุมะม่วงให้แต่ละลังมีน้าหนัก
รวมกัน อย่างน้อยลังละ 19 กิโลกรัมแต่ไม่เกิน 25 กิโลกรัมดังนั้น เมื่อหัก ลังพลาสติก
เปล่าแต่ละใบ หนัก 2.5 กิโลกรัมจะเป็นน้าหนัก ของมะม่วงที่ใส่ลงไป
จะได้ 19.00 - 2.5 = 16.5 กก.
25.00 - 2.5 = 22.5 กก.
เราให้ x แทน จานวนลูก ดังนั้นเราจะได้สมการ
จะได้จานวนลูกของมะม่วงในแต่ละลังที่บรรจุไปแล้วค้มค่า
การขนส่งต้องบรรจุลังละ ประมาณ 55 ถึง 75 ลูก ต่อลัง

15. EX ป้องซื้อน้าดื่มขวดมาขาย 200 ขวด เป็นเงิน 1,200 บาท ขายน้าขวดเล็กราคาขวดละ 5
บาท ขายน้าขวดกลางราคาขวดละ 8 บาท เมื่อขายหมดได้กาไรมากกว่า 250 บาท อยาก
ทราบว่าป้องซื้อน้าขวดเล็กมาขายอย่างมากกี่ขวด
วิธีทา ให้ป้องซื้อน้าขวดเล็กมาขาย x ขวด
จะได้ว่า ป้องซื้อน้าขวดกลางมาขาย 200-x ขวด
ขายน้าขวดเล็กได้เงิน 5x บาท
ขายน้าขวดกลางได้เงิน 8(200-x) บาท
ขายน้าทั้งหมดได้กาไรมากกว่า 250 บาท
จะได้อสมการเป็น
5x + 8[200-x] – 1,200 > 250
5x + 1,600 - 8x -1,200 > 250
-3x + 400 > 250
-3x > 250 - 400
-3x > -150
x <
x < 50
ตรวจสอบ ถ้าป้องซื้อน้าขวดเล็กมาขายอย่างมาก 49 ขวด
จะต้องซื้อน้าขวดกลางมาขายอย่างน้อย 200-49 = 151 ขวด
ขายน้าขวดเล็ก 49 ขวด เป็นเงิน 5 49 = 245 บาท
ขายน้าขวดกลาง 151 ขวด เป็นเงิน 8 151= 1,208 บาท

16. ขายน้าทั้งหมดได้เงิน 245+1,208 = 1,453 บาท
คิดเป็นกาไร 1,453-1,200 = 253 บาท
กาไร 253 มากกว่า 250 บาทซึ่งเป็นจริงตามเงื่อนไขในโจทย์
ดังนั้น ป้องซื้อน้าขวดเล็กมาขายอย่างมาก 49 ขวด
ตอบ 49 ขวด