1. รากที่สอง
บทนิยาม ให้ n เป็นจานวนจริงบวกใดๆ หรือ ศูนย์ รากที่สองของ n คือจานวนจริง
ที่ยกกาลังสองแล้วได้ n
ตัวอย่าง
หมายเหตุ
1.รากที่สองของ 0 คือ 0
2.รากที่สองของจานวนจริงบวกจะเป็นจานวนตรรกยะหรือจานวนอตรรกยะอย่าง
ใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
3.รากที่สองของจานวนจริงลบจะไม่เป็นจานวนจริง

2. 4.ถ้า n เป็นจานวนจริงใดๆ จะได้ l n l เมื่อ l n l แทน ค่าสัมบูรณ์ของ n

3. การหารากที่สอง
1. การหารากที่สองโดยแยกตัวประกอบ
ตัวอย่างที่ 1 จงหารากที่สองของ 64
วิธีทา 64 = 2 x2x2x2x2x2 = 8 x 8 = 82
หรือ 64 = (-8) x (-8) = (-8) 2
ดังนั้น รากที่สองของ 64 คือ 8 และ -8
2. การหารากที่สองของเลขจานวนเต็มบวกโดยการตั้งหาร
1. แบ่งตัวเลขจากหลังมาเป็นคู่ๆ ถ้าเป็นเลขทศนิยมก็แบ่งจากจุดทศนิยมไปทางขวา
มือ ถ้าไม่ครบคู่ให้เติมศูนย์ให้ครบคู่
2.หาเลขจานวนหนึ่ง ซึ่งคูณตัวมันเองได้ค่าใกล้เคียงกับตัวเลขหน้าหรือคู่หน้ามาก
ที่สุด ( แต่ต้องไม่มากกว่า ) ให้ตั้งตัวเลขที่ได้ลงในช่องผลลัพธ์ตัวหนึ่ง และช่อง
ตัวหารตัวหนึ่ง
3.ยกกาลังสองของผลลัพธ์ ได้เท่าไรเอาไปตั้งเป็นตัวลบเลขตัวแรกหรือคู่แรกเศษ
เท่าไรชักลงมาแล้วชักเลขคู่ต่อไปลงมาคู่หนึ่ง
4.เอา 2 คูณผลลัพธ์ ได้เท่าไรเอาไปหารตัวเลขที่ชักลงมาให้ถึงจานวนที่ชักลงมา
เพียงจานวนเดียว ได้ผลลัพธ์เท่าไรเอาตั้งที่ผลลัพธ์ตัวหนึ่ง และตั้งที่ช่องหารตัว
หนึ่ง
5.เอาเลขลัพธ์ตัวใหม่คูณตัวหารทั้งหมด ตั้งเป็นตัวลบเหลือเศษเท่าไรชักลงมา
พร้อมกับชักเลขตัวตั้งลงมา 2 จานวนด้วย

4. 6.ในกรณีที่ผลคูณในข้อ 5. ได้ผลลัพธ์ของตัวลบเกินตัวตั้งให้ลดค่าของผลลัพธ์ที่
ได้จากข้อ 4. ลงมาอันดับหนึ่ง ต่อจากนั้นทาเวียนจากข้อ 4. ลงมาจนหมดก็จะได้ค่า
รากที่สอง
1. การหารรากที่สองของทศนิยม โดยการตั้งหาร
มีหลักเหมือนการหารากที่สองของเลขจานวนเต็มทุกประการ จะแตกต่าง
กันก็แต่เพียงการแบ่งเลขเป็นชุด ๆ หลังจุดทศนิยมจะแบ่งจากซ้ายไปขวา (โดยเริ่ม
จากจุดทศนิยม) ครั้งละ 2 หลัก โดยมีเครื่องหมาย , คั่นเช่นกัน ลองทาดูนะคะ
เช่น จงหาราที่สองของ 10.58 = 3.2527
รากที่สองของสอง
รากที่สองของสอง หรือที่รู้จักในชื่อ ค่าคงตัวของพีทาโกรัส เขียนแทนด้วย
√2 เป็นจานวนจริงบวกที่เมื่อคูณกับตัวเองแล้วจะมีค่าเท่ากับ 2 มีค่าประมาณ
1.414213562373095
ในทางเรขาคณิต รากที่สองของสองคือความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยม
จัตุรัสที่มีความยาวด้าน 1 หน่วย ความยาวนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งราก
ที่สองของสองนี้ถือเป็นจานวนอตรรกยะจานวนแรกที่เป็นที่รู้จัก

5. ประวัติ
จากหลักฐานบันทึกบนก้อนโคลนของชาวบาบิโลเนียเผยให้เห็น
ค่าประมาณของ ในรูปผลบวกของเลขพหุคูณของ จานวน 4 พจน์ ซึ่งมีค่าใกล้เคียง
ถึงทศนิยมตาแหน่งที่หก
บันทึกในหนังสือ Sulbasutras ของชาวอินเดียโบราณ (800-200 ปีก่อนคริสตกาล)
ได้กล่าวถึงค่าประมาณของรากที่สองไว้คือ เป็นการเพิ่มความยาว (ของด้าน) ด้วย
หนึ่งในสามเท่าของค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสี่เท่าของหนึ่งในสามเท่าค่านั้น
แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสามสิบสี่เท่าของค่าหนึ่งในสี่เท่าค่านั้น
การค้นพบจานวนอตรรกยะนี้ ถือเป็นผลงานที่สาคัญของฮิปปาซุส (ศิษย์ในสานัก
ของปีทากอรัส) ซึ่งเป็นผู้ที่พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของรากที่สองของสอง เป็นที่
เชื่อกันตามคากล่าวว่าปีทากอรัสเชื่อในความสมบูรณ์แบบของจานวนและทาให้ไม่
ยอมรับในการค้นพบจานวนอตรรกยะ ถึงแม้ว่าปีทากอรัสจะไม่สามารถพิสูจน์
ความไม่มีอยู่ของจานวนอตรรกยะได้ แต่เขาก็ได้สั่งลงโทษประหารฮิปปาซุสโดย
การกดน้า ตานานอื่นเล่าว่าเขาถูกฆ่ากดน้าโดยศิษย์คนอื่นของปีทากอรัสหรืออาจ
ถูกขับออกจากสานัก

6. วิธีการคานวณ
นักคณิตศาสตร์ได้ค้นหาวิธีการคานวณรากที่สองของสองในรูปแบบต่างๆ กันเพื่อ
เขียนค่าประมาณใกล้เคียงของรากที่สองของสองออกมาในรูปของอัตราส่วนของ
จานวนเต็มหรือเลขทศนิยม หนึ่งในวิธีการที่ถือว่าเป็นเบื้องต้นที่สุดคืออัลกอริธึม
ของบาบิโลเนียนเพื่อคานวณรากที่สองของสอง ซึ่งถือเป็นพื้นฐานการคานวณของ
คอมพิวเตอร์และเครื่องคิดเลข อัลกอริธึมเพื่อหารากที่สอง (อาจใช้เพื่อหารากที่
สองของจานวนใดๆ ไม่เฉพาะของสอง) ดังกล่าวสามารถทาได้ดังนี้
1.เลือก a0 >0 ค่า a0 ที่เลือกนี้จะมีผลกระทบต่อความเร็วในการลู่เข้าสู่ค่าของ √2
ในระดับความแม่นยาหนึ่งเท่านั้น
2.ใช้ฟังก์ชันเรียกตัวเองเพื่อคานวณ a1, a2, a3, ..., an
ตัวอย่างการคานวณโดยเลือก a0=1 ได้ผลดังนี้
a0 = 1
a1 = 3/2 = 1.5
a2 = 17/12 = 1.416...

7. a3 = 577/408 = 1.414215...
a4 = 665857/470832 = 1.4142135623746...
ในปี ค.ศ.1997 ทีมของยาซูมาสะ คานาดะได้คานวณค่าของ √2 แม่นยาถึงทศนิยม
ตาแหน่งที่ 137,438,953,444
เดือนกุมภาพันธ์ปี ค.ศ.2006 ความท้าทายในการคานวณค่าของ √2 ได้ถูกทา
ให้หมดไปด้วยการใช้คอมพิวเตอร์บ้าน ชิเกรุ คอนโดได้คานวณค่าประมาณ
ใกล้เคียงของ √2 ถึงทศนิยมตาแหน่งที่ 200,000,000,000 ในเวลา 13 วัน 14 ชั่วโมง
โดยใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลขนาด 3.6 GHz และหน่วยความจา 16 Gb
อย่างไรก็ดี เป็นที่ยอมรับกันทั่วไปว่าในจานวนค่าคงตัวอตรรกยะทาง
คณิตศาสตร์ต่างๆ ที่ถือเป็นความท้าทายต่อนักคณิตศาสตร์ที่จะเขียนในรูปของ
ทศนิยมไม่รู้จบ ค่า π ดูจะเป็นจานวนที่ถูกประมาณได้แม่นยาละเอียดสูงสุด

8. แบบฝึกหัดเรื่องรากที่สอง
1.ข้อใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
1. รากที่สองของ 484 คือ 22 และ -22
2. -21 เป็นรากที่สองของ 441
3. รากที่สามของ 1,331 คือ 11 และ -11
4. 9 เป็นรากที่สามของ 729
2.ใดต่อไปนี้ไม่ถูกต้อง
1.
2.
3.
4.
3.จงหาผลลัพธ์ของ
4.จงหารากที่สองของ 2,601
5.จงหารากที่สองของ 3,025

9. 6.จงหารากที่สองของ 4,225
7.จงหารากที่สองของ 4,900
8.จงหารากที่สองของ 6,084
9.
เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีฐานยาว 15 ซม.พื้นที่ 150 ตาราง
เซนติเมตร
และ เป็นส่วนสูง จงหาว่า ยาวประมาณกี่เซนติเมตร(ตอบเป็นจานวน
เต็มหน่วย)

10. 10.จากรูปกาหนดให้
มี AB = 24 หน่วย BC = 7 หน่วย และ AC = CD จงหาความยาว (ตอบเป็น
ทศนิยมสองตาแหน่ง)
11.จงหารากที่สองของ 2,601
12.จงหารากที่สองของ 3025
13.รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งยาว 8 ซม. มีเส้นทแยงมุม 9 ซม.
จงหาว่ารูปนี้กว้างกี่เซนติเมตร (ตอบทศนิยม 2 ตาแหน่ง)

11. 14.กาหนดให้ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ABCDEFGH มี AB = 5 หน่วย
BC = 3 หน่วย และ CD = 4 หน่วย จงหาความยาว (ตอบเป็นทศนิยมสอง
ตาแหน่ง)
15.
16.
17.

12. 18.
19.
20.รากที่สองของ 4,096
เฉลยแบบฝึกหัด
1.ตอบ 3. รากที่สามของ 1,331 คือ 11 และ -11
2.ตอบ 4.
3.ตอบ

13. 4.ตอบ
5.ตอบ
6.ตอบ
7.ตอบ
8.ตอบ
9.วิธีทา พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน = ความยาวฐาน x สูง
พื้นที่

14. เมื่อเรารู้ความสูงของรูปสี่เหลี่ยมแล้ว ต่อไปเรา จะหา AE
พิจารณา Δ ABE อยู่ในเส้นขนาน AB // DC และมี BE เป็นเส้นตั้งฉาก กับ DC
เกิดมุมแย้งกัน ดังนั้น จะได้
มุม
ที่ Δ ABE จาก ทฤษฎีบทพีทาโกลัส

15. 10.วิธีทา พิจารณา Δ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก จาก ทฤษฎีบทพีทาโกลัส
11. วิธีทา การหารากที่อง ใช้การแยกตัวประกอบ จะได้
12.การหารากที่สอง ใช้การแยกตัวประกอบ จะได้

16. 13.วิธีทา จากรูปด้านบน เราดูที่ Δ ABC จาก ทฤษฎีบทพีทาโกลัส
14.วิธีทา จากรูปด้านบนเรากาลัง จะหา BH จะได้ดังรูปที่ 2
จากรูป หา BH จากสามเลี่ยม ABH มุม A เป็นมุมฉาก
จาก ทฤษฎีบทพีทาโกลัส เราจะหา BH ได้ดังนี้

17. ต่อไปเราจะหา GB พิจารณาสามเหลี่ยม GBH
15.
16.
17.

18. 18.
19.
20.