1. ภาคตัดกรวย
1. วงกลม (circle) คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็น
ระยะทางคงที่เสมอ เรียกจุดคงที่ว่า จุดศูนย์กลางของวงกลม ระยะทางคงที่เรียกว่า
รัศมี (r )
สมการวงกลม
ถ้าวงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิด และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ x2 + y2 + r2
ถ้าวงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด(h,k) และรัศมีเท่ากับ r
สมการวงกลมคือ (x-h)2 + (y-k)2 + r2
สมการวงกลมในรูปทั่วไป คือ x2 + y2 +Ax + By + C = 0
2. พาราโบลา คือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งในเซตดังกล่างจะอยู่ห่างจากจุดคงที่
จุดหนึ่งเท่ากับอยู่ห่างจากเส้นคงที่เส้นหนึ่งเสมอ
จุดคงที่เรียกว่าจุด โฟกัส
เส้นคงที่เรียกว่า ไดเรกทริกซ์
เส้นที่ลากผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกทริกซ์ เรียกว่า แกนของพาราโบลา
จุดที่เกิดจากพาราโบลาตัดกับแกนของพาราโบลา เรียกว่า จุดยอด
สมการ y2 = 4cx สมการ y2 = -4cx
ไดเรกทริกซ์ ไดเรกทริกซ์
o F(c,0) F(-c,0) o
x = -c x =c

2. สมการ x2 = 4cy สมการ x2 = -4cy
ไดเรกทริกซ์ y = c
F(0,c)
o
o
F(0,-c)
ไดเรกทริกซ์ y = -c
สมการ พาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
3. วงรี คือ เซตของจุดซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคง
ตัวเสมอ
ข้อควรจา
ผลบวกของระยะทางจากจุดบนวงรีไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าเท่ากับ 2a
Y
V/ F/ O F V X
(-a,0) (-c,0) (c,0) (a,0)
สมการวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิด
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน x
2 2
x y
 2
1 2
a b
2 2
y x
 1
กรณีโฟกัสอยู่บนแกน y a
2
b
2

3. สมการ วงรีซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วย y-k
ความสัมพันธ์ a2 = b2 + c2
4. ไฮเปอร์โบลา คือ เซตของจุดซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใดๆ ในเซตนี้ไปยังจุด
คงที่สองจุดมีค่าคงตัวเสมอ
ผลต่างของระยะทางจากจุดบนไฮเปอร์โบลาไปยังจุดคงที่สองจุดมีค่าเท่ากับ 2a
y
B(0,b)
F/ v/ o v F
(-c,0) (-a,0) (a,0) (c,0)
B/(0,-b)
ความสัมพันธ์ c2 = a2 + b2
สมการ ไฮเปอร์โบลาซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่จุด (h,k)
หลักพิจารณาเช่นเดียวกับวงกลม คือ แทน x ด้วย x-h
แทน y ด้วยy-k

4. แบบทดสอบเรื่ องภาคตัดกรวย
1. ต่อไปนี้ข้อใดไม่ถูกต้อง
1. วงกลม x2 + y2 - 10x + 6 = 0 มีจุดศูนย์กลางบนแกน x
2. วงกลม x2 + y2 - 10x + 14y + 63 = 0 มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดตัดของเส้นตรง x - y = 12
และ x - 2y - 19 = 0
3. วงกลม x2 + y2 - 6x + 10y = 15 สัมผัสกับเส้นตรง x = -4
4. เส้นตรง x + y + 13x = 0 เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดตัดของวงกลม x2 + y2 = 25 และ x2 +
y2 - 2x + 2y + 1 = 0
2. ถ้า q เป็นเส้นสัมผัสวงกลม x2 + y2 + 4x + 2y = 0 โดยสัมผัสที่จุด (-3 , 1) แล้วสมการ
ของ q คือข้อใด
1. x + 2y - 5 = 0 2. x – 2y - 5 = 0
3. x - 2y + 5 = 0 4. x + 2y + 5 = 0
3. ถ้า e1 และ e2 เป็นความยาวที่ยาวที่สุดและสั้นที่สุดตมลาดับ ซึ่งวัดตามแนวตรงจากจุด P
(10 , 7) ไปยังจุดบนเส้น รอบวงของวงกลม x2 + y2 - 4x -2y - 20 = 0 แล้ว e1 + e2 มีค่า
เท่าใด
1. 18 หน่วย 2. 19 หน่วย
3. 20 หน่วย 4. 24 หน่วย
4. ถ้า k เป็นจานวนจริงที่ทาให้ความยาวของเส้นสัมผัสวงกลม x2 + y2 + 2ky = 0 โดยวัดจาก
จุด A (5 , 4) ไปถึงจุดสัมผัส มีความยาว 1 หน่วย แล้ว k จะมีค่าเท่าใด
1. -5 2. 10
3. 4 4. 6

5. 5. กาหนดสมการเส้นตรงสองเส้นคือ 2x + y - 5 = 0 และ x + y – 2 = 0 วงกลมที่จุดตัดของ
เส้นตรงทั้งสองเป็นจุดศูนย์กลาง และมีรัศมีเท่ากับ 2 หน่วย มีสมการตรงกับข้อใด
1. x2 + y2 + 6x - 2y - 4 = 0
2. x2 + y2 - 6x + 2y + 6 = 0
3. x2 + y2 - 6x + 2y + 4 = 0
4. x2 + y2 + 6x - 2y + 6 = 0
6. วงกลมวงหนึ่งสัมผัสกับเส้นตรง 2x–y + 1 = 0 ที่จุด (2 , 5) และจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้
อยู่บนเส้นตรง x + y = 9 วงกลมนี้มีสมการ
1. x2 + y2 - 12x -6y - 209 = 0
2. 9x2 + 9y2 - 60x - 102y + 209 = 0
3. 9x2 + 9y2 - 60x - 102y - 209 = 0
4. x2 + y2 - 12x - 6y + 25 = 0
7. ถ้า C เป็นจานวนจริงใดๆ กราฟซึ่งจุดที่อยู่บนกราฟอยู่ห่างจากเส้นตรง x + c = 0 และจุด
(c , 0) เป็นระยะทางเท่ากัน มี สมการเป็นอย่างไร
1. y2 = 4cx 2. y2 = -4cx
3. x2 = 4cy 4. x2 = -4cy
8. กาหนดให้ x2 + 6x - 2y + 7 = 0 เป็นสมการของพาราโบลา ข้อใดถูกต้อง
1. พาราโบลารูปนี้มีจุดยอดที่ (-3 , 1)
2. พาราโบลารูปนี้มีจุดยอดอยู่บนเส้นตรง x = -3
3. พาราโบลารูปนี้มีจุดยอดที่ (-3 , 0)
4. พาราโบลารูปนี้มีเส้นตรง y = 2 เป็นไดเรกตริกซ์

6. 9. จากรูปที่กาหนดให้พาราโบลามีจุด F เป็นจุดโฟกัส สมการของพาราโบลารูปนี้คือข้อใด
1. y2 - 2y - 8x + 9 = 0
2. y2 - 2y + 8x + 9 = 0
3. y2 - 2y - 8x - 9 = 0
4. y2 + 2y - 8x + 9 = 0
10. เสาไฟฟ้าสองต้นปักห่างกัน 500 ฟุต และสูงจากพื้นดินต้นละ 60 ฟุต ถ้าโยงสายไฟฟ้า
เชื่อมต่อหัวเสาทั้งสองต้นและให้สาย ไฟฟ้าหย่อนโค้งเป็นรูปพาราโบลา โดยมีจุดต่าสุดของ
สายไฟอยู่ตรงกึ่งกลางระหว่างเสาและอยู่สูงจากพื้นดิน 10 ฟุต อยาก ทราบว่าที่จุดห่างอยู่
ห่างจากเสาไฟฟ้า 150 ฟุต สายไฟฟ้าจะอยู่สูงจากพื้นดินเท่าไร
1. 8 ฟุต 2. 10 ฟุต
3. 15 ฟุต 4. 18 ฟุต
11. สมการของพาราโบลาซึ่งมีจุดยอดที่ A (2 , 3) และแกนของพาราโบลาขนานกับแกน Y
และจุด (4 , 5) เป็นจุดบน พาราโบลา สมการพาราโบลาคือ
1. x2 + 4x - 2y + 10 = 0
2. x2 - 4x - 2y - 10 = 0
3. x2 - 4x - 2y + 10 = 0
4. x2 - 4x - 4y - 10 = 0
12. ให้ระยะระหว่างโฟกัสของวงรีวงหนึ่งเท่ากับ 40 เมตร และผลบวกของระยะทางจากจุดบน
วงรีไปยังโฟกัสทั้งสองเท่ากับ 50 เมตร ให้โฟกัสจุดหนึ่งคือจุด A และอีกจุดหนึ่งคือ B
โดยที่ A และ B เป็นจุดบนแกน x ต่อไปนี้ ข้อใดถูกต้อง
1. จุดบนวงรีที่อยู่ใกล้ A มากที่สุดต้องอยู่ห่างจาก A ไม่ต่ากว่า 6 เมตร
2. ถ้าลากเส้นตรง e1 ผ่านจุด A และขนานกับแกน Y จุดบนวงรีที่อยู่เส้น e1 จะอยู่ห่าง
จากแกน X 9 เมตร
3. จุดบนวงรีที่อยู่ห่างจาก e1 เป็นระยะทาง เมตร จะห่างจากแกน X เป็นระยะทาง 10
√2 หรือ 40 - 10 √2 เมตร
4. จุดบนวงรีต้องอยู่ห่างกันไม่เกิน 48 เมตร

7. 13. ให้ L เป็นเส้นตรงที่ลากผ่านโฟกัสของวงรี ซึ่งมีสมการเป็น 3x2 + 4y2 = 48 และตัด
วงรีที่จุด (2 , 3) สมการของ เส้น L คือ
1. X – 2 = 0
2. 3X– 4y + 6 = 0
3. X – 2 = 0 และ 3X – 4y + 6 = 0
4. X – 2 = 0 และ 3X + 4y + 6 = 0
14. ให้สมากรในข้อใดต่อไปนี้เป็นสมการของวงรีที่มีโฟกัสอยู่บนแกน X
1. ax2 + by2 = 1 เมื่อ a > 0 , b > 0 และ a > b
2. ax2 + by2 = 1 เมื่อ a > 0 , b > 0 และ a = b
3. ax2 + by2 = -1 เมื่อ a < 0 , b < 0 และ a > b
4. ax2 + by2 = -1 เมื่อ a < 0 , b < 0 และ a < b

8. เฉลยแบบทดสอบเรื่องภาคตัดกรวย
1. 4 2. 3 3. 3 4. 1 5. 2 6. 4
7. 1 8. 2 9. 1 10. 4 11. 3 12. 2
13. 3 14. 3