1. 1...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
บทที่ 2
พหุนาม
2.1 เอกนาม
นิพจน์ (expression) คือ ข้อความที่เขียนให้อยู่ในรูปสัญลักษณ์ต่าง ๆ แต่ในทางพีชคณิตจะมีการใช้
ตัวอักษร เช่น a, b, c, A, B, C แทนจานวนต่าง ๆ ที่เราต้องการ โดยมีตัวอย่าง เช่น 3, 6x, x+y , 11 ,
x2
-y2
-xy ,…
โดยเรียกตัวอักษรว่า ตัวแปร (variable) และตัวเลขเรียกว่า ค่าคงตัว (constant)
ข้อตกลงในการเขียนผลคูณระหว่างค่าคงตัวและตัวแปร
1. ในกรณีที่มีค่าคงตัวมากกว่าหนึ่งตัว ให้หาผลคูณของค่าคงตัวก่อน แล้วจึงเขียนในรูปการคูณระหว่าง
ค่าคงตัวกับตัวแปรโดยเขียนค่าคงตัวไว้หน้าตัวแปร เช่น 2x5xaxb เขียนเป็น 10ab
2. ให้เขียนค่าคงตัวไว้หน้าตัวแปร ในกรณีที่ค่าคงตัวเป็น 1 ไม่ต้องเขียน ถ้าค่าคงตัวเป็น -1 เขียนเฉพาะ
เครื่องหมายลบหน้าตัวแปรทั้งหมด ส่วนตัวแปรให้เขียนลาดับตัวอักษรและเขียนเรียงชิดติดกัน
เช่น (-1)xnxm เขียนเป็น -mn
3. กรณีมีตัวแปรหลายตัว ให้เขียนเรียงตามลาดับอักษร โดยเขียนเรียงชิดกัน ใช้สัญลักษณ์เลขยกกาลัง
ในกรณีที่เป็นไปได้ เช่น 3x4xaxbxbxaxa เขียนเป็น 12a3
b2
ตัวอย่างที่ 1 ให้นักเรียนเขียนผลคูณระหว่างค่าคงตัวและตัวแปรต่อไปนี้ให้ถูกต้อง
5x(-2)xaxdxc เขียนเป็น .........................................................
(-4)x(-2)xbxbxaxa เขียนเป็น .........................................................
3x5xpxpxrxs เขียนเป็น .........................................................
(-1)xqxqxqxp เขียนเป็น .........................................................

2. 2...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
เอกนาม (monomial) คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัว
ขึ้นไป โดยที่ เลขชี้กาลัง(exponent) ของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์ หรือจานวนเต็มบวก
ตัวอย่างที่ 2 ตัวอย่างนิพจน์ที่เป็นเอกนาม
7x ,
2
3
ab, 8ab3
c ,0 ,5 , 3x – x
เหตุผล 7x เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว 7กับตัวแปร x เลขชี้กาลังของตัวแปรเป็น 1
2
3
ab เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว
2
3
กับตัวแปร a, b เลขชี้กาลังของตัวแปร
เป็นทุกตัวเป็นจานวนเต็มบวก
8ab3
c เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูปการคูณกันของค่าคงตัว 8 กับตัวแปร a, b และ c เลขชี้กาลังของ
ตัวแปรเป็นทุกตัวเป็นจานวนเต็มบวก
0 เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูป 0 คูณกับตัวแปรใดๆ ก็ได้ เช่น 0a3
ซึ่งเลขชี้กาลังของตัวแปรนั้น
เป็นจานวนเต็มบวก
5 เป็นเอกนาม เพราะอยู่ในรูป 5a0
ซึ่งเป็นการคูณกันของค่าคงตัว 5 กับตัวแปรใด (a) ซึ่งเลขชี้
กาลังของตัวแปรนั้นศูนย์
3x – x เป็นเอกนาม เพราะสามารถเขียนเป็น 2x ซึ่งเป็นการคูณกันของค่าคงตัวกับตัวแปรที่มีเลขชี้กาลัง
เป็นจานวนเต็มบวกได้
ตัวอย่างที่ 3 ตัวอย่างนิพจน์ที่ไม่เป็นเอกนาม
4x-1
y ,
𝑥
𝑦
, 2 – 3x, a+b+c
เหตุผล 4x-1
y ไม่เป็นเอกนาม เพราะเลขชี้กาลังของตัวแปร x เป็น -1
𝑥
𝑦
ไม่เป็นเอกนาม เพราะเปลี่ยนให้อยู่ในรูปการคูณจะได้ xy-1
เลขชี้กาลังของ y เป็น -1
2 – 3x ไม่เป็นเอกนาม เพราะเปลี่ยนให้อยู่ในรูปการคูณกันไม่ได้
a+b+c ไม่เป็นเอกนาม เพราะเปลี่ยนให้อยู่ในรูปการคูณกันไม่ได้

3. 3...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
สัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนาม
เอกนามประกอบด้วย 2 ส่วน คือส่วนที่เป็นค่าคงตัวและส่วนที่อยู่ในรูปการคูณกันของตัวแปร
โดยส่วนที่เป็นค่าคงตัว เรียกว่า สัมประสิทธิ์ของเอกนาม และ ผลบวกของเลขชี้กาลังของตัวแปรทุกตัวในเอกนามจะ
เรียกว่า ดีกรีของเอกนาม
ตัวอย่างที่ 4 สัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนาม
2xy เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = 2 ดีกรี = 1 + 1 = 2
-xy2
เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = -1 ดีกรี = 1 + 2 = 3
23
a3
b4
เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = 23
ดีกรี = 3 + 4 = 7
-8 เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = -8 ดีกรี = 0
x เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = 1 ดีกรี = 1
-a เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ = -1 ดีกรี = 1
𝑥𝑦 𝑧2
3
เป็นเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ =
1
3
ดีกรี = 1+1+2 = 4
ข้อสังเกต สาหรับเอกนาม 0 ไม่สามารถบอกดีกรีที่แน่นอนได้เพราะ 0 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณกันของ
ค่าคงตัว 0 กับตัวแปรใดๆ ก็ได้ เช่น 0x3
หรือ 0y4
ดังนั้นดีกรีของเอกนาม 0 จึงกาหนดไม่ได้
และเอกนามที่เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์ จะมีดีกรีเป็น 0 ทั้งหมด เพราะจัดให้อยู่ในรูปการคูณกับตัวแปร
ใดๆ ก็ได้ที่มีเลขชี้กาลังเป็น 0 หรือตัวแปรกี่ตัวก็ได้ที่มีเลขชี้กาลังของตัวแปรทุกตัวเป็น 0 เช่น 3x0
, 3a0
b0
,3y0
มีค่าเท่ากับ 3 ทั้งหมด
ก่อนนอนนักเรียนอย่าลืมทบทวนเอกนาม
อีกรอบนะค่ะ ... หรือไม่เรามาเริ่มทา
แบบฝึกหัดที่ 1 กันดีกว่านะค่ะ

4. 4...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
แบบฝึกหัดที่ 1
เรื่อง เอกนาม
1. จงใส่เครื่องหมาย  หน้านิพจน์ที่เป็นเอกนามและเครื่องหมาย  หน้านิพจน์ที่ไม่เป็นเอกนาม
.............. 1.1 5-2
a ……………… 1.2 15xy-2
……………… 1.3 4(x+y)
.............. 1.4 -5.5 a3
b0
……………… 1.5 32
xy2
z3
……………… 1.6 13m-3
n
.............. 1.7 11p2
qr ……………… 1.8
𝑥2
3
……………… 1.9 0.5
(𝑎𝑏𝑐 )−4
.............. 1.10 5 𝑎𝑏 ∙ 𝑎3 𝑏3 ……………… 1.11 2.7 ……………… 1.12 1
4
pq
.............. 1.13 3x + 2y ……………… 1.14 15x0
y-1
z2
……………… 1.15 7xy
2. จงบอกสัมประสิทธิ์และดีกรีของเอกนามต่อไปนี้
ข้อ เอกนาม สัมประสิทธิ์ ดีกรีเอกนาม
1 -2p2
q
2 7
13
x2
y5
3 -9ab2
c3
4 -16x0
yz4
5 1
2−3
m2
n5
6 −𝑎3
𝑏
8
7 3.6p5
q7
8 3 𝑥2
𝑦0
𝑧3
9 9𝑎3
𝑏2
3𝑎𝑏
10 𝑚3
𝑛
𝑚−1

5. 5...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2.2 การบวกและการลบเอกนาม
เอกนามที่คล้ายกัน คือ เอกนามที่มีตัวแปรชุดเดียวกัน และเลขชี้กาลังของตัวแปรตัวเดียวกันในแต่ละ
เอกนามเท่ากัน
ตัวอย่าง 1 เอกนามที่คล้ายกัน ตัวอย่าง 2 เอกนามที่ไม่คล้ายกัน
3x คล้ายกันกับ - 7x - 6x ไม่คล้ายกันกับ - 5y
- 5xy2
คล้ายกันกับ
𝑥𝑦2
3
3x2
y ไม่คล้ายกันกับ 2xy2
5 คล้ายกันกับ 2 4x ไม่คล้ายกันกับ 3x2
3m2
n ไม่คล้ายกันกับ 5m2
nt
การบวกเอกนาม การหาผลบวกของเอกนามที่คล้ายกัน สามารถหาผลบวกได้โดยใช้สมบัติการแจกแจงได้
ดังนี้
ผลบวกของเอกนามที่คล้ายกัน = (ผลบวกของสัมประสิทธิ์)x(ส่วนที่อยู่ในรูปตัวแปรหรือการคูณกันของตัวแปร)
ข้อสังเกต สาหรับเอกนามที่ไม่คล้ายกัน เช่น -7x กับ -7y
สามารถเขียนผลบวกในรูปเอกนามได้ คือ (-7)x + (-7)y
ตัวอย่าง 3 จงหาผลบวกของเอกนามที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1. 11a + 7a = (11+7)a = 18a
2. -6x2
y + 9x2
y = [(-6) + 9] x2
y = 3x2
y
3. 10a2
bc + 3a2
bc = (10+3)a2
bc = 13a2
bc
4. 7xy2
z + (-5xy2
z) = [7+(-5)]xy2
z = 2xy2
z
5. -2pqr + (-4pqr) = [(-2)+(-4)]pqr = -6pqr

6. 6...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
เนื่องจากว่าเอกนามแทนจานวน ดังนั้น จึงใช้สมบัติการสลับที่สาหรับการบวก สมบัติการเปลี่ยนหมู่สาหรับ
การบวก สมบัติการบวกด้วยศูนย์ และสมบัติการคูณด้วยศูนย์ มาใช้ในการหาผลบวกของเอกนามได้
การลบเอกนาม อาศัยหลักการเช่นเดียวกับการลบจานวนสองจานวนที่กล่าวว่า “การลบ คือ การบวกด้วย
จานวนตรงข้ามของตัวลบ” ตามข้อตกลงดังนี้
a – b = a + (-b) เมื่อ a , b เป็นจานวนใด ๆ
และ -b เป็นจานวนตรงข้ามของ b
การลบเอกนามสองเอกนามที่คล้ายกัน เราจึงเขียนการลบให้อยู่ในรูปการบวกของเอกนาม เช่น
4a5
– 3a5
= 4a5
+ (–3a5
) แล้วจึงใช้หลักเกณฑ์ที่ได้จากการบวกเอกนามที่คล้ายกัน
ตัวอย่าง 4 จงหาผลลบของเอกนามที่กาหนดให้ต่อไปนี้
1. 5xy – 2xy = 5xy + (-2xy) = [5+(-2)]xy = 3xy
2. 6a2
b – (-3a2
b) = 6a2
b + 3a2
b = (6+3)a2
b = 9a2
b
3. (-2x2
) – 4x2
= (-2x2
) + (-4x2
) = [(-2)+(-4)]x2
= -6x2
4. 7m2
n – 10m2
n = 7m2
n + (–10m2
n) = [7 +(-10)]m2
n = -3m2
n
5. (-7st2
) – (-2st2
) = (-7st2
) + 2st2
= [(-7)+2]st2
= - 5st2
เอกนามที่ไม่คล้ายกัน เช่น 3x2
y4
กับ x3
y3
ไม่สามารถหาผลลบในรูปเอกนามโดยใช้สมบัติการแจก
แจงได้ จึงเขียนผลในรูปการลบ ดังนี้ 3x2
y4
- x3
y3
เป็นต้น

7. 7...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
แบบฝึกหัดที่ 2
เรื่อง การบวกและการลบเอกนาม
1. จงพิจารณาเอกนามที่กาหนดให้ต่อไปนี้ว่าคูใดคล้ายกันหรือไม่คล้ายกันโดยเติมเครื่องหมาย ในช่อง 
1.1 5w2
กับ 2w2
 คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน
1.2 -19y5
กับ -5y5
 คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน
1.3 x3
กับ y3
 คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน
1.4 -a2
กับ -4a2
 คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน
1.5 xy2
z3
กับ x3
y2
z  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน
1.6 xyz กับ xzy  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน
1.7 x2
y กับ xy2
 คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน
1.8 -4u กับ 3u  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน
1.9 -5x3
y2
กับ -5x2
y3
 คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน
1.10 x กับ –x  คล้ายกัน  ไม่คล้ายกัน
2. จงหาผลบวกของเอกนามที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้
2.1 -12x+13x 2.2 3ab+5ab
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
2.3 17m2
+(-3m2
) 2.4 (-3ab4
)+(-17ab4
)
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
2.5 25p2
q4
+6p2
q4
2.6 (-5x2
y)+3yx2
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

8. 8...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2.7 10a2
b2
c2
+ 21a2
b2
c2
2.8 (
1
8
x2
yz)+ (-
1
8
x2
yz)
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
2.9 (-2m2
n5
)+( -18m2
n5
) 2.10 15yxz + 13xyz
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
3. จงหาผลลบของเอกนามที่กาหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้
3.1 15mn – 13mn 3.2 27x2
– (-11x2
)
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
3.3 (-8p2
q) -6p2
q 3.4 (9a4
bc) – (- 6a4
bc)
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
3.5 (-16m2
n3
) – (-11m2
n3
) 3.6 -12st2
– 5st2
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
3.7 20c2
d2
– 15c2
d2
3.8 8pq – (-10pq)
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
3.9 (-10x2
y2
z2
) - (-9x2
y2
z2
) 3.10 13xy2
- (-7y2
x)
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
4. จงหาผลลัพธ์ของเอกนามต่อไปนี้ ให้อยู่ในรูปผลสาเร็จ
4.1 7m + (-3m) + (-4m) 4.2 (4c2
-3c2
) + 6c2
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

9. 9...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
4.3 9xy3
z - 4xy3
z - xy3
z 4.4 12x2
y + (-8x2
y) - 4x2
y
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
4.5 18abc – 13abc + 2abc 4.6 (-10p2
q3
) + 2p2
q3
- 6p2
q3
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
4.7 5a3
b +
4
3
a3
b+
5
3
a3
b 4.8 1.5xy3
z + 3.3xy3
z – 2.2xy3
z
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
4.9 5x + 3xz + (-7x) – (-3xz) 4.10 (4y2
+7y2
) – (6y2
– 20y2
)
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

ข้อสรุปที่ได้ ในการบวกและการลบเอกนามคือ
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................

10. 10...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2.3 พหุนาม
พหุนาม (polynomial) หมายถึง นิพจน์ที่สามารถเขียนในรูปเอกนามหรือสามารถเขียนในรูปการบวก
ของเอกนามตั้งแต่สองเอกนามขึ้นไป
พหุนาม คือ เอกนาม หรือผลบวกของเอกนาม
ตัวอย่าง 1 ตัวอย่างของพหุนาม
7 เป็นเอกนาม และเป็นพหุนาม
-3x เป็นเอกนาม และเป็นพหุนาม
4x3
+7 เป็นพหุนามที่อยู่ในรูปการบวกกันของเอกนามสองเอกนาม คือ 4x3
และ 7
5x3
+3xy+(-2x) เป็นพหุนามที่อยู่ในรูปการบวกกันของเอกนามสามเอกนาม คือ 5x3
, 3xyและ
-2x หรือเขียนใหม่ได้ 5x3
+3xy -2x
เพื่อความสะดวกสาหรับพหุนามใด ๆ ที่จะกล่าวต่อไปนี้ จะเรียกแต่ละเอกนามที่อยู่ในพหุนามนั้นว่า พจน์
ของพหุนาม ในกรณีที่พหุนามนั้นมีเอกนามที่คล้ายกัน จะเรียกเอกนามที่คล้ายกันว่า พจน์ที่คล้ายกัน เช่น
พหุนาม 7 มี 1 พจน์ คือ 7
พหุนาม 2x + 7 มี 2 พจน์ คือ 2x กับ 7
พหุนาม x2
– 2x +7 มี 3 พจน์ คือ x2
, 2x กับ 7
พหุนาม x2
– 2x + 4x +7 มี 4 พจน์ คือ x2
,2x,4x กับ7และ -2x กับ 4x เป็นพจน์คล้ายกัน
ในกรณีพหุนามบางพจน์เป็นพจน์ที่คล้ายกัน สามารถรวมพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกันเพื่อทาให้เป็นพหุนาม
ในรูปที่ไม่มีพจน์คล้ายกันเลย เรียกพหุนามที่ไม่มีพจน์คล้ายกันเลยว่า พหุนามในรูปผลสาเร็จ (polynomial in
the simplest form)

11. 11...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
ตัวอย่าง 2 การทาพหุนามให้อยู่ในรูปผลสาเร็จ
1. 7x2
+5x+2x2
-3x = (7x2
+2x2
)+(5x-3x)
= (7+2)x2
+(5-3)x
= 9x2
+2x
2. 4z2
+18 – z2
= (4z2
-z2
) + 18
= (4-1)z2
+ 18
= 3z2
+ 18
3. 2x2
y + y2
– 3 + x2
y + 9 = (2x2
y + x2
y) + [(-3) + 9] + y2
= (2+1) x2
y + 6 + y2
= 3x2
y + y2
+6
ดีกรีของพหุนาม เมื่อพหุนามอยู่ในรูปผลสาเร็จ โดยถือว่าดีกรีสูงสุดของพจน์ในพหุนามในรูปผลสาเร็จเป็น
ดีกรีของพหุนาม (ดีกรีของพหุนามแต่ละพจน์ คือ นาเลขชี้กาลังของตัวแปรแต่ละตัวมารวมกัน)
ตัวอย่าง 3 การหาดีกรีของพหุนาม
1. 7x5
– 5x4
+ 2xy – 3y2
เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ
ดีกรีของพจน์ 7x5
เท่ากับ 5 ดีกรีของพจน์ – 5x4
เท่ากับ 4
ดีกรีของพจน์ 2xy เท่ากับ 2 ดีกรีของพจน์ 3y2
เท่ากับ 2
2. 0 เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จที่เป็นเอกนาม และไม่กล่าวถึงดีกรีของเอกนาม 0
ดังนั้น จึงไม่กล่าวถึงดีกรีของพหุนาม 0
พหุนามในรูปผลสาเร็จ
พหุนามในรูปผลสาเร็จ
พหุนามในรูปผลสาเร็จ

12. 12...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
3. 3a3
b2
c – 22
a2
b2
+ 7abc3
– 33
a3
b3
เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ
ดีกรีของแต่ละพจน์ 6 4 5 6
(ดีกรีสูงสุดของพหุนามซ้ากันให้ตอบเพียงตัวเดียว)
ดังนั้น ดีกรีของพหุนาม 3a3
b2
c – 22
a2
b2
+ 7abc3
– 33
a3
b3
เท่ากับ 6
ตัวอย่าง 4 จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ และบอกดีกรีของพหุนาม
1. 3a3
b2
– 4a2
b2
+ 5ab5
+ 4a3
b2
= (3a3
b2
+ 4a3
b2
) – 4a2
b2
+ 5ab5
= 7a3
b2
– 4a2
b2
+ 5ab5
ดังนั้น พหุนามในรูปผลสาเร็จ คือ 7a3
b2
– 4a2
b2
+ 5ab5
ดีกรีของพหุนามเท่ากับ 6
2. 3n2
+ 5 + mn2
+ 2mn2
- 8mn2
– 7 - 3n2
= (3n2
- 3n2
)+ (5 - 7) + (mn2
+ 2mn2
- 8mn2
)
= -2 – (1 + 2 – 8) mn2
= - 2 – 5mn2
ดังนั้น พหุนามในรูปผลสาเร็จ คือ - 2 – 5mn2
ดีกรีของพหุนามเท่ากับ 3
3. 4x3
– 5x2
y – 6y4
+ 2x2
y +3x3
+y4
= (4x3
+3x3
)+( – 5x2
y+ 2x2
y)+( – 6y4
+y4
)
= 7x3
– 3x2
y – 5y4
ดังนั้น พหุนามในรูปผลสาเร็จ คือ 7x3
– 3x2
y – 5y4
ดีกรีของพหุนามเท่ากับ 4
ตัวอย่าง 5 จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยเรียงพจน์ของพหุนามจากดีกรีมากไปน้อย
1. 2x2
+ 5 – 3x = 2x2
– 3x + 5
2. 5 – 2x = - 2x + 5
3. 6x2
+ 4 – x + 8x3
= 8x3
+ 6x2
– x + 4

13. 13...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
แบบฝึกหัดที่ 3
เรื่อง พหุนามและดีกรีของพหุนาม
1. จงเขียนพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ในรูปผลสาเร็จ พร้อมทั้งบอกดีกรีของพหุนาม
1.1 17x + 2 – 8x – 11 1.2 5y + ( -3x2
) + 6x2
+ 2y
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
ดีกรี เท่ากับ …………………………………………………………… ดีกรี เท่ากับ ……………………………………………………………
1.3 10st + (-2x2
)+ 6x2
– 8st 1.4 6xy – 5x3
+ 7xy + 18x3
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
ดีกรี เท่ากับ …………………………………………………………… ดีกรี เท่ากับ ……………………………………………………………
1.5 9x2
+ 3x2
y – 7x2
y – 4x2
+ 5
…………………………………………………………………………………….
ดีกรี เท่ากับ ..…………………………………………………………
2. จงเขียนพหุนามต่อไปนี้ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ
2.1 a2
– 2ab + b2
– a2
+ b2
2.2 4x5
– 4x2
+ 5x2
– 3x5
–x5
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
2.3 4a6
– 3a3
+ 1 + 5a3
+ 2 2.4 x2
y – 4xy2
– x3
+ x2
y
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………

14. 14...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2.5 m2
– 7m + 6 + 2m2
– 12 2.6 y3
+ 3y – 5y2
– 4y – y2
+ 1
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
2.7 3x2
+ 4y5
– 2x + 5 – 5x2
+ y2
– 1 2.8 2m2
n – 3mn2
+ m2
n – 4m2
n – 2mn2
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
2.9 5c3
d – 4cd3
– 2c3
d – 2cd2
2.10 9x2
-3xy-y2
-3x2
-5xy-x2
-4xy+y2
-7y2
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………
3. จงเขียนพหุนามต่อไปนี้ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ และเรียงพจน์ของพหุนามจากพจน์ที่มีดีกรีน้อยไปพจน์ที่มี
ดีกรีมาก
3.1 4x5
– 3x2
+5x2
– 3x4
– x5
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3.2 m2
– 7m + 6 + 3m2
– 12m
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3.3 2y3
+ 8y – 5y2
– 4y – y2
+ 7
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

15. 15...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
3.4 - 6a2
– 3a3
+ a + 4a3
+ 8a2
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
3.5 - 8x + 5x3
+ x2
– 5x3
+ 4x – 7
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2.4 การบวกและการลบพหุนาม
การหาผลบวกพหุนาม การหาผลบวกของพหุนามทาได้โดยนาพหุนามมาเขียนในรูปการบวก และถ้ามีพจน์
ที่คล้ายกัน ให้บวกพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน ซึ่งมีหลักการบวกพหุนาม 2 วิธี คือ
1. การบวกตามแนวราบ
ขั้นที่ 1 เขียนพหุนามที่กาหนดให้ทั้งหมดที่ต้องการบวกกันในบรรทัดเดียวกัน
ขั้นที่ 2 รวมพจน์ที่คล้ายกัน
ขั้นที่ 3 เขียนผลลัพธ์ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ
ตัวอย่าง 1 จงหาผลบวกของพหุนามแต่ละข้อต่อไปนี้โดยวิธีการบวกตามแนวราบ
1. 5x + 3 และ - 12x + 15 2. 3s + 5st และ - 9s – 3st
3. 2x2
– 3x + 7 และ – x2
+ x – 8
วิธีทา 1. (5x + 3) + (- 12x + 15) = 5x + 3 - 12x + 15
= (5x – 12x)+ (3+15)
= - 7x + 18 .............................

16. 16...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2. (3s + 5st) + (- 9s – 3st) = 3s + 5st - 9s – 3st
= (3s - 9s)+ (5st – 3st)
= - 6s + 2st .............................
3. (2x2
– 3x + 7)+(– x2
+ x– 8) = 2x2
– 3x + 7 – x2
+ x– 8
= (2x2
– x2
)+(– 3x+x)+ (7– 8)
= x2
– 2x – 1 .............................
ตัวอย่าง 2 จงหาผลบวกของ 2ab – 3b2
+5a2
กับ 2a2
+2ab + 3b2
วิธีทา (2ab – 3b2
+5a2
) + (2a2
+2ab + 3b2
) = 2ab – 3b2
+5a2
+ 2a2
+2ab + 3b2
= (2ab+2ab)+(–3b2
+ 3b2
)+(5a2
+ 2a2
)
= 4ab +0 + 7a2
= 4ab + 7a2
.............................
ตัวอย่าง 3 จงหาผลบวกของ 3c3
– 8c2
+ 2c – 1 กับ 5c3
+2c2
+7
วิธีทา (3c3
– 8c2
+ 2c– 1)+( 5c3
+2c2
+7) = 3c3
– 8c2
+ 2c– 1 + 5c3
+ 2c2
+ 7
= (3c3
+ 5c3
)+(– 8c2
+ 2c2
) + 2c+(–1 + 7)
= 8c3
- 6c2
+ 2c + 6 .............................
2. การบวกในแนวตั้ง
ขั้นที่ 1 เขียนพหุนามที่กาหนดให้ โดยให้พจน์ที่คล้ายกันอยู่ตรงกัน
ขั้นที่ 2 รวมพจน์ที่คล้ายกัน
ขั้นที่ 3 เขียนผลลัพธ์ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ

17. 17...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
ตัวอย่าง 4 จงหาผลบวกของพหุนามแต่ละข้อต่อไปนี้โดยวิธีการบวกในแนวตั้ง
1. 7xy - st และ – 10st + 3xy 2. 3x + 9y - 15 และ 2 + 8y - z
3. 7y , -16y+ 2 และ y2
+ 6y
วิธีทา 1. 7xy – st 2. 3x + 9y - 15
3xy – 10st 8y – z + 2
10xy – 11st 3x +17y – z – 13
3. 7y
-16y + 2
y2
+ 6y
y2
– 3y + 2
หมายเหตุ ในการบวกในแนวตั้งกรณีไม่มีพจน์ที่คล้ายกัน ให้เว้นที่ว่างไว้
ตัวอย่าง 5 จงหาผลบวกของ 2ab – 3b2
+5a2
กับ 2a2
+2ab + 3b2
วิธีทา 5a2
+2ab – 3b2
2a2
+2ab +3b2
7a2
+4ab + 0 = 7a2
+4ab ............................
ตัวอย่าง 6 จงหาผลบวกของ 3c3
– 8c2
+ 2c – 1 กับ 5c3
+2c2
+7
วิธีทา 3c3
– 8c2
+ 2c – 1
5c3
+ 2c2
+7
8c3
– 6c2
+2c +6 ............................
+ +
+
+
+
ง่ายจังเลยค่ะ

18. 18...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
การหาผลลบพหุนาม การลบของพหุนามด้วยพหุนาม ทาได้โดยการบวกพหุนามที่เป็นตัวตั้งด้วยพจน์
ตรงข้ามของพจน์แต่ละพจน์ของพหุนามที่เป็นตัวลบ
ตัวอย่างการหาพหุนามตรงข้าม (inverse polynomial for addition) เช่น
x – 5 พหุนามตรงข้ามคือ - (x – 5) = -x –(- 5) = -x + 5
- x3
+ 5y พหุนามตรงข้ามคือ -(- x3
+ 5y) = -(-x3
) -5y = x3
- 5y
ข้อสรุปของการลบพหุนาม
พหุนามตัวตั้ง – พหุนามตัวลบ = พหุนามตัวตั้ง + พหุนามตรงข้ามของพหุนามตัวลบ
โดยหลักการลบพหุนามมี 2 วิธี ดังนี้
1. การลบตามแนวราบ
ขั้นที่ 1 เขียนพหุนามที่กาหนดให้ทั้งหมดที่ต้องการลบกันในบรรทัดเดียวกัน แต่ยึดหลักการลบ
คือ การบวกด้วยพจน์ตรงข้ามของพจน์แต่ละพจน์ของพหุนามที่เป็นตัวลบ
ขั้นที่ 2 รวมพจน์ที่คล้ายกัน
ขั้นที่ 3 เขียนผลลัพธ์ให้เป็นพหุนามในรูปผลสาเร็จ
ตัวอย่าง 7 จงหาผลลบของพหุนามต่อไปนี้
1. (3 + 5x + x2
) – (8x2
– 9x) 2. (4z2
+7z - 5) – (9z +1)
3. (5x2
+ 6x - 4) – (3x2
– 12x – 1)
วิธีทา 1. (3 + 5x + x2
) – (8x2
– 9x) = (3 + 5x + x2
) + [-(8x2
– 9x)]
= (3 + 5x + x2
) + (-8x2
+ 9x)
= 3 + 5x + x2
-8x2
+ 9x
= 3 + ( 5x + 9x) + (x2
-8x2
)
= 3 + 14x – 7x2
………………………………..

19. 19...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2. (4z2
+7z - 5) – (9z +1) = (4z2
+7z - 5) + [– (9z +1)]
= (4z2
+7z - 5) + [– 9z -1 ]
= 4z2
+7z - 5 – 9z -1
= 4z2
+(7z – 9z) - 5 -1
= 4z2
– 2z – 6 ………………………………
3. (5x2
+ 6x - 4) – (3x2
– 12x – 1) = (5x2
+ 6x - 4) + [– (3x2
– 12x – 1)]
= (5x2
+ 6x - 4) + [– 3x2
+ 12x + 1 ]
= 5x2
+ 6x - 4 – 3x2
+ 12x + 1
= (5x2
– 3x2
) + (6x + 12x) + (- 4 + 1)
= 2x2
+ 18x – 3 ………………………………
ตัวอย่าง 8 จงหาผลลบของ 5y3
+ 2y2
– y กับ 2y3
+ 3y
วิธีทา (5y3
+ 2y2
– y) - (2y3
+ 3y) = …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
ตัวอย่าง 9 จงหาผลลบของ 4x2
- 3xy -2y2
กับ 2x2
+ 3xy – 5y2
วิธีทา (4x2
- 3xy -2y2
) - (2x2
+3xy – 5y2
) = …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………

20. 20...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2. การลบในแนวตั้ง
เขียนพหุนามที่กาหนดให้ทั้งหมดโดยให้พจน์ที่คล้ายกันอยู่ตรงกัน โดยทาได้ 2 แบบ คือ
ตัวอย่าง 10 จงหาผลลบของ 4x2
– 2x – 1 กับ x2
– x + 4
วิธีทา แบบที่ 1 ทาการลบเหมือนกับตัวเลขทั่วไป
ตัวตั้ง 4x2
– 2x – 1
ตัวลบ x2
– x + 4
3x2
– x - 5
แบบที่ 2 เปลี่ยนการลบให้อยู่ในรูปการบวกพจน์ตรงข้าม แล้วหาผลบวก
(4x2
– 2x – 1) - (x2
– x + 4) = (4x2
– 2x – 1) + (- x2
+ x - 4)
ตัวตั้ง 4x2
– 2x – 1
ตัวลบ - x2
+ x - 4
3x2
– x - 5
ข้อสังเกต หลักการของการลบพหุนาม จะบวกพหุนามที่เป็นตัวตั้งด้วยพจน์ตรงข้าม
ของแต่ละพจน์ของพหุนามที่เป็นตัวลบ
ข้อสังเกตคือ
1. การลบพหุนามสองพหุนาม ทาได้โดยถอดวงเล็บของตัวลบ เปลี่ยน
เครื่องหมายของแต่ละพจน์ของตัวลบเป็นเครื่องหมายตรงข้ามแล้วนาผล
ที่ได้ไปบวกกับตัวตั้ง
2. การบวกกัน จานวนที่มีเครื่องหมายเหมือนกันนามาบวกกัน
เครื่องหมายต่างกันนามาลบกัน
จากเรื่องการลบพหุนาม นักเรียนพบข้อสังเกตอะไรบ้างค่ะ
_ เปลี่ยนเครื่องหมายตัวลบเป็น
ตรงข้ามแต่ไม่แสดงให้เห็น
(ทดไว้ในใจ) แล้วนาตัวตั้งและ
ตัวลบมาบวกกัน
+
เปลี่ยนเครื่องหมายตัวลบ
เป็นตรงข้าม แล้วนาตัวตั้ง
และตัวลบมาบวกกัน

21. 21...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
ตัวอย่าง 11 จงหาผลลบของ 4x2
– 3xy – 2y2
กับ 2x2
+ 3xy – 5y2
วิธีทา แบบที่ 1 4x2
– 3xy – 2y2
2x2
+ 3xy – 5y2
แบบที่ 2 (4x2
–3xy –2y2
) - (2x2
+3xy–5y2
) = (4x2
–3xy –2y2
) + (- 2x2
-3xy + 5y2
)
4x2
– 3xy – 2y2
2x2
+ 3xy – 5y2
ตัวอย่าง 12 จงหาผลสาเร็จของ [(2x2
- 5xy + 6y2
)+( 3y2
+ 7- 8xy)] - (3x2
+ 2xy - 5)
วิธีทา แบบแนวราบ [(2x2
- 5xy + 6y2
)+(3y2
+ 7- 8xy)]- (3x2
+ 2xy - 5)
= (2x2
- 5xy + 6y2
+ 3y2
+ 7 - 8xy) - (3x2
+ 2xy - 5)
=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
=…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
แบบแนวตั้ง 2x2
- 5xy + 6y2
- 8xy + 3y2
+ 7
_
+
+
_

22. 22...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
แบบฝึกหัดที่ 4
เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม
1. จงหาผลบวกของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยวิธีแนวราบและแนวตั้ง
1.1 5a3
+a กับ 2a3
+ 3a
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
1.2 x2
+ x + 3 กับ 4x2
– 4
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
1.3 3xy2
– x2
y กับ 2xy2
– 1
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
1.4 5y2
– 3y – 9 กับ 16y2
+5y – 8
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
1.5 3m2
+ 4 กับ 5m2
– 2m – 7
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
………………………………………………………………………………..……………………………………
+
+
+
+
+

23. 23...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
1.6 3c3
– 8c2
+ 2c – 1 กับ 5c3
+ 2c2
+ 7
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
1.7 4x2
– 3xy + 5x2
y – 4x กับ 3x2
– 5xy + 3x2
y
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
1.8 2a2
b + b3
กับ a3
+ 2a2
b +3ab2
+ b3
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
1.9 x2
– 4xy + 4y2
กับ 3x2
+ 2xy – y2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
1.10 3yz – 7xy – 5x2
yz กับ 4x2
yz – 3yz + 5xy
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
+
+
+
+
+

24. 24...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2. จงหาผลลบของพหุนามในแต่ละข้อต่อไปนี้ โดยใช้พหุนามแรกเป็นตัวตั้ง ทาทั้งวิธีแนวราบและแนวตั้ง
2.1 5m2
– 3m + 2 กับ 4m2
– 7m
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.2 3a2
– 4b2
+ ab กับ a2
– 10b2
– 5
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.3 4y2
– 5y กับ 2y2
+ 3y – 4
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.4 3x2
+ 2xy - 5 กับ 2x2
– 5xy + 7
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.5 4a4
+ 3a2
b2
– 2b4
กับ - 5a4
– a2
b2
+ b4
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

25. 25...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2.6 2x3
– 7x2
– 5x + 2 กับ 3x2
+ 2x – x3
– 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.7 5y3
+ 2y2
+ 7 กับ 3y3
- 8y2
+ 2y – 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
2.8 3c4
– 2c3
d + 5c2
d2
– cd3
กับ 6c3
d – 4c2
d2
+ 3d4
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
2.9 5x2
– x3
+ 2x – 7 กับ - 2x3
– 4x2
+ 8x – 9
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
2.10 3y3
– 2y2
+ 4y + 1 กับ - 4y3
+ y2
– 2y + 6
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………………

26. 26...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
3. จงทาให้เป็นผลสาเร็จ
3.1 (a3
– b3
) + (ab2
– a2
b)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.2 (3x4
– 2x3
+ x2
– 3) – (x3
– 3x – x + 5)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.3 (3m - 2n) + (2m – 3n) – (m + n – 3)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.4 (5t4
– 2t3
+ 3t – 4) – (- 2t3
+ 3t2
+ 4)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.5 (5a2
+ 2a + 5) + (- 2a2
+ 3a - 5) - (4a2
+ 5a)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

27. 27...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
3.6 (4x2
– 3xy – 2y2
) + (2x3
+ 3xy – 5y2
) – (2x3
– 10y2
)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.7 (3y2
– 4y + 5) – (y3
+ 2y2
+ 3) + (2y3
+ 5y – 1)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3.8 (3x4
+ 4x3
– 2x2
– 8x + 5) – (4x4
– 9x3
+ 3x2
– 6x + 3 )
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
เอ!.......... ชักจะงงแล้วซิ
เย็นนี้คงต้องทบทวนแล้ว

28. 28...................คณิตศาสตร์เพิ่มเติม เทอม2
2.5 การคูณและการหารพหุนาม
การคูณและการหารพหุนาม