3. ตัวอย่าง จงหาผลหารและเศษ เมื่อหาร 2 x 2 - 7 x + 3 ด้วย x + 2 วิธีทำ ใช้วิธีการหารสังเคราะห์ 2 - 7 3 -2 2 - 4 + - 11 22 25 ผลหาร 2 x - 11 เศษ 25
4. การเท่ากันในระบบจำนวน 1. สมบัติการสะท้อน เช่น a = a 2. สมบัติการสมมาตร เช่น ถ้า a = b แล้ว b = a 3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c 4. สมบัติของการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c 5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a c = b c
5. การบวกและการคูณในระบบจำนวนจริง บทนิยาม ในระบบจำนวนจริง เรียกจำนวนจริงที่บวกกับจำนวนจริง จำนวนใดก็ตามได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงจำนวนนั้นว่า เอกลักษณ์การบวก ถ้า z เป็นเอกลักการบวกแล้ว z + a = a = a + z โดยที่ a เป็นจำนวนจริงใดๆ บทนิยาม ในระบบจำนวนจริง อินเวอร์สการบวก ของจำนวนจริง a ( ใช้แทนด้วยสัญลักษณ์ - a ) หมายถึงจำนวนจริงที่บวกกับ a แล้วได้ ศูนย์ กล่าวคือ a + (-a) = 0 = (-a) + a
7. การลบและการหารจำนวนจริง บทนิยาม เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ a - b = a + (-b) ทฤษฎีบทที่ 1 ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนจริง 1. a (b - c) = ab - ac 2. (a - b)c = ac - bc 3. (- a) (b - c) = - ab + ac บทนิยาม เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ ทฤษฎีบทที่ 2 ถ้า จะได้
11. ทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem) เมื่อ p(x) คือพหุนาม โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก เป็นจำนวนจริงซึ่ง พหุนาม p (x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ p ( c) = 0 ตัวอย่าง จงแสดงว่า x - 2 เป็นตัวประกอบ x 3 - 5x 2 + 2x + 8 วิธีทำ จะได้ p( 2 ) = ( 2 ) 3 - 5( 2 ) 2 + 2( 2 ) + 8 = 0 ให้ p(x) = x 3 - 5x 2 + 2x + 8 ดังนั้น x - 2 เป็นตัวประกอบของ x 3 - 5x 2 + 2x + 8
12. ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ เมื่อ p(x) คือพหุนาม โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก เป็นจำนวนจริงซึ่ง ถ้า เป็นตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็มซึ่ง และ ห . ร . ม . ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว m จะเป็นตัวประกอบของ k จะเป็นตัวประกอบของ
13. สมบัติการไม่เท่ากัน บทนิยาม สมาชิกของ R + เรียกว่า จำนวนจริงบวก และ ถ้า เราเรียก a ว่า จำนวนลบ บทนิยาม a < b หมายความว่า a > b หมายความว่า สมบัติไตรวิภาค ( trichotomy property) ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว a = b , a < b และ a > b จะเป็นเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง
14. ทฤษฎีบทที่ 1 สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c ทฤษฎีบทที่ 2 สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c c เป็นจำนวนใดๆ ทฤษฎีบท 3 จำนวนบวกและจำนวนลบเปรียบเทียบกับ 0 a เป็นจำนวนบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0 a เป็นจำนวนลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0
15. ทฤษฏีบทที่ 4 สมบัติของการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เป็นศูนย์ กรณี 1 ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc กรณี 2 ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc ทฤษฏีบทที่ 5 สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b ทฤษฏีบทที่ 6 สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ กรณี 1 ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b กรณี 2 ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b
30. ค่าสัมบูรณ์ บทนิยาม | x | = x ถ้า - x ถ้า เช่น | 2 | = 2 | -2 | = - (- 2) = 2 ควรจำ ถ้าในค่าสัมบูรณ์เป็นจำนวนลบถอดใส่ลบข้างหน้า
31. สมบัติค่าสัมบูรณ์ 1. | x | 0 2. | x | = | -x | 4. | xy | = | x | | y | 3. | x - y | = | y - x | 5. | x - y | | x | - | y | 6. | x + y | | x | + | y | จำไว้ว่า ค่าสัมบูรณ์ คือ ระยะห่างจาก ศูนย์ มีค่าเป็น ศูนย์ หรือ จำนวนบวกเท่านั้น
32. ตัวอย่างที่ 1 จงหาคำตอบสมการ | x - 5 | = 0 วิธีทำ จะได้ x - 5 = 0 x = 5 ดังนั้น เซตคำตอบ คือ { 5 }
36. ค่าสัมบูรณ์กับอสมการ เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก 1. | x | < a หมายถึง - a < x < a ( x คือจำนวนที่ห่างจากศูนย์ น้อยกว่า a หน่วย ) เช่น | x | < 2 หมายถึง - 2 < x < 2 ( x คือจำนวนที่ห่างจากศูนย์น้อยกว่า 2 หน่วย ) กราฟเส้นจำนวนดังรูป 0 1 2 -1 -2
37. เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก 2. | x | > a หมายถึง x < - a ( x คือจำนวนที่ห่างจากศูนย์ มากกว่า a หน่วย ) เช่น | x | > 2 หมายถึง x < -2 ( x คือจำนวนที่ห่างจากศูนย์ มากกว่า 2 หน่วย ) กราฟเส้นจำนวนดังรูป 0 1 2 -1 -2 หรือ x > a หรือ x > 2
48. การแก้สมการที่มีค่าสัมบูรณ์หลายค่า ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบสมการ | x - 4 | + | x - 3 | = 1 วิธีทำ ใช้หลักการถอดค่าสัมบูรณ์ แบ่ง x ทั้งสามช่วง 3 4 ถ้า x < 3 จะได้สมการ - (x- 4 ) + - ( x - 3) = 1 - (x- 4 ) + ( x - 3) = 1 จะได้สมการ จะได้สมการ (x- 4 ) + ( x - 3) = 1 ได้คำตอบอินเตอร์เซกชันกับ x < 3 ได้คำตอบอินเตอร์เซกชันกับ ได้คำตอบอินเตอร์เซกชันกับ
49. กรณีที่ x < 3 และ - ( x - 4 ) + - ( x -3 ) = 1 - x + 4 - x + 3 = 1 - 2x + 7 = 1 - 2x = - 6 x = 3 จะได้คำตอบ =
50. และ - ( x - 4 ) + ( x -3 ) = 1 - x + 4 + x - 3 = 1 1 = 1 จะได้คำตอบ = ตอบ
51. และ ( x - 4 ) + ( x -3 ) = 1 x - 4 + x - 3 = 1 2 x = 8 จะได้คำตอบ = x = 4 = [ 3 , 4 ] ดังนั้นคำตอบสมการคือ
52. ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบอสมการ | x - 5 | < x - 3 วิธีทำ ใช้การถอดค่าสัมบูรณ์ กรณีที่ 1 จะได้ x - 5 < x - 3 - 5 < -3 ซึ่งเป็นจริงทุกค่าของ x ดังนั้นคำตอบคือ = กรณีที่ 2 จะได้ - (x - 5) < x - 3 x > 4 x < 5 ดังนั้นคำตอบคือ = ( 4,5 ) ดังนั้นเซตคำตอบทั้งหมดคือ [ 5 , ) (4,5) = ( หรือยกกำลังสองทั้งสองข้างก็ได้ )
53. วิธีที่ 2 | x - 5 | < x - 3 ( โดยการใช้นิยามการถอดค่าสัมบูรณ์ ) จะได้ - (x - 3) < x -5 < x - 3 เซตคำตอบคือ { x | x > 4 } ดังนั้น - x + 3 < x - 5 และ x - 5 < x - 3 - 2 x < - 8 x > 4 - 5 < -3 { x | x เป็นจำนวนจริง } = R เซตคำตอบคือ R
