1. บทที่ 3
อนุกรมอนันต
อนุกรมอนันต (Infinite series) เปนผลบวกที่มีจํานวนพจนนับไมถวน อนุกรมอนันตมี
การประยุกตใชในสาขาวิศวกรรมศาสตร วิทยาศาสตร และในหลายสาขาวิชาของคณิตศาสตร
ผลบวกที่มีพจนเปนจํานวนมากนับไมถวนนั้นมีตัวอยางของผลบวกที่คุนเคยกันมากเกิดขึ้น
1
จากการแทนจํานวนจริงดวยทศนิยม เชน เมื่อเขียน ในรูปทศนิยม จะได
3
1
= 0.33333... นั้นหมายถึง
3
1
= 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + 0.00003 + ...
3
แสดงวาการแทน 1 ดวยทศนิยม อาจจะพิจารณาเปนผลบวกของจํานวนจริงหลายจํานวน
3
นับไมถวนได
ผลบวกของอนุกรมอนันต
นิยาม 1 อนุกรมอนันต คือ นิพจน (expression) ที่อยูในรูปของ
u1 + u2 + u3 + K + uk + K
หรือเขียนในรูปสัญลักษณผลรวมไดเปน
∞
u1 + u2 + u3 + K + uk + K = ∑ uk
k =1
เรียกจํานวน u1 , u 2 , u3 , ... วา พจนของอนุกรม และจะเรียก “อนุกรมอนันต’’ เพียงสั้น ๆ
วา “อนุกรม”
∞
1 1 1 1 1
เชน ∑k
k =1
= 1+ + + + ... + + ...
2 3 4 k
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

2. 2
∞
1 1 1 1 1 1
∑ k (k + 1) = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + ... + k (k + 1) + ...
k =1
อนุกรมและลําดับมีความเกี่ยวพันกันอยางมากดังตอไปนี้
กําหนดให
S1 = u1
S 2 = u1 + u 2
S3 = u1 + u2 + u3
M
n
S n = u1 + u 2 + u 3 + ... + u n = ∑ u k
k =1
∞
นั่นคือ Sn เปนผลบวกของ n พจนแรกของอนุกรม ∑ uk เรียกวา ผลบวกยอยที่
k =1
∞
n ( n th partial sum) ของอนุกรม ∑ u ซึ่งจะเห็นวาจากผลบวกยอยตาง ๆ นี้ สามารถนํามาสราง
k
k =1
เปนลําดับไดดังนี้
{Sn } = S1 , S 2 , S 3 ,..., S n ,... เรียกวา ลําดับของผลบวกยอย นั่นเอง
จากตัวอยางผลบวกของ 0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + 0.00003 + ... นั้น เราไม
สามารถบวกจํานวนเลขหลายจํานวนนับไมถวนเขาดวยกันไดดงนั้นจึงตองนิยามผลบวกของ
ั
อนุกรมและคํานวณคาโดยวิธลิมต
ี ิ
เพื่อขยายผลจากแนวคิดพื้นฐานพิจารณาทศนิยม 0.33333... ซึ่งสามารถเขียนเปน
อนุกรมไดดังนี้
0.3 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + 0.00003 + ...
3 3 3 3 3
หรือ + 2 + 3 + 4 + 5 +K
10 10 10 10 10
1 1
เนื่องจาก 0.33333K = ดังนั้นผลบวกของอนุกรมควรจะเปน ดวย
3 3
3 3 3 3 3 1
นั่นคือ + 2 + 3 + 4 + 5 +K =
10 10 10 10 10 3
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

3. 3
การหาผลบวกของอนุกรมทําไดโดยการพิจารณาลําดับของผลบวก ดังนี้
3
S1 = = 0.3
10
3 3
S2 = + 2 = 0.33
10 10
3 3 3
S3 = + 2 + 3 = 0.333
10 10 10
3 3 3 3
S4 = + 2 + 3 + 4 = 0.3333
10 10 10 10
3 3 3 3 3
S5 = + 2 + 3 + 4 + 5 = 0.33333
10 10 10 10 10
M
สําหรับ S1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5 K สามารถใชเปนการประมาณผลบวกของอนุกรมได ใน
ลําดับของผลบวกดังกลาว หากมีการใชพจนของอนุกรมมากขึ้น ๆ และการประมาณคาก็จะดีขึ้น
1
ตามลําดับ และลิมิตของลําดับควรจะเปน นั่นเอง
3
เพื่อใหเห็นวาลิมิตเปน 1
จริงนั้น จะตองคํานวณลิมิตของพจนทั่วไป (S n ) ในลําดับที่ใช
3
ประมาณคา ในที่นี้พจนทั่วไปคือ
.......... (1)
3 3 3 3 3 3
Sn = + 2 + 3 + 4 + 5 K+ n
10 10 10 10 10 10
จากนั้นทําการหา lim S n จะไดวา
n→∞
⎡3 3 3 3 3 3 ⎤
lim S n = lim ⎢ + 2 + 3 + 4 + 5 K + n ⎥
n→∞
⎣
n →∞ 10 10 10 10 10 10 ⎦
จะเห็นไดวา การหาลิมิตคอนขางยุงยากเพราะทั้งพจนสุดทายและจํานวนพจนเปลี่ยน
ตามคา n จึงตองพยายามเขียนลิมิตใหอยูในรูปที่จํานวนพจนไมแปรคาได ถาหากสามารถทําได ใน
ที่น้อาจทําไดดังนี้
ี
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

4. 4
.......... (1)
3 3 3 3 3 3
จาก Sn = + 2 + 3 + 4 + 5 K+ n
10 10 10 10 10 10
สมการ (1) × 10
.......... (2 )
1 3 3 3 3 3 3 3
S n = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 K + n + n +1
10 10 10 10 10 10 10 10
แลวนํา (1) − (2) ได
1 3 3
Sn − S n = − n+1
10 10 10
9 3 3
Sn = −
10 10 10 ⋅ 10 n
9 3⎛ 1 ⎞
S n = ⎜1 − n ⎟
10 10 ⎝ 10 ⎠
3 10 ⎛ 1 ⎞
Sn = ⋅ ⎜1 − n ⎟
10 9 ⎝ 10 ⎠
1⎛ 1 ⎞
นั่นคือ S n = ⎜1 − n ⎟
3 ⎝ 10 ⎠
1⎛ 1 ⎞
และไดวา lim S n = lim ⎜1 − n ⎟
n→∞ n →∞ 3
⎝ 10 ⎠
=
1
(1 − 0)
3
1
=
3
ซึ่งอาจจะแทนดวยการเขียน
1 3 3 3 3 3 3
= + 2 + 3 + 4 + 5 + K + n + ...
3 10 10 10 10 10 10
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

5. 5
∞
จากตัวอยางที่กลาวขางตน จะนิยามแนวคิดของผลบวกของอนุกรม ∑ uk ไดดังนี้
k =1
∞
จาก S n เปนผลบวกของ n พจนแรกของอนุกรม ∑ uk นั้น ในขณะที่ n มีคาเพิ่มขึ้น
k =1
ผลบวกยอย S n = u1 + u 2 + ... + u n จะรวมพจนของอนุกรมมากขึ้น ๆ ดังนั้นถา S n มีคาเขาใกล
ลิมตคาหนึ่งขณะที่ n → ∞ แลวคาลิมิตนั้นจะเปนผลบวกของทุกพจนในอนุกรมนั้น เขียนเปน
ิ
นิยามดังนี้
การลูเขาของอนุกรม
∞
นิยาม 2 ให {Sn } เปนลําดับของผลบวกยอยของอนุกรม ∑ uk ถาลําดับ {Sn } ลูเขาสูลิมิต S
k =1
หรือ lim S n = S แลวจะเรียกอนุกรมนี้วา อนุกรมลูเขา และเรียก S วา ผลบวกของอนุกรม เขียน
n →∞
∞
แทนดวย S = ∑ uk
k =1
∞
นิยาม 3 ให {Sn } เปนลําดับของผลบวกยอยของอนุกรม ∑ uk ถาลําดับของผลบวกยอยลูออกหรือ
k =1
lim S n
n→∞
หาคาไมไดแลว จะเรียกอนุกรมนี้วา อนุกรมลูออก และจะไมมีผลบวก
ตัวอยาง 1 จงพิจารณาวา อนุกรม 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + K ลูเขาหรือลูออก ถาลูเขาจงหาผลบวก
วิธีทํา อนุกรมนี้มีพจนเปนคาบวกและลบสลับกันไป โดยมีคาของผลบวกยอยดังนี้
S1 = 1
S2 = 1 − 1 = 0
S3 = 1 − 1 + 1 = 1
S4 = 1 − 1 + 1 − 1 = 0
S5 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 = 1 …
ดั้งนั้นทําใหมีลําดับของผลบวกยอยดังนี้ 1, 0, 1, 0, 1, 0,K ซึ่งพจนในลําดับนี้มีคาสลับกัน
ระหวาง 1 และ 0 ไมมคาลูเขาสูคาใดคาหนึ่ง จึงไมมีลิมิต
ี
นั่นคือลําดับของผลบวกยอยนี้เปนลําดับลูออก โดยนิยามจึงไดวาอนุกรมที่กําหนดเปน

อนุกรมลูออกเชนเดียวกันและไมมีผลบวก
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

6. 6
อนุกรมเรขาคณิต (Geometric Series)
นิยาม 4 อนุกรมเรขาคณิต คืออนุกรมที่สามารถเขียนใหอยูในรูปดังนี้
a + ar + ar 2 + ar 3 + K + ar k −1 + K , (a ≠ 0)
สังเกตไดวาแตละพจนไดจากการคูณพจนกอนหนาดวยโดยคาคงตัว r และเรียกตัวคูณ
r วา อัตราสวนรวม (Common Ratio) ของอนุกรมนั้น
ตัวอยางของอนุกรมเรขาคณิต
1 + 2 + 4 + 8 + K + 2k −1 + K : a = 1, r = 2
3 3 3 3 3 1
+ 2 + 3 + K + k −1 + K :a = ,r=
10 10 10 10 10 10
1 1 1 1 1 1 1
− + − + K + (−1) k −1 k + K :a = ,r=
2 4 8 16 2 2 2
1+1+1+1+K+1+K : a = 1, r = 1
1 − 1 + 1 − 1 + K + (−1) k +1 + K : a = 1, r = −1
การลูเขาของอนุกรมเรขาคณิตกลาวไวในทฤษฎีบทตอไปนี้
ทฤษฎี 1 อนุกรมเรขาคณิต a + ar + ar 2 + K + ar k −1 + K , (a ≠ 0)
จะลูเขา ถา r < 1 และลูออก ถา r ≥ 1
ถาอนุกรมเรขาคณิตนี้ลูเขาแลวจะมีผลบวกเปน
a
a + ar + ar 2 + K + ar k −1 + K =
1− r
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

7. 7
พิสจน จะแยกพิจารณาเปน 2 กรณี คือ
ู r = 1 และ r ≠ 1 ดังนี้
กรณีที่ 1 r = 1 พิจารณาแยกเปน
1.1 r =1 และ 1.2 r = −1
1.1 ถา r = 1 แลวอนุกรมอยูในรูป
a + a + a +K+ a +K
ผลบวกยอยที่ n คือ S n = na
⎧+ ∞ , a ∈ R +
⎪
และลิมิต lim S n = lim na = ⎨
n→∞ n →∞ ⎪− ∞ , a ∈ R −
⎩
แสดงวาอนุกรมลูออก
1.2 ถา r = −1 แลวอนุกรมอยูในรูป
a − a + a − a +K
ลําดับของผลบวกยอย คือ a , 0 , a , 0 , a , 0 , ... จึงเปนลําดับลูออก
กรณีที่ 2 r ≠1
ลําดับผลบวกยอยที่ n คือ
S n = a + ar + ar 2 + K + ar n −1 .......... (1)
คูณทั้งสองขางของ (1) ดวย r ได
r S n = ar + ar 2 + K + ar n −1 + ar n .......... (2 )
นํา (1) − (2) ได
S n − rS n = a − ar n
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

8. 8
(1 − r )S n = a − ar n
เนื่องจาก r ≠ 1 ได
a − ar n
Sn =
1− r
a (1 − r n )
Sn =
1− r
a (1 − r n )
lim S n = lim
n→∞ n →∞ 1− r
ถา r <1 แลว lim r n = 0
n→∞
ได {S n } ลูเขา
a
และได lim S n =
n→∞ 1− r
ถา r > 1 แลว r > 1 หรือ r < −1
กรณี r > 1 , lim r n = ∞
n→∞
กรณี r < - 1 , คาของ r n จะแกวงระหวางคาบวกและคาลบและมีขนาดเพิ่มขึ้น
ดังนั้น {S n } ลูออก ถา r >1
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

9. 9
7 7 7
ตัวอยาง 1 อนุกรม 7+ + 2 + K + k −1 + K
4 4 4
7
a 1
เปนอนุกรมเรขาคณิต มี a=7,r= 2 = 4 =
a1 7 4
1 1
เนื่องจาก r = = <1
4 4
ดังนั้นอนุกรมนี้ลูเขา
a 7 7 28
มีผลบวกเปน = = =
1− r 1 3 3
1−
4 4
k −1
3 3 3 ⎛ 1⎞
ตัวอยาง 2 อนุกรม 3 − + 2 − 3 +K+ ⎜− ⎟ ⋅3 +K
4 4 4 ⎝ 4⎠
3
−
a 1
เปนอนุกรมเรขาคณิต มี a=3, r = 2 = 4 = −
a1 3 4
1 1
เนื่องจาก r =− = <1
4 4
ดังนั้นอนุกรมนี้ลูเขา
a 3 3 12
มีผลบวกเปน = = =
1− r ⎛ 1⎞ 5 5
1− ⎜− ⎟
⎝ 4⎠ 4
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

10. 10
ตัวอยาง 3 จงหาจํานวนตรรกยะที่แทนโดยทศนิยมซ้ํา 0.7777…
วิธีทํา เขียนทศนิยมซ้ําที่กําหนดใหอยูในรูปผลบวกอนุกรมอนันตดังนี้
0.7777... = 0.7 + 0.07 + 0.007 + 0.0007 + ...
7 7 7 7 7 1
= + 2 + 3 + 4 + ... ( เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = ,r= )
10 10 10 10 10 10
7
= 10
1
1−
10
7
= 10
9
10
7
=
9
ตัวอยาง 4 จงพิจารณาวาอนุกรมเรขาคณิตตอไปนี้ลูเขาหรือไม และถาลูเขาจงหาผลรวมของอนุกรม
ดวย
2
1. 1 − 2 + ⎛ 2 ⎞ − K
⎜ ⎟
3 ⎝3⎠
วิธีทํา เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = 1 , r = − 2
3
2 2
เนื่องจาก r =− = <1 ดังนั้นอนุกรมนี้ลูเขา
3 3
2
2 ⎛2⎞ a 1
1− + ⎜ ⎟ −K = =
3 ⎝3⎠ 1− r ⎛ 2⎞
1− ⎜− ⎟
⎝ 3⎠
1 3
= =
5 5
3
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

11. 11
2. 1 + π + ⎛ π ⎞
2
⎜ ⎟ +K
4 ⎝4⎠
วิธีทํา เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = 1, r = π
4
π π
เนื่องจาก r = = < 1 ดังนั้นอนุกรมนี้ลูเขา
4 4
⎛π ⎞π
2
a 1 1 4
1+ + ⎜ ⎟ +K = = = =
4 ⎝4⎠ 1− r 1− π 4 −π 4 −π
4 4
∞ k
⎛4⎞
3. ∑⎜ 5 ⎟
k =2 ⎝ ⎠
∞ k 2 3 4
⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞
วิธีทํา ∑ ⎜ 5 ⎟ = ⎜ 5 ⎟ + ⎜ 5 ⎠ + ⎜ 5 ⎟ + ...
k =2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎟
⎝ ⎠
2
⎛4⎞ 16 4
เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a=⎜ ⎟ = , r =
⎝5⎠ 25 5
4 4
เนื่องจาก r = = <1 ดังนั้นอนุกรมนี้ลูเขา
5 5
16 16
∞ k
⎛4⎞ a 16 16
∑ ⎜ 5 ⎟ = 1 − r = 254 = 25 = 25 • 5 = 5
k =2 ⎝ ⎠
1
1−
5 5
∞
4. ∑ (ln 3)k
k =1
∞
วิธีทํา ∑ (ln 3)k = ln 3 + (ln 3) + (ln 3) + ...
2 3
k =1
เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = ln 3 , r = (ln 3)
3
= ln 3
ln 3
เนื่องจาก r = ln 3 = ln 3 = log e 3 > 1
ดังนั้นเปนอนุกรมเรขาคณิตที่ลูออก
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

12. 12
∞
5. ∑ (sin 5)k
k =1
∞
วิธีทํา ∑ (sin 5)k = sin 5 + (sin 5) + (sin 5) + ...
2 3
k =1
เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a = sin 5 , r = (sin 5)
2
= sin 5
sin 5
เนื่องจาก r = sin 5 = sin 5 < 1 ( เนื่องจาก − 1 ≤ sin θ ≤ 1 )
ดังนั้นอนุกรมนี้ลูเขา
∞
∑ (sin 5)
a sin 5
= =
k
k =1 1 − r 1 − sin 5
ตัวอยาง 5 จงหาจํานวนตรรกยะที่แทนโดยทศนิยมซ้ําตอไปนี้
1. 0.7888...
วิธีทํา 0.7888... = 0.7 + 0.08 + 0.008 + 0.0008 + ...
7 8 8 8
= + 2 + 3 + 4 + ...
10 10 10 10
7 ⎛ 8 8 8 ⎞ ⎛ 8 1⎞
= + ⎜ 2 + 3 + 4 + ...⎟ ⎜a = 2 ,r = ⎟
10 ⎝ 10 10 10 ⎠ ⎝ 10 10 ⎠
⎛ 8 ⎞
7 ⎜ 10 2 ⎟
= +⎜ ⎟
10 ⎜ 1 − 1 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 10 ⎠
7 ⎛ 8 10 ⎞
= +⎜ • ⎟
10 ⎝ 10 2 9 ⎠
7 8
= +
10 90
63 + 8 71
= =
90 90
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

13. 13
2. 0.784784...
วิธีทํา 0.784784784... = 0.784 + 0.000784 + 0.000000784 + ...
784 784 784 ⎛ 784 1 ⎞
= + + + ... ⎜a = 3 ,r = 3 ⎟
103 106 109 ⎝ 10 10 ⎠
784
3
= 10
1
1− 3
10
784
3
= 10
999
103
784 103
= 3•
10 999
784
=
999
ตัวอยาง 6 โยนลูกปงปองจากที่สูงระยะ a เมตร ลงบนพื้นที่เรียบ แตละครั้งที่ลูกปงปองกระทบ
พื้น เมื่อตกลงมาเปนระยะทาง h เมตร จะกระดอนกลับขึ้นไปเปนระยะ rh เมตร (0 < r < 1)
จงหาระยะทางที่ลูกปงปองเคลื่อนที่ทั้งหมดจนกวาจะหยุดนิ่ง
วิธีทํา พิจารณาจากรูปไดดังนี้
• A0
A1 A2 A3 A4 K
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

14. 14
จาก A0 ถึง A1 เคลื่อนที่ไดระยะทาง a เมตร
จาก A1 ถึง A2 เคลื่อนที่ไดระยะทาง ar + ar = 2ar เมตร
จาก A2 ถึง A3 เคลื่อนที่ไดระยะทาง ar 2 + ar 2 = 2ar 2 เมตร
จาก A3 ถึง A4 เคลื่อนที่ไดระยะทาง ar 3 + ar 3 = 2ar 3 เมตร
มีลักษณะเชนนี้ไปเรื่อย ๆ จะไดระยะทางที่เคลื่อนที่ทั้งหมด
S = a + 2ar + 2ar 2 + 2ar 3 + ...
= a + (2ar + 2ar 2 + 2ar 3 + ...)
= a + 2ar (1 + r + r 2 + ...)
⎛ 1 ⎞
= a + 2ar ⎜ ⎟ (a = 1, r = r < 1)
⎝1− r ⎠
2ar
= a+
1− r
2
เชน a = 10 , r = จะได
3
2(10 )
2
ระยะทางทั้งหมด = 10 + 3
2
1−
3
40
= 10 + 3
1
3
40
= 10 + •3
3
= 50
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

15. 15
ตัวอยาง 7 กําหนดใหรปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ n + 1 เกิดจากการลากเสนตรงตอจุดกึ่งกลางทั้ง
ู
สามของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ n ถากระบวนการสรางรูปสามเหลี่ยมดานเทานี้ไมสิ้นสุด และ
ผลบวกของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ 1 เทากับ a หนวย จงหาผลบวกของเสน
รอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทาเหลานี้
วิธีทํา พิจารณาจากรูปไดดังนี้
เสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ 1 เทากับ a หนวย
a
เสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ 2 เทากับ หนวย
2
a
เสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ 3 เทากับ หนวย
4
a
เสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่ 4 เทากับ หนวย
8
M
a a a
ผลบวกของเสนรอบรูปทั้งหมดเทากับ a+ + + + ...
2 4 8
a
=
1
1−
2
= 2a หนวย
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

16. 16
∞
1 1 1 1
ตัวอยาง 8 จงพิจารณาวาอนุกรม ∑ = + + +K
k =1 k (k + 1) 1.2 2.3 3.4
ลูเขาหรือลูออก ถาลูเขาจงหาผลบวก
วิธีทํา ผลบวกยอยที่ n ของอนุกรมนี้ คือ
n
1 1 1 1 1
Sn = ∑ = + + +K+
k =1 k (k + 1) 1.2 2.3 3.4 n(n + 1)
พิจารณาการลูเขาหรือลูออก โดยการหา lim S n
n →∞
พิจารณาเขียน S n ใหมในรูปที่ไมมีการขยายพจน เพื่อสะดวกในการหา lim S n
n→∞
ในกรณีนี้สามารถทําไดโดยใชวิธของการแยกเศษสวนยอยไดผลดังนี้
ี
1 1 1
= −
n(n + 1) n n + 1
⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1 ⎞
ดังนั้น S n = ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + K + ⎜ − ⎟
⎝ 2⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎝3 4⎠ ⎝ n n +1⎠
⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ 1
= 1+ ⎜− + ⎟ + ⎜− + ⎟ +K+ ⎜− + ⎟ −
⎝ 2 2⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎝ n n ⎠ n +1
1
=1−
n +1
⎛ 1 ⎞
และ lim S n = lim⎜1 − ⎟ =1
n →∞ n →∞
⎝ n + 1⎠
∞
1
ดังนั้น ∑ k (k + 1) = 1
k =1
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

17. 17
ตัวอยาง 9 จงพิจารณาวาอนุกรมตอไปนี้ลูเขาหรือลูออก ถาลูเขาจงหาผลบวก
∞
1
1. ∑
k =1 (4k − 3)(4k + 1)
n
1
วิธีทํา Sn = ∑
k =1 (4 k − 3)(4k + 1)
1 1 1 1
= + + +K+
1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1)
1 1⎛ 1 1 ⎞
จาก = ⎜ − ⎟ (โดยการแยกเศษสวนยอย) จะได
(4n − 3)(4n + 1) 4 ⎝ 4n − 3 4n + 1 ⎠
1⎛ 1⎞ 1⎛1 1⎞ 1⎛ 1 1 ⎞
Sn = ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + K + ⎜ − ⎟
4⎝ 5⎠ 4⎝5 9⎠ 4 ⎝ 4n − 3 4 n + 1 ⎠
1 ⎡⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎤
= ⎢⎜1 − 5 ⎟ + ⎜ 5 − 9 ⎟ + ... + ⎜ 4n − 3 − 4n + 1 ⎟⎥
4 ⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
1 ⎡ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎤
= ⎢1 + ⎜ − 5 + 5 ⎟ + ⎜ − 9 + 9 ⎟ + ... + ⎜ − 4n − 3 + 4n − 3 ⎟ − 4n + 1⎥
4⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
1⎛ 1 ⎞
= ⎜1 − ⎟
4 ⎝ 4n + 1 ⎠
และ lim S n = lim 1 ⎛1 −
⎜
1 ⎞ 1
⎟ = (1 − 0 ) =
1
n →∞ n →∞ 4⎝ 4n + 1 ⎠ 4 4
∞
1 1
ดังนั้น ∑ =
k =1 (4k − 3)(4k + 1) 4
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

18. 18
2. ∑ 22k + 1 2
∞
k =1 k (k + 1)
n
2k + 1
วิธีทํา Sn = ∑
k (k + 1)
2 2
k =1
1 5 7 2n + 1
= + 2 2 + 2 2 +K+ 2
1 •2 2 •3 3 •4 n (n + 1)
2 2 2
1 1 1
จาก = 2− (โดยการแยกเศษสวนยอย) จะได
n (n + 1) n (n + 1)2
2 2
⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
S n = ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ K + ⎜ 2 −
⎜n
⎟
⎟
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 9 ⎠ ⎝ 9 16 ⎠ ⎝ (n + 1)2 ⎠
⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1
= 1+ ⎜− + ⎟ + ⎜− + ⎟ +K+ ⎜− 2 + 2 ⎟ −
⎝ 4 4⎠ ⎝ 9 9⎠ ⎝ n n ⎠ (n + 1)2
1
=1−
(n + 1)2
⎛ ⎞
1
และ lim S n = lim ⎜1 −
n→∞ ⎜
⎟ = 1− 0 = 1
n→∞
⎝ (n + 1) ⎟
⎠
2
ดังนั้น ∑ 22k + 1 2
∞
=1
k =1 k (k + 1)
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

19. 19
∞
3. ∑ ln k
k +1
k =1
n
k
วิธีทํา S n = ∑ ln
k =1 k +1
1 2 3 n
= ln + ln + ln + K + ln
2 3 4 n +1
= ln n − ln (n + 1)
n
จากกฎลอการิทึม ln จะได
n +1
S n = (ln1 − ln 2 ) + (ln 2 − ln 3) + (ln 3 − ln 4 )K + (ln n − ln (n + 1))
= ln 1 − ln (n + 1)
= 0 − ln(n + 1)
= − ln (n + 1)
และ lim S n = lim (− ln(n + 1)) = − ∞
n→∞ n→∞
∞
ดังนั้น ∑ ln k เปนอนุกรมลูออก
k +1
k =1
∞
1 1
4. ∑ −
k =1 k k +1
n
1 1
วิธีทํา Sn = ∑ −
k =1 k k +1
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
= ⎜1 − ⎟+⎜ − ⎟+⎜ − ⎟K + ⎜ − ⎟
⎝ 2⎠ ⎝ 2 3⎠ ⎝ 3 4⎠ ⎝ n n +1 ⎠
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ 1
= 1+ ⎜− + ⎟ + ⎜−
⎜ + ⎟ +K+ ⎜−
⎟ ⎜ + ⎟−
⎟
⎝ 2 2⎠ ⎝ 3 3⎠ ⎝ n n⎠ n +1
1
= 1−
n +1
และ lim S n = lim⎛1 −
⎜
n → ∞⎜
1 ⎞
⎟ = 1− 0 = 1
⎟
n→∞
⎝ n +1 ⎠
∞
1 1
ดังนั้น ∑ − =1
k =1 k k +1
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

20. 20
ตัวอยาง 10 จงหาคา x ที่ทําใหอนุกรมตอไปนี้เปนอนุกรมที่ลูเขา
∞
1. ∑ (− 1)k x 2 k
k =0
∞
วิธีทํา ∑ (− 1)k x 2 k =1 − x 2 + x 4 − x 6 + ...
k =0
a = 1 , r = −x2 เปนอนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมลูเขาเมื่อ r <1 นั่นคือ
− x 2 <1
x2 < 1
x2 −1 < 0
(x − 1)(x + 1) < 0
จะได −1 < x < 1
⎛ x −1⎞
∞ k
2. ∑ 3⎜ 2 ⎟
k =0 ⎝ ⎠
⎛ x −1 ⎞ ⎛ x −1⎞
∞ ∞ k k
วิธีทํา ∑ 3⎜ 2 ⎟ = 3∑ ⎜ 2 ⎟
k =0 ⎝ ⎠ k =0 ⎝ ⎠
⎡ ⎛ x − 1 ⎞ ⎛ x − 1 ⎞2 ⎤
= 3⎢1 + ⎜ ⎟+⎜ ⎟ + ...⎥
⎢ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎣ ⎥
⎦
x −1
a =1 , r = เปนอนุกรมเรขาคณิต
2
อนุกรมลูเขาเมื่อ r <1 นั่นคือ
x −1
<1
2
x −1
−1 < <1
2
− 2 < x −1 < 2
จะได −1 < x < 3
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

21. 21
∞
3. ∑ sin n x
k =0
∞
วิธีทํา ∑ sin n x = 1 + sin x + sin 2 x + sin 3 x + ...
k =0
a = 1 , r = sin x เปนอนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมลูเขาเมื่อ r <1 นั่นคือ
sin x <1
− 1 < sin x < 1
ถา sin x =1 จะได sin x = ±1
π
จะได x = (2r + 1) เมื่อ r เปนจํานวนเต็ม
2
π
จะไดคําตอบคือ x ≠ (2r + 1)
2
∞
4. ∑ (ln x )n
k =0
∞
วิธีทํา ∑ (ln x )n = 1 + ln x + (ln x )2 + (ln x )3 + ...
k =0
a = 1 , r = ln x เปนอนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมลูเขาเมื่อ r <1 นั่นคือ
ln x <1
ดังนั้น − 1 < ln x < 1
จะได − 1 < log e x < 1
e −1 < x < e
1
<x<e
e
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

22. 22
5. ∑ (− 1)
∞ k
⎛ 1 ⎞
k
⎜ ⎟
k =02 ⎝ 3 + sin x ⎠
∞
(− 1)k ⎛ 1 ⎞
k
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1⎛ ⎞
2
⎟ = (1) + ⎜ − ⎟⎜
1 1
วิธีทํา ∑ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ + ...
k =0 2 ⎝ 3 + sin x ⎠ 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 3 + sin x ⎠ 2 ⎝ 3 + sin x ⎠
1⎡ ⎤
2
1 ⎛ 1 ⎞
= ⎢1 − +⎜ ⎟ + ...⎥
2 ⎢ 3 + sin x ⎝ 3 + sin x ⎠
⎣ ⎥
⎦
1
a =1 , r = − เปนอนุกรมเรขาคณิต
3 + sin x
อนุกรมลูเขาเมื่อ r <1 นั่นคือ
1
− <1
3 + sin x
1
<1
3 + sin x
1
−1 < <1
3 + sin x
จะได − 3 − sin x < 1 < 3 + sin x (3 + sin x > 0)
− 3 − sin x < 1 และ 1 < 3 + sin x
− sin x < 4 และ − 2 < sin x
sin x > −4 และ sin x > −2
sin x > −2
เนื่องจาก − 1 ≤ sin x ≤ 1
คําตอบคือ −∞< x<∞
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

23. 23
ตัวอยาง 11 จงหาคา x ที่ทําใหอนุกรม
1 + 2 x + x 2 + 2 x 3 + x 4 + 2 x 5 + x 6 + 2 x 7 + x8 + ...
เปนอนุกรมที่ลูเขาพรอมกับหาผลรวมดวย
วิธีทํา
1 + 2 x + x 2 + 2 x 3 + x 4 + 2 x 5 + x 6 + 2 x 7 + x8 + ...
( ) (
= 1 + x 2 + x 4 + x 6 + x8 + ... + 2 x + 2 x 3 + 2 x 5 + 2 x 7 + ...)
( ) (
= 1 + x 2 + x 4 + x 6 + x8 + ... + 2 x 1 + x 2 + x 4 + x 6 + ...)
( )
= 1 + x 2 + x 4 + x 6 + x8 + ... (1 + 2 x ) (เปนอนุกรมเรขาคณิต)
⎛ 1 ⎞
=⎜ 2 ⎟
(1 + 2 x )
⎝1− x ⎠
1 + 2x
=
1 − x2
เปนอนุกรมลูเขาเมื่อ x2 < 1
x2 < 1
x 2 − 1< 0
(x − 1)(x + 1)< 0
จะได −1 < x < 1
1 + 2x
และผลรวมของอนุกรมนี้คือ
1 − x2
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

24. 24
อนุกรมฮารมอนิก (Harmonic Series)
ในบรรดาอนุกรมที่ลูออกทั้งหมด มีอนุกรมที่สําคัญที่สดอนุกรมหนึ่ง คือ อนุกรมฮารมอ
ุ
นิก
∞
1 1 1 1 1
∑ k = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 +K
k =1
อนุกรมนี้เกิดขึ้นในเรื่องที่เกี่ยวกับเสียงสอดแทรกที่เกิดจากการสั่นของเสนลวดในเครื่อง
ดนตรี เราทราบวาอนุกรมนี้ลออกโดยการตรวจสอบผลบวกยอย ดังนี้
ู
S1 = 1
1
S2 = 1 +
2
1 1
S3 = 1 + +
2 3
1 1 1
S4 = 1 + + +
2 3 4
ผลบวกยอยเหลานี้สรางลําดับเพิ่ม
S1 < S 2 < S3 K < S n <
โดยทฤษฎีบทสามารถพิสูจนไดวาลําดับนี้ลูออก โดยจะแสดงใหเห็นวาไมมีคาคงที่ M ที่มีคา
มากกวาหรือเทากับทุกผลบวกยอย
พิจารณาผลบวกยอยบางจํานวน คือ S2 , S4 , S8 , S16 , S32 ,K ซึ่งเปนผลบวกยอยใน
รูป S2 n ผลบวกยอยเหลานี้สอดคลองอสมการ
1 1 1 2
S2 = 1 + > + =
2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
S4 = S2 + + > S2 + ( + ) = S2 + >
3 4 4 4 2 2
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

25. 25
1 1 1 1 1 1 1 1 1 4
S8 = S 4 + + + + > S4 + ( + + + ) = S4 + >
5 6 7 8 8 8 8 8 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 5
S16 = S8 + + + + + K + > S8 + ( + K + ) = S8 + > M
9 10 11 12 16 16 16 2 2
← 8 พจน →
n +1
S2n >
2
n +1
ถา M เปนคาคงตัวใด ๆ เราสามารถหาจํานวนเต็มบวก n โดยที่ >M แตสําหรับ
2
n คานี้ เรามี
n +1
S2n > >M
2
ดังนั้นจึงไมมีคาคงตัว M คาใดที่มากกวาหรือเทาหรับผลบวกยอยของอนุกรมฮารมอนิก
จึงพิสูจนไดวาอนุกรมฮารมอนิกนี้ลูออก
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

26. 26
แบบฝกหัด
1. ในแตละขอยอย จงหารูปแบบที่ไมมีการขยายพจนของผลบวกยอย S n และจงหาวาอนุกรมที่
กําหนดลูเขาหรือไม ถาลูเขาจงหาผลบวก
∞ ∞
2 1
ก. ∑ ข. ∑
k =1 (k + 1)(k + 2 )
k −1
k =1 5
∞ k −1 ∞
7
ค. ∑ 2 ง. ∑ k
k =1 4 k =1 4
∞ ∞
4 1
จ. ∑ ฉ. ∑
k =1 (4k − 3)(4 k + 1) k =1 (4k − 3)(4k + 1)
จากขอ 2 – 20 จงหาวาอนุกรมลูเขาหรือลูออก ถาลูเขาจงหาผลบวก
∞ ∞ k −1
1 ⎛ 3⎞
2. ∑ 5k
k =1
3. ∑⎜− 4 ⎟
k =1 ⎝ ⎠
∞ k +2 ∞ k −1
⎛2⎞
4. ∑⎜ 3 ⎟ 5. ∑ (− 1) ⋅
7
k =1 ⎝ ⎠ k =1 6 k −1
∞ ∞ k +1
7. ∑ ⎛ − 3 ⎞
k −1
6. ∑ 4 ⎜ ⎟
k =1 k =1 ⎝ 4⎠
∞ ∞
8. ∑ ⎛
⎜
1
−
1 ⎞
⎟ 9. ∑ 1
k =1 ⎝ k + 3 k +4⎠ k =1 (k + 2 )(k + 3)
∞ ∞
10. ∑ ⎛
⎜
1 1 ⎞
− k +1 ⎟ 11. ∑ 1
k =1 ⎝ 2 2 ⎠ k =1 9k + 3k − 2
k 2
∞
1 ∞
4 k +2
12. ∑ 13. ∑
k =2 k − 1 k =1 7 − 1
2 k
∞ k −1 ∞ k
14. ∑ ⎛ e ⎞
⎜ ⎟ 15. ∑ ⎛ − 1 ⎞
⎜ ⎟
k =1 ⎝π ⎠ k =1 ⎝ 2⎠
∞ ∞
16. ∑ 5
17. ∑ (− 1)k ⋅ 5
k =1 k − 2 k =1 4k
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

27. 27
∞ ∞
19. ∑ ⎛ 1 ⎞
k
5
18. ∑ 2 k ⎜ − k⎟
k =1 ⎝ 2 3 ⎠
k
k =0 5
∞
4
20. ∑
k =3 (4k − 3)(4 k + 1)
จากขอ 21 - 24 จงกระจายทศนิยมซ้ําในรูปเศษสวน
21. 0.4444K 22. 5.373737 K
23. 0.782178217821K 24. 0.234234234 K
25. ปลอยลูกบอลจากที่สูง 4 เมตร แตละครั้งที่ลูกบอลกระทบพื้น ลูกบอลจะกระดอนขึ้นตามแนวดิ่ง
มีความสูงเปน 3 เทาของความสูงกอนหนานั้น จงหาระยะทางรวมที่ลูกบอลเคลื่อนไปไดสมมติ
4
ลูกบอลกระดอนแบบไมหยุด
∞
26. จงแสดงวา ∑ ln⎛1 − 22 ⎞ = − ln 2
⎜ ⎟
⎝ k ⎠
k =2
∞
k +1 − k
27. จงแสดงวา ∑ =1
k =1 k2 + k
1 1 1 1
28. จงแสดงวา + + +K=
1.3 3.5 5.7 2
29. จงใชอนุกรมเรขาคณิตแสดงวา
∞ k
ก. ∑ (− 1) xk =
1
ถา − 1 < x < 1
k =0 1+ x
∞
ข. ∑ (x − 3)k =
1
ถา 2 < x < 4
k =0 4− x
∞
ค. ∑ (− 1)k x 2 k =
1
ถา − 1 < x < 1
k =0 1+ x2
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

28. 28
จากขอ 30 – 31 จงหาคา x ทั้งหมดที่ทําใหอนุกรมลูเขา และจงหาผลบวก
1 2 4 8 16
30. 2
+ 3 + 4 + 5 + 6 +K
x x x x x
1 1 1
31. sin x − sin 2 x + sin 3 x − sin 4 x + K
2 4 8
32. ถาดานหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งยาว p หนวย ถาเชื่อมจุดกึ่งกลางของดานทั้งสี่ดวย
เสนตรงจะเกิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหม และถาเชื่อมจุดกึ่งกลางของดานทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
รูปใหมน้นดวยเสนตรงอีกก็จะเกิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหมอีก ทําเชนนี้ไปเรื่อย ๆ จงหาความยาว
ั
ของเสนรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรสที่เกิดขึ้นทั้งหมด
ั
33. รูปสามเหลี่ยมดานเทารูปหนึ่งยาวดานละ 1 นิ้ว ถาแบงครึ่งดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมดาน
เทารูปนี้แลวสรางรูปสามเหลี่ยมดานเทาอีกรูปหนึ่ง แลวแบงครึ่งดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมดาน
เทารูปที่สองวนี้แลวสรางรูปสามเหลี่ยมดานเทารูปที่สาม ทําเชนนี้เรื่อย ๆ ไปไมสิ้นสุด จงหาความ
ยาวของเสนรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทาทุกรูปที่สรางได
34. ภายในรูปครึ่งวงกลมมีรปสามเหลี่ยมหนาจั่วมุมฉากบรรจุอยู และภายในรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว
ู
มุมฉาก จะมีรูปครึ่งวงกลมบรรจุอยูภายใน เปนเชนนี้ไปเรื่อย ๆ ไมส้นสุด ถากําหนดใหรัศมีของรูป
ิ
ครึ่งวงกลมนอกรูปนอกสุดเทากับ 1 นิ้ว จงหาความยาวของสวนโคงทั้งหมด
35. แมลงตัวหนึ่งซึ่งมีขนาดเล็กมากอยูที่จุด (0,0) บนพิกัดระนาบ xy แลวเดินไปทางขวา 1 หนวย
ถึงจุด (1,0) แลวเดินเลี้ยวซายไป 0.5 หนวย ถึงจุด (1,0.5) และตอไปทุก ๆ ครั้งของการเดินทางจะ
เดินเลี้ยวซาย แลวเดินเปนระยะครึ่งเทาของการเดินทางครั้งกอนเสมอ ถาแมลงตัวนี้เดินไปเรื่อย ๆ
จะเดินเขาใกลจุดใด
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

29. 29
คําตอบแบบฝกหัด
1. ก. ลูเขาสู 5 ข. ลูเขาสู 1
2 2
7
ค. ลูออก ง. ลูเขาสู
3
จ. ลูเขาสู1 ฉ. ลูเขาสู 1
4
2. ลูเขาสู 1 3. ลูเขาสู 4
4 7
4. ลูเขาสู 8 5. ลูเขาสู 6
9
6. ลูออก 7. ลูออก
8. ลูเขาสู 1 9. ลูเขาสู 1
4 3
10. ลูเขาสู 1 11. ลูเขาสู 1
2 6
12. ลูเขาสู 1 13. ลูเขาสู 448
4 3
π
14. ลูเขาสู 15. ลูเขาสู − 1
π −e 3
16. ลูออก 17. ลูเขาสู 4
18. ลูเขาสู 5 19. ลูเขาสู 17
3 2
1
20. ลูเขาสู
9
4 532
21. 22.
9 99
869 234
23. 24.
1111 999
25. 28
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท

30. 30
1
30. x < −2 ∪ x > 2 หรือ x >2 มีผลบวก =
x −x
2
2 sin x
31. −∞ < x < ∞ มีผลบวก =
2 + sin x
4 2p
32. หนวย
2 −1
33. 6 นิ้ว
2π
34. นิ้ว
2 −1
35. (0.8 , 0.4)
โดย รองศาสตราจารย ดร. ธีระศักดิ์ อุรัจนานนท