1. 1
อสมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่กล่าวถึงความสัมพันธ์ของจานวน โดยมีสัญลักษณ์ น้อยกว่า( < ) มากกว่า
( > ) น้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤) มากกว่าหรือเท่ากับ (≥) และ ไม่เท่ากับ (≠)
เช่น 1<2<3 ความหมายคือ 1 < 2 และ 2 < 3
ℝ+ เป็นส่วนหนึ่งของ ℝ ดังนั้นจึงมีสมบัติที่เกี่ยวข้องคือ สมบัติจานวนจริงข้อที่ 11 , 12 ,13
นิยาม a < b คือ b − a ∈ ℝ+
a > b คือ a − b ∈ ℝ+
สมบัติไตรวิภาค
ถ้า a และ b เป็นจานวนจริง ลักษณะของ a และ b จะเป็นจริงเพียงข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้
1. a = b ก็ต่อเมื่อ a – b =0
2. a < b ก็ต่อเมื่อ b – a ∈ ℝ+
3. a > b ก็ต่อเมื่อ a – b ∈ ℝ+
สมบัติการไม่เท่ากัน
1. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c
2. สมบัติการบวกด้วยจานวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a+c > b+c
3. สมบัติการคูณด้วยจานวนที่เท่ากัน ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc
ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc
4. สมบัติการตัดออกสาหรับการบวก ถ้า a+c > b+c แล้ว a > b
5. สมบัติการตัดออกสาหรับการคูณ ถ้า ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b
ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b

2. 2
ตัวอย่างที่ 1. ให้ −5 ≤ x ≤ −2 และ −4 ≤ y ≤ 3 จงหา x + y2 , x−y
วิธีทา จาก −5 ≤ x ≤ −2
จะได้ x ≥ −5 และ x ≤ −2 ... (1)
จาก −4 ≤ y ≤ 3 จะได้ 9 ≤ y2 ≤ 16
นั่นคือ y2 ≥ 9 และ y 2 ≤ 16 ... (2)
จาก −4 ≤ y ≤ 3 จะได้ −3 ≤ −y ≤ 4
นั่นคือ −y ≥ −3 และ −y ≤ 4 ... (3)
(1) + (2) ; 4 ≤ x + y 2 ≤ 14
(1) + (3) ; −8 ≤ x − y ≤ 2
(a+b)2
ตัวอย่างที่ 2. ถ้า a > 0 และ b > 0 แล้วจงแสดงว่า 2
> ab
(a+b)2 (a+b)2
วิธีทา [ในการตรวจสอบว่า 2
> ab หรือไม่ เราต้องตรวจสอบว่า
2
− ab > 0 ซึ่งเป็น
จานวนจริงบวก]
(a+b)2 a 2 +2ab +b 2 −2ab a 2 +b 2
เนื่องจาก 2
− ab =
2
=
2
a 2 +b 2
เนื่องจาก a > 0 และ b > 0 นั่นคือ a และ b เป็นจานวนจริงบวก ดังนั้น 2
>0ซึ่งเป็นจานวนจริงบวก
a 2 +b 2
นั่นคือ 2
− ab>0 ซึ่งเป็นจานวนจริงบวก
(a+b)2
ดังนั้น 2
> ab

3. 3
ช่วงและเส้นจานวน (Interval and Number Line)
เนื่องจากจานวนจริงเป็นเซตอนันต์ (เซตที่หาค่าสิ้นสุดไม่ได้) ดังนั้นอาจจะมีบางสับเซตของจานวน
จริงเป็นเซตอนันต์ด้วย ซึ่งในบางครั้งเราไม่สามารถที่จะเขียนในรูปแจกแจงสมาชิกได้ นักคณิตศาสตร์จึงได้
กาหนดสัญลักษณ์ แทนสับเซตเหล่านั้น ซึ่งเรียกสัญลักษณ์นี้ว่า ช่วงของจานวนจริง
ช่วงของจานวนจริง แบ่งออกเป็น 2 แบบ คือ ช่วงจากัด (finite interval) และ ช่วงอนันต์
(infinite interval) ดังนี้
1. ช่วงจากัด
1.1) a, b = x a < x < b
a b
1.2) a, b = x a ≤ x ≤ b
a b
1.3) a, b = x a < x ≤ b
a b
1.4) a, b = x a ≤ x < b
a b
2. ช่วงอนันต์
2.1) a, ∞ = x x > a a
2.2) a, ∞ = x x ≥ a
a
2.3) −∞, a = x x < a
a
2.4) −∞, a = x x ≤ a
a
2.5) −∞, ∞ = x x ∈ R

4. 4
ตัวอย่างที่ 3. ให้ A = x −1 < x ≤ 5 และ B = xx>2 จงหาเซตคาตอบของ
A ∪ B , A ∩ B′ , A − B
วิธีทา หา A ∪ B
-1 2 5
ดังนั้น A ∪ B = x x ≥ −1 = [−1, ∞)
หา A ∩ B′
-1 2 5
ดังนั้น A ∩ B ′ = x −1 ≤ x ≤ 2 = [−1,2]
หา A − B
-1 2 5
ดังนั้น A − B= x −1 ≤ x ≤ 2 = [−1,2]
การแก้อสมการ(Solving Inequality)
1. การแก้อสมการเชิงเส้น(กาลังหนึ่ง)
ตัวอย่างที่ 4. จงหาเซตคาตอบอสมการของ 3x − 2 ≥ 1 − 2x
วิธีทา จาก 3x − 2 ≥ 1 − 2x
3x + 2x ≥ 1 + 2

5. 5
5x ≥ 3
3
x≥5
3 3
ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการคือ x x ≥ 5 = [5 , ∞)
2. การแก้อสมการกาลังสอง
หลักเกณฑ์ในการแก้อสมการกาลังสองโดยทั่วไป มีดังนี้
 ทาอสมการให้อยู่ในรูปขวามือ เท่ากับ 0
 ซ้ายมือของอสมการต้องอยู่ในรูปตัวประกอบกาลังหนึ่ง โดยสัมประสิทธิ์หน้าตัวแปรต้องเป็นบวกเสมอ
 จานวนที่เกี่ยวข้องกับคาตอบของอสมการ(ค่าวิกฤต) คือ ค่า x ที่ทาให้แต่ละตัวประกอบเป็น 0 นาค่า x
มากาหนดจุดบนเส้นจานวน และใส่เครื่องหมายช่องขวามือสุดเป็น + ถัดมาเป็น – และใส่สลับกันเรื่อยๆ
+ - + - +
x1 x2 x3 x4
ถ้า อสมการ เป็นเครื่องหมาย ≥, > ให้ตอบที่ช่อง บวก (+)
ถ้า อสมการ เป็นเครื่องหมาย ≤, < ให้ตอบที่ช่อง ลบ ( - )
 สาหรับอสมการตรรกยะ คืออสมการที่อยู่ในรูปเศษส่วนโดยมีพจน์หรือตัวแปรว่ามีค่า + , - , 0 เมื่อใด
ดังนั้น เราจะไม่ใช้วิธีการคูณทแยง แต่เราจะแก้อสมการโดยใช้ 2 วิธีนี้(เลือกว่าจะใช้วิธีไหน)คือ
1. การใช้วิธีของช่วง คือต้องให้ความสาคัญของตัวส่วนที่ไม่ทราบค่า ต้องไม่เป็น 0
2. กรณีตัวส่วนเป็นตัวแปรกาลังหนึ่งจะนาตัวส่วนมายกกาลังสอง แล้วคูณทั้งอสมการ (จะทาให้เรา
ตัดพจน์ที่เป็นตัวส่วนไปได้) แต่ถ้าตัวส่วนเป็นตัวแปรที่มีดีกรีมากกว่า 1 ให้นักเรียนพิจารณาว่าพจน์ของตัว
ส่วนนั้นมีค่าเป็นบวกหรือไม่ ถ้ามีค่าเป็นบวกให้นักเรียนตัดพจน์นั้นได้เลย
 สาหรับอสมการอตรรกยะ คือ อสมการที่อยู่ในรูปกรณ์( ) โดยที่มีพจน์ที่ไม่ทราบค่า เราสามารถ
แก้อสมการอตรรกยะได้โดยขั้นแรก ต้องพิจารณาเงื่อนไขที่อยู่ภายในรูปกรณ์( ) ให้มากกว่าหรือ
เท่ากับศูนย์ หลังจากนั้น ยกกาลังด้วย n เพื่อให้อสมการไม่อยู่ในรูปกรณ์( ) เมื่อ n ∈ I +

6. 6
ตัวอย่างที่ 5. จงหาเซตคาตอบของอสมการ x2 − 2x − 3 ≤ 0
วิธีทา จาก x 2 − 2x − 3 ≤ 0
x − 3 (x + 1) ≤ 0 + - +
ค่าวิกฤตคือ -1 , 3 -1 3
ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการ คือ x −1 ≤ x ≤ 3 = [−1,3]
1 1
ตัวอย่างที่ 6. จงหาเซตคาตอบของอสมการของ <
x 2
1 1
วิธีทา จาก <
x 2
1 1
− <0
x 2
2−x
<0
2x
2−x (2x)2 + - +
< 0 ∙ (2x)2
2x
0 2
(2 – x)(2x) < 0
(x – 2)(2x) > 0
ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการ คือ x x < 0 หรือ x > 2 = −∞, 0 ∪ (2, ∞)
1
ตัวอย่างที่ 7. จงหาเซตคาตอบของอสมการ > x+1
x−1
วิธีทา พิจารณา x−1 ; x−1≥ 0 ∴x≥1
และ x+1 ; x+1 ≥0 ∴ x ≥ −1
1
จาก x−1
> x+1
1
กาลังสองทั้งสองข้าง จะได้ x−1
>x+1
1
−x−1>0
x−1
1−x 2 −x+x+1
>0
x−1
−x 2 +2
>0
x−1

7. 7
x 2 −2
<0 - + - +
x−1
x 2 −( 2)2 − 2 1 2
<0
x−1
x− 2 (x+ 2)
<0
x−1
เนื่องจากเงื่อนไข x ≥ 1 และ x ≥ −1 แต่ − 2 ไม่อยู่ในเงื่อนไข นั่นคือ − 2 ไม่ใช่คาตอบ
ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการคือ x 1 < x < 2 = (1, 2)
3. การแก้อสมการที่มีดีกรีมากกว่าสอง
2−3x x−1
ตัวอย่างที่ 8. ถ้า A เป็นเซตคาตอบของอสมการ x+1
≥ 0 , B เป็นเซตคาตอบของ
x 3 −5x 2 +x−5
≤0
จงหา A ∩ B
วิธีทา หา A
2−3x
จากอสมการ x+1
≥0
3x−2
≤0 -1
2
x+1 3
2 2
ดังนั้น A = x −1 < x ≤ 3 = (−1, 3]
หา B
x−1
จากอสมการ x 3 −5x 2 +x−5
≤0
x−1
≤0
x−5 (x 2 +1)
[ พยายามกาจัด (x2 + 1) โดยการพิจารณาว่า (x2 + 1) เป็นจานวนบวก เพื่อที่เราจะสามารถตัด (x2 + 1) ได้ ]
เนื่องจาก (x 2 + 1) ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ แต่ 1 > 0 และ x 2 ≥ 0
ดังนั้น x 2 + 1 > 0 ซึ่งเป็นจานวนบวก
x−1
นา (x2 + 1) คูณทั้งอสมการ x−5 (x 2 +1)
(x2 + 1) ≤ 0 ∙ (x2 + 1)
x−1
≤0 + - +
x−5
1 5

8. 8
ดังนั้น 𝐵 = 𝑥 1 ≤ 𝑥 < 5 = [1,5)
2
-1 3
1 5
นั่นคือ 𝐴∩ 𝐵 = 2
−1, 3 ∩ 1,5 = ∅
2𝑥−3 (𝑥 2 +1)
ตัวอย่างที่ 9. จงหาเซตคาตอบของอสมการ (𝑥 6 +8)
>0
วิธีทา เนื่องจาก 𝑥 2 + 1 > 0 และ 𝑥 6 + 8 > 0 ดังนั้น
𝑥 6 +8
นา 𝑥 2 +1
คูณตลอด จะได้ (2x – 3) > 0
3
∴ 𝑥> 3
2
2
3 3
ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการ คือ 𝑥 𝑥 > 2 = (2 , ∞)
ตัวอย่างที่ 10. จงหาเซตคาตอบของอสมการ (4x – 3)7(3x2 + 6 ≤0
วิธีทา เนื่องจาก (4x – 3)7(3x2 + 6 ≤ 0
(4x – 3) (4x – 3)6(3x2 + 6 ≤ 0
เนื่องจาก (4x – 3)6 > 0 และ 3x2 + 6 > 0 ดังนั้น
1
นา คูณตลอด จะได้ 4x – 3 ≤ 0
4𝑥−3 6 (3𝑥 2 +6) 3
3 4
∴ 𝑥≤
4
3 3
ดังนั้น เซตคาตอบของอสมการ คือ 𝑥 𝑥 ≤ 4 = (−∞, 4]
𝑥−5 5 𝑥 2 −1 (𝑥 2 −4)
ตัวอย่างที่ 11. จงหาคาตอบของอสมการ (𝑥+2)7
≥0
𝑥−5 5 𝑥 2 −1 (𝑥 2 −4)
วิธีทา จาก (𝑥+2)7
≥0
(𝑥−5)4 𝑥−5 𝑥−1 𝑥+1 𝑥−2 (𝑥+2)
≥0
(𝑥+2)6 (𝑥+2)

9. 9
จะเห็นว่าเราจะไม่ตัดทอน พจน์
เนื่องจาก (𝑥 − 5)4 > 0 และ (𝑥 + 2)6 > 0 ดังนั้น
ของ(𝑥 + 2) ที่มีทั้งเศษและ
(𝑥+2)6 𝑥−5 𝑥−1 𝑥+1 𝑥−2 (𝑥+2) ส่วน เนื่องจาก การที่มีพจน์เป็น
นา 4 คูณตลอดอสมการ จะได้ (𝑥+2)
≥0
(𝑥−5) ตัวแปรกาลังหนึ่ง เราต้องนาค่าที่
เป็นกาลังหนึ่งมาพิจารณา
- + - + - + ทั้งหมด ห้ามตัดทอนกัน 
-2 -1 1 2 5
ดังนั้น เซตคาตองของอสมการ คือ 𝑥 −2 < 𝑥 ≤ −1 หรือ 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 หรือ 𝑥 ≥ 5 =
−2, −1 ∪ 1,2 ∪ [5, ∞)
(𝑥−3)2
ตัวอย่างที่ 12. จงหาเซตคาตอบของอสมการ 𝑥 2 +4𝑥+5
>0
วิธีทา พิจารณา 𝑥 2 + 4𝑥 + 5 = (x + 2)2 - 4 + 5 = (x + 2)2 + 1 > 0 ดังนั้น
นา 𝑥 2 + 4𝑥 + 5 คูณตลอดอสมการ จะได้ (𝑥 − 3)2 > 0 ยกเว้นที่ x = 3 [ เพราะที่ x = 3 จะทาให้
(𝑥 − 3)2 = 0 ]
ดังนั้นคาตอบของอสมการคือ ℝ − 3
(3𝑥−5)2
ตัวอย่างที่ 13. จงหาเซตคาตอบของอสมการ ≤0
𝑥 2 +3
วิธีทา พิจารณา 𝑥 2 + 3 > 0 ดังนั้น
นา 𝑥 2 + 3 คูณตลอดอสมการ จะได้ (3𝑥 − 5)2 ≤ 0 ... (1)
แต่เมื่อพิจารณา (3𝑥 − 5)2 ≥ 0 ... (2) เสมอๆ ดังนั้นจากเงื่อนไขที่ (1) และ (2)
จะได้ (3𝑥 − 5)2 = 0
(3x – 5) (3x – 5) = 0
5
x=
3
5
ดังนั้นคาตอบของอสมการคือ
3
4x 2 +7
ตัวอย่างที่ 14. จงหาเซตคาตอบของอสมการ (2x 2 +3x+5)(2x 2 +3x+5)12 < 0
4x 2 +7
วิธีทา จาก (2x 2 +3x+5)13
<0

10. 10
4x 2 +7
<0
(2x 2 +3x+5)(2x 2 +3x+5)12
เนื่องจาก 4x2 + 7 > 0 และ (2x 2 + 3x + 5)12 > 0 ดังนั้น
1
นา (2x2 + 3x + 5)12 คูณตลอดอสมการ จะได้ (2x 2 +3x+5)
<0
1
[เนื่องจาก อสมการ < 0 แสดงว่ามีค่าเป็นลบ แต่ 1 > 0 ดังนั้นเราต้องพิจารณา พจน์ของ
(2x 2 +3x+5)
2x 2 + 3x + 5 ว่าต้องเป็น ลบ เท่านั้น อสมการจึงจะเป็นจริง]
1
จาก <0
(2x 2 +3x+5)
1
3 5 <0
2(x 2 + x+ )
2 2
1
3 31 <0
2[(x+4 )2 +16 ]
3 2 31
จะเห็นว่า พจน์ของ 2 x + 4 +
16
> 0 เสมอแต่จากเงื่อนไขต้องเป็นเครื่องหมาย <
ดังนั้นคาตอบของอสมการคือ ∅
สรุปหลักสาคัญๆ
 การที่เราจะสามารถแก้อสมการได้ ต้องเป็นเฉพาะอสมการที่มีพจน์ตัวแปรมีดีกรีหนึ่งเท่านั้น
ถ้าเป็นตัวแปรมีดีกรีสองเราต้องพิจารณาต่อไปว่าสามารถแยกตัวประกอบได้หรือไม่ เพราะถ้าแยกได้ จะ
ได้ตัวแปรมีดีกรีหนึ่งที่เราสามารถหาค่าได้ แต่ถ้าไม่สามารถแยกได้ให้นักเรียนพิจารณาว่าตัวแปรดีกรีสอง
นั้นเป็นบวกหรือไม่ เพราะถ้าเป็นบวก เราจะตัดพจน์นั้นทิ้งไปได้ไม่ต้องคิดค่า
กรณีเป็นอสมการที่มีดีกรีมากกว่าสอง เราต้องพิจารณาก่อนว่าตัวแปรมีดีกรีเป็นจานวนคี่หรือว่าจานวนคู่
เพราะถ้าตัวแปรมีดีกรีเป็นจานวนคู่เราจะตัดออกไปได้ไม่ต้องนาพจน์ที่เป็นเลขคู่นั้นมาคิด(เพราะตัวแปรที่มี
ดีกรีเป็นจานวนคู่จะมีค่าเป็นบวกเสมอ )แต่ถ้าดีกรีของตัวแปรเป็นจานวนคี่ เราต้องแยกให้ได้เป็นรูปของตัว
แปรดีกรีหนึ่งคูณกับตัวแปรที่มีดีกรีเป็นจานวนคู่ แล้วตัดตัวแปรพจน์ที่มีดีกรีเป็นจานวนคู่นั้นไป แล้ว
พิจารณาพจน์ตัวแปรที่เป็นกาลังหนึ่ง