1. โจทย์ปัญหาอสมการ
การสร้างประโยคสัญลักษณ์
ค33101 คณิ ตศาสตร์พ้ืนฐาน
ช่วงชั้นที่ 3 ชั้นมัธยมศึกษาปี ที่ 3

2. การแก้โจทย์ปัญหาของอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวมีข้นตอน
ั
่
1. วิเคราะห์วาโจทย์กาหนดสิ่ งใด และต้องการทราบอะไร
2. สมมุติตวแปรแทนสิ่ งที่โจทย์ตองการ หรื อที่เกี่ยวข้องกับสิ่ งที่
ั ้
โจทย์ตองการหา
้
3. เปลี่ยนประโยคภาษาของอสมการเป็ นประโยคสัญลักษณ์
4. แก้อสมการ
5. ตรวจสอบคาตอบ
ให้นกเรี ยนพิจารณาศึกษาขั้นที่ 1 2 และ 3 ซึ่งเป็ นขั้นสาคัญ
ั

3. ในขันตอนที่ 1 นักเรี ยนต้ องอ่ านโจทย์ ปัญหา และวิเคราะห์
้
1.1 โจทย์เป็ นเรื่ องเกี่ยวกับอะไร
1.2 โจทย์กาหนดอะไรมาให้ หรื อโจทย์ให้ขอมูลอะไรมา
้
1.3 โจทย์ตองการทราบอะไร
้

4. ตัวอย่างที่ 1) นายเชิดมีรายได้เพิ่มจากเดิมเดือนละ 1,200 บาท แต่ยงน้อยกว่านายยิง
ั ่
ซึ่ งมีรายได้เดือนละ 45,000 บาท จงหาว่านายเชิดมีรายได้อยูเ่ ดิมมากสุ ดเดือนละ
เท่าไร
ขันที่ 1 เป็ นเรื่ องเงิน รายได้นายเชิดเพิมจากเดิมเดือนละ1,200 แต่นอยกว่านายยิงรายได้ต่อ
้ ่ ้ ่
เดือนละ 45,000 บาท ต้องการหารายได้เดิมของนายเชิดมากสุ ดเดือนละเท่าไร
ขันที่ 2 สมมุติให้นายเชิดเดิมมีรายได้เดือนละ x บาท
้
ขั้นที่ 3 จากนายเชิดมีรายได้เพิมจากเดิมเดือนละ 1,200 บาท แต่ยงน้อยกว่านายยิงซึ่ งมี
่ ั ่
รายได้เดือนละ 45,000 บาท
จะได้อสมการ x + 1,200 < 45,000
ขันที่ 4 แก้อสมการ;
้ x < 45,000 – 1,200

5. จะได้อสมการ x + 1,200 < 45,000
ขันที่ 4 แก้อสมการ;
้ x < 45,000 – 1,200
x < 43,800
x มีค่ามากสุ ดได้ 43,799
ตอบ นายเชิดเดิมมีรายได้มากสุ ดเดือนละ 43,799 บาท
ขันที่ 5 ตรวจคาตอบ
้ แทนค่า x = 43,799; ใน x + 1,200 < 45,000
43,799 + 1,200 < 45,000
44,999 < 45,000 จริ ง

6. ตัวอย่างที่ 2) จงหาจานวนเต็มที่เป็ นเลขคี่จานวนแรก เมื่อทั้งสามจานวน
เรี ยงกัน ซึ่งมีผลบวกที่มากกว่า 51
แนวคิด ขันที่ 1 ( 1.1) เป็ นเรื่ อง จานวนเต็มที่เป็ นเลขคี่ เช่ น 7 , 9, 11
้
- เมื่อจานวนเต็มเลขคี่ในชุดนีเ้ ลขตัวน้ อยที่สุดเป็ น 7
- จานวนเต็มเลขคี่ในชุดนีที่เรี ยงต่ อกันอีกเป็ น 9, 11 เทียบได้ 7+2 และ 7+4
้
(1.2) โจทย์ กาหนด จานวนเต็มที่เป็ นเลขคี่เมื่อทั้งสามจานวนเรี ยงกัน
ซึ่งมีผลบวกที่มากกว่า 51
(1.3) โจทย์ ต้องการทราบ จงหาจานวนเต็มที่เป็ นเลขคี่จานวนแรก เมื่อทั้ง
สามจานวนเรี ยงกัน จึงต้องสมมุติให้จานวน
เต็มเลขคี่จานวนน้อยเป็ น x

7. ตัวอย่างที่ 2) จงหาจานวนเต็มที่เป็ นเลขคี่จานวนแรก เมื่อทั้งสามจานวนเรี ยง
กันซึ่งมีผลบวกที่มากกว่า 51
ขันที่ 2 สมมุติตัวแปรแทนสิ่ งที่โจทย์ ต้องการ
้
วิธีทา สมมุติให้จานวนเต็มเลขคี่จานวนแรกเป็ น x
จานวนเต็มเลขคี่สามจานวนที่เรี ยงกันคือ x, x + 2, x + 4
ขันที่ 3 เปลี่ยนประโยคภาษาของอสมการเป็ นประโยคสั ญลักษณ์
้
เนื่องจากจานวนเต็มเลขคี่สามจานวนที่เรี ยงกันซึ่งมีผลบวกที่มากกว่า 51
สร้างอสมการได้ x + ( x + 2) + ( x + 4) > 51

8. ขันที่ 4 การแก้ อสมการ
้
x+ x+2+ x+4 >
51
3x + 6 >
51
3x >
51 – 6
x >
45
3
x > 15
ตอบ x เป็ นจานวนเต็มคี่จานวนแรกคือ 17
ขันที่ 5 ตรวจคาตอบ แทนค่า x = 17; ใน x + ( x + 2) + ( x + 4) > 51
้
จานวนเต็มคี่สามจานวนเรี ยงกัน คือ 17, 19, 21
จานวนเต็มเลขคี่สามจานวนที่เรี ยงกันซึ่ งมีผลบวกที่มากกว่า 51
17 + 19 + 21 มากกว่า 51
57 มากกว่า 51 จริ ง

9. ตัวอย่างที่3) แผ่นไม้อดรู ปสี่ เหลี่ยมมุมฉากมีดานยาวยาวกว่าด้านกว้างอยู่ 7
ั ้
เซนติเมตร ถ้าวัดความยาวรอบของแผ่นไม้น้ ีได้ไม่ถึง 50 เซนติเมตร จงหาด้านกว้าง
มีขนาดอย่างมากกี่เซนติเมตร
แนวคิด ขันที่ 1 เรื่ องรู ปสี่ เหลี่ยมผืนผ้า การวัดความยาวรอบรอบรู ป
้ โจทย์ให้
ด้านยาวยาวกว่าด้านกว้าง 7 เซนติเมตร วัดความยาวรอบของแผ่นไม้ได้ไม่ถึง 50
เซนติเมตร ต้องการหาขนาดของด้านกว้าง
วิธีทา ขันที่ 2 สมมุติให้ไม้อดมีดานกว้าง x เซนติเมตร
้ ั ้
จากด้านยาวยาวกว่าด้านกว้างอยู่ 7 เซนติเมตร
ได้ดานยาวยาว x + 7 เซนติเมตร
้
x+7
ความยาวรอบได้ x + (x+7) + x + (x+7)
x x
x+7

10. ขันที่ 3 วัดความยาวรอบของแผ่นไม้น้ ีได้ไม่ถึง 50 เซนติเมตร
้
จะได้อสมการ x + (x+7) + x + (x+7) < 50
ขันที่ 4 การแก้ อสมการ x+x+7+x+x+7 < 50
้
4x + 14 < 50
4x < 50 – 14
x < 36
4
x < 9
x มีค่าเป็ น 8, 7 , 6 , 5 ,...
ตอบ ด้านกว้างมีขนาดอย่ างมาก 8 เซนติเมตร
ขันที่ 5 ตรวจคาตอบ
้ แทนค่า x = 8; x + (x+7) + x + (x+7) < 50
8 + (8 + 7) + 8 + (8 + 7) < 50
46 < 50 จริ ง

11. ตัวอย่างที่ 4 พ่อค้าซื้ อส้มโอขนาดผลใหญ่และผลเล็กรวมกัน 1,500 ผล
เป็ นเงิน 16,500 บาท นามาขายปลีกขายผลใหญ่ผลละ 12 บาท ผลเล็กขายผลละ 10 บาท
ขายส้มหมดได้กาไร มากกว่า 800 บาท พ่อค้าซื้ อส้มขนาดผลใหญ่มาจานวนเท่าใด
วิธีทา สมมติให้ซ้ื อส้มผลใหญ่มาจานวน x ผล
จากโจทย์ ซื้ อส้มผลใหญ่และผลเล็กรวมกัน 1,500 ผล
ดังนั้นซื้ อส้มผลเล็กมาจานวน 1,500 – x ผล
จากขายผลใหญ่ผลละ 12 บาท
ดังนั้นขายส้มผลใหญ่ x ผล ขายได้เงิน 12x บาท
จากขายส้มผลเล็กผลละ 10 บาท
ดังนั้น ขายส้มผลเล็ก 1,500 – x ผล ขายได้เงิน 10(1,500 – x ) บาท
ขายส้มได้เงินทั้งหมด 12x + 10(1,500 – x ) บาท

12. (โดยปกติ ราคาขาย – ทุน เท่ากับ กาไร)
ขายส้มหมดได้กาไร มากกว่า 800 บาท
ราคาขาย – ทุน มากกว่า กาไร 800 บาท
ดังนั้น {12x + 10(1500 – x )} – 16500 > 800
12x + 15000 – 10x – 16500 > 800
12x – 10 x > 800 – 15000 +16500
2x > 2300
x > 2300
2
x > 1150
ตอบ จะต้องซื้ อส้มผลใหญ่จานวนมากกว่า 1150 ผล
หรื อ จะต้องซื้ อส้มผลใหญ่อย่างน้อย 1151 ผล

13. ตัวอย่าที่ 5 สามเท่าของผลบวกของจานวนเต็มจานวนหนึ่ งกับ 5
มีค่ามากกว่าจานวนๆนั้นหักออกเจ็ด จานวนเต็มจานวนนั้นคืออะไร
วิธีทา สมมติให้ จานวนจานวนนั้นเป็ น x
จากโจทย์ สามเท่าของผลบวกของจานวนเต็มจานวนหนึ่ งกับ 5
มีค่ามากกว่าจานวนๆนั้นหักออกเจ็ด
ได้อสมการ 3(x + 5 ) > x – 7
3x + 15 > x – 7
3x – x > – 7 – 15
2x > – 22
x > – 22
2
x > – 11
ตอบ จานวนทุกจานวนที่มากกว่า – 11

14. ตัวอย่างที่ 6 ผลบวกของจานวนเต็มสองจานวนเท่ากับ 32
และผลต่างของจานวนทั้งสองมากกว่า 24 จงหาจานวนที่มากเป็ นจานวนเท่าใดได้บาง
้
วิธีทา สมมติให้ จานวนมากเป็ น x
จากโจทย์ ผลบวกของจานวนเต็มสองจานวนเท่ากับ 32 ได้จานวนน้อยเป็ น 32 – x
จากโจทย์ ผลต่างของจานวนทั้งสองมากกว่า 24
ได้ x – (32 – x) > 24
x – 32 + x > 24
2x > 24 + 32
x > 56
2
x > 28
จานวนเต็มที่มากกว่า 28 แต่ตองไม่มากกว่า 32
้

15. ตัวอย่างที่ 7 สมรซื้ อเสื้ อ 4 ตัว กางเกง 3 ตัว ราคารวมกันเป็ นเงินน้อยกว่า 1,510 บาท
ถ้ากางเกงมีราคามากกว่าสองเท่าของราคาเสื้ ออยู่ 10 บาท จงหาว่าสมรจะซื้ อเสื้ อ
และกางเกงที่ราคาสู งสุ ดได้เท่าไร
วิธีทา สมมติให้ ซื้ อเสื้ อราคาตัวละ x บาท
ซื้ อเสื้ อ 4 ตัว เป็ นเงิน 4x บาท
จาก กางเกงมีราคามากกว่าสองเท่าของราคาเสื้ ออยู่ 10 บาท
ดังนั้น กางเกงราคาตัวละ 2x + 10 บาท
ซื้ อ กางเกง 3 ตัว เป็ นเงิน 3(2x + 10) บาท
สมรซื้ อเสื้ อ 4 ตัว กางเกง 3 ตัว ราคารวมกันเป็ นเงินน้อยกว่า 1,510 บาท
ได้อสมการ; 4x + 3(2x + 10) < 1510

16. 4x + 3(2x + 10) < 1510
4x + 6x + 30 < 1510
10x < 1510 – 30
x < 1480
10
x < 148
ซื้ อเสื้ อราคาสู งสุ ดไม่ถึง 148 บาท
ซื้ อกางแกงราคาสู งสุ ด 2(148) + 10 = 296 + 10 = 306 บาท

17. ตัวอย่างที่ 8 รู ปสามเหลี่ยมหน้าจัวรู ปหนึ่ งมีฐานยาว 15 เซนติเมตร
่
มีเส้นรอบรู ปยาวไม่เกิน 41 เซนติเมตร จงหาด้านประกอบมุมยอดยาวเท่าไร
วิธีทา สมมติให้ x แทนความยาวด้านประกอบมุมยอด
ด้านประกกอบมุมยอด สองด้านยาว 2x เซนติเมตร
จาก มีเส้นรอบรู ปยาวไม่เกิน 41 เซนติเมตร
x x
15
ได้อสมการ; 2x + 15 < 41

18. 2x + 15 < 41
2x < 41 – 15
x < 26
2
x < 13
ตอบ ด้านประกอบมุมยอดยาวน้อยกว่า 13 เซนติเมตร

19. ตัวอย่างที่ 9 ่
มีเหรี ยญสิ บบาทอยูจานวนหนึ่ ง มีเหรี ยญห้าบาทน้อยกว่าเหรี ยญสิ บบาท
อยู่ 5 เหรี ยญ และมีเหรี ยญหนึ่งบาทเป็ นสองเท่าของเหรี ยญห้าบาท
รวมเงินทั้งหมดมากกว่า 305 บาท แต่นอยกว่า 390 บาท
้
จงหาว่ามีเหรี ยญสิ บบาทจานวนกี่เหรี ยญ
วิธีทา สมมติให้ มีเหรี ยญสิ บบาทจานวน x เหรี ยญ
ดังนั้นเหรี ยญสิ บบาท x เหรี ยญคิดเป็ นเงิน 10x บาท
มีเหรี ยญห้าบาทจานวน x – 5 เหรี ยญ
ดังนั้นเหรี ยญห้าบาท (x – 5 ) เหรี ยญคิดเป็ นเงิน 5(x – 5) บาท
มีเหรี ยญหนึ่งบาทจานวน 2(x – 5) เหรี ยญ
ดังนั้นเหรี ยญหนึ่งบาท 2(x – 5) เหรี ยญคิดเป็ นเงิน 2(x – 5) บาท
จากรวมเงินทั้งหมดมากกว่า 305 บาท แต่นอยกว่า 390 บาท
้
ได้อสมการ 305 < 10x + 5(x – 5) + 2(x – 5) < 390

20. 305 < 10x + 5(x – 5) + 2(x – 5) < 390
305 < 10x + 5x – 25 + 2x – 10 < 390
305 < 17x – 35 < 390
305 < 17x – 35 และ 17x – 35 < 390
305 + 35 < 17x และ 17x < 390 + 35
340 < x และ x < 425
17 17
20 < x และ x < 25
20 < x < 25
ตอบ มีเหรี ยญสิ บบาทมากกว่า 20 เหรี ยญ แต่ไม่ถึง 25 เหรี ยญ