1. เมทริกซ์
ในคณิตศาสตร์ เมทริกซ์ หรือ เมตริกซ์ (อังกฤษ: matrix) คือตารางสี่เหลี่ยมที่แต่ละช่องบรรจุ
จานวนหรือโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สามารถนามาบวกและคูณกับตัวเลขได้
เราสามารถใช้เมทริกซ์แทนระบบสมการเชิงเส้น การแปลงเชิงเส้น และใช้เก็บข้อมูลที่ขึ้นกับตัวแปรต้นสอง
ตัว เราสามารถบวก คูณ และแยกเมทริกซ์ออกเป็นผลคูณของเมทริกซ์ได้หลายรูปแบบ เมทริกซ์เป็น
แนวความคิดที่มีความสาคัญยิ่งของพีชคณิตเชิงเส้น โดยทฤษฎีเมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นที่
เน้นการศึกษาเมทริกซ์
ในบทความนี้ แต่ละช่องของเมทริกซ์จะบรรจุจานวนจริงหรือจานวนเชิงซ้อน หากไม่ได้ระบุเป็นอย่างอื่น
นิยาม
เมทริกซ์ คือกลุ่มของจานวนหรือสมาชิกของริงใดๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัส กล่าวคือ
เรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเป็นแถวในแนวตั้ง เรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและ
เขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ (ไม่ว่าจะเป็นวงเล็บโค้งหรือวงเล็บเหลี่ยม) เช่น
เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว เรียกแถวในแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก และเรียก
จานวนแต่ละจานวนเในเมทริกซ์ว่า สมาชิก ของเมทริกซ์ การกล่าวถึงสมาชิกของเมทริกซ์ จะต้องระบุ
ตาแหน่งให้ถูกต้อง เช่น จากตัวอย่างข้างบน
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 3 คือเลข 4
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2 หลักที่ 2 คือเลข 1
สมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 3 หลักที่ 1 คือเลข 5
เราเรียกเมทริกซ์ที่มี m แถว และ n หลัก เรียกว่า เมทริกซ์ เราเรียก
จานวน m และ n ว่า มิติ หรือ ขนาด ของเมทริกซ์
เราใช้สัญญลักษณ์ เพื่อหมายถึง เมทริกซ์ A ซึ่งมี m แถว และ n หลัก โดย
ที่ ai,j (หรือ aij) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ในตาแหน่ง แถว i และ หลัก j ของเมทริกซ์

2. การกระทาระหว่างเมทริกซ์
การบวก
ดูบทความหลักที่ การบวกเมทริกซ์
ให้ และ เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากันสองเมทริกซ์ เราสามารถ
นิยาม ผลรวม หรือ ผลบวก A + B ว่าเป็นเมทริกซ์ขนาด ที่คานวณโดยการบวกสมาชิกที่มี
ตาแหน่งตรงกัน กล่าวคือ หาก แล้ว ci,j = ai,j + bi,j ยกตัวอย่างเช่น
การบวกเมทริกซ์อีกแบบหนึ่งที่เป็นที่นิยมน้อยกว่าคือการบวกตรง
การคูณด้วยสเกลาร์
กาหนดเมทริกซ์ และจานวน c เราสามารถนิยาม ผลคูณสเกลาร์ cA ว่าเป็นเมทริกซ์
ขนาด ที่คานวณโดยการนา c ไปคูณสมาชิกแต่ละตัวของ A กล่าวคือ
หาก แล้ว bi,j = cai,j ยกตัวอย่างเช่น
จะเห็นว่า ปฏิบัติการทั้งสองข้างต้น (การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์) ช่วยให้เราสามารถมองเมทริกซ์
ขนาด ว่าเป็นเวกเตอร์ที่มีมิติ mn ด้วยเหตุนี้ เซตของเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากับจึงเป็นปริภูมิเวกเตอร์
ชนิดหนึ่ง

3. การคูณ
ถ้า และ เป็นเมทริกซ์สองเมทริกซ์โดยที่จานวนหลัก
ของ A เท่ากับจานวนแถวของ B แล้ว เราสามารถนิยาม ผลคูณ AB ว่าเป็นเมท
ริกซ์ โดยที่
กล่าวคือสมาชิกในแถว i หลัก j ของผลคูณ AB คานวณได้จากการนาสมาชิกของหลัก i ของ A และสมาชิก
ของคอลัมน์ B ในตาแหน่ง "เดียวกัน" มาคูณกัน แล้วนาผลคูณทั้ง n ผลคูณนั้นมาบวกกัน
ปฏิบัติการนี้อาจทาให้เข้าใจได้ง่ายขึ้นถ้ามองเมทริกซ์เป็นเวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถ้าเรา
ให้ เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในแถว i ของ A และ
ให้ เป็นเวกเตอร์ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิกในหลัก j ของ B แล้ว เราจะได้
ว่า เมื่อ คือผลคูณจุดของ ai และ bj เช่น
ให้ และ
แล้ว และ
การคูณเมทริกซ์มีสมบัติต่อไปนี้
 สมบัติการเปลี่ยนหมู่: (AB)C = A(BC) สาหรับเมทริกซ์ A ขนาด , B ขนาด ,
และ C ขนาด ใดๆ ("สมบัติการเปลี่ยนหมู่")
 สมบัติการแจกแจงทางขวา: (A + B)C = AC + BC สาหรับเมท
ริกซ์ A และ B ขนาด และ C ขนาด ใดๆ
 สมบัติการแจกแจงทางซ้าย: C(A + B) = CA + CB สาหรับเมท
ริกซ์ A และ B ขนาด และ C ขนาด ใดๆ
คาเตือน: การคูณเมทริกซ์นั้นไม่เหมือนกับการคูณจานวนโดยทั่วไป เนื่องจากมันไม่มีสมบัติสลับที่ กล่าวคือ
สาหรับเมทริกซ์ A ขนาด และ Bขนาด ใดๆ

4.  ถ้า แล้ว ผลคูณ BA ไม่มีนิยาม
 แม้ m = p แต่ถ้า แล้ว AB เป็นเมทริกซ์ขนาด ส่วน BA เป็นเมทริกซ์
ขนาด ผลคูณทั้งสองจึงมีค่าไม่เท่ากันอย่างเห็นได้ชัด
 แม้ m = n = p แต่ส่วนมากแล้ว AB มักจะมีค่าไม่เท่ากับ BA ยกตัวอย่างเช่น
เรากล่าวว่าเมทริกซ์ A แอนติคอมมิวต์ (anticommute) กับเมทริกซ์ B ถ้า AB = − BA เมทริกซ์ที่แอนติคอม
มิวต์ซึ่งกันและกันมีความสาคัญมากในการเป็นตัวแทนของพีชคณิตลีและพีชคณิตคลิฟฟอร์ด
ข้อสังเกตุ i = แถว หรือ row และ j = แถวตั้ง หรือ column
การสลับเปลี่ยน
ดูบทความหลักที่ เมทริกซ์สลับเปลี่ยน
เมทริกซ์สลับเปลี่ยนคือเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิก จากแถวเป็นหลัก และจากหลักเป็นแถว ของเมท
ริกซ์ต้นแบบ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของของเมทริกซ์ A ขนาด m×n คือ AT ขนาด n×m ( หรือเขียนอยู่ใน
รูปแบบ Atr, หรือ tA, หรือ A' ) ซึ่ง AT[ i, j ] = A[ j, i ] ยกตัวอย่างเช่น
เมทริกซ์จัตุรัส
เมทริกซ์จัตุรัส คือเมทริกซ์ที่มีขนาดแถวและหลักเท่ากัน โดยเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์
ขนาด n × n ยกเว้น n= 1
เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ เมทริกซ์หน่วย In ขนาด n คือเมทริกซ์ขนาด n × n ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยง
มุมเป็น 1 ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่
เหลือเป็น 0 ทั้งหมด มีคุณสมบัติ MIn = M และ InN = N สาหรับทุกๆเมทริกซ์M ขนาด m × nและเมท
ริกซ์ N ขนาด n × k เช่นเมื่อ n = 3:

5. เมทริกซ์ที่มีลักษณะพิเศษ
 เมทริกซ์สมมาตร คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ตัวเอง
นั่นก็คือ หรือ ai,j = aj,i สาหรับทุกดัชนีที่ i และ j
 เมทริกซ์สมมาตรเสมือน คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่เมื่อสลับเปลี่ยน (transpose) แล้วจะได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์
ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม นั่นคือ หรือ ai,j = − aj,iสาหรับทุกดัชนีที่ i
และ j
 เมทริกซ์เอร์มีเชียนคือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกเป็นจานวนเชิงซ้อน และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค
(conjugate transpose) ของเมทริกซ์นั้นเท่ากับตัวเดิม นั่นหมายความว่าสมาชิกในแถวที่ i หลักที่ j กับ
สมาชิกในแถวที่ j หลักที่ i จะต้องเป็นสังยุคซึ่งกันและกัน ดังนี้ หรือเขียนแทนด้วยการ
สลับเปลี่ยนสังยุคของเมทริกซ์ จะได้ว่า
 เมทริกซ์โทพลิทซ์ คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกัน และแนวขนาน
เส้นทแยงมุมหลักเป็นค่าเดียวกันในแต่ละแนว นั่นคือ

6. แบบฝึกหัด
จากข้อ1-4จงแปลงระบบสมการต่อไปนี้ให้อยู่ในรูประบบสมการสามเหลี่ยมบน
1. 2 x +4 x -6 x = -4
1 2 3
x1 +5 x 2 +3 x 3 =10
x1 +3 x 2 +2 x 3 = 5
วิธีทา จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐาน
2 4 6 4 
 
1 5 3 10   r2  r2  1
r
2 1
1 3 2 5   r3  r3  1
r
  2 1
ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2และ3
1
2 4 6 4 
 
0 3 6 12 
0 1 5 7   r3  r3  1
r
  3 1
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3
2
2 4 6 4 
 
0 3 6 12 
0 0 3 3 
 
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
2 x +4 x -6 x = -4
1 2 3
3 x +6 x =12
2 3
3x = 3
3

7. 2. x1 + x 2 +6 x 3 = 7
- x +2 x +9 x = 2
1 2 3
x1 -2 x +3 x =10
2 3
วิธีทา จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐาน
1 1 6 7
 
1 2 9 2   r2  r2  1r1
1 2 3 10   r3  r3  1r1
 
ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2และ3
1
1 1 6 7
 
0 3 15 9 
0 3  3 3   r3  r3  (  1) r1
 
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3
2
1 1 6 7
 
0 3 15 9 
0 0 12 12 
 
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
x1 + x 2 + 6x = 7
3
3 x +15 x = 9
2 3
12 x =12
3

8. 3. 2 x -2 x +5 x = 6
1 2 3
2 x +3 x + 1 2
x 3 = 13
- x +4 x -4 x = 3
1 2 3
วิธีทา จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐาน
 2 2 5 6
 
 2 3 1 13   r2  r2  1r1
1 4  4 3   r3  r3  1 2 r1
 
ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2และ3
1
2 2 5 6
 
0 5 4 7 
0 3  1.5 6   r3  r3  3
r
  5 1
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3
2
2 2 56 
 
0 5 4 7 
0 0 0.9 1.8 
 
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
2 x -2 x +5 x = 6
1 2 3
-4 x + 2
x3 = 7
0.9 x =1.8 3

9. 4. -5 x +2 x1 2 - x = -1
3
x1 +0 x 2 + 3 x 3 = 5
3x + 1
x 2 + 6 x 3 =17
วิธีทา จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐาน
 2 2 5 6
 
 2 3 1 13   r2  r2  1r1
1 4  4 3   r3  r3  1 2 r1
 
ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2และ3
1
5 2 1 1 
 
 0 0.4 2.8 4.8 
 0 2.2 5.4 16.4   r3  r3  2.2
r
  0.4 1
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3
2
5 2 1 1 
 
 0 0.4 2.8 4.8 
 0 0  10  10 
 
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
-5 x +2 x
1 2 - x = -1
3
0.4 x +2.8 x =4.8
2 3
-10 x =-10
3

10. 5. จงหาสมการพาราโบลา y  5  3x  2x
2
ที่ผ่านจุด(1,4), (2,7) และ(3,14)
ที่จุด(1,4) ได้สมการเป็น 4 = A+ B+ C
ที่จุด(2,7) ได้สมการเป็น 7 = A+2B+4C
ที่จุด(3,14) ได้สมการเป็น 14 = A+3B+9C
วิธีทา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
1 1 1 4
 
1 2 4 7   r2  r2  1r1
1 3 9 14   r3  r3  1r1
 
ขั้นที่1กาจัดตัวแปรAในแถวที่2และ3
1 1 1 4
 
0 1 3 3
0 2 8 10   r3  r3  2 r1
 
ขั้นที่2กาจัดตัวแปรBในแถวที่3
1 1 1 4
 
0 1 3 3
0 0 2 4
 
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
A+ B+ C= 4
B+3C= 3
2C= 4
ขั้นที่4ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
C=4/2=2
B=3-3x2=-3

11. A=4+3-2=5
 สมการพาราโบลาคือ y  5  3 x  2 x
2
6. จงหาสมการพาราโบลา y  A  Bx  Cx
2
ที่ผ่านจุด(1,6), (2,5) และ(3,2)
ที่จุด(1,4) ได้สมการเป็น 6 = A+ B+ C
ที่จุด(2,7) ได้สมการเป็น 5 = A+2B+4C
ที่จุด(3,14) ได้สมการเป็น 2 = A+3B+9C
วิธีทา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
1 1 1 6
 
1 2 4 5   r2  r2  1r1
1 3 9 2   r3  r3  1r1
 
ขั้นที่1กาจัดตัวแปรAในแถวที่2และ3
1 1 1 6 
 
0 1 3 1
0 2 8  4   r3  r3  2 r1
 
ขั้นที่2กาจัดตัวแปรBในแถวที่3
1 1 1 6 
 
0 1 3 1
0 0 2 2 
 
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
A+ B+ C= 6
B+3C= -1
2C= -2
ขั้นที่4ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย

12. C=-2/2=-1
B=-1-3x(-1)=2
A=6-2+1=5
 สมการพาราโบลาคือ y  5  2 x  x
2
7. จงหาสมการกาลัง3 y  A  Bx  C x  D x
2 3
ที่ผ่านจุด(0,0), (1,1) ), (2,2) และ(3,2)
ที่จุด(0,0) ได้สมการเป็น 0=A
ที่จุด(1,1) ได้สมการเป็น 1 = A+B+C+D
ที่จุด(2,2) ได้สมการเป็น 2 = A+2B+4C+8D
ที่จุด(3,2) ได้สมการเป็น 2 = A+3B+9C+27D
วิธีทา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
1 0 0 0 0
 
1 1 1 1 1  r2  r2  r1
1 2 4 8 2  r3  r3  r1
 
1
 3 9 27 2  r4  r4  r1

ขั้นที่1กาจัดตัวแปรAในแถวที่2,3และ4
1 0 0 0 0
 
0 1 1 1 1
0 2 4 8 2  r3  r3  2 r2
 
0
 3 9 27 2  r4  r4  3 r2

ขั้นที่2กาจัดตัวแปรBในแถวที่3และ4

13. 1 0 0 00 
 
0 1 1 1 1 
0 0 2 6 0 
 
0
 0 6 24  1  r4  r4  3 r3

ขั้นที่3กาจัดตัวแปรCในแถวที่4
1 0 0 0 0 
 
0 1 1 1 1 
0 0 2 6 0 
 
0
 0 0 6  1

ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
A+0B+0C+0D= 0
B+ C+ D= 1
2C+6D= 0
6D=-1
ขั้นที่4ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
D=-1/6=- 1
6
C=6x 1 /2= 1
6 2
B=1- 1 + 1 = 2
2 6 3
A=0
 สมการกาลัง3คือ y 
2 1 1
x x 
2 3
x
3 2 6

14. จากข้อ8-10จงหาระบบสมการสามเหลี่ยมบนพร้อมทั้งหาผลเฉลย
8. 4 x1 +8 x +4 x +0 x = 8
2 3 4
x1 +5 x 2 +4 x 3 -3 x = -4
4
x1 +4 x 2 +7 x 3 +2 x 4 =10
x1 +3 x 2 +0 x 3 -2 x = -4
4
วิธีทา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
4 8 4 0 8 
 
1 5 4  3  4  r2  r2  1
r
4 1
1 4 7 2 10  r3  r3  1
r
4 1
 
1
 3 0  2  4  r4  r4 

1
r
4 1
ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x1 ในแถวที่2,3และ4
4 8 4 0 8 
 
0 3 3 3 6 
0 2 6 2 8  r3  r3  2 3 r2
 
0
 1 1  2  6  r4  r4  1 3 r2

ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3และ4
2
4 8 4 0 8 
 
0 3 3 3 6 
0 0 4 4 12 
 
0
 0 2  1  4  r4  r4 

1
r
2 3
ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4
3
4 8 4 0 8 
 
0 3 3 3 6 
0 0 4 4 12 
 
0
 0 0 1 2  
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น

15. 4 x1 +8 x +4 x +0 x = 8
2 3 4
3 x +3 x -3 x = -6
2 3 4
4 x +4 x =12
3 4
x4 = 2
ขั้นที่4ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
x4 = 2
x 3 =(12-4x2)/4=1
x 2 =(-6-3x1+3x2)/3=-1
x1 =(8-8x(-1)-4x1)/4=3

16. 9. 2 x1 +4 x -4 x +0 x =12
2 3 4
x1 +5 x 2 - 5 x 3 - 3 x 4 =18
2 x +3 x +
1 2
x 3 +3 x 4 = 8
x1 +4 x 2 - 2 x 3 +2 x 4 = 8
วิธีทา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
2 4 4 0 12 
 
1 5 5  3 18  r2  r2  1 2 r1
2 3 1 3 8  r3  r3  r1
 
1
 4 2 2 8  r4  r4  1 2 r1

ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x1 ในแถวที่2,3และ4
2 4 4 0 12 
 
0 3 3  3 12 
0 1 5 3  4  r3  r3  1
3 r2
 
0
 2 0 2 2  r4  r4 

2
3 r2
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3และ4
2
2 4 4 0 12 
 
0 3 3  3 12 
0 0 4 2 0 
 
0
 0 2 4  6  r4  r4 

1
2 3 r
ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4
3
2 4 4 0 12 
 
0 3 3  3 12 
0 0 4 2 0 
 
0
 0 0 3 6 
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น

17. 2 x1 +4 x -4 x +0 x =12
2 3 4
3 x -3 x -3 x =12
2 3 4
4 x +2 x = 0
3 4
3 x =-6
4
ขั้นที่4ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
x 4 = -2
x 3 =(0-2x(-2))/4=1
x 2 =(12+3x1+3x(-2))/3=3
x1 =(12-4x3+4x1)/2=2

18. 10. x1 +2 x 2 +0 x 3 -1 x 4 = 9
2 x +3 x -
1 2
x 3 +0 x 4 = 9
0 x +4 x + 2 x -5 x =26
1 2 3 4
5 x +5 x + 2 x -4 x =32
1 2 3 4
วิธีทา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
1 2 0 1 9 
 
2 3 1 0 9  r2  r2  2 r1
0 4 2  5 26 
 
5
 5 2  4 32  r4  r4  5 r1

ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x1 ในแถวที่2และ4
1 2 0 1 9 
 
0 1 1 2 9 
0 4 2  5 26  r3  r3  4 r2
 
0
 5 2 1  13  r4  r4  5 r2

ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3และ4
2
1 2 0 1 9 
 
0 1 1 2 9 
0 0 2 3  10 
 
0
 0 7  9 32  r4  r4 

7
2 r3
ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4
3
1 2 0 1 9 
 
0 1 1 2 9 
0 0 2 3  10 
 
0
 0 0 1.5  3 

ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น

19. x1 +2 x 2 +0 x 3 - x 4 = 9
- x 2 - x 3 +2 x 4 = -9
-2 x +3 x =-10
3 4
1.5 x = -3
4
ขั้นที่4ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
x 4 = -2
x 3 =(10+3x(-2))/2=2
x 2 =9-2+2x(-2)=3
x1 =9-2x3-2=1

20. 11. จงหาผลเฉลยของระบบสมการต่อไปนี้
x1 + 2 x 2 =7
2 x +3 x -
1 2
x3 =9
4 x + 2 x +3 x =10
2 3 4
2 x - 4 x =12
3 4
วิธีทา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
1 2 0 0 7
 
2 3 1 0 9  r2  r2  2 r1
0 4 2 3 10 
 
0
 0 2  4 12 

ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x1 ในแถวที่2
1 2 0 0 7 
 
0 1 1 0 5
0 4 2 3 10  r3  r3  4 r2
 
0
 0 2  4 12 

ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3
2
1 2 0 0 7 
 
0 1 1 0 5 
0 0 2 3  10 
 
0
 0 2  4 12  r4  r4  r3

ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4
3

21. 1 2 0 0 7 
 
0 1 1 0 5 
0 0 2 3  10 
 
0
 0 0 1 2  
ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
x1 +2 x 2 +0 x 3 +0 x 4 = 7
- x 2 - x 3 +0 x 4 = -5
-2 x +3 x =-10
3 4
-x = 2
4
ขั้นที่4ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
x 4 = -2
x 3 =(10+3x(-2))/2=2
x 2 =5-2=3
x1 =7-2x3-2=1

22. 12. จงหาผลเฉลยของระบบสมการต่อไปนี้
x1 + x 2 =5
2 x -1 x + 5 x
1 2 3 = -9
3 x - 4 x +2 x =19
2 3 4
2 x +6 x = 2
3 4
วิธีทา จากระบบสมการข้างต้นจัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติมและใช้การดาเนินการตามแถวขั้นพื้นฐานได้โดย
1 1 0 0 5 
 
2 1 5 0  9  r2  r2  2 r1
0 3 4 2 19 
 
0
 0 2 6 2  
ขั้นที่1กาจัดตัวแปร x1 ในแถวที่2
1 1 0 0 5 
 
0 3 5 0  19 
0 3 4 2 19  r3  r3  r2
 
0
 0 2 6 2  
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3
2
1 1 0 0 5 
 
0 3 5 0  19 
0 0 1 2 0 
 
0
 0 2 6 2  r4  r4  2 r3

ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4
3
1 1 0 0 5 
 
0 3 5 0  19 
0 0 1 2 0 
 
0
 0 0 2 2  

23. ขั้นที่3เปลี่ยนกลับให้อยู่ในรูประบบสมการเชิงเส้น
x1 + x 2 +0 x 3 +0 x 4 = 5
-3 x +5 x +0 x = -19
2 3 4
x 3 +2 x 4 = 0
2x = 2
4
ขั้นที่4ใช้การแทนค่ากลับเพื่อหาผลเฉลย
x4 = 1
x 3 =-2
x 2 =(19-10)3=3
x1 =5-3=2

24. 13. บริษัทRockmoreกาลังตัดสืนใจเลือกซื้อคอมพิวเตอร์เครื่องใหม่ ระหว่างรุ่น DoGood 174 กับMightDo
11โดยพิจรณาจากการหาผลเฉลยของระบบสมการ
34x+55y-21=0
55x+89y-34=0
เมื่อDoGood 174คานวณได้เป็นx=-0.11 และy=0.45และเมื่อลองแทนค่ากลับเพื่อตรวจสอบจะได้ผลคือ
34(-0.11)+55(0.45)-21=0.01
55(-0.11)+89(0.45)-34=0.00
เมื่อMightDo 11คานวณได้เป็นx=-0.99 และy=1.01และเมื่อลองแทนค่ากลับเพื่อตรวจสอบจะได้ผลคือ
34(-0.99)+55(1.01)-21=0.89
55(-0.99)+89(1.01)-34=1.44
คอมพิวเตอร์รุ่นไหนให้ผลเฉลยที่ดีกว่ากัน เพาะอะไร
ในความเป็นจริงถ้าตรวจสอบผลเฉลยโดยการแทนค่ากลับ ผลลับธ์ที่ได้จะต้องเท่ากับ 0แต่ทั้ง2รุ่นกลับมี
ความคลาดเคลื่อนเกิดขึ้นทั้งคู่ โดยรุ่น DoGood 174มีความคลาดเคลื่อนเกิดขึ้นน้อยกว่าMighDo 11 ดังนั้น
ผลเฉลยจากรุ่นDoGoodจึงดีกว่า เพราะคลาดเคลื่อนน้อยกว่า
จงหาผลเฉลยของระบบสมการต่อไปนี้ด้วยการกาจัดตัวแปลของเกาซ์เซียนโดย(i)การหาตัวหลักบางส่วน
(ii)การหาตัวหลักบางส่วนแบบมาตรา (ใช้เลข4หลัก)
(a) 2 x - 3 x + 100 x =1
1 2 3 (b) x1 + 20 x 2 - x 3 +0.001 x 4 =0
x1 + 10 x 2 - 0.001 x 3 =0 2 x - 5 x + 30 x - 0.1 x =1
1 2 3 4
3 x -100 x + 0.01 x =0
1 2 3 5x +1
x 2 -100 x 3 - 10 x =0
4
2 x -100 x -
1 2
x3 + x 4 =0

25. (a/i)
ขั้นที่1จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
2 3 100 1
 
1 10  0.001 0  r1  r3
3  100 0.01 0 
 
ขั้นที่2สลับแถวที่1กับ3 เพราะหลักที่1ในแถวที่3มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าแถวที่1
3  100 0.01 0 
 
1 10  0.001 0  r2  r2  1
r
3 1
2 3 100 1  r3  r3  2
r
  3 1
ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2และ3ด้วยการแทนที่
1
3  100 0.01 0 
 
0 43.33 0.004 0  r2  r3
0 63.67 99.99 1 
 
ขั้นที่4สลับแถวที่2กับ3 เพราะหลักที่2ในแถวที่3มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าแถวที่2
3  100 0.01 0 
 
0 63.67 99.99 1 
0 43.33 0.004 0  r3  r3  0.681 r1
 
ขั้นที่5กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3ด้วยการแทนที่
2
3  100 0.01 0 
 
0 63.67 99.99 1 
0 0  68.09  0.681 
 
ขั้นที่6เปลี่ยนรูปกลับเป็นระบบสมการสามเหลี่ยมบน
3 x - 100 x + 100 x = 0
1 2 3
63.67 x +99.99 x = 1
2 3
-68.09 x =-0.681
3

26. ขั้นที่7ใช้การแทนค่ากลับจะได้ผลเฉลยคือ
x 3 =0.01
x 2 =0
x 3 =0
(a/ii)
ขั้นที่1จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
2 3 100 1
 
1 10  0.001 0  r1  r2
3  100 0.01 0 
 
ขั้นที่2สลับแถวที่1กับ2 เพราะหลักที่1ในแถวที่2มีค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนมากกว่าแถวที่ 1
1 10  0.001 0 
 
2 3 100 1  r2  r2  2 r1
3  100 0.01 0  r3  r3  3 r1
 
ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2และ3ด้วยการแทนที่
1
1 10  0.001 0 
 
0  23 100.0 1  r2  r3
0  130 0.013 0 
 
ขั้นที่4สลับแถวที่2กับ3 เพราะหลักที่2ในแถวที่3มีค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนมากกว่าแถวที่2
1 10  0.001 0 
 
0  130 0.013 0 
0  23 100 1  r3  r3  0.1769 r2
 
ขั้นที่5กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3 ด้วยการแทนที่
2

27. 1 10  0.001 0 
 
0  130 0.013 0 
0 100 1 
 
ขั้นที่6เปลี่ยนรูปกลับเป็นระบบสมการสามเหลี่ยมบน
x1 + 10 x 2 - 0.001 x 3 = 0
-130 x +0.013 x = 0
2 3
100 x =1
3
ขั้นที่7ใช้การแทนค่ากลับจะได้ผลเฉลยคือ
x 3 =0.01
x 2 =0
x 3 =0
(b/i)
ขั้นที่1จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
1 20 1 0.001 0 
 
2 5 30  0.1 1 
5 1  100  10 0  r1  r3
 
2
  100 1 1 0 
ขั้นที่2สลับแถวที่1กับ3 เพราะหลักที่1ในแถวที่3มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าแถวที่1
5 1  100  10 0 
 
2 5 30  0.1 1  r2  r2  0.4 r1
1 20 1 0.001 0  r3  r3  0.2 r1
 
2
  100 1 1 0  r4  r4  0.4 r1

ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2,3และ4ด้วยการแทนที่
1

28. 5 1  100  10 0 
 
0  5.4 70 3.9 1  r2  r4
0 19.8 19 2.001 0 
 
0
  100.4 39 5 0 
ขั้นที่4สลับแถวที่2กับ4 เพราะหลักที่2ในแถวที่4มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าแถวที่2
5 1  100  10 0 
 
0  100.4 39 5 0
0 19.8 19 2.001 0  r3  r3  0.1972 r2
 
0
  5.4 70 3.9 1  r4  r4  0.0538 r2

ขั้นที่5กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3และ4ด้วยการแทนที่
2
5 1  100  10 0 
 
0  100.4 39 5 0
0 0 26.69 2.987 0  r3  r4
 
0
 0 67.9 3.631 1 

ขั้นที่6สลับแถวที่3กับ4 เพราะหลักที่3ในแถวที่4มีค่าสัมบูรณ์มากกว่าแถวที่3
5 1  100  10 0 
 
0  100.4 39 5 0
0 0 67.9 3.631 1 
 
0
 0 26.69 2.987 0  r4  r4  0.3931r3

ขั้นทึ่7กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4ด้วยการแทนที่
3
5 1  100  10 0 
 
0  100.4 39 5 0 
0 0 67.9 3.631 1 
 
0
 0 0 1.56  0.3931 

ขั้นที่8เปลี่ยนรูปกลับเป็นระบบสมการสามเหลี่ยมบน
5x + 1
x2 - 100 x - 10 x = 0
3 4
-100.4 x + 39 x +
2 3 5x =0 4

29. 67.9 x +3.631 x = 1
3 4
1.56 x =-0.3931
4
ขั้นที่9ใช้การแทนค่ากลับจะได้ผลเฉลยคือ
x 4 =-0.252
x 3 =0.0028
x 2 =-0.0115
x1 =-0.4457
(b/ii)
ขั้นที่1จัดรูปเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
1 20 1 0.001 0 
 
2 5 30  0.1 1  r1  r2
5 1  100  10 0 
 
2
  100 1 1 0 
ขั้นที่2สลับแถวที่1กับ2 เพราะหลักที่1ในแถวที่2มีค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนมากกว่าแถวที่ 1
2 5 30  0.1 1 
 
1 20 1 0.001 0  r2  r2  0.5 r1
5 1  100  10 0  r3  r3  2.5 r1
 
2
  100 1 1 0  r4  r4  r1

ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2,3และ4ด้วยการแทนที่
1
2 5 30  0.1 1 
 
0 22.5  16 0.051  0.5 
0 13.5  175  9.75  2.5 
 
0
  95  31 1.1  1  r2  r4

ขั้นที่4สลับแถวที่2กับ4 เพราะหลักที่2ในแถวที่4มีค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนมากกว่าแถวที่ 2

30. 2 5 30  0.1 1 
 
0  95  31 1.1 1 
0 13.5  175  9.75  2.5  r3  r3  0.1421r2
 
0
 22.5  16 0.051  0.5  r4  r4  0.2368 r2

ขั้นที่5กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3และ4ด้วยการแทนที่
2
2 5 30  0.1 1 
 
0  95  31 1.1 1 
0 0  179.4  9.594  2.642 
 
0
 0  23.34 0.3115  0.7368  r4  r4  0.1301r3

ขั้นที่6กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4ด้วยการแทนที่
3
2 5 30  0.1 1 
 
0  95  31 1.1 1 
0 0  179.4  9.594  2.642 
 
0
 0 0 1.56 0 

ขั้นที่7เปลี่ยนรูปกลับเป็นระบบสมการสามเหลี่ยมบน
2 x - 5 x + 30 x - 0.1 x = 1
1 2 3 4
-95 x - 31 x + 1.1 x =-1
2 3 4
-179.4 x -9.594 x =-2.642
3 4
1.56 x = 0
4
ขั้นที่9ใช้การแทนค่ากลับจะได้ผลเฉลยคือ
x 4 =0
x 3 =0.0147
x 2 =0.0057
x1 =0.2938

31. 15 จงหาผลเฉลยของระบบสมการAX=B ที่เป็นเมตริกซ์ของฮิลเบอร์ท ซึ่งเป็นเมตริกซ์ที่สภาวะไม่
เหมาะสมโดยกาหนดAและBให้
(a)คานวนโดยติดเศษศ่วนไว้
1 1
2
1
3
1
4  1 
1 1 1 1   
0
A=  12 3 4 5  , B=  
3 1
4
1
5
1
6
 0 
1 1 1 1
  
4 5 6 7  0 
ขั้นที่1ทาเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
1 1
2
1
3
1
4
1
1 
2
1
3
1
4
1
5
0  r2  r2  1 r1
2
1 1 1 1
0  r3  r3  1 r1
3 4 5 6 3
1 
4

1
5
1
6
1
7
0  r4  r4  1 r1
 4
ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2,3และ4โดยการแทนที่
1
1 1
2
1
3
1
4
1 
 
0
1
12
1
12
3
40
 1
2
0 1 4 1
 1  r3  r3  r2
12 45 12 3
 
0

3
40
1
12
9
112
 4  r4  r4  190 r2
1

ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3และ4โดยการแทนที่
2
1 1
2
1
3
1
4
1 
 
0
1
12
1
12
3
40
 1
2
0 0 1 1 1 
180 120 6
 
 r  r4 
1 9 1 3
0
 0 120 700 5  4 2
r3
ขั้นที่4กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4โดยการแทนที่
3
1 1
2
1
3
1
4
1 
 
0
1
12
1
12
3
40
1 
2
0 0 1 1 1 
180 120 6
 
0
 0 0 1
2800
 20 
1


32. ขั้นที่5หาผลเฉลยโดยใช้การแทนค่ากลับ
x 4 =-140
x 3 =240
x 2 =-120
x1 =16
(b)คานวนโดยใช้เลข4หลัก
 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500  1 
   
0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0
A=   , B=  
 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667  0 
   
 0.2500 0.2000 0.1667 0.1429  0 
ขั้นที่1ทาเป็นเมตริกซ์แต่งเติม
 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 1 
 
 0.5000 0.3333 0.2500 0.2000 0  r2  r2  0.5000 r1
 0.3333 0.2500 0.2000 0.1667 0  r3  r3  0.3333 r1
 
 0.2500
 0.2000 0.1667 0.1429 0  r4  r4  0.2500 r1

ขั้นที่2กาจัดตัวแปร x ในแถวที่2,3และ4โดยการแทนที่
1
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 1 
 
 0 0.0833 0.0834 0.0750  0.5000 
 0 0.0834 0.0889 0.0834  0.3333  r3  r3  1.001r2
 
 0
 0.0750 0.0834 0.0804  0.2500  r4  r4  0.9004 r2

ขั้นที่3กาจัดตัวแปร x ในแถวที่3และ4โดยการแทนที่
2
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 1 
 
 0 0.0833 0.0834 0.0750  0.5000 
 0 0 0.0054 0.0083 0.1672 
 
 0
 0 0.0083 0.0129 0.2002  r4  r4  1.537 r2


33. ขั้นที่4กาจัดตัวแปร x ในแถวที่4โดยการแทนที่
3
1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 1 
 
 0 0.0833 0.0834 0.0750  0.5000 
 0 0 0.0054 0.0083 0.1672 
 
 0
 0 0 0.0001  0.0568 

ขั้นที่5หาผลเฉลยโดยใช้การแทนค่ากลับ
x 4 =-568
x 3 =904
x 2 =-399.7
x1 =41.55