1. แบบฝึกหัด 3.1 อินทิกรัลไม่จำกัดเขต
ชุดที่ 1
จงหา
1. 4
5x dx = x5
+ c
2. 5
4x dx = 6
3
2
x + c
3. 4
x dx
 = 3
3
1
x
 + c
4. 4
3
dx
x = 5
5
3
x + c
5. x xdx = xx2
5
2
+ c
6. 3
4 xdx = 33 xx + c
7. 1
dx
x = 2 x + c
8. 1
2
dx
x = x + c
ชุดที่ 2 กำรคูณและกำรหำร
จงหา
9. 3 2
( 4 )x x x dx = 4
5
5
x
x
 + c
10. dxxxx  )46( 32
= x6
+ x4
+ c
11.
5
3
3 2
( )
x
dx
x

 = x3
+ 2
1
x
+ c
12. 4
3 1
( )
2
dx
x x
 = 3
1
x
 - x + c
13. 3 5
2 3
( )dx
x x
 = 33 x +
xx
2
ชุดที่ 3 อินทิเกรตโดยกำรเปลี่ยนตัวแปร
14. 2xdx
15. 3
4 9xdx
16. 4
(3 1)x dx
17. 5
(3 4 )x dx
18. 2 1x dx
19. 2 5xdx
ชุดที่ 4 อินทิเกรตโดยกำรเปลี่ยนตัวแปร
20. dx)x()xx( 36
62
  = 72
6
14
1
)xx(  + c
21. 3 5 2
( 3 ) ( 1)x x x dx  = 63
3
18
1
)xx(  + c
22. 3 5 2
( 6 ) ( 2)x x x dx  = 63
6
18
1
)xx(  + c
23. 2 4
( 4 ) ( 2)x x x dx  = 5
4
10
1
)xx(  + c
24. 2 3
1x x dx = 11
9
2 33
 x)x( + c
25. 2
3
x
dx
x 
 = 32
x + c
ชุดที่ 5 ระคน
26. 4
15(3 1)x dx
27. 3
2x
dx
x


28. 5
(3 4 )x dx
29. 3
6xdx
30. 3 1x dx
31. 3 4
( 9 ) ( 3)x x x dx 
32.
2
3
1
x
dx
x 


2. 2
แบบฝึกหัด 3.2 โจทย์อินทิกรัลไม่จำกัดเขต
ก. สมกำรเส้นโค้ง
1. จงหาสมการเส้นโค้ง y = f(x) เมื่อกาหนดความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่จุด (x,y) ใดๆ และจุดที่เส้น
โค้งผ่านดังนี้
1) 2 5
dy
x
dx
  ที่จุด (3 ,- 2)
ตอบ y = x2
- 5x + 4
2) 2
3 2
dy
x x
dx
  ที่จุด (- 4 , 3)
ตอบ y = x3
– x2
+ 83
3) 2
2 3
dy
x x
dx
   ที่จุด (3 , 1)
ตอบ
4) 3
4 3 1
dy
x x
dx
   ที่จุด (2 , 1)
ตอบ
2. ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันของเส้นโค้ง ณ จุด (x,y) ใดๆ เป็น 2
12x จงหาสมการเส้นโค้งเมื่อ
เส้นตรงที่ผ่านจุด (0, 2) และ (3, -1)
3. ให้ ( ) 12f x x  จงหาสมการเส้นโค้ง y = f(x) ซึ่งผ่านจุด (1,-2) และเส้นสัมผัสที่จุด P ขนานกับ
เส้นตรง 4x - 2y = 0
ข. สมกำรกำรเคลื่อนที่
4. วัตถุชิ้นหนึ่งเคลื่อนที่ตามแนวเส้นตรงจากจุดเริ่มต้น ถ้าความเร่งของวัตถุ ในขณะเวลา t ใดๆ
มีค่าเท่ากับ 12t - 4 และเมื่อ t = 1 จะได้ระยะทาง S = 2 เมตร จงหา
1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา t = 2
2) ระยะทาง เมื่อ t = 2
5. โยนวัตถุขึ้นไปในอากาศในแนวดิ่งด้วยความเร็ว 112 – 32t ฟุต/วินาที กาหนด จงหา
1) สมการการเคลื่อนที่ของวัตถุ
2) วัตถุขึ้นไปได้สูงสุดเมื่อเวลาใด
3) ระยะทางที่วัตถุขึ้นไปได้สูงสุด
4) เมื่อใดที่วัตถุอยู่สูง 96 ฟุต
6. ยอดตึกซึ่งสูงจากพื้นดิน 400 ฟุต ก้อนหินก้อนหนึ่งถูกหย่อนลงมาจงหา
1) เมื่อใดที่ก้อนหินจะตกถึงพื้นดิน
2) ความเร็วขณะที่ก้อนหินตกกระทบพื้นดิน

3. 3
ค. กำไร-ขำดทุน
7. การผลิตสินค้าเพื่อไปจาหน่ายของบริษัทแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไรเมื่อเทียบกับจานวน
สินค้าที่ผลิตไปจาหน่ายเท่ากับ 46 – 4x เมื่อ x คาจานวนชิ้นของสินค้า ถ้าในการผลิตสินค้าไปจาหน่าย 5 ชิ้น
บริษัทได้กาไร 1,100 บาท จงหากาไรที่บริษัทจะได้รับในการผลิตสินค้าไปจาหน่าย 10 ชิ้น
8. ในการลงทุนผลิตสินค้าของโรงงานแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของต้นทุนต่อจานวนสินค้า
เท่ากับ 4x – 30 บาท เมื่อ x คือจานวนชิ้นของสินค้าที่ผลิตได้ถ้าในขณะที่ยังไม่ได้ทาการผลิตต้องมีต้นทุน
คงที่เท่ากับ 40000 บาท (ต้นทุนดังกล่าวเป็นค่าเครื่องมือ เครื่องจักรต่างๆ) จงหาต้นทุนในการผลิตสินค้า
จานวน 10 ชิ้น
9. (Ent’33) บริษัทแห่งหนึ่งขายสินค้า 100 ชิ้น ได้กาไร 6800 บาท โดยมีอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไร
เทียบกับจานวนสินค้าที่ขายได้ของบริษัทคือ 78 - 0.08x เมื่อ x คือจานวนสินค้าที่ขายได้ในการผลิตสินค้านี้
จะมีโอกาสได้กาไรมากที่สุดเท่ากับเท่าไร
10. ตัวแทนจาหน่ายของบริษัทแห่งหนึ่งพบว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของกาไรต่อจานวนสินค้าเท่ากับ 120 + 4x
เมื่อ x คือ จานวนสินค้าที่ผลิตได้ในการจาหน่ายสินค้าตัวแทนจะได้กาไร 100 บาท
เมื่อจาหน่ายสินค้า 2 ชิ้น จงหากาไรที่ตัวแทนจาหน่ายจะได้รับ ถ้าจาหน่ายสินค้า 10 ชิ้น

4. 4
แบบฝึกหัด 3.3 เรื่อง อินทิกรัลจำกัดเขต
1. อินทิกรัลจำกัดเซตของฟังก์ชัน
ชุดที่ 1
จงหา
1. 
4
2
)2( x = 12
2. 

3
3
)42( x dx = 24
3. 

2
2
2
)23( xx dx = 16
4.  
3
1
2
)2( xx dx =
3
2
5.  
4
1
2
)6( xx dx = 24
6. 

2
1
2
)12( xx dx = 3
ชุดที่ 2 สมบัติของอินทิกรัล
จงหา
7. 
5
2
)4( dx =
8.  
2
2
)32( x dx = 10
9.  
1
3
2
)2( xx dx =
10. 

0
3
)42( x dx +  
3
0
)42( x dx = - 24
11. 

3
3
)42( x dx
12. 

1
3
2
)423( xx dx = 36
2.พื้นที่ใต้โค้ง
ชุดที่ 3 เส้นตรง
จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรง
13. y = x จาก x = -4 ถึง x = -2
14. y = x + 5 จาก x = -5 ถึง x = 0
15. y = x – 3 จาก x = -3 ถึง x = 3
16. y = -x + 3 จาก x = -3 ถึง x = 0
17. y = 1 – 2x จาก x = -6 ถึง x = -2
18. y = |x| จาก x = -4 ถึง x = 4
ชุดที่ 4 พำรำโบลำ
จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
19. y = x2
- 4 จาก x = -2 ถึง x = 2
20. y = 4x - x2
จาก x = 1 ถึง x = 4
21. y = x2
- 4x + 3 จาก x = -1 ถึง x = 2
22. y = 3 + 2x - x2
จาก x = -1 ถึง x = 2
23. y = 4 - x2
กับแกน x
24. y = x2
- 4x จาก x = 2 ถึง x = 4
ชุดที่ 5 สมกำรเส้นโค้ง
จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง
25. y = x3
จาก x = -3 ถึง x = 2
26. y = (x + 2)3
จาก x = -2 ถึง x = 2
27. y = (x – 2)3
จาก x = -4 ถึง x = -2
28. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = x2
และเส้นตรง y = x + 3
29. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 2 - x2
และเส้นตรง y = -x จาก x = -2 ถึง x = 2
30. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 2 - x2
และเส้นตรง y = x จาก x = -2 ถึง x = 1

5. 5
31. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 4 - x2
และเส้นตรง y = x + 2 จาก x = -2 ถึง x = 2
32. จงหาพื้นที่ที่ปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง y = 3x3
– x2
– 10x และเส้นตรง y = -x2
+ 2x จาก x = -2 ถึง x = 2
เฉลยใบงำนที่ 5.1
กำรแยกตัวประกอบของพหุนำม

6. 6
ตอนที่ 1
กำรดึงตัวร่วม
1. 4 ( x + 4 )
2. xy ( x – y )
3. 2x3
( xy2
+ 2 )
4. 3x ( x – 2 )
5. 3 ( x3
+ x2
+ 25 )
แบบที่ 4 ax2
 bx + c
21. ( 3 x - 4 ) ( 2x + 3 )
22. ( 3x + 4 ) ( 2x – 3 )
23. ( 6 x + 5 ) ( 2x – 3 )
24. ( 4x + 5 ) ( 2 x – 3 )
25. - ( 4x - 5 ) ( 3x + 2 )
= ( - 4x + 5 ) ( 3x + 2 )
= ( 4x - 5 ) ( - 3x - 2 )
แบบที่ 1 x2
 bx + c
6. ( x + 6) ( x + 4)
7. ( x + 8) ( x + 3)
8. ( x - 6) ( x - 2)
9. ( x – 4 ) ( x – 3 )
10. ( x – 5 ) ( x – 5 )
แบบที่ 5
26. ( x + 3 )2
27. ( x - 3 )2
28. ( 3x + 8 )2
29. ( 3x - 8 )2
30. ( 2x - 5 )2
แบบที่ 2 x2
 bx - c
11. ( x – 6 ) ( x + 2 )
12. ( x – 6 ) ( x + 2 )
13. ( x + 8 ) ( x – 3 )
14. ( x - 8 ) ( x + 3 )
15. ( x + 5 ) ( x – 4 )
แบบที่ 6
31. ( x + 1 ) ( x – 1 )
32. ( x + 2 ) ( x – 2 )
33. ( 3x + 5 ) ( 3x – 5 )
34. ( 2x + 3 ) ( 2x – 3 )
35. ( x + 1 ) ( x – 1 ) ( x + 3 ) ( x – 3 )
แบบที่ 3 ax2
 bx + c
16. ( 3x + 1 ) ( 4x + 9 )
17. ( 6x + 1 ) ( 2x + 9 )
18. ( 5x - 4 ) ( 2x – 3 )
19. (3 x - 8 ) ( 3x – 8 )
20. ( 4 x - 5 ) ( 2x – 3 )
แบบที่ 8
36. ( x + 1 ) ( x2
– x + 1 )
37. ( x - 2 ) ( x2
+ 2 x + 4 )
38. ( x - 4 ) ( x2
+ 4 x + 16 )
39. ( 2x + 1 ) ( 4x2
- 2 x + 1 )
40. ( 3x - 2 ) ( 9x2
+ 6 x + 4 )

7. 7
แบบทดสอบ ก่อนเรียนและหลังเรียน เรื่องค่ำต่ำสุดหรือค่ำสูงสุด
ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 6
1. ข้อใดเป็นกราฟพำรำโบลำ
ก. y = 2x + 1 ข. y = x
ค. y = 6x – x2
ง. y = x2
2. ฟังก์ชันในข้อใดไม่มีค่ำต่ำสุด
ก. y = x2
+ 4 ข. y = x2
- 2x + 1
ค. y = x2
ง. y = x3
3. ฟังก์ชันในข้อใดได้ค่ำสูงสุด
ก. y = x2
- 2x + 1 ข. x2
+ 2x + 1
ค. y = 1 - 2x + x2
ง. 1 - 2x - x2
4. ฟังก์ชัน y = x2
- 4x + 1
7. ฟังก์ชัน y = 2x2
+ 8x + 3
มีค่ำต่ำสุด ( ค่า y )คือข้อใด
ก. 5 ข. – 5
ค. 27 ง. - 27
8. ฟังก์ชัน y = - 3x2
- 6x - 1
มีค่ำสูงสุด ( ค่า y )คือข้อใด
ก. 2 ข. - 2
ค. 10 ง. – 10
9. ในการเกิดปฏิกิริยาครั้งหนึ่ง หาอุณหภูมิจาก
สมการ  = 10 + 2t – 0.2 t2
เมื่อ  เป็นอุณหภูมิมีหน่วยเป็นองศาเซลเซียส

8. 8
มีจุดต่ำสุดคือข้อใด
ก. ( 2 , 3 ) ข. ( 2 , - 3 )
ค. ( - 2 , 9 ) ง. ( - 2 , 1 )
5. ฟังก์ชัน y = 6 + 2x – x2
มีจุดสูงสุดคือข้อใด
ก. ( 1 , 7 ) ข. ( 1 , - 5 )
ค. ( - 1 , 3 ) ง. ( - 1 , 7 )
6. ฟังก์ชัน y = 3 - 2x – x2
มีจุดสูงสุดหรือจุดต่าสุดของฟังก์ชันคือข้อใด
ก. จุดต่าสุดคือ ( 1 , 0 ) ข. จุดสูงสุดคือ( 1 , 0 )
ค. จุดต่าสุดคือ (- 1 , 4 ) ง. จุดสูงสุดคือ( - 1 , 4 )
และ t มีหน่วยเป็นวินาที อุณหภูมิสูงสุดเท่ากับกี่องศา
ก. 15 ข. 20
ค. 25 ง. 30
10. โยนลูกหินขึ้นไปในอากาศตามแนวดิ่ง
ให้ t มีหน่วยเป็นวินาที S มีหน่วยเป็นฟุต
ถ้าสมการการเคลื่อนที่เป็น S = 96t - 16t2
ระยะทางที่ก้อนหินขึ้นไปได้สูงสุดกี่ฟุต
ก. 72 ข. 144
ค. 288 ง. 432
เฉลยแบบทดสอบ ก่อนเรียนและหลังเรียน เรื่องค่ำต่ำสุดหรือค่ำสูงสุด
1 ค 2 ง 3 ง 4 ข 5 ก
6 ง 7 ข 8 ก 9 ก 10 ข
เฉลยใบงานที่ 2.4
1. ถ้า y = 2x2
+ 5x – 3 เป็นสมการเส้นโค้ง จงหา
1) ความชัน = 3
2) สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง y = 3x + 9
3) สมการของเส้นตั้งฉาก x + 3y – 11 = 0
2. a = 3
3. x + 4y – 17 = 0
4. ( 1 , - 2 ) และ ( - 1 , 2 )
5. ( 3 , - 54 ) และ ( - 3 , 54 )
6. ( 3 , - 4 )
7. 1) 5 เมตร / วินาที
2) 4 เมตร / วินาที
8. ระยะทาง – 72 หน่วย ( ระยะทางมีเครื่องหมายเป็น ลบ แสดงว่าวัตถุกาลังเคลื่อนที่ลง )

9. 9
9.
1) 1 เมตร / วินาที
2) 8 เมตร และ 4 เมตร
3) 45 เมตร / วินาที
4) 6 เมตร / วินาที2
10
1) 0 ฟุต / วินาที
2) 144 ฟุต
3) – 96 ฟุต/วินาที
4) – 32 ฟุต/วินาที2
เฉลยใบงานที่ 2.5
1. จงหาค่าต่าสุดหรือค่าสูงสุดของฟังก์ชัน
1) ( - 2 , - 7 )
2) (
2
3
,
4
1
)
3) ( - 1 , - 1 )
4) ( 3 , - 4 )
5) ( 2 , - 6 )
6) ( 2 , - 5 )
7) ( 2, 4 )
8) ( - 3 , 7 )
2. x =
3
50
เมตร พื้นที่มากที่สุด เท่ากับ 1250 ตารางเมตร
3. จานวนนั้น คือ 0.5
4. จานวนทั้งสองคือ 5 และ 5
5. จานวนหนึ่งคือ - 3

10. 10
6. สูง ( x ) = 2 เมตร ปริมาตรมากที่สุด 320 ลูกบาศก์เซนติเมตร
7. t = 10 วินาที  = 30 องศาเซลเซียส
8. f = 12 กิโลกรัมต่อไร่
9. ตั้งราคาไว้15 บาท ขายได้เงินมากที่สุด 22,500 บาท
10. กว้าง 45 หน่วย ยาว 60 หน่วย พื้นที่มากที่สุด 2,700 ตารางหน่วย
11. ต้องผลิตสินค้าสัปดาห์ละ 975 ชิ้น
12. 45 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
13. w =
3
a
, d =
3
2
a
14. f = 10 p = 500