1. ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์
วงกลมหนึ่งหน่วย (Unit circle)
บทนิยาม วงกลมหนึ่งหน่วย หมายถึง กราฟของความสัมพันธ์
U = {(x,y)  RR | x2+ y2 = 1}
คือ วงกลม ที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกาเนิด และรัศมียาว 1 หน่วย นั่นเอง ดังรูป
Y

(0,1)
2
 2
-1,0) O (1,0) X
3
(0,-1)
2
เนื่องจากวงกลมหนึ่งหน่วยมีรัศมียาว 1 หน่วย
จากสูตร ความยาวเส้นรอบวง = 2r
= 2  (1) = 2  หน่วย
หรือ  2(3.1416)  6.2832 หน่วย
2 
ดังนั้น เสี้ยววงกลมหนึ่งหน่วยยาว = 4 = 2 หรือประมาณ 1.5708 หน่วย
2
ครึ่งวงกลมหนึงหน่วยยาว = 2 =  หรือประมาณ 3.1416 หน่วย
่
3 3
3 ใน 4 ของวงกลมหนึ่งหน่วยยาว = 4  2  = 2 หรือประมาณ 4.7124 หน่วย

2. การวัดความยาวส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย
กาหนด   R จุด P(  ) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  โดยวัดจากจุด (1,0) ไปตามส่วนโค้งของวงกลม
ถ้า   0 หมายถึงการวัดไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
ถ้า  < 0 หมายถึงการวัดไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา
ให้ความยาวส่วนโค้งวงกลมหนึ่งหน่วยยาว  หน่วย มี โคออร์ดิเนทจุดปลายส่วนโค้งเป็น (x,y)
นั่นคือ P(  ) = (x,y)
จากรูปวงกลมหนึ่งหน่วย จะเห็นว่า (พิจารณารูปหน้าที่ 1 ประกอบ)
 3
P(0) = (1,0) , P( 2 ) = (0,1) , P() = (-1,0) , P( 2 ) = (0,-1) , P(2) = (1,0)
 3
P(- 2 ) = (0,-1) , P(-) = (-1,0) , P(- 2 ) = (0,1) , P(-2) = (1,0)
ทฤษฎีบท 1 ถ้า  เป็นจานวนใดๆ แล้ว P(  ) = P( + 2n) เมื่อ n เป็นจานวนเต็ม
  
จุดปลายส่วนโค้งที่ยาว P() เมื่อ  เป็นจานวนจริงที่สาคัญที่ควรทราบ ( 3 , 4 , 6 )

ตัวอย่างที่ 1 จงหา P( 4 )
 
วิธีทา จากรูป เนื่องจาก P( 4 ) เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง AB และส่วนโค้ง AB ยาว 2

B(0,1) ดังนั้น AP = PB = 4

 P(x,y) ให้ P(x,y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว 4
เพราะฉะนั้น AP2 = PB2
O A(1,0) (x-1)2 + (y-0)2 = (x-0)2 + (y-1)2
x2- 2x + 1 + y2 = x2 + y2-2y + 1
x = y
แต่เนื่องจาก (x,y) เป็นจุดบนวงกลม x2+ y2 = 1
x2 + x2 = 1  2x2 = 1
1 1 1
x2 = 2  x =  และ y = 
2 2

3. แต่ P(x,y) อยู่ในควอดรันต์รันที่ 1 ดังนั้น x และ y มีค่าเป็นบวก
1 1
เพราะฉะนั้น x = และ y =  0.701
2 2
 1 1 2 2
ดังนั้น P ( 4 ) = ( , ) = ( 2 , 2 )
2 2
  
ตารางต่อไปนี้ สรุป จุด P( ) เมื่อ  = 6 , ,
4 3
 P( )
 3 1
6 ( , )
2 2
 2 2
( , )
4 2 2
 1 3
( , )
3 2 2
โดยอาศัยความรู้เรื่องการสมมาตรต่อแกน X ต่อแกน Y หรือต่อจุดกาเนิด สามารถที่จะหาพิกัดของจุด P(  )
เมื่อ  เป็นความยาวส่วนโค้งที่อยู่ในควอดรันต์อื่นๆ ดังรูป
2  1 3
P( ) P( 3 ) = ( , )
3 2 2
3  2 2 
P( 4 ) P( )=( , ) P( 6 )
4 2 2
O O O
7 11
P( 6 ) P( 6 )
4 5 5 7
P( ) P( 3 ) P( 4 ) P( 4 )
3

4. การหาค่าของ sin (-  ) และ cos (-  ) เมื่อ  > 0
Y
P( ) = (x,y)
O A(1,0) X
P(- ) = (x,-y)
ให้ P( ) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่วัดจากจุด (1,0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกายาว | | หน่วย P(- ) เป็นจุด
ปลายส่วนโค้งที่วัดจากจุด (1,0) ไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกายาว | | หน่วย เช่นกัน P( ) และ P(- ) สมมาตรกัน
โดยมีแกน X เป็นแกนสมมาตร
จากนิยาม sin  = y และ sin (- ) = -y
cos  = x cos (- ) = x
ดังนั้น sin (- ) = - sin (  )
cos (- ) = cos (  )
2  3
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ sin (  3 ) , cos (  6 ) , sin (  4 )
2 2 3
วิธีทา sin (  3 ) = - sin 3 =  2
  3
cos (  6 ) = cos 6 = 2
3 3 2
sin (  4 ) = - sin 4 = - 2 

การหาค่าของ sin  และ cos  เมื่อ  > 2
การหา sin  และ cos  ให้นา 2 ไปหาร  สมมติให้ผลหารเท่ากับ n เหลือเศษ  (alpha)
โดยที่ 0    2   = 2n +  , nI+ เมื่อ
ดังนั้น sin  = sin (2n + ) = sin 
cos  = cos (2n + ) = cos 

5. 32  35 
ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ sin 3 , cos (  4 )
32  2 2 3
วิธีทา sin 3 = sin ( 5  2   3 ) = sin 3 = 2
35  35  3 3 2
cos (  4 ) = cos ( 4 ) = cos ( 4  2   4 ) = cos ( 4 ) =  2 

การหาค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริงตั้งแต่ 0 ถึง 2 โดยอาศัยค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของ

จานวนจริงตั้งแต่ 0 ถึง 2

1. เมื่อจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย อยู่ในควอดรันต์ที่ 2 ( 2     )
Y
P’(x’,y’) P(x,y) ให้ P’(x’,y’) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว 
ส่วนโค้ง AB ยาว = 
ส่วนโค้ง P’B ยาว = -
B O A(1,0) X และ ส่วนโค้ง AP ยาว =  - 
ดังนั้น เมื่อ  ตกอยู่ใน Q2
sin  = sin (  -  )
  11 11
ตัวอย่างที่ 4 กาหนดให้ sin 12  0 . 26 และ cos 12 = 0.96 จงหาค่าของ sin 12 และ cos 12
11
วิธีทา เนื่องจากจุดปลาย 12 อยู่ในควอดรันต์ที่ 2
11 11 
ดังนั้น sin 12 = sin (   12 ) = sin 12 = 0.26
11 11 
cos 12 = - cos (   12 ) = - cos 12 = - 0.96 

20 
ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ sin (  3 )
20  20  2
วิธีทา sin (  3 ) = - sin 3 = - sin [( 3  2  )  3 ]
2 2  3
= - sin 3 = - sin (   3 ) = - sin 3 =  2 


6. 3
2. เมื่อจุดปลายส่วนโค้ง  หน่วยอยู่ในควอดรันต์ที่ 3 (     2 )
Y
M (-x,y) P(x,y) ให้ P(x’,y’) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย
จุด P’(x’,y’) สมมาตรกับจุด M(-x,y)
B(-1,0) O A(1,0) X จุด M(-x,y) สมมาตรกับจุด P(x,y)
ดังนั้น เมื่อ  อยู่ใน Q3
P’(x’,y’) sin    sin(    )
cos    cos(    )
ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่าของ cos 5 และ sin(  16  )
4 3
วิธีทา เนื่องจาก cos 5 อยู่ใน Q 3 จะได้
4
5
cos
4
=  cos( 5    ) =  cos  =  2


4 4 2
16 
sin( 
3
) =  sin( 16  ) =  sin( 4   4  )
3 3
4 4
=  sin 3 =  sin( 3   )
  3
=  [  sin( 3 )] = sin 3 = 2 

3
3. เมื่อจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วยอยู่ในควอดรันต์ที่ 4 ( 2    2  )
Y ให้ P(x,y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว  หน่วย
จุด P(x,y) สมมาตรกับจุด P’(x’,y’)
P(x,y)
ดังนั้น เมื่อ  อยู่ใน Q4
O A(1,0) X sin    sin( 2   )
cos   cos( 2   )
P’(x’,y’) = (x,-y)

7. 11 5 47 
ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ sin 6 , cos 3 , sin 4
11 5 47 
วิธีทา เนื่องจาก sin 6 , cos 3 , sin 4 อยู่ใน Q4 จะได้
11 11  1
sin
6
=  sin( 2   6 ) =  sin 6 =  2 ***
5 5  1
cos
3
= cos( 2   3 ) = cos 3 = 2 ***
47  7 7 7  2
sin
4
= sin( 10   ) = sin 4 =  sin( 2   4 ) =  sin 4 =  2 ***
4
ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ
sin 
1. tan  = เมื่อ cos   0
cos 
cos 
2. cot  = เมื่อ sin   0
sin 
3. sec  = เมื่อ cos   0
1
cos 
4. cosec  = เมื่อ sin   0
1
sin 
tan  = เมื่อ cot   0
1
หมายเหตุ
cot 
cot  = เมื่อ tan   0
1
tan 
ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าของ tan  , cot  , sec  , cosec  เมื่อกาหนด  ดังนี้
  
1.  = 2.  = 3.  =
6 4 3
 1  3
วิธีทา 1. เนื่องจาก sin = และ cos =
6 2 6 2
 1
sin



1 2 1 3
ดังนั้น tan = 
6
= 2
= 2
 = หรือ
6 3 3 3 3
cos
6 2



1 1 3
cot = 
= 1
= 1 = 3
6 1
tan
6 3

8. 


1 1 2 2
sec = 
= = 1 =
6 3 3 3
cos
6 2



1 1 2
cosec = 
= 1
= 1 = 2
6 1
sin
6 2

9. กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1. กราฟของฟังก์ชันไซน์
จากความสัมพันธ์ sine = {(x,y)RR |y = sin x}
โดยที่ โดเมนของ sin = R
เรนจ์ของ sin = [-1,1] มีกราฟดังรูป
Y
1
X
3   3
-2 - O 2
 2
2
2 2
-1
2. กราฟของฟังก์ชันโคไซน์
จากความสัมพันธ์ cos = {(x,y)RR |y = cos x}
โดยที่ โดเมนของ cos = R
เรนจ์ของ cos = [-1,1] มีกราฟดังรูป
Y
1
X
 
- 2 - 3 - - O 
3
2
2 2 2 2
-1
ฟังก์ชันทีเ่ ป็ นคาบ หมายถึง ฟังก์ชันที่สามารถแบ่งแกน X ออกเป็นช่วงย่อยๆ โดยที่ความยาวแต่ละช่วงเท่ากัน
และกราฟของฟังก์ชันในแต่ละช่วงย่อยมีลักษณะเหมือนกัน ความยาวของช่วงย่อยที่สั้นที่สุด ซึ่งมีลักษณะ
ดังกล่าว เรียกว่า คาบ ของฟังก์ชัน
ดังนั้น ฟังก์ชัน y = sin x และ y = cos x เป็ นฟังก์ชันทีเ่ ป็ นคาบและมีคาบเท่ากับ 2 

10. ฟังก์ชันที่เป็นคาบซี่งมีค่าสูงสุด และค่าต่่าสุด จะเป็นฟังก์ที่มีแอมพลิจูด ซึ่งมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่าง
ระหว่างค่าสูงสุด และค่าต่่าสุดของฟังก์ชัน นั่นคือ
1
แอมพลิจูด = 2 (ค่ าสู งสุ ดของฟังก์ ชัน - ค่ าต่าสุ ดของฟังก์ ชัน)
ดังนั้น ฟังก์ชั่น y = sin x และ y = cos x มีแอมพลิจูดเป็ น 1 เท่ากัน
3. กราฟของฟังก์ชันแทนเจนต์
sin x
จาก tangent = {(x,y) RR | y = tan x = cos x , cos x  0 }
โดเมนของ tangent = {xR | cosx  0}
= R - {xR | cosx = 0}

= R - {x R | x = n 2 เมื่อ n เป็นจ่านวนเต็มคี่ }
เรนจ์ของ tangent = R มีกราฟดังรูป
Y
 3  
2   O  3 2 X
2 2 2 2