1. ระบบจำนวนจริง 1. จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่เขียนในรูป 1.1 จำนวนเต็ม เช่น 0 , 1 , - 1 , 2 , -2 , 3 , -3 , . . . 1.2 จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม เช่น 1.3 จำนวนที่เขียนในรูปทศนิยมซ้ำ เช่น 4.14 , 2. จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของ จำนวนเต็มที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ แต่เขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ เช่น , 0.353353335...

2. แผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวน จำนวนเชิงซ้อน จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ที่ไม่ใช่จำนวนจริง จำนวนอตรรกยะ จำนวนตรรกยะ จำนวนตรรกยะ ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม จำนวนเต็ม จำนวนเต็มลบ ศูนย์ จำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนนับ

3. ตัวอย่าง จงหาผลหารและเศษ เมื่อหาร 2 x 2 - 7 x + 3 ด้วย x + 2 วิธีทำ ใช้วิธีการหารสังเคราะห์ 2 - 7 3 -2 2 - 4 + - 11 22 25 ผลหาร 2 x - 11 เศษ 25

4. การเท่ากันในระบบจำนวน 1. สมบัติการสะท้อน เช่น a = a 2. สมบัติการสมมาตร เช่น ถ้า a = b แล้ว b = a 3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c 4. สมบัติของการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c 5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนเท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a c = b c

5. การบวกและการคูณในระบบจำนวนจริง บทนิยาม ในระบบจำนวนจริง เรียกจำนวนจริงที่บวกกับจำนวนจริง จำนวนใดก็ตามได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริงจำนวนนั้นว่า เอกลักษณ์การบวก ถ้า z เป็นเอกลักการบวกแล้ว z + a = a = a + z โดยที่ a เป็นจำนวนจริงใดๆ บทนิยาม ในระบบจำนวนจริง อินเวอร์สการบวก ของจำนวนจริง a ( ใช้แทนด้วยสัญลักษณ์ - a ) หมายถึงจำนวนจริงที่บวกกับ a แล้วได้ ศูนย์ กล่าวคือ a + (-a) = 0 = (-a) + a

6. สมบัติของระบบจำนวนจริงเกี่ยวกับการบวก 1. สมบัติปิดของการบวก 2. สมบัติการสลับที่ของการบวก 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการบวก 4. เอกลักษณ์การบวก 5. อินเวอร์สการบวก

7. การลบและการหารจำนวนจริง บทนิยาม เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ a - b = a + (-b) ทฤษฎีบทที่ 1 ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนจริง 1. a (b - c) = ab - ac 2. (a - b)c = ac - bc 3. (- a) (b - c) = - ab + ac บทนิยาม เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ ทฤษฎีบทที่ 2 ถ้า จะได้

8. การแก้สมการตัวแปรเดียว ตัวอย่าง จงแก้สมการ 3x 3 + 2x 2 - 12x - 8 = 0 วิธีทำ จะได้ (3 x 3 + 2x 2 ) - (12x + 8) = 0 x 2 (3x + 2) - 4 (3x + 2) = 0 (3x + 2) (x 2 - 4) = 0 (3x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0 นั่นคือ 3 x + 2 = 0 หรือ x + 2 = 0 หรือ x - 2 = 0 จะได้ x = -2 3 หรือ x = -2 หรือ x = 2 ดังนั้น เซตคำตอบคือ

9. ทฤษฎีบทเศษเหลือ (remainder theorem) เมื่อ p(x) คือพหุนาม โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก เป็นจำนวนจริงซึ่ง ถ้าหารพหุนาม p (x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นจำนวนจริง แล้วเศษจะเท่ากับ p(c) ตัวอย่าง จงหาเศษ เมื่อหาร x 3 - 4x 2 + 3x + 2 ด้วย x - 1 วิธีทำ เศษ คือ p( 1 ) = ( 1 ) 3 - 4( 1 ) 2 + 3( 1 ) + 2 = 2 , x + 2 เศษ คือ p( -2 ) = ( -2 ) 3 - 4( -2 ) 2 + 3( -2 ) + 2 = -28

10. ทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem) เมื่อ p(x) คือพหุนาม โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก เป็นจำนวนจริงซึ่ง พหุนาม p (x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ p ( c) = 0 ตัวอย่าง จงแสดงว่า x - 2 เป็นตัวประกอบ x 3 - 5x 2 + 2x + 8 วิธีทำ จะได้ p( 2 ) = ( 2 ) 3 - 5( 2 ) 2 + 2( 2 ) + 8 = 0 ให้ p(x) = x 3 - 5x 2 + 2x + 8 ดังนั้น x - 2 เป็นตัวประกอบของ x 3 - 5x 2 + 2x + 8

11. ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ เมื่อ p(x) คือพหุนาม โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก เป็นจำนวนจริงซึ่ง ถ้า เป็นตัวประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็มซึ่ง และ ห . ร . ม . ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว m จะเป็นตัวประกอบของ k จะเป็นตัวประกอบของ

12. สมบัติการไม่เท่ากัน บทนิยาม สมาชิกของ R + เรียกว่า จำนวนจริงบวก และ ถ้า เราเรียก a ว่า จำนวนลบ บทนิยาม a < b หมายความว่า a > b หมายความว่า สมบัติไตรวิภาค ( trichotomy property) ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงแล้ว a = b , a < b และ a > b จะเป็นเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง

13. ทฤษฎีบทที่ 1 สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c ทฤษฎีบทที่ 2 สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c c เป็นจำนวนใดๆ ทฤษฎีบท 3 จำนวนบวกและจำนวนลบเปรียบเทียบกับ 0 a เป็นจำนวนบวก ก็ต่อเมื่อ a > 0 a เป็นจำนวนลบ ก็ต่อเมื่อ a < 0

14. ทฤษฏีบทที่ 4 สมบัติของการคูณด้วยจำนวนเท่ากันที่ไม่เป็นศูนย์ กรณี 1 ถ้า a > b และ c > 0 แล้ว ac > bc กรณี 2 ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc ทฤษฏีบทที่ 5 สมบัติการตัดออกสำหรับการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b ทฤษฏีบทที่ 6 สมบัติการตัดออกสำหรับการคูณ กรณี 1 ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b กรณี 2 ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b

15. ตัวอย่างที่ 1 จงหาเซตคำตอบของอสมการ วิธีทำ แยกตัวประกอบจะได้ ( x - 4 ) (x + 2) > 0 x = 4 หรือ x = -2 จะได้ (x - 4 ) (x + 2) = 0 พิจารณาช่วงคำตอบ -2 4 + - + ( เริ่มที่ช่วงขวาสุดเป็น + และสลับกับ - ) เซตคำตอบที่สอดคล้องอสมการคือ

16. ตัวอย่างที่ 2 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา + - + เซตคำตอบคือ นำ -1 คูณทั้งสองข้าง เปลี่ยนเครื่อง หมาย จะได้

17. ตัวอย่างที่ 3 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา + - + เซตคำตอบคือ 2 1  4 5

18. ตัวอย่างที่ 4 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา + - + เซตคำตอบคือ ดังนั้น -

19. ตัวอย่างที่ 5 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา + + เซตคำตอบคือ ดังนั้น นำ หารจะได้ -

20. ตัวอย่างที่ 6 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา เซตคำตอบคือ นำ คูณจะได้

21. ตัวอย่างที่ 7 จงหาเซต คำตอบ วิธีทํา เซตคำตอบคือ เนื่องแทนค่า x ด้วย จำนวนจริงใดๆ แล้วได้ จำนวนทั้งสามวงเล็บเป็นจำนวนบวก หรือ ศูนย์ ดังนั้นไม่มีจำนวนจริงใดเป็นคำตอบ

22. ตัวอย่างที่ 8 จงหาเซตคำตอบอสมการ วิธีทำ จะได้ จะเห็นว่าเป็นจริงทุกค่า x ดังนั้นเซตคำตอบคือ

23. ตัวอย่างที่ 9 จงหาเซต คำตอบอสมการ วิธีทำ จะได้ ดังนั้นเซตคำตอบคือ จะเห็นว่าไม่มีจำนวนจริงใดที่ทำให้อสมการเป็นจริง

24. ตัวอย่างที่ 10 จงหาเซตคำตอบอสมการ วิธีทำ -5 + 2 < 3x - 2 + 2 < 10 + 2 - 3 < 3x < 12 ดังนั้น เซตคำตอบ คือ ( -1 , 4 )

25. ตัวอย่างที่ 11 จงหาคำตอบอสมการ วิธีทำ แยกเป็นกรณี และ ( หาค่า x ที่สอดคล้องทั้งสองกรณี ) จะได้ 2 + 6 < x + 3x -6 + 4 < 2x - x 8 < 4x 2 < x - 2 < x คำตอบกรณีนี้ คือ คำตอบกรณีนี้ คือ ดังนั้น เซตคำตอบอสมการคือ =

26. ตัวอย่างที่ 12 จงหาเซตคำตอบอสมการ วิธีทำ

27. นำ -1 คูณ จะได้ 0 1 + - + - นำ จำนวนลบคูณเปลี่ยนเครื่องหมายจาก > เป็น < เซตคำตอบคือ

28. ทดสอบ 1 จงหาเซตคำตอบต่อไปนี้ 1. 2. 3. ตอบ ตอบ ตอบ