Downloaded 776 times
ใบความรู้ เรื่องสถิติ
- 1. 1 เอกสารประกอบการเรียนการสอน รายวิชา คณิตศาสตร (ค23102) เรื่องสถิติ โดย ครูยุพา พุทธเจริญ ภาคเรียนที่ 2 ปการศึกษา 2557 ชื่อ.............................................................................. ชั้น ม. 3 หอง............ เลขที่.............
- 2. 2 เอกสารประกอบการเรียนการสอน เรื่อง สถิติ การเก็บรวบรวมขอมูล ขั้นตอนทางสถิติ การนําเสนอขอมูล การวิเคราะหและแปลความหมาย ขั้นตอนดังกลาวนี้เรียกวาระเบียบวิธีการทางสถิติ 1. สถิติ หมายถึง ตัวเลขที่แทนจํานวนหรือขอเท็จจริงของสิ่งที่เราศึกษา เชน สถิติจํานวน นักเรียน สถิติการสงออกขาวของไทย คําวา “สถิติ” มีความหมาย 2 ประการคือ 2. สถิติ หมายถึง ศาสตรที่วาดวยระเบียบวิธีการทางสถิติ ซึ่งประกอบดวย การเก็บ รวบรวมขอมูล การนําเสนอขอมูล การวิเคราะหและการแปลความหมายขอมูล ขอมูล หมายถึงขอเท็จจริง หรือสิ่งที่ยอมรับวาเปนขอเท็จจริงของเรื่องที่เราสนใจศึกษา ซึ่งอาจจะเกี่ยวของกับคน สัตว หรือสิ่งของ ประเภทของขอมูลสถิติ ขอมูลเชิงปริมาณ (quantitative data) คือ ขอมูลที่เปนตัวเลขซึ่งวัดออกมาเปนจํานวนที่สามารถ นําไปคํานวณเปรียบเทียบกันได เชน คะแนน น้ําหนัก สวนสูง อายุ อุณหภูมิ รายไดและ รายจาย ขอมูลเชิงคุณภาพ (qualitative data) คือ ขอมูลที่บอกหรืออธิบายลักษณะหรือสมบัติในเชิง คุณภาพ เชน เพศของผูตอบแบบสอบถาม ความคิดเห็นเกี่ยวกับสิ่งที่สอบถาม เปนตน การเก็บรวบรวมขอมูล อาจทําได 2 วิธี คือ วิธีเก็บรวบรวมขอมูลโดยตรงจากสิ่งที่ตองการศึกษา เก็บรวบรวมจากเอกสารตาง ๆ ที่มีผูรวบรวมไวแลว ซึ่งมักใชในกรณีที่การเก็บรวบรวมขอมูล โดยตรงมีความยุงยากซับซอน หรือไมสามารถทําได เชนเปนขอมูลในอดีต Ẻ½ƒ¡ËÑ´·Õè 1
- 3. 3 1. ใหนักเรียนระบุวาขอมูลตอไปนี้เปนขอมูลเชิงปริมาณ หรือขอมูลเชิงคุณภาพ 1)จํานวนนักทองเที่ยวที่เดินทางมาในประเทศไทย ตอบ…………………………………… 2) หมายเลขสลากกินแบงรัฐบาล ตอบ…………………………………… 3) ทะเบียนรถยนต ตอบ…………………………………… 4) อุณหภูมิที่บอกจุดหลอมเหลวของสารตาง ๆ ตอบ…………………………………… 5) เบอรรองเทาขนาดตาง ๆ ตอบ…………………………………… 6) เพศของสมาชิกในครอบครัว ตอบ…………………………………… 7) คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร ตอบ…………………………………… 8) ความสูงของนักเรียน ตอบ…………………………………… 2. ใหนักเรียนยกตัวอยางขอมูลเชิงปริมาณ และขอมูลเชิงคุณภาพ อยางละ 3 ตัวอยาง ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………… การนําเสนอขอมูล สามารถแบงออกเปนรูปแบบใหญ ๆ ได 2 รูปแบบ การนําเสนอขอมูลอยางไมเปนแบบแผน การนําเสนอในรูปบทความ การนําเสนอในรูปบทความกึ่งตาราง การนําเสนอขอมูลอยางเปนแบบแผน การนําเสนอขอมูลในรูปตาราง การนําเสนอในรูปแผนภูมิ การนําเสนอขอมูลโดยใชกราฟเสน Ẻ½ƒ¡ËÑ´·Õè 2
- 4. 4 1. ตารางแสดงจํานวนครัวเรือนเกษตรและเนื้อที่ถือครองทําการเกษตร เฉลี่ยตอครัวเรือนจําแนกตามภาค ป2536 ป 2541 และ ป 2546 จากตารางจงตอบคําถามตอไปนี้ 1) ตารางแสดงขอมูลเกี่ยวกับเรื่องใด ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 2) ในป 2546 ทั่วประเทศมีจํานวนครัวเรือนเกษตรทั้งสิ้นกี่ครัวเรือน มีเนื้อที่ถือครองทําการเกษตร เฉลี่ยตอครัวเรือนเกษตรกี่ไร ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 3) ในชวงป 2536 ถึงป 2546 ประเทศไทยมีครัวเรือนเกษตรเพิ่มขึ้นหรือลดลงเปนอยางไร ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 4) ในชวงป 2536 ถึงป 2546 ประเทศไทยมีเนื้อที่ถือครองทําการเกษตรเฉลี่ยตอครัวเรือนเกษตร เพิ่มขึ้นหรือลดลงเปนอยางไร ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 5) ถาครัวเรือนเกษตรทั้งสิ้นในป 2546 คิดเปนรอยละ 32.4 ของครัวเรือนทั้งประเทศแลวจํานวน ครัวเรือนทั้งประเทศจะเปนเทาไร ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 6) ในป 2546 ภาคใดมีจํานวนครัวเรือนเกษตรมากที่สุด คิดเปนรอยละเทาไรของครัวเรือนทั้ง ประเทศ ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 2. จากการสํารวจรานขายรถยนตประจาป พ.ศ.2545 ในจังหวัดนครพนม ผลปรากฏวาการขายรถยนตเปน ดัง แผนภูมิแทงดังตอไปนี้
- 5. 5 จงตอบคําถามตอไปนี้ 1) รถชนิดใดขายไดมากที่สุด ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 2) ถาขายรถเกงไดเปนเงินจํานวน22,500,000 แสดงวารถเกงราคาคันละเทาไร ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 3) ขายรถกระบะและรถบรรทุกไดตางกันกี่คัน ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 4) ในป พ.ศ. 2545 จํานวนรถทั้งหมดที่จําหนายไดมีกี่คัน ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 3. จากการสํารวจรานคาที่จําหนายรองเทาและกระเปานักเรียน เปนดังนี้ จงตอบคําถามตอไปนี้ 1) มีการจําหนายรองเทานักเรียนทั้งหมดกี่คูตั้งแตเดือนมกราคมถึงเดือนเมษายน ตอบ………………………………………………………………………………………………..
- 6. 6 2) เดือนใดขายรองเทาไดมากที่สุด ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 3) เดือนใดที่มีการขายรองเทาและกระเปานักเรียนเทากันจํานวนเทาใด ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 4) ในการขายกระเปานักเรียนในเดือนมกราคม คิดเปนประมาณกี่เปอรเซ็นตของการขายกระเปา นักเรียนทั้งหมด ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 4. แผนภูมิรูปวงกลมแสดงรายจายของครอบครัวคุณหมวยใน 1 เดือนแบงเปนรายการและจํานวนเปอรเซ็นตคา รายจายทั้งหมด เปนดังนี้ จงตอบคําถามตอไปนี้ 1) รายจายของครอบครัวคุณหมวยรายการใดที่จายมากที่สุด และเปนเทาไร ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 2) รายจายของครอบครัวคุณหมวยรายการใดที่จายนอยที่สุด และเปนเทาไร ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 3) รายจายคาที่อยูอาศัยคิดเปนกี่เทาของรายจายคาเครื่องนุงหม ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 5. ใหนักเรียนพิจารณากราฟตอไปนี้
- 7. 7 จงตอบคําถามตอไปนี้ 1) ในป พ.ศ.2538 ราคาขายปลีกผักคะนาสูงสุดในเดือนใด ประมาณกิโลกรัมละกี่บาท ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 2) ในป พ.ศ. 2539 ราคาขายปลีกผักคะนาต่ําสุดในเดือนใด ประมาณกิโลกรัมละกี่บาท ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 3) ราคาขายปลีกผักคะนาในเดือนมิถุนายน พ.ศ.2538 ต่ํากวาในเดือนพฤษภาคม พ.ศ.2538 ประมาณกิโลกรัมละกี่บาท ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 4) ราคาขายปลีกผักคะนาในเดือนมิถุนายน พ.ศ.2539 ต่ํากวาหรือสูงกวาในเดือนเดียวกันของ พ.ศ. 2538 ประมาณกิโลกรัมละกี่บาท ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 5) เมื่อเปรียบเทียบราคาขายปลีกของผักคะนา ในป พ.ศ.2538 และ พ.ศ.2539 แบบเดือนตอเดือน เดือนใดมีราคาขายแตกตางกันนอยที่สุด เดือนใดมีราคาขายแตกตางกันมากที่สุด และแตกตาง กันประมาณกิโลกรัมละกี่บาทและเดือนใดมีราคาไมแตกตางกัน ตอบ……………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. 6) ผูบริโภคตองซื้อผักคะนาแพงที่สุดในเดือนใด ตอบ……………………………………………………………………………………………….. การแจกแจงความถี่ดวยตาราง เปนการนําขอมูลดิบที่เก็บรวบรวมไดมาจัดเรียงใหมใหเปนระบบ เปน หมวดหมู โดยอาจเรียงจากมากไปหานอย หรือ จากนอยไปหามาก แลวจัดขอมูลลงในตาราง หารอยขีดที่
- 8. 8 แสดงจํานวนครั้งของขอมูลที่เกิดซ้ํากัน นับจํานวนรอยขีดแลวเขียนแทนดวยตัวเลข จํานวนรอยขีดของแตละ ขอมูลที่นับไดนี้เรียกวาความถี่ และตารางที่ นําเสนอขอมูลในลักษณะนี้เรียกวาตารางแจกแจงความถี่ ความถี่ (frequency) หมายถึงจํานวนคะแนนหรือขอมูลแตละคาหรือแตละกลุม เขียน แทนดวย สัญลักษณ f ตัวอยางตารางแจกแจงความถี่ ที่มีจํานวนขอมูลมาก ซึ่งเขียนคะแนนที่อยูถัดกันและมีคาตางกันอยู 1 เชน ตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นม.3/1 อันตรภาคชั้น คือ คะแนนเปนชวง ๆ ชวงละเทา ๆ กัน จุดกึ่งกลางชั้น = 2 1 ของผลบวกของขอบลางและขอบบนของอันตรภาคชั้นนั้น พิสัย = คะแนนสูงสุด – คะแนนต่ําสุด จํานวนอันตรภาคชั้น= ชั้นองอันตรภาคความกวางข พิสัย ขอบลางของอันตรภาคชั้นใด คือ คากึ่งกลางระหวางคาที่ต่ํา ที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้นกับคาที่สูงที่สุด ของอันตรภาคชั้นที่ต่ํากวาและอยูชิดกัน ขอบบนของอันตรภาคชั้นใด คือ คากึ่งกลางระหวางคาที่สูงที่สุดของอันตรภาคชั้นนั้นกับคาที่ต่ําที่สุด ของอันตรภาคชั้นที่สูงกวาและอยูชิดกัน ตัวอยางผลการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที่3 จํานวน 60 คน ไดคะแนนดังตอไปนี้ 72 60 80 66 75 89 71 73 56 67
- 9. 9 45 69 7067 62 71 58 67 72 68 83 67 69 72 68 74 75 64 64 69 62 57 69 49 80 72 79 70 68 75 58 51 58 57 66 65 56 68 56 75 53 63 71 62 60 78 61 64 51 54 จงสรางตารางแจกแจงความถี่ใหมีความกวางของอันตรภาคชั้นเทากับ5 วิธีทํา 1. หาคะแนนสูงสุดและคะแนนต่ําสุดของขอมูลไดดังนี้ คะแนนสูงสุด 89 คะแนนต่ําสุด 45 2. หาผลตางระหวางคะแนนสูงสุดและคะแนนต่ําสุด ซึ่งเรียกวาพิสัยได พิสัย =คะแนนสูงสุด– คะแนนต่ําสุด= 89 – 45= 44 3. หาจํานวนอันตรภาคชั้นจาก จํานวนอันตรภาคชั้น= ชั้นองอันตรภาคความกวางข พิสัย = 5 44 = 8.8 ≈ 9 ชั้น นั่นคือจํานวนอันตรภาคชั้นที่ไดจะมีประมาณ 9 ชั้น ในทางปฏิบัติอาจได จํานวนอันตรภาคชั้น มากกวาหรือนอยกวานี้1 ชั้นก็ได 4. จัดอันตรภาคชั้นในชองคะแนน โดยเรียงคะแนนจากนอยไปมาก ให 45 อยูใน อันตรภาคชั้น แรก และ89 อยูในอันตรภาคชั้นสุดทายของตารางแจกแจงความถี่ ในที่นี้เริ่มจาก45ถาเริ่มเรียงคะแนนจากคะแนน ที่นอยกวา45อาจจะได จํานวนอันตรภาคชั้นเพิ่มขึ้นอีก1ชั้น 5. อานหรือขานคะแนนทีละตัวแลวเขียนรอยขีดแสดงจํานวนครั้งไวในชองรอยขีดใหตรงกับคะแนนที่อยู ในอันตรภาคชั้นนั้น จนครบทุกตัว 6. นับจํานวนรอยขีดแลวเขียนไวในชองความถี่ จะไดตารางแจกแจงความถี่ที่สมบูรณดังนี้ ตารางแจกแจงความถี่ของคะแนนวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้น ม.3
- 10. 10 ฮิสโทแกรม เปนการแจกแจงความถี่ดวยแผนภูมิแทง โดยใหความสูงของแตละแทงแทนขนาดของ ความถี่ของคะแนนในแตละอันตรภาคชั้นความกวางของแตละแทงแทนความกวางของแตละอันตรภาคชั้น ลักษณะของฮิสโทแกรมจึงเปนแทงรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากเรียงติดตอกัน และจุดปลายของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากแตละ รูปคือ ขอบลางและขอบบนของอันตรภาคชั้นที่เรียงตอกัน โดยแตละอันตรภาคชั้นจะมีจุดกึ่งกลางชั้น ฮิสโทแกรมแสดงการแจกแจงความถี่ของคะแนนวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนชั้น ม.3/8 แบบฝกหัดที่ 3
- 11. 11 1. ในการชั่งนาหนักเปนกิโลกรัมของทหารเกณฑ 40คน ปรากฏผลดังนี้ 64 60 60 57 65 61 61 66 65 62 68 58 61 61 60 64 64 68 59 60 61 68 65 64 64 70 61 61 62 66 60 57 62 66 66 64 60 58 60 61 จงสรางตารางตารางแจกแจงความถี่แบบแตละคาของขอมูลชุดนี้ วิธีทํา จากขอมูลที่กําหนดให คะแนนต่ําสุดคือ……………และคะแนนสูงสุดคือ…………… นําขอมูลเขียนในตารางโดยเรียงจากคะแนนต่ําสุดไปหาคะแนนสูงสุดในชองแรกของตารางในแนวดิ่ง พรอมทั้งหาความถี่ของขอมูล จะไดตารางแจกแจงความถี่ ดังนี้ 2. ตารางตอไปนี้เปนตารางแจกแจงความถี่ที่แสดงเงินเดือนของพนักงานบริษัทแหงหนึ่งจํานวน 75 คน
- 12. 12 จงตอบคําถามตอไปนี้ 1) การแจกแจงของขอมูลชุดนี้ เปนแบบอันตรภาคชั้นหางกัน1 หนวย หรือไม ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 2) ความกวางของทุกอันตรภาคชั้นเทากันหรือไม ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 3) แตละอันตรภาคชั้นกวางเทาใด ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 4) พนักงานสวนใหญไดรับเงินเดือนในอันตรภาคชั้นใด ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 5) มีพนักงานที่ไดรับเงินเดือนนอยกวา 3,000 บาท จํานวนกี่คน และคิดเปนกี่เปอรเซ็นตของจํานวน คนงานทั้งหมด ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 6) มีพนักงานที่ไดรับเงินเดือนอยางนอย 4,000 บาท จํานวนกี่คน และคิดเปนกี่เปอรเซ็นตของจํานวน คนงานทั้งหมด ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 3. ในการสํารวจไก (ตัว) ที่ใชทําอาหารในแตละสัปดาหของรานอาหารแหงหนึ่ง เปนเวลา 40 สัปดาห ไดผลดังนี้
- 13. 13 30 32 2825 27 40 35 38 45 20 33 50 48 42 37 36 34 42 50 52 22 24 32 35 20 38 45 32 47 39 28 46 38 42 25 48 50 27 32 46 จงสรางตารางแจกแจงความถี่โดยใหความกวางของอันตรภาคชั้นเทากันทุกชั้นโดยที่ 1) มีจํานวนอันตรภาคชั้นเทากับ 6 ชั้น 2) ความกวางของอันตรภาคชั้นเทากับ 10 วิธีทํา 1) จํานวนอันตรภาคชั้นเทากับ 6 ชั้น ขั้นตอนการสราง 1. หาขอมูลที่มีคาต่ําสุดและสูงสุด คือ……………และ…………… 2. พิสัย เทากับ คาสูงสุดของขอมูล – คาต่ําสุดของขอมูล เทากับ ………………………… 3. ความกวางของอันตรภาคชั้น เทากับ ………………………… 4. สรางตารางแจกแจงความถี่โดยมีจํานวนอันตรภาคชั้นเทากับ 6 ชั้น และมีความกวาง เทากับ……………ดังนี้ จํานวนไก(ตัว) รอยขีด จํานวนสัปดาห รวม 2) ความกวางของอันตรภาคชั้นเทากับ 10 ขั้นตอนการสราง 1. หาขอมูลที่มีคาต่ําสุดและสูงสุด คือ……………และ…………… 2. พิสัย เทากับ ………………………… 3. จํานวนอันตรภาคชั้น เทากับ ………………………… 4. สรางตารางแจกแจงความถี่โดยมีจํานวนอันตรภาคชั้นเทากับ……ชั้น และมีความกวางเทากับ 10 ดังนี้ จํานวนไก(ตัว) รอยขีด จํานวนสัปดาห
- 14. 14 รวม 4. ในการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนจํานวน 150คน ผลปรากฏดังตารางแจกแจงความถี่ดังนี้ จงหาขอบลาง ขอบบน จุดกึ่งกลางชั้น และความกวางของแตละอันตรภาคชั้น วิธีทํา 5. จากการสํารวจความสูงของนักเรียนจํานวน 40 คน ผลปรากฏดังตารางตอไปนี้
- 15. 15 1) จงสรางฮิสโทแกรม วิธีทํา จากโจทยสามารถหาขอบบนและขอบลางของแตละอันตรภาคชั้นไดดังนี้ นําขอมูลในตารางมาเขียนฮิสโทแกรมไดดังนี้ 2)จงสรางรูปหลายเหลี่ยมของความถี่ โดยใชจุดกึ่งกลางของอันตรภาคชั้นและความถี่
- 16. 16 วิธีทํา จากโจทยสามารถหาจุดกึ่งกลางของแตละอันตรภาคชั้นไดดังนี้ นําขอมูลดังกลาวมากําหนดจุดและลากสวนของเสนตรงเชื่อมจุดดังกลาว จะไดรูปหลายเหลี่ยมของ ความถี่ดังนี้ 3. ฮิสโทแกรมตอไปนี้แสดงคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียน 110 คน จงพิจารณา ฮิสโทแกรมนี้และ ตอบคําถาม จงตอบคําถามตอไปนี้ 1) ในชวงคะแนน 40 - 49 มีนักเรียนสอบไดกี่คน
- 17. 17 ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 2) ชวงคะแนนใดที่มีนักเรียนสอบไดคะแนนมากที่สุด ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 3) ชวงคะแนนใดที่มีนักเรียนสอบไดคะแนนนอยที่สุด ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 4)ถานักเรียนสอบไดคะแนน 70 คะแนนขึ้นไปถือวาสอบผาน นักเรียนที่สอบผานหรือนักเรียนที่สอบไมผานมี จํานวนมากกวากัน และมากกวาประมาณกี่คน ตอบ……………………………………………………………………………………………….. 5) จงเขียนรูปหลายเหลี่ยมของความถี่จากฮิสโทแกรมขางตน คากลางของขอมูล เปนคาที่ใชแทนขนาดและลักษณะของขอมูลแตละชุด ประโยชน ของการหาคากลาง ของขอมูล ก็คือทําใหไดตัวเลขจํานวนเดียวที่เปนตัวแทนของขอมูลหรือ คะแนน ทั้งหมดในแตละชุดมาเสนอ รายงาน การหาคากลางของขอมูลทําไดหลายวิธี คากลางของขอมูลที่นิยมใชกัน ซึ่งมี 3 ชนิด คือ คาเฉลี่ยเลข คณิต มัธยฐานและฐานนิยม คาเฉลี่ยเลขคณิต คือจํานวนที่ไดจากการหารผลบวกของขอมูลทั้งหมดดวยจํานวน ขอมูล จึงอาจเรียก สั้น ๆ วา คาเฉลี่ย ตัวอยาง จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงของนักเรียน 5 คน ดังตอไปนี้ 150, 148, 161, 155 และ 156 เซนติเมตร วิธีทํา คาเฉลี่ยเลขคณิต 1545 770 5 156155161148150 ==++++= เซนติเมตร ดังนั้นคาเฉลี่ยเลขคณิตของความสูงของนักเรียน 5 คน เทากับ 154 เซนติเมตร ตัวอยาง ผลการสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนกลุมหนึ่งไดคะแนนดังตอไปนี้ คะแนน 7 8 9 10 11 12 13
- 18. 18 จํานวนนักเรียน 1 12 9 4 2 1 จงหาคะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนกลุมนี้ วิธีทํา คะแนนเฉลี่ย ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20 113212411910291817 ×+×+×+×+×+×+× = 20 132444901887 ++++++= 2.1020 204 == คะแนน ดังนั้นคะแนนเฉลี่ยวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนกลุมนี้เทากับ 10.2 คะแนน Ẻ½ƒ¡ËÑ´·Õè 4 1. จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิตของขอมูลในแตละชุดตอไปนี้ 1) 3, 5, 4, 2, 1, 4, 8, 7, 9, 3, 5, 6, 4, 8 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 2) 2.5, 3.5, 2.4, 1.2, 3.2, 1.5, 5.2, 2.6, 4.2, 1.5, 2.3 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 3) 85, 95, 84, 75, 82, 45, 76, 83, 74, 85, 71, 76 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 4) 140, 150, 120, 130, 160, 170, 150, 120, 130 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 2. คาเฉลี่ยของคะแนนสอบของนักเรียนชาย 6 คน และนักเรียนหญิง 4 คน เปน 51 คะแนน 1) จงหาคะแนนรวมของคะแนนสอบของนักเรียนทั้ง 10 คนนี้ …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………
- 19. 19 2) ถาคาเฉลี่ยของคะแนนสอบของนักเรียนชายเปน 49คะแนน จงหาคาเฉลี่ยของคะแนนสอบของ นักเรียนหญิง …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 3. ดิลกเรียนอยูชั้นมัธยมศึกษาปที่ 3 มีผลการเรียน 5 ภาคเรียนที่ผานมาเปน ดังนี้ จงหาระดับผลการเรียนเฉลี่ยทั้ง 5 ภาคเรียนของดิลก วิธีทํา จํานวนหนวยการเรียนทั้งหมด เทากับ……………………………………… ระดับผลการเรียนเฉลี่ยทั้ง 5 ภาคเรียนของดิลก คือ ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ตอบ………………………………………………………………………………………… มัธยฐาน คือคากลางของขอมูลเมื่อเรียงขอมูลจากนอยไปหามากหรือจากมากไปหานอยแลว จํานวน ขอมูลที่นอยกวาจะเทากับจํานวนขอมูลที่มากกวาคานั้น ตัวอยาง จงหามัธยฐานของขอมูลตอไปนี้ 1) 8, 11, 9, 14, 5, 15 และ 6 2) 22, 26, 29, 35, 42 และ 50 วิธีทํา 1) เรียงขอมูลจากนอยไปหามากไดดังนี้ 5 6 8 9 11 14 15 มัธยฐานของขอมูลชุดนี้ คือ 9 2) เรียงขอมูลจากนอยไปหามากไดดังนี้ 22 26 29 35 42 50 มัธยฐานของขอมูลชุดนี้ คือ 322 64 2 3529 ==+ ตัวอยาง จงหามัธยฐานของขอมูลตอไปนี้ คะแนน 27 28 30 33 35 39
- 20. 20 จํานวนนักเรียน 1 27 5 3 2 วิธีทํา เรียงคะแนนจากนอยไปหามากตามจํานวนนักเรียนไดดังนี้ 27, 28, 28, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 30, 33, 33, 33, 33 , 33, 35, 35, 35, 39, 39 มัธยฐานของขอมูลชุดนี้ คือ 5.312 63 2 3330 ==+ คะแนน ฐานนิยม คือขอมูลที่ซ้ํากันมากที่สุดในขอมูลชุดนั้น หรือขอมูลที่มีความถี่สูงสุดใน ขอมูลชุดนั้น ตัวอยางที่ 1 จงหาฐานนิยมของขอมูลตอไปนี้ 5, 6, 4, 3, 5, 7, 9, 5, และ 6 วิธีทํา ขอมูลที่ซ้ํากันมากที่สุดในขอมูลชุดนี้คือ 5 (มี 3 ครั้ง) ดังนั้นฐานนิยมของขอมูลชุดนี้คือ 5 ตัวอยางที่ 2 จงหาฐานนิยมของขอมูลตอไปนี้ 2, 4, 3, 5, 7, 9 และ 6 วิธีทํา ขอมูลชุดนี้ไมมีขอมูลที่ซ้ํากันเลย (มีความถี่เทากันหมด) ดังนั้นขอมูลชุดนี้ไมมีฐานนิยม ตัวอยางที่ 3 จงหาฐานนิยมของขอมูลตอไปนี้ คะแนน 30 39 42 45 50 52 จํานวนนักเรียน 2 4 6 7 5 3 วิธีทํา คะแนนที่นักเรียนสวนใหญทําได คือ 45 (มี 7 คน) ดังนั้นฐานนิยมของขอมูลชุดนี้คือ 45 คะแนน แบบฝกหัดที่ 5 1. จงหามัธยฐานของขอมูลตอไปนี้ 1) 14, 17, 18, 29, 42, 56, 100 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 2) 39, 45, 38, 44, 52, 36, 41, 42, 53, 50, 38 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 3) 16, 20, 35, 25, 16, 18, 22, 28, 30, 27 ……………………………………………………………………………………………………
- 21. 21 …………………………………………………………………………………………………… 4) 15, 18,17, 17, 29, 25, 37, 49, 62 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 5) 41.4, 38.5, 40.1, 37.3, 38.7, 35.2, 43.9, 39.3 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 2. จงหาฐานนิยมของขอมูลตอไปนี้ 1) 2, 9, 15, 7, 8, 2, 17, 15, 8, 9, 8 …………………………………………………………………………………………………… 2) 7, 11, 19, 22, 7, 19, 17, 11, 12, 11, 19 …………………………………………………………………………………………………… 3) 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3 3, 1, 2, 3 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 4) 5, 7, 4, 8, 7, 11, 7, 4, 10, 8 …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 3. รานขายเสื้อสําเร็จรูปสตรีแหงหนึ่ง จําหนายเสื้อขนาดตามเบอรตาง ๆ ในหนึ่งสัปดาหไดดังตาราง จงตอบคาถามตอไปนี้ 1) คนสวนใหญซื้อเสื้อเบอรอะไร …………………………………………………………………………………………………… 2) เฉลี่ยแลวในแตละวันขายเสื้อไดกี่ตัว …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… 4. จากการทดลองโยนลูกเตาสองลูกพรอม ๆ กัน สังเกตผลรวมของแตมที่ปรากฏไดดังนี้
- 22. 22 จงหาคาเฉลี่ย มัธยฐาน และฐานนิยมของผลรวมของแตมที่ปรากฏ 1)จากโจทยผลรวมของความถี่ทั้งหมดคือ………………………………… ดังนั้น คาเฉลี่ยของผลรวมของแตมที่ปรากฏเทากับ ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… นั่นคือ คาเฉลี่ยของผลรวมของแตมที่ปรากฏเทากับ………………………………… 2) ตําแหนงกึ่งกลางของขอมูลคือ ตําแหนงที่………………………………… และเมื่อเรียงขอมูลจากนอยไปหามากแลวจะไดมัธยฐานคือ………………………………… 3) ฐานนิยมเทากับ………………………………… 5. รายไดตอเดือนของพนักงาน 6 คน ของบริษัทแหงหนึ่ง เปนดังนี้ 5,300 4,800 5,000 5,200 4,500 8,000 1) จงหาคาเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยมของขอมูลดังกลาว ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2) คากลางชนิดใด เหมาะสมที่จะเปนตัวแทนรายไดตอเดือนของพนักงานทั้ง 6 คนนี้ไดดีกวากัน เพราะเหตุใด ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 6. ขอมูลชุดหนึ่งมี 5 อยูหาตัว มี 6 อยูหกตัว มี 7 อยูเจ็ดตัว มี 8 อยูแปดตัว และมี 9 อยูเกาตัว จงหา คากลางทั้งสามชนิดของขอมูลนี้ …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………
- 23. 23 การกระจายของขอมูล หมายถึงการที่ขอมูลในชุดใดชุดหนึ่งอยูหางหรือแตกตางกัน มากนอยเพียงใดถา ขอมูลในชุดใดอยูใกล ๆ กันหรือเกาะกลุมกันกลาววาขอมูลชุดนั้นมีการกระจายของขอมูลนอย แตถาขอมูลในชุดใด อยูหางกันมากกลาววาขอมูลชุดนั้นมีการกระจายของขอมูลมาก การวัดการกระจายของขอมูลมีหลายวิธี แตที่ใชกัน มาก ไดแก พิสัยและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ รากที่สองของคาเฉลี่ยของสวนเบี่ยงเบนระหวางขอมูลแตละตัวกับคาเฉลี่ย เลขคณิตของขอมูลชุดนั้นยกกําลังสอง พิสัย คือ ผลตางระหวางขอมูลสูงสุดกับขอมูลต่ําสุด ตัวอยาง จงหาพิสัยของคะแนนตอไปนี้ (1) 25, 43, 32, 28, 14, 35, 40, 37, 39, 22, 19, 26 และ 31 (2) 9, 11, 15, 18, 20, 23, 25, 26, 27 และ 29 วิธีทํา (1) เรียงคะแนนจากคะแนนต่ําสุดไปหาคะแนนสูงสุด ไดดังนี้ 14, 19, 22, 25, 26, 28, 31, 32, 35, 37, 39, 40, 43 คะแนนต่ําสุด =14 คะแนนสูงสุด = 43 พิสัย = 43 – 14 = 29 (2) คะแนนต่ําสุด =9 คะแนนสูงสุด = 29 พิสัย = 29 – 9 = 20 แสดงวาขอมูลชุดที่ (1) มีการกระจายของขอมูลมากกวา ขอมูลชุดที่ (2) สวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ รากที่สองของคาเฉลี่ยของสวนเบี่ยงเบนระหวางขอมูลแตละตัวกับคาเฉลี่ย เลขคณิตของขอมูลชุดนั้นยกกําลังสอง มีขั้นตอนในการคํานวณดังนี้ ขั้นที่ 1 หาคาเฉลี่ยเลขคณิต ขั้นที่ 2 หาสวนเบี่ยงเบนหรือผลตางระหวางขอมูลแตละตัวกับคาเฉลี่ยเลขคณิต โดยนําขอมูลแตละตัว ลบดวยคาเฉลี่ยเลขคณิต ขั้นที่ 3 หากําลังสองของสวนเบี่ยงเบนแตละคาที่ไดในขั้นที่ 2 ขั้นที่ 4 หาคาเฉลี่ยเลขคณิตของกําลังสองของสวนเบี่ยงเบนที่ไดในขั้นที่ 3 ขั้นที่ 5 หารากที่สองที่เปนบวกของคาเฉลี่ยเลขคณิตของกําลังสองของสวนเบี่ยงเบนที่ไดในขั้นที่ 4 ตัวอยาง จงหาสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของนักเรียน 5 คน ดังตอไปนี้ 150, 148, 161, 155 และ 156 เซนติเมตร วิธีทํา 1. คาเฉลี่ยเลขคณิต 1545 770 5 156155161148150 ==++++= เซนติเมตร 2. หาสวนเบี่ยงเบนระหวางขอมูลแตละตัวกับคาเฉลี่ยเลขคณิต และ 3. หากําลังสองของสวนเบี่ยงเบนแตละคาที่ไดตามตารางดังตอไปนี้
- 24. 24 ความสูง สวนเบี่ยงเบน กําลังสองสวนเบี่ยงเบน 148 150 155 156 161 –6 – 4 1 2 7 36 16 1 4 49 รวม 106 4. หาคาเฉลี่ยเลขคณิตของกําลังสองของสวนเบี่ยงเบนที่ไดในขั้นที่ 3 ไดเทากับ 2.215 106 5 49411636 ==++++ 5. หารากที่สองที่เปนบวกของคาเฉลี่ยเลขคณิตของกําลังสองของสวนเบี่ยงเบนที่ไดในขั้นที่ 4 จะได 6043.42.21 = ดังนั้นสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสูงของนักเรียน 5 คนนี้มีคาประมาณ 4.6 เซนติเมตร