การแก้อสมการ

1. ใบความรู้ที่ 20
เรื่อง อสมการตัวแปรเดียว
อสมการตัวแปรเดียวดีกรีหนึ่ง
ในการแก้อสมการตัวแปรเดียวดีกรีหนึ่ง หรือการหาคาตอบของอสมการนั้นจะต้องอาศัย
สมบัติของอสมการ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างที่ 1 จงหาคาตอบของอสมการต่อไปนี้ และเขียนแทนด้วยเซต
1. 2x + x < 10
2. 4x – 4  2x + 4
วิธีทา  2x + 2 < 10
 2x + 2 + (-2) < 10 + (-2)
2x < 8
2
1
(2x) < 2
1
(8)
x < 4
เซตคาตอบของ 2x + 2 < 10 คือ {x | x < 4}
2.  4x – 4  2x + 4
 4x – 4 + 4  2x + 4 + 4
4x  2x + 8
4x + (-2x)  2x + (-2x) + 8
2x  8
2
1
(2x)  2
1
(8)
x  4
 เซตคาตอบของอสมการ 4x – 4  2x + 4 คือ {x | x  4}

2. ตัวอย่างที่ 2 จงแก้อสมการต่อไปนี้ พร้อมทั้งแสดงคาตอบโดยใช้เส้นจานวน
1. -x + 4 < -12
2. -x + 7  4
วิธีทา 1. -x + 4 < 12
บวกทั้งสองข้างของอสมการด้วย -4 จะได้
-x + 4 + (-4) < -12 + (-4)
-x < -8
x > 8 (เอา -1 คูณทั้งสองข้าง)
 เซตคาตอบของอสมการคือ เซตของจานวนจริงที่มากกว่า 8 หรือ {x | x > 8}
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2. -x + 7  4
บวกทั้งสองข้างของอสมการด้วย -7 จะได้
-x + 7 + (-7)  4 + (-7)
-x  -3
x  3
 เซตคาตอบของอสมการคือ เซตของจานวนจริงที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 3 หรือ
{x | x  3}
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
ตัวอย่างที่ 3 จงแก้สมการ < +
วิธีทา < +
+
5
3
< +
< เป็นอสมการที่เป็นเท็จ
ดังนั้น อสมการนี้ไม่มีคาตอบเป็นจานวนจริง
5
13 )x( 
5
3x
4
1
5
13 )x( 
5
3x
4
1
5
3x
5
3x
4
1
5
3
4
1

3. ตัวอย่างที่ 4 จงแก้อสมการ < + 3
วิธีทา < + 3
+
5
12
< + 3
5
12
< 3 เป็นอสมการที่เป็นจริง
อสมการ < + 3 เป็นจริงเสมอ
ไม่ว่าจะแทน x ด้วยจานวนจริงใดๆ
ดังนั้น อสมการนี้มีคาตอบเป็นเซตของจานวนจริง
อสมการตัวแปรเดียวดีกรีสอง
ตัวอย่าง จงแก้อสมการ x2
+ x – 6 > 0 และแสดงคาตอบโดยใช้เส้นจานวน
วิธีทา จาก x2
+ x – 6 > 0
จะได้ (x + 3)(x – 2) > 0
พิจารณาค่าของ x ในช่วง (-, -3), (-3, 2) และ (2, )
โดยเลือกค่า x ที่อยู่ในช่วงดังกล่าว
ช่วง x (x + 3)(x – 2) ค่าของ (x + 3)(x – 2)
(-, -3) -5 (-2)(-7) = 14 มีค่าเป็นบวก
(-3, 2) 1 4(-1) = -4 มีค่าเป็นลบ
(2, ) 4 (7)(2) = 14 มีค่าเป็นบวก
และเมื่อเลือกค่า x ในช่วงดังกล่าวเพิ่ม จะพบว่า (x + 3)(x – 2) มีค่าเป็นบวกหรือ
มากกว่าศูนย์ เมื่อ x อยู่ในช่วง (-, -3) และ (2, )
แสดงคาตอบโดยใช้เส้นจานวนได้ดังนี้
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
5
324 )x( 
5
8x
5
324 )x( 
5
8x
5
8x
5
8x
5
324 )x( 
5
8x

4. แบบฝึกทักษะที่ 20
เรื่อง อสมการตัวแปรเดียว
1. ให้นักเรียนเติมคาตอบลงในช่องว่างต่อไปนี้ให้ถูกต้องสมบูรณ์
ข้อที่ โจทย์อสมการ
1 จงหาเซตคาตอบของอสมการต่อไปนี้และเขียนแทนด้วยเซต
1.1 x + 3 < 6
1.2 2x + 4  10
1.3 3x – 7  5
1.4 -4 + 4x  8
1.1 …………………….
1.2 …………………….
1.3 …………………….
1.4 …………………….
2 จงแก้อสมการต่อไปนี้ และแสดงคาตอบโดยใช้เส้นจานวน
2.1 -3x  -6
2.2 -5x – 1  -11
2.3 -8x + 6 > -10
2.4 -5 – 5x > -2x - 8

5. เฉลยแบบฝึกทักษะที่ 20
เรื่อง อสมการตัวแปรเดียว
1) 1.1 {x | x < 3}
1.2 {x | x  6}
1.3 {x | x  4}
1.4 {x | x  3}
2) 2.1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2.2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2.3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2.4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4