Επιμέλεια: Χρήστος Ηρακλείδης και Νίκος Σούρμπης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

1. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ - Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΤΑΡΤΗ 17ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2019
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα ενδιάμεσων
τιμών.
Α2. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό:
« Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση f: Α', αν ισχύει ότι
f΄(x)=0 για κάθε xΑ, τότε η f είναι σταθερή στο Α »
α. Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο
τετράδιο σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής ή το γράμμα Ψ, αν
είναι ψευδής.
β. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας στο ερώτημα α.
A3. Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση
y=f(x), όπου f είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο xo, τότε τι
ονομάζεται ρυθμός μεταβολής του y ως προς x στο σημείο xo ;
A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας
στο τετράδιο σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε
πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν
η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α, β, γΔ τότε
ισχύει  






 dx)x(fdx)x(fdx)x(f
β) Οι κανόνες de l’ Hospital δεν ισχύουν για πλευρικά όρια.
γ) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f σ’ ένα διάστημα [α, β] με
f(x)0 για κάθε x[α, β] ισχύει 


 0dx)x(f
δ) Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α, β], τότε η f παίρνει
στο [α, β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m
ε) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f
στα σημεία καμπής της ‘’διαπερνά’’ την Cf
Μονάδες 8+1+3+3+10
24.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 7

2. ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ - Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Β
Έστω η συνάρτηση f(x)=(x–ex
)e–x
Β1. Να μελετήσετε την f ως προς μονοτονία, ακρότατα, κοίλα
και σημεία καμπής.
Μονάδες 6
Β2. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τις ασύμπτωτες και τα σημεία
τομής της Cf με τους άξονες συντεταγμένων.
Μονάδες 6
B3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται
απ' την Cf, τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x=1
Μονάδες 7
Β4. Να χαραχθεί η Cg όπου g(x)=f(x)+1
Μονάδες 6
24.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 7

3. ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ - Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Γ
Οι διαγώνιοι του παρακάτω ρόμβου ΑΒΓΔ είναι ΑΓ=2, ΒΔ=1
και έστω σημείο Μ που διατρέχει τη διαγώνιο AΓ κινούμενο απ’
το Α προς το Γ
x
Λ
Κ
Δ
Α Γ
Β
Μ
Γ1. Να εκφράσετε το ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ συναρτήσει του
x=ΑΜ και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του
γραμμοσκιασμένου χωρίου δίνεται απ’ τη συνάρτηση
 








2112
2
1
10
2
1
)(f
2
x,x
x,x
x
2
Μονάδες 7
Γ2. Να υπολογίσετε το όριο
xx
xx
x
x
x









)(f
1
1
)(f
lim
0
Μονάδες 5
Γ3. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να σχεδιαστούν οι
γραφικές παραστάσεις των f και 1
f 
στο ίδιο σύστημα
αξόνων.
Μονάδες 8
Γ4. Να λύσετε την εξίσωση ln2
x +(x–2)2
= 2 στο διάστημα (1, 2)
Μονάδες 5
24.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 7

4. ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ - Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται ότι η συνάρτηση f(x) = αlnx – (x–2)2
όπου x>0 και αℝ
παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο xo=1+
2
3
Να αποδείξετε ότι:
Δ1. α=1 και f κοίλη στο διάστημα Δ=(0, +∞ )
Μονάδες 6
Δ2. η εξίσωση f(x)=0 έχει ακριβώς δύο ρίζες στο Δ
Μονάδες 9
Δ3. f(x)  3x – 4 για κάθε xΔ
Μονάδες 5
Δ4. 1dx)(f
2
1
 xx
Μονάδες 5
KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!
24.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 4 of 7

5. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Επιµέλεια : Νίκος Σούρµπης 21/4/2019
Θέµα Α
Α1. Έστω συνάρτηση f ορισμένη στο διάστημα [ ],α β η οποία
παρουσιάζει σε εσωτερικό σημείο 0x του παραπάνω διαστήματος τοπικό
ακρότατο και είναι παραγωγίσιμη στο 0x . Να αποδείξετε ότι ( )0 0f x′ = .
Α2. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [ ],α β .
Να γράψετε τη γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος Bolzano.
Α3. Θεωρήστε τον ισχυρισμό:
«Αν η f είναι κυρτή και δυο φορές παραγωγίσιμη στο ℝ τότε ( ) 0f x′′ >
για x∈ℝ » . Να απαντήσετε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) και να
αιτιολογήσετε.
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις με τη λέξη Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ).
1. Αν το
( ) ( )0 0
0
lim
h
f x h f x
h→
+ −
∈ℝ τότε η f είναι συνεχής στο 0x .
2. Αν η πολυωνυμική f έχει ακρότατο σε 0x ∈ℝ τότε ( )0 0f x′ = .
3. Αν η συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο (α,γ) είναι κυρτή στο
(α,β) και κοίλη στο (β,γ) τότε το σημείο ( )( ), fβ β είναι πάντοτε
σημείο καμπής της Cf .
4. Αν η συνάρτηση : →ℝ ℝf είναι «1-1» με ( )Α = ℝf τότε ισχύει
( )( ) ( )( )1 1
f f x f f x− −
= , ∈ℝx .
5. Για κάθε συνεχή συνάρτηση f στο διάστημα [ ],α β ισχύει ότι :
( ) ( )
1
lim
v
k
v
ka
f x dx f x
β
ξ
→∞
=
 
= ⋅∆ 
 
∑∫
24.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 5 of 7

6. Θέµα Β
Στο διπλανό σχήμα είναι οι γραφικές
παραστάσεις των συναρτήσεων f , f′.
Β1) Να δείξετε ότι 1 2,f fC C C C ′= = .
Β2) Να λυθεί η εξίσωση : ( ) ( ) 1f x f x′ = +
Β3) Να βρείτε τα : ( ) ( )( )0
lim ln
x
f x f x
→
,
( )
( )
1
lim
x
f x
f x
ηµ
→+∞
 
 
 
,
( ) ( )
( )
lim
x
f x f x
f x
ηµ συν
→+∞
+
,
( ) ( )( )1
lim
x
f x f x
→−
′−
Β4) Να δείξετε ότι ( )
2
0
2f x dx <∫
Θέµα Γ
Έστω η συνάρτηση :f →ℝ ℝ με ( )0 1f = όπου ισχύει :
( ) ( )
( ) ( )
0
0 0
0
0
0 0
0
lim 2 1
→
−
 = + − −
x x
x x
x x
e f x e f x
e f x e x
x x
για κάθε 0 ∈ℝx .
Γ1) Να δείξετε ότι η ( )
( ) 2x
x
f x
x e x
e
ϕ −  
= + 
 
είναι σταθερή στο ℝ και
στη συνέχεια ότι ( ) 2
2 ,x x
f x e xe x= − ∈ℝ .
Γ2) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ και να βρείτε:
α) Το σύνολο τιμών ( )f Α της συνάρτησης f
β) Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης :
λ
0
2 f(λ) f(x) dx , λ−
= + ∈∫ ℝx x
e x e
C1
C2
0
1
-1
24.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 6 of 7

7. Γ3) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f έχει δυο σημεία καμπής
τα σημεία ( )( ) ( )( )0, 0 , Β ,f a f aΑ με ( )2, 1∈ − −α .
Γ4) Να βρεθεί το εμβαδόν χωρίου ανάμεσα στην f , την εφαπτομένη
ευθεία της f στο 0 0=x και την ευθεία x = 1.
Θέµα ∆
Έστω η συνάρτηση ( ) 2
1
x
f x
x
α β+
=
+
με Α = ℝ και ,α β ∈ℝ .
Αν η f έχει τοπικό μέγιστο
1
4
2
f
 
= 
 
.
Δ1) Να δείξετε ότι α = 4 και β = 3.
Δ2) Να βρεθεί το σύνολο τιμών ( )f Α της f και στη συνέχεια να δείξετε ότι
α. ( ) ( )lim 0
→+∞
=  x
f x f xηµ ηµ β. ( ) ( )
1 1
2
0 0
3 4< ⋅ +∫ ∫f x dx f x dx
Δ3) Έστω F μια παράγουσα της f στο ℝ με ( )0 0F = , να δείξετε ότι
( ) ( )4ln 3+ =F x x xεφ συν για κάθε 0,
2
x
π 
∈  
και να βρείτε το εμβαδόν χωρίου ανάμεσα στην Cf , τον άξονα x΄x
και τις ευθείες x = 0 , x = 1 .
Δ4) Να βρείτε τη παραγωγίσιμη συνάρτηση g για την οποία ισχύει ότι
g(g (x)) F(1)′ = για κάθε x∈ℝ και g(0) 0=
24.04.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 7 of 7