Επιμέλεια: Ν. Σουρμπής και Γ. Βαρβαβούκας αποκλειστικά από το lisari.blogspot.com

1. ΝΙΚΟΣ ΣΟΥΡΜΠΗΣ - Γ.ΒΑΡΒΑ∆ΟΥΚΑΣ
27/10/2019
Θέµα Α
Α1) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο 0x , να αποδείξετε ότι η
συνάρτηση f είναι και συνεχής στο 0x .
(Μονάδες 9)
Α2) Να δοθεί ο ορισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης f στο 0 fx A∈ .
(Μονάδες 3)
Α3) Θεωρήστε τον ισχυρισμό:
«Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x τότε είναι και παραγωγίσιμη
στο 0x ». Να απαντήσετε με Σ ή Λ και να αιτιολογήστε.
(Μονάδες 1+2)
Α4) Με βάση το διπλανό σχήμα να απαντήσετε με Σωστό ή Λάθος
στις παρακάτω προτάσεις.
α. Η f είναι αντιστρέψιμη.
β. Η f έχει μέγιστη τιμή ( )1 1f = .
γ. H εξίσωση ( )2019 1f x⋅ =
έχει τουλάχιστον μια ρίζα.
δ. ( ) ( )( ) ( )( )2
0
lim lim
x x
f x f x f f x+→+∞ →
− =
ε. H f έχει οριζόντια εφαπτομένη. (Μονάδες 10)
x
y
0 1
1
f
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
07.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 3

2. Θέµα Β
Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4
2 1x x
f x e e= + + με πεδίο ορισμού [ )0,Α = +∞ .
B1) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α και να βρείτε το
σύνολο τιμών ( )f A . (Μονάδες 4)
B2) Θεωρούμε τις συναρτήσεις ( ) ( )
2
1x
g x e= + και ( )h x x= , με 0x ≥
να δείξετε ότι ισχύει goh f= . (Μονάδες 6)
B3) Να δείξετε ότι η αντίστροφη της f είναι η συνάρτηση
( ) ( )1 2
ln 1f x x−
= − με 4x ≥ (Μονάδες 8)
Β4) Να υπολογίσετε το όριο
( )
( )1
lim
x
f x
f x
ηµ
−→+∞
. (Μονάδες 7)
Θέµα Γ
Έστω η συνεχής συνάρτηση :f →ℝ ℝ για την οποία ισχύει ότι :
( ) ( ) 2x x x
f x e e f x e+ = + για κάθε x∈ℝ
Γ1) Να δείξετε ότι ( )0 1f = . (Μονάδες 5)
Γ2) Να δείξετε ότι ( ) x
f x e= και να βρείτε το όριο:
( ) ( )
( )
2
lim
1
x
x
f x f x
e
f x
ηµ −
→+∞
 +
  − 
(Μονάδες 5)
Γ3) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f και η συνάρτηση ( )
1
g x
x
= , x > 0
έχουν ένα μόνο κοινό σημείο 0x . (Μονάδες 8)
Γ4) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της συνάρτησης g στο 0x σχηματίζει με
τους άξονες τρίγωνο εμβαδού 2 τ.μ. (Μονάδες 7)
07.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 3

3. Θέµα ∆
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
[ ]3,7Α = με ( )4 0f = .
Δ1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση ( ) ( )4 3g x f x= + έχει πεδίο ορισμού το
[ ]0,1gΑ = και στη συνέχεια ότι έχει ένα μόνο κοινό σημείο ( )0 0,x yΜ με την
ευθεία ε: y = x. (Μονάδες 10)
Δ2) Να λύσετε την ανίσωση : ( ) ( )2 2 2 2
7 4 4 3f x x f x xσυν ηµ− + > + + .
(Μονάδες 5)
Δ3) Με δεδομένο ότι
( ) ( )0 0
0
lim 2
h
g x h g x h
h→
+ − −
= − , να δείξετε ότι η
συνάρτηση g και η ( ) 0
0 1x x
x e xϕ − +
= + − έχουν κοινή εφαπτομένη στο 0x .
(Μονάδες 5)
Δ4) Να βρείτε το όριο ( ) ( )( )0
lim 2 ln
x
g x g x x+
→
 −  . (Μονάδες 5)
Ευχόµαστε επιτυχία
07.11.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 3