Vektor posisi dan perkalian vektor dalam sistem koordinat kartesian digunakan untuk menyelesaikan soal-soal yang melibatkan segitiga dalam ruang. Perhitungan vektor antara titik, sudut antara vektor, proyeksi vektor, dan luas segitiga dijelaskan.

1. 11
VEKTOR POSISIVEKTOR POSISI
Simon Patabang

2. 22
PERKALIAN VEKTORPERKALIAN VEKTOR
Perkalian titik (Dot Product)

Hasilnya skalarHasilnya skalar
A
Proyeksi B pada A
θAB
B
Proyeksi A pada B
ABcosBABA θ=•
ABcosABAB θ=•
ABBA •=•

3. 33
Perkalian Silang

Hasilnya vektorHasilnya vektor
aN = vektor satuan yang
tegak lurus pada
bidang yang dibentuk
oleh vektor-vektor A
dan B (arahnya sesuai
dengan aturan ulir
tangan kanan)
NAB asinBABA θ=×
A × B
A
θAB B
B × A
ABBA ×−=×

4. 44
SISTEM KOORDINAT KARTESIANSISTEM KOORDINAT KARTESIAN
Titik

Dinyatakan
dengan 3 buah
koordinat x, y
dan z  P(x, y, z)

P(1, 2, 3)

Q(2, -2, 1)

5. 55
Vektor

Dinyatakan denganDinyatakan dengan
tiga buah vektortiga buah vektor
satuansatuan ax, ay dan az

r = x + y + z
 r = x ax + y ay + z az

r = vektor posisi dari= vektor posisi dari
sebuah titik dalamsebuah titik dalam
ruangruang

6. Vektor PosisiVektor Posisi
Vektor yang mengarah ke titik (x,y,z) dari titik asal
disebut dengan vektor posisi:
• Besarnya
r adalah jarak dari titik asal, dan vektor satuan ř
mengarah radial keluar dari permukaan bidang
x,y,z

7. 77
Contoh :
rrPP == aaxx + 2+ 2 aayy + 3+ 3 aazz (vektor posisi titik P)(vektor posisi titik P)
rrQQ = 2= 2 aaxx - 2- 2 aayy ++ aazz (vektor posisi titik Q)(vektor posisi titik Q)

8. 88
Vektor antara 2 titik
RPQPQ == rrQQ –– rrPP
= [2 - 1]= [2 - 1] aaxx + [- 2 - (2)]+ [- 2 - (2)] aayy + [1 - 3]+ [1 - 3] aazz
== aaxx - 4- 4 aayy – 2– 2 aazz

9. Vektor SatuanVektor Satuan
Vektor satuan adalah verktor posisi dibagi dengan
bersarnya vektor tersebut.
Contoh :
Carilah vektor satuan dari vektor posisi : 2i + 4j – 4k
Jawab :
Besar vektor =>
Vektor satuan =>
99
2 2 2
36 6
2 4 4r
r
= + +
= =
2 4 4
| | 6
0,5 0,667 0,667
pr i j k
r
r
r i j k
+ −
= =
= + −

10. Contoh :
Sebuah patikel bergerak dari titik P (3, 2) ke titik Q (11, 8).
a. Tuliskanlah vektor posisi titik itu ketika berada di titik P
dan di titik Q.
b. Hitunglah vektor perpindahan dari titik P ke titik Q serta
besar dan arah vektor perpindahan tersebut.
Penyelesaian :
Diketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11,
8).
a. Vektor posisi di titik P (rP) dan di titik Q (rQ)
adalah:
rP = 3i + 2j
rQ = 11i + 8j

11. b. Vektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah
Δr yang diperoleh sebagai berikut
Δr = rQ – rP
Δr = (11i + 8j) – (11i + 8j)
Δr = (11i + 8j) – (3i + 2j)
Δr = 8i + 6j
Besar vektor perpindahan :
= |ṝ rQ – rP | = | 8i + 6j |
r = √(8² + 6²) = 10
Vektor satuan :

12. 1212
Titik asal  O(0, 0, 0)
Bidang

x = 0 (bidang ZOY), y = 0 (bidang ZOX),x = 0 (bidang ZOY), y = 0 (bidang ZOX),
z = 0 (bidang XOY)z = 0 (bidang XOY)
Bidang Vektor

13. 1313
Elemen Luas (vektor)
 ±± dy dzdy dz aaxx
 ±± dx dzdx dz aayy
 ±± dx dydx dy aazz

14. 1414
Elemen Volume (skalar)

dx dy dzdx dy dz

15. 1515
Perkalian titik dalam sistem
koordinat kartesian
A = Ax ax + Ay ay + Az az
B = Bx ax + By ay + Bz az
A • B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
A • B = ABcos θAB
B
A
θAB
2
z
2
y
2
x
2
z
2
y
2
x
BBBB
AAAA
++=
++=
222
zyx
B
BBB
B
B
B
a
++
==
Proyeksi vektor A
pada vektor B
BBBAB a)aA(acosA •=θ

16. 1616
Contoh Soal 1
Diketahui tiga buah titik A(2, 5, -1), B(3, -2, 4) dan C(-
2, 3, 1)
Tentukan :
a. RAB • RAC
b. Sudut antara RAB dan RAC
c. Proyeksi vektor RAB pada RAC
Jawab :
RAB
= ax
– 7 ay
+ 5 az
RAC
= - 4 ax
– 2 ay
+ 2 az

17. 1717
RAB
= ax
– 7 ay
+ 5 az
RAC
= - 4 ax
– 2 ay
+ 2 az
a). RAB
• RAC
= (1)(-4) + (-7)(-2) + (5)(2) = 20
899,44416660,825491 =++==++= ACAB RRb).
o
ACAB
ACAB
9,61471,0
)899,4)(660,8(
20
RR
RR
cos =θ→==
•
=θ
c). zyx
zyx
AC
AC
AC a408,0a408,0a816,0
899,4
a2a2a4
R
R
a +−−=
+−−
==
Proyeksi RAB
pada RAC
:
(RAB
• aAC
) aAC
= [(1)(- 0,816) + (- 7)(- 0,408) + (5)(0,408)]aAC
= 4,08 (- 0,816 ax
– 0,408 ay
+ 0,408 az
)
= - 3,330 ax
– 1,665 ay
+ 1,665 az

18. 1818
Perkalian silang dalam
sistem koordinat
kartesian
A = Ax ax + Ay ay + Az az
B = Bx ax + By ay + Bz az
A x B = ABsin θAB aN
A × B
A
θAB B
A × B = (AyBz – AzBy­) ax +
(AzBx – AxBz­) ay +
(AxBy – AyBx­) az zyx
zyx
zyx
BBB
AAA
aaa
BA =×

19. 1919
a. RBC × RBA
b. Luas segitiga ABC
c. Vektor satuan yang tegak lurus pada
bidang segitiga
Contoh :
Sebuah segitiga dibentuk oleh tiga buah titik A(2, -5, 1),
B(-3, 2, 4) dan C(0, 3, 1)
Tentukan :
RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az
Jawab :

20. 2020
RBC = 3 ax + ay - 3 az RBA = 5 ax - 7 ay - 3 az
zyx
z
y
x
zyx
BABC
a26a6a24
a)]5)(1()7)(3[(
a)]5)(3()3)(3[(
a)]7)(3()3)(1[(
375
313
aaa
RR
−−−=
−−+
−−−−
−−−−=
−−
−=×
a).

21. 2121
944,17
2
888,35
2
26624
2
RR
ABC
222
BABC
==
++
=
×
=∆
zyxBABC a26a6a24RR −−−=×
b).
ABCLuas2
)AD)(BC(
)sinBA)(BC(
sinRRRR BABCBABC
∆=
=
θ=
θ=×
A
θAB
C
B
D
RBC × RBA

22. 2222
A
θAB
C
B
D
RBC × RBA
zyx
zyx
BABC
BABC
N
a725,0a167,0a669,0
888,35
a16a6a24
RR
RR
a
+−−=
−−−
=
×
×
=c).

23. Soal Latihan :
Sebuah segitiga yang dibentuk oleh titik-titik A(2,
-1, 2), B(-1, 1, 4) dan C(4, 3, -1). Carilah
a.Vektor RAB dan RAC
b.Sudut yang dibentuk oleh vector RAB dan RAC
c.Luas Segitiga tersebut
d.Vektor satuan dari vektor A dan C